试卷2 南阳市2024-2025学年下学期期末质量评估检测（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷（华东师大版·新教材 河南专版）

**基本信息** 南阳市八年级春期期末卷，以平行四边形、反比例函数等核心知识为载体，融入人工智能、《九章算术》等情境，考查抽象能力、推理意识与数据观念，实现基础巩固与创新应用的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平行四边形性质、科学记数法、方差|结合生物头发直径（科学记数法）、计算项目活动（方差）考查基础概念| |填空题|5/15|统计众数、一次函数性质、《九章算术》应用题|以折线图（众数）、古代驿站送信（分式方程）体现文化与应用| |解答题|8/75|统计分析、几何证明、函数综合、数学建模|第17题对比八九年级人工智能关注数据（数据意识），第23题脚长与鞋码建模（模型观念），第22题等腰直角四边形探究（推理能力）|

试卷2　南阳市八年级春期期末质量评估检测试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题中只有一个答案是正确的. 1.在▱ABCD中，若∠A＝40°，则∠C的度数是（　A　） A.40° B.50° C.60° D.130° 2.在生物课上，老师提到一根人体头发丝的平均直径约为0.000 025 m.为了方便记录和运算，用科学记数法表示这个数值为（　B　） A.2.5×10－4 B.2.5×10－5 C.2.5×10－6 D.2.5×10－7 3.“计”高一筹，“算”出风采.为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动.已知甲班10名学生测试成绩的方差是＝0.19，乙班10名学生测试成绩的方差是＝m，两班学生测试的平均分都是95分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则m的值可能是（　D　） A.0.20 B.0.22 C.0.19 D.0.18 4.若把分式　中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（　C　） A.扩大为原来的3倍 B.扩大为原来的9倍 C.缩小为原来的 D.不变 5.两个全等三角形最多可以拼出　　　　个不同的平行四边形.（　C　） A.1 B.2 C.3 D.4 6.反比例函数y＝的图象有下述特征：图象与x轴没有公共点且与x轴无限接近.下列说明这一特征的理由中，正确的是（　D　） A.自变量x≠0且x的值可以无限接近0 B.自变量x≠0且函数值y可以无限接近0 C.函数值y≠0且x的值可以无限接近0 D.函数值y≠0且函数值y可以无限接近0 7.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　B　） A.AB＝BC B.AD＝BC C.OA＝OB D.AC⊥BD 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件能使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　D　） A.AD＝BC B.∠ABD＝∠BDC C.AB＝AD D.∠A＝∠C 第8题图 9.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0），下列说法正确的是（　C　） 第9题图 A.当液体密度ρ≥1 g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20 cm B.当液体密度ρ＝2 g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40 cm C.当浸在液体中的高度0＜h≤25 cm时，该液体的密度ρ≥0.8 g/cm3 D.当液体的密度0＜ρ≤1 g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20 cm 10.如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（－2，5），将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第100次旋转结束时，点C的对应点的坐标为（　A　） 第10题图 A.（－2，5） B.（2，－5） C.（5，－2） D.（5，2） 解析：∵360°÷45°＝8，∴每旋转八次，点C的坐标重复出现.∵100÷8＝12……4，∴第100次旋转结束时，点C的坐标与第4次旋转结束时点C的坐标相同.∵四边形ABCD是菱形，∴点A、C关于原点O对称.∵45°×4＝180°，∴第4次旋转结束时点C旋转到点A旋转前的位置.∵A（－2，5），∴此时点C的坐标为（－2，5），即第100次旋转结束时，点C的坐标为（－2，5）.故选A. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图是嘉琪某月1日到6日用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的众数是　40　分钟. 第11题图 12.已知直线y＝kx＋b（k、b是常数）经过点（1，1），且随x的增大而减小，则常数b的值可以是　2（答案不唯一）　.（写出一个即可） 13.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列出正确的方程为　＝　. 14.将n个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形对角线的交点，则2 025个正方形照这样重叠，形成的重叠部分的面积和为　506　. 第14题图 解析：如图，连结A1C. ∵点A1在正方形对角线的交点上，∴∠A1CB＝∠A1DC＝45°，A1C＝A1D，∠CA1D＝90°.∵∠EA1F＝90°，∴∠EA1C＝∠FA1D.在△EA1C和△FA1D中，∠EA1C＝∠FA1D，A1C＝A1D，∠A1CE＝∠A1DF，∴△EA1C≌△FA1D（ASA）.∴S△EA1C＝S△FA1D.∴S四边形EA1FC＝S△A1DC＝S正方形ABCD＝×1×1＝.同理可得每个重叠部分的面积都是.∵2 025个正方形照这样重叠，每两个正方形的重叠面积都是，共有2 024个这样的重叠面积，∴2 025个正方形照这样重叠，形成的重叠部分的面积和为×2 024＝506. 15.在矩形ABCD中，AB＝2，点E为CD的中点，取AE的中点F，连结BE、BF.当△BEF为直角三角形时，BC的长为　1或　. 解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，CD＝AB＝2，∠D＝∠C＝90°.∵点E为CD的中点，∴DE＝CE＝CD＝1.∴△ADE≌△BCE（SAS）.∴AE＝BE，∠AED＝∠BEC.分两种情况：①如图1，当∠BEF＝90°时，则∠AED＝∠BEC＝（180°－∠BEF）＝45°，∠EBC＝∠BEC＝45°.∴BC＝CE＝1. 图1 ②如图2，当∠BFE＝90°时，∵点F为AE的中点，∴BF垂直平分AE.∴AB＝BE.∵AE＝BE，∴BE＝AE＝AB＝2.∵CE＝CD＝1，∴由勾股定理，得BC＝＝＝.综上所述，BC的长为1或. 　 图2 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16.（10分）计算或化简：（1）（π－3）0＋－（）－1； 解：原式＝1＋4－5 ＝0. （2）（－1）÷. 解：原式＝（－）÷ ＝－• ＝－. 17.（9分）人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是DeepSeek—V3上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高.某校为了解该校学生对人工智能的关注程度，对全校学生进行了问卷测试，结果采用百分制，得分越高，表明对人工智能的关注程度就越高.现分别从八、九年级随机抽取20名学生的测试成绩进行整理和分析（得分用x表示，且为整数，共分为5组：A组：0≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98. 九年级被抽取的学生测试得分中D组包含的所有数据如下： 88，88，87，88，88，85，85，89. 九年级被抽取的学生测试得分扇形统计图 八、九年级被抽取的学生测试得分统计表 八年级 九年级 平均数/分 79 79 众数/分 a 88 中位数/分 84 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：上述图表中，a＝　84　，b＝　85　，m＝　40　； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注程度更高？请说明理由. 解：九年级的学生对人工智能的关注程度更高. 理由如下：∵虽然八、九年级被抽取的学生测试得分的平均数相同，但九年级测试得分的中位数、众数均大于八年级，∴九年级的学生对人工智能的关注程度更高.（答案合理即可） 18.（9分）如图，在▱ABCD中，四个角的平分线分别相交于点E、F、G、H. （1）求证：四边形EFGH是矩形； 解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∵AH、BH分别平分∠DAB、∠ABC， ∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC. ∴∠HAB＋∠HBA＝（∠DAB＋∠ABC）＝×180°＝90°. ∴∠H＝180°－（∠HAB＋∠HBA）＝90°. 同理可得∠F＝∠HEF＝90°， ∴四边形EFGH是矩形. （2）连结EG，若AB＝10，AD＝7，求EG的长. 解：如图，延长DF，交AB于点P. ∵四边形ABCD是平行四边形，四个角的平分线分别相交于点E、F、G、H，∴AB∥CD，DP平分∠ADC. ∴∠APD＝∠CDP＝∠ADP. ∴AP＝AD＝7.∵AB＝10，∴BP＝AB－AP＝3. ∵BH平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴ ∠ABH＝∠ABC＝∠ADC＝∠ADP. ∵∠ADP＝∠APD，∴∠APD＝∠ABH. ∴PE∥BG.∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠BCD，BC＝AD＝AP. ∵AH平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠PAE＝∠BCG. ∵AP＝BC，∠APE＝∠ABH＝∠CBG， ∴△APE≌△CBG（ASA）. ∴PE＝BG. ∴四边形BGEP是平行四边形.∴EG＝BP＝3. 19.（9分）如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（－1，n），B（3，－2）两点. （1）求一次函数和反比例函数的表达式； 解：将点B（3，－2）代入y2＝，得m＝3×（－2）＝－6. ∴反比例函数的表达式为y2＝－. 将点A（－1，n）代入y2＝－，得n＝－＝6.∴A（－1，6）. 将点A（－1，6），B（3，－2）代入y1＝kx＋b（k≠0）， 得解得 ∴一次函数的表达式为y1＝－2x＋4. （2）结合函数图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围； 解：当y1＜y2时，x的取值范围为－1＜x＜0或x＞3. （3）动点P在x轴上，当△ABP的面积等于8时，请直接写出点P的坐标. 解：点P的坐标为（0，0）或（4，0）. 解析：如图，设直线AB与x轴的交点为点C.将y＝0代入y＝－2x＋4，得－2x＋4＝0.解得x＝2.∴C（2，0）.设点P的坐标为P（a，0），则PC＝｜a－2｜.∵A（－1，6），B（3，－2），∴△ACP的PC边上的高为6，△BCP的PC边上的高为2.∵△ABP的面积等于8，∴S△ACP＋S△BCP＝8，即×6｜a－2｜＋×2｜a－2｜＝8.解得a＝0或a＝4.∴点P的坐标为（0，0）或（4，0）. 20.（9分）文房四宝之名，起源于南北朝时期，其所指代的“笔、墨、纸、砚”是中国独有的书法绘画工具.为了丰富学生的课后服务活动，某中学计划用4 300元为社团购买A、B两种型号的“文房四宝”若干套，其中购买B型号“文房四宝”花费3 000元，结果A型号的“文房四宝”的购买数量比B型号的“文房四宝”的购买数量少20套.已知每套A型号的“文房四宝”的价格比B型号的“文房四宝”的价格高30％.求A、B两种型号“文房四宝”的单价. 解：设B型号的“文房四宝”的单价是x元，则A型号的“文房四宝”的单价是（1＋30％）x元. 由题意，得－＝20. 解得x＝100. 经检验，x＝100是原方程的解，且当x＝100时， （1＋30％）x＝（1＋30％）×100＝130 ，符合题意. 答：A型号的“文房四宝”的单价是130元，B型号的“文房四宝”的单价是100元. 21.（9分）如图，四边形ABCD是正方形，点A（2，0），点B（0，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D. （1）求反比例函数的表达式； 解：∵点A（2，0），点B（0，4），∴OA＝2，OB＝4. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAD＝90°. 如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则∠AED＝90°. ∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＋∠OBA＝90°. ∵∠BAD＝90°，∴∠OAB＋∠EAD＝90°. ∴∠EAD＝∠OBA. 在△ADE和△BAO中，∵∠AED＝∠BOA＝90°， ∠EAD＝∠OBA，DA＝AB，∴△ADE≌△BAO（AAS）. ∴AE＝BO＝4，DE＝OA＝2.∴OE＝OA＋AE＝6.∴D（6，2）. 将点D（6，2）代入y＝（x＞0），得k＝6×2＝12. ∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）. （2）将直线OD向上平移m个单位长度后经过反比例函数y＝（x＞0）的图象上的点（3，n），分别求m与n的值. 解：将点（3，n）代入y＝（x＞0），得n＝＝4. 设直线OD的函数表达式为y＝ax（a≠0）. 将点D（6，2）代入y＝ax（a≠0），得6a＝2.解得a＝. ∴直线OD的函数表达式为y＝x. 将直线OD向上平移m个单位长度后，得到的一次函数的表达式为y＝x＋m. ∵函数y＝x＋m经过点（3，4），∴4＝×3＋m，即m＝3. 22.（10分）定义：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形. 图1 图2 图3 （1）在你学习过的四边形中，请写出一个符合等腰直角四边形定义的特殊四边形：　正方形　； （2）如图1，在等腰直角四边形ABCD中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°.若AD＝DC，∠ADC＝45°，请利用如图2的辅助线，求BD的长； 图1 解：∵AB＝BC＝1，AD＝DC，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD（SSS）. ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝45°，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝22.5°. 由题图可知∠BCE＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形. ∴CE＝BC＝1，∠BEC＝45°. 由勾股定理，得BE＝＝. ∴∠ECD＝∠BEC－∠EDC＝22.5°＝∠EDC. ∴ED＝EC＝1.∴BD＝BE＋ED＝＋1. （3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD的中点，过点P作直线分别交边AD、BC于点E、F.当四边形ABFE是等腰直角四边形时，直接写出四边形DPFC的面积. 解：四边形DPFC的面积为或. 解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝9，CD＝AB＝5，AD∥BC.分三种情况：①如图①，连结DF，当BF＝AB＝5时，四边形ABFE是等腰直角四边形， 图① ∴CF＝BC－BF＝9－5＝4.∴S△BDF＝BF•CD＝×5×5＝，S△DCF＝CF•CD＝×4×5＝10.∵P是BD的中点，∴S△PDF＝S△BDF＝×＝.∴S四边形DPFC＝S△PDF＋S△DCF＝＋10＝. ②如图②，连结DF，当AE＝AB＝5时，四边形ABFE是等腰直角四边形， 图② ∴DE＝AD－AE＝9－5＝4.∵P是BD的中点，∴PB＝PD.∵AD∥BC，∴∠PED＝∠PFB，∠PDE＝∠PBF.∴△PDE≌△PBF（AAS）.∴BF＝DE＝4.∴CF＝BC－BF＝5.∴S△BDF＝BF•CD＝×4×5＝10，S△DCF＝CF•CD＝×5×5＝.∴S△PDF＝S△BDF＝×10＝5.∴S四边形DPFC＝S△PDF＋S△DCF＝5＋＝. ③如图③，连结DF，当∠AEF＝90°时， 图③ ∵∠BAD＝∠ABC＝90°，∴四边形ABFE是矩形.∴AE＝BF，EF＝AB＝5.∵AD∥BC，∴∠PED＝∠PFB，∠PDE＝∠PBF.∵PB＝PD，∴△PDE≌△PBF（AAS）.∴BF＝DE＝AE.∵AD＝9，∴AE＝BF＝4.5≠EF.∴此时，四边形ABFE不是等腰直角四边形.综上所述，四边形DPFC的面积为或. 23.（10分）某数学兴趣小组以“脚长与标准鞋码（欧码）的对应关系”为主题，开展综合实践活动.已知鞋子尺码（又叫鞋号）常见的有以下标法：国际、欧洲、美国和英国，国际标准鞋号表示的是脚长的毫米数，中国标准采用毫米数或厘米数为单位来衡量鞋的尺码大小，而欧洲码数（欧码）则以0～100之间的整数作为码数大小.活动小组同学通过收集数据、建立函数模型来研究该问题，过程如下： （ⅰ）收集数据 活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（欧码）与脚长（mm）的对应关系，如表1： 鞋号（欧码） 22 23 24 25 26 27 … 脚长（mm） 160±2 165±2 170±2 175±2 180±2 185±2 … （ⅱ）整理数据 为方便研究，将表1中的数据进行了编号，如表2： 序号n 1 2 3 4 5 6 … 鞋号an（欧码） 22 23 24 25 26 27 … 脚长bn/mm 160±2 165±2 170±2 175±2 180±2 185±2 … 脚长［bn］/mm 160 165 170 175 180 185 … 表中对脚长的数据bn增加定义［bn］，定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2.若［bn］＝m，则m－2≤b≤m＋2.如：［b4］＝175表示175－2≤b4≤175＋2，即173≤b4≤177. （ⅲ）建立模型 （1）通过观察表2，猜想出an与序号n之间的关系式，［bn］与序号n之间的关系式；（不必证明） 解： an与序号n之间的关系式为an＝21＋n ，［bn］与序号n之间的关系式为［bn］＝5n＋155. （2）在如图的平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点（an，［bn］），发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这个函数最有可能是　一次函数　（填“正比例函数”“一次函数”或“反比例函数”）； （ⅳ）求解模型 （3）根据（2）中的函数类型，画出函数图象，求出［bn］关于an的表达式； 解：函数图象如图所示. 设［bn］＝kan＋b（k≠0）.将（22，160）和（23，165）代入， 得 解得∴［bn］＝5an＋50. （ⅴ）解决问题 根据个人脚长，选择购买合适码数的鞋子. （4）直接写出鞋号为42的鞋适合的脚长范围：　258 mm～262 mm　； （5）若脚长为268 mm，则应购鞋的鞋号大小为　44　. 学科网（北京）股份有限公司 $