湖南岳阳市汨罗市2026届高三下学期学情自测三数学试题

高三数学参考答案 一、二、选择题 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C D B A A A AD ABC AC 1.C【解析】集合A={xx2-4≤0}=[-2,2]，集合B={x|0<x一1<1}=(1,2)，则A∩B=(1,2),故选C 2.D【解析】(2十i)(a-i)=2a-2i十ai-i,由于i=-1,所以原式=(2a+1)+(a-2)i.虚部为a-2=0,解得a =2.故选D. 3.C【解析】由平行四边形性质，AD-BC.E为BC上靠近B的三等分点，故B症=号BC.于是A症-A+B酡 A+B心-A+Ad,国此+=1十日号故选C 4.D【解析】因为(sina士cosa)2=sin2a十cos2a士2 sin acos a=1士2 sin acos a,所以(sina十cosa)2+(sina cosa)2=1+2 sin acos a+1-2 sin acos a=2,所以sina-cosa=0.故选D. 5.B【解析】由面积公式S=acsin B-8ac=33,解得ac=12.由余孩定理=4十2-2 acos B,代入6 2√7，得28=a2+c2-12,即a2+c2=40.于是(a十c)2=a2+c2+2ac=40+24=64,所以a十c=8.故选B. 6A【解折】由描圆方程号+苦-1得a=3,=2c=,焦距FR=25,设PF=m,PF=a,则m十n =6.若p成立，即n=8,解得m=2,n=4或m=4,n=2.此时三边为2,4,2√5，满足22十42=(2√5)2，故 △PFF2为直角三角形（直角在P),即→q.若q成立，即△PFF2为直角三角形.可能情况：直角在P:由余 弦定理，m十n2=4c2=20,结合m十n=6得mn=8,此时p成立.直角在F1或F2:例如直角在F1,则PF1⊥ ,P的横坐标为一5，代入描國方程得那=士专，计算得m=音m=片m-的≠8此时力不成主，周此 q成立时p不一定成立，即p是q的充分不必要条件.故选A 7.A【解析】已知(ax2十x一1)(x+1)展开式中x4项的系数为35， 利用二项式定理(x十1)6=∑C哈x,则x项的系数为：aC十C-C=35. =0 即15a十20-15=35→a=2.故选A. 8.A【解析】设公切线方程为y=kx十b,分别与f(x)的图象切于点(x1,x1),与g(x)的图象切于点(x2,e), 则有k=a91=e2,b=(1-a)x1=e2(1-x2). 中-=倍)户尚2-0，得1… a 消去得到关于的方程（倍）户=。1-以. 等式两边取对数得。h货=n(巴。·1一小 令u=,定义函数F0=a-u-Ino))l(1二。1-W小 其定义域为u<1(当0<a<1)或u>1(当a>1). 则ro=0+。a-当a0.u1时，w在0a单羽递 a-u 减，在(a,1)上单调递增，此时F(u)在u=a处取极小值；当a>1,u>1时， 同理可得F(u)在u=a处取极小值，故F(u)有唯一极小值，点a,极小值为F(a)=aI一lna a-1 F(u)=0的解的个数对应公切线的条数：若F(a)<0,则F(u)=0有两个解，即有两条公切线； 若F(a)=0,则有一个解，即一条公切线；若F(a)>0,则无解，即无公切线. 分析F(a)<0:当0<a<1时，分母a-1<0,分子a(1-lna)>0(因a<e恒成立)，故F(a)<0: 数学参考答案(15)一1 当a>1时，分母a-1>0,需分子a(1-lna)<0,即1-lna<0,解得a>e. 此外，a=1时无公切线，a=e时F(a)=0仅一条. 因此，恰好有两条公切线时a的取值范围是(0,1)U(e,十∞)，故选A. 9.AD【解析】最大值为1，A正确. f(赁)-停≠士1，故不是对称轴，B错误。 因为f(5)=sin(2×晋+)=sin>0,f(受)=sin<0,所以f(5)>f(受)，C错误. 由f)=0得2x+9=,即x-经-吾在[0，]内，=1时x=吾=2时-爱，和为骨+-得，D正 确.故选AD. l0.ABC【解析】对于动点P(x,y),由条件Q驴，Q市-F产.FQ可推导出y2=4x,即轨迹为抛物线，故A正确. 对于选项B,利用抛物线的定义，|PF|等于点P到准线x=一1的距离，因此PM十|PF|=|PM十d(P,l) ≥d(M,)=4,当P(1,2)时取等，故最小值为4，B正确. y2=4x, 对于选项C,过焦点F(1,0)且斜率为√3的直线与抛物线交于两点，联立方程 y=V3(x-1), 得3x2-10x十3=0，设A(x1y),B(x22),则有1=32=3， AB=1+53-引5故C正瑞 对于选项D,易知直线y=x十1与抛物线y2=4x相切，故E上不存在两点关于直线y=x十1对称，D错误. 因此，正确选项为ABC 11.AC【解析】已知函数f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)=x一a|一a.对于A,由奇函数性质可得当x<0 时，f(x)=a2-x十a2|,故A正确.对于B,当a=0时，f(x)=x,不是周期函数，故B错误.对于C,f(x)= x+2a2,x≤-a2, -x,一a2<x<a2,分区间验证f(x十2)-f(x)≥1：外侧区间恒成立；中间区间要求 2al→a2≤ 12a|≤2， x-2a2,x≥a2 因此u∈[-2]，故C正确，对于D,不等式)寻的解集依频于，并非周定区间（一，昌）放D错 误.因此，正确选项为A和C. 三、填空题 12.7【解析】f(2027)=f(2027-4×506)-f(3)=23-1=7,因此f(2027)=7. 13.21【解析】总样本容量1=10+20+20=50，总样本均值x=10X80+20×85+20X90-86,代入公式计算： 50 =动10X(6+(80-86)+20X(6+(85-86)+20X(9+(90-86)9] -010×(5+36)+20×(6+1)+20×(9+16)] =010×41+20×7+20×25] -动410+140+50)-1920-21. 50 故方差为21. 14.专【解析】以A为原点，分别以AB,AD,AA所在直线为,,之轴，建立空间直角坐标系.因为正方体棱长 为2，所以A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),D1(0,2,2),设动点P(2,y,z)(y∈[0,2]，z∈[0,2])， 由AP⊥BD1得：AP.BD1=(2,y,z)·(-2,2,2)=-4+2y十2x=0,得y十z=2, 即动点P的轨迹为线段B1C(端点为B1(2,0,2)和C(2,2,0),由于AB⊥侧面BCC1B1,故AB⊥BC且AB⊥ BP,因此二西角P-AB-C的平百角为∠PBC,根据道意，tam∠PBC-号-结合轨连条件y叶-2，得 数学参考答案(15)一2 y=2z, x= 即P坐标为P2,青号)】 3, 又因为Sm=×ABXAD=-号×2X2=2,所以rm=号=-×2号- 39 四、解答题 15.【解析】(1)点E,F分别为棱PC,PB的中点， ∴.EF为△PBC的中位线，且EF∥BC,… (2分) ,EF丈平面BCD,BCC平面BCD, .EF∥平面BCD. 444 (5分) (2)在△BCD中，，BC=√2，CD=2,∠BDC=45°， sin∠BDC sin光BD即号 BC CD =sin∠CBDsin∠CBD=l,∠CBD=90°， 2 (6分) √2 2 故BC⊥BD, (7分) ∴.BD=CD2-BC=2,BD=√2. (8分) 又PD⊥底面BCD,∴PD⊥CD,在Rt△PDC中，PD=PC-CD=6-4=2,故PD=√2， 法一以D为原点，DB为x轴，DP为之轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(W2,0,0),C(W2,一√2， 0),CD=(-√2√2,0)，取方向向量v=(1,-1,0). (9分) 又P(0,02),则Pi=(2,0,-√2)，PC=(W2,-√2，-2). 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),由n·PB=0,n·PC=0,得 [W2x-√2z=0, 解得x=之，y=0,取n=(1,0,1).…(11分) 2x-√2y-√2x=0, 设直线CD与平面PBC所成角为e,则sino=:m- |1×1+(-1)×0+0×1川 1 nV2+(-1)+02·2+02+1京V2·22 所以直线CD与平面PC所成角的正弦值为宁 (13分) 法二：连接DF,因为PD⊥底面BCD,所以PD⊥BC,又因为BC⊥BD,BD∩PD=D,BD,PDC平面PBD, 所以BC⊥平面PBD,所以BC⊥DF. … (10分) 因为BD=PD=√2，所以DF⊥PB.因为BC,PBC平面PBC,BC∩BP=B,所以DF⊥平面PBC,所以 ∠DCF为直线CD与平面PBC所成角，…（们2分） 在R△CFD中，DF=1,所以sin∠DCF-B瓷= (13分) 16.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则a2=2十d,a=2十4d,a1=2十10d.…(2分) 由a2,a5,a1成等比数列，得(2十4d)2=(2十d)(2十10d). 展开得4+16d+16d=4+22d+10d,化简得6d-6d=0,即6d(1-d)=0.… (4分) 因为d≠0，所以d=1,于是am=2十(n-1)X1=n十1.…. (6分) (2)由(1)知a,=n十1，则6，-，2--1 4 22+ (8分) 注意到”-n十1_n-1 2m-2+1=2 =n_n+1 所以b.=2一2m市· (11分) 数学参考答案(15)一3 于是S=】 2=2(经)（分-+（层）+（堡-）出< (15分) 17.【解析】(1)设事件A:第一轮答对，事件B:第二轮答对 由表中数据，PAnB)=0=0.6,PB)=0=07, 所以P(AB)=P(A0B)-0.6_6 P(B)0.77· 小小小小小小**…*小小小小…小…………小………………小…*小小小小小小小…小小* (4分) (2)由模拟测试频率，小张第一轮答对的概率户= 80三0.8，第二轮答对的概率p2=70=0.7,且两轮相五 独立，……… (6分) 若选择第一轮答对后放弃第二轮，则最终得分X的分布为： 第一轮答错（概率0.2），得0分； 第一轮答对（概率0.8），得9分 期望E(X)=0×0.2十9×0.8=7.2. ……………(9分) 若选择第一轮答对后作答第二轮，则最终得分Y的分布为： 第一轮答错（概率0.2），得0分； 第一轮答对且第二轮答对（概率0.8×0.7=0.56），得10分； 第一轮答对且第二轮答错（概率0.8×0.3=0.24），得5分. 分布列如下： Y 0 5 10 P 0.2 0.240.56 (12分) 期望E(Y)=-0×0.2+5×0.24+10×0.56=1.2+5.6=6.8. ………… (14分) 因为E(Y)=6.8<E(X)=7.2,所以小张应选择放弃第二轮的策略. ……… (15分) 18.【解析1)当a=1时f(x)=e-2,定义城为R求导得(x)=e-x…(2分) 由于e≥1十x(当且仅当x=0时取等)，故e一x≥1>0，即f(x)>0恒成立.…(3分) 因此，f(x)在R上单调递增，单调递增区间为（一∞，十∞）.… (4分) (2)(i)f(x)=e一ax,若f(x)有两个不同的极值点，则方程e=ax有两个不同的实数根.显然x=0不是 报，故可化为a=（u≠0.设)-号则N()-eD. (6分) x 当x<0时，h'(x)<0,h(x)单调递减，且h(x)<0;… (7分) 当0x<1时，h'(x)<0,h(x)单调递减；…(8分) 当x>1时，h(x)>0,h(x）单调递增.……(9分) 又x→0+时h(x)→十∞，h(1)=e,x→十o∞时h(x)>十o∞，故h(x)在(0,1)上从十∞减至e,在(1，十∞)上从 增至十0∞…(10分) 因此，当a>e时，直线y=a与h(x)的图象有两个交点，分别位于(0,1)和(1，十∞)，对应两个不同的极值点 1,x2(且0<x1<1<x2).当a=e时有一个交点，当0≤a<e时无交点，当a<0时有一个交点， 故实数a的取值范围是(e,十0o).… …(12分) (i)由e=a1,c=au2得=，即e西4-，两边取对教得2-=ln. ……（13分) e xI 令t=2>1,则2=t,代入得(1-1D=lnt,解得= ℃1 t-1 于是+x2=(1+t0,=1十Dln( t-1 …(14分） 要证十>2，即证1l血今2，等价于1+)n>21-1D. t-1 设g=1+0n1一2-1).>1，则p0=ln+中-2=n+}-1 数学参考答案(15)一4 令)=n+}-1,则0=->0，故0)在1.+)上单调递增，且1)=0. 所以(t)>0,即0(t)>0.因此o(t)在(1，十o∞)上单调递增，又o(1)=0,故o(t)>0对t>1恒成立. 从而原不等式成立，即x1十x2>2. …（17分) 19.【解析】1)由离心率e=5得台=5，即2=5a2,又2=a2+,所以F=4a2. …(2分) 渐近线方程为y=士名=士2x,即2x士y=0, 专项志丝标为(a,0.它到浙近线2三0的距高为2a一0碧-2解得a …(4分) √22+(-1)2√5 于是B=4,双曲线C的标准方程为x2-=1. 4 (5分) (2)由(1)知双曲线为x2-=1,则c=√1十4=5，右焦点F2(W5,0),虚轴上瑞点B(0,2). 4 …(6分) 当直线1垂直于x轴时，1：x=5.代入双尚线方程：5-￥-1→y=16>y=士4 …(7分) 得M(W5,4),N(wW5,-4). 此时MN的长度为8，点B到直线x=5的距离为5，故S=号×8×，5=45. 因此△B八MN的面积为4W5.…(9分) (3)当直线PQ斜率不存在时，设P(t,√/4一4)，则Q(t,一√4-4)，由OP⊥OQ得t2一（√41-4）2=0，即 -(4r-40=0,解得=青此时点O到直线PQ的距离d==2 3 …(10分) 当直线PQ斜率存在时，设PQ:y=kx十m,与双曲线方程联立： x2_kx+m)2=1,即(4-k2)x2-2kmx-(m2+4)=0. 4 设P.Q.则十-婴=是 4-k21 …(11分) 由OP⊥OQ得x1x2十y1y2=0,而y1y2=(kx十m)(kx2十m)=k2x1x2十km(x1十x2)十m2, 代入得(1+k2)x1x2十km(x1+x2)+m2=0. 即1十（装持十m·婴+心-0， 即1十)0m十电十20+m2=0,两边来以4-得-1中)(m+40+2m+m(4-2)=0, 4-k2 展开得-(m2+4)-k2(m2+4)+2k2m2+4m2-k2m2=0, 整理得-(m2+4)-k2m2-4k2+2k2m2+4m2-k2m2=0, 即-(m2+4)-4k2+4m2=0,所以3m2-4k2-4=0,即m2=4k2+D …(13分) 3 4(k2+1) 原点0到直线PQ的距高d=m则==1 3 4 √1十k2 -=3 故1=2，为定位 …(5分) 在直角三角形OPQ中，|OP|2+|OQ2=|PQ2, 且S=2OPl0Q=2dPQ,所以OPHOQI=dPQ1. 由均值不等式，OP2+OQ|≥2OP|IOQ1=2dPQ,即PQ2≥2dPQ, 得PQ≥2d-5,故0P+100=PQ≥当10p=10Q时取等此时点-0m-专d-2 3 行合.周北1OP+10Q产的最小值为9 …(17分) 数学参考答案(I5)一5高三 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 h 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A={xx2一4≤0}，B={x|0<x-1<1},则A∩B= A.[-2,2] B.(2,4] C.(1,2) D.[1,2] 2.已知复数(2十)(a一i)的虚部为0，则实数a= A-司 B司 C.-2 D.2 3.平行四边形ABCD中，E为BC边上的三等分点（靠近点B),若以A为起点，将向量AE表示为 λAB+uAD(,∈R),则λ十μ的值为 A号 B.1 c 4.已知sina十cosa=√2，则sina一cosa= A.1 B号 c号 D.0 5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足B=,且b=2W7,若△ABC的面积为 3√5，则a十c的值为 A.6 B.8 C.92 D.10√3 6设R,R是椭圆C号+兰-1的两个焦点，点P在C上，命题p:PF·P明=8，命题g: △PFF2为直角三角形，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知(ax2十x一1)(x十1)6的展开式中x4项的系数为35，则实数a的值为 A.2 B.4 C.5 D.6 数学试题(L5)第1页（共5页） 8.已知a>0,函数f(x)=x2的定义域为(0，十o∞)，g(x)=e的定义域为R,若f(x)与g(x)恰 好有2条公切线，则实数α的取值范围是 A.(0,1)U(e,+∞) B.(1,e) C(0,)U1,+∞) n(日，e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=sin(2x十牙)，下列说法正确的有 A.函数f(x)的最大值为1 B,函数f代x)的图象关于直线x=对称 c.f()<f() Df)=0在[0，m]上的两根和为5 10.已知点F(1,0),直线l:x=-1,动点P到1的垂线为PQ,Q为垂足，且满足Q驴.Q京=F产. FQ,记动点P的轨迹为E,下列说法正确的有 A.E的方程为y2=4x B.若M(3,2),则|PM+|PF的最小值为4 C.过F作斜率为W3的直线交E于A,B两点，则AB1=1 D.E上存在两点关于直线y=x十1对称 11.定义：若存在常数M0,对定义域内任意x,都有f(x+2)≥f(x)十M成立，则称f(x)是“M 一阶增长函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=|x一a2|一a2,且f(x) 是“1一阶增长函数”，下列说法正确的有 A.当x<0时，f(x)=a2一|x+a2 B.若a=0,则f(x)是周期函数 C实数a的取值范围是[-2，】 D.不等式f)<的解集为(-吕，》 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知f(x)的定义域为R,周期为4，当x∈[0,4)时，f(x)=2x一1，则f(2027)= 数学试题(L5)第2页（共5页） 13.采用分层随机抽样抽取某校高一10人、高二20人、高三20人的数学成绩样本.已知高一、高 二、高三的样本平均分分别为80、85、90，样本方差分别为5、6、9，则估计该校全体学生数学成 绩的方差为 (方差方程公式：=工之m,[s好+(G;-x)门其中n为总样本容量，b 7 为分层的层数，m:为第i层的样本容量，s为第i层的样本方差，x;为第i层的样本均值，x为 所有样本的总均值) 14.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD中，点P在表面BCCB1上运动（含端点），且满足 AP⊥BD1,当二面角P-AB-C的正切值为时，三棱锥P-ABD的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分13分) 如图，在三棱锥P-BCD.中，PD⊥底面BCD,BC=√2，CD=2,∠BDC=45°，PC=√6，点E, F分别为棱PC,PB的中点 (1)证明：EF∥平面BCD; (2)求直线CD与乎面PBC所成角的正弦值： 16.（本小题满分15分) 已知公差不为0的等差数列{a)满足ar=2,且a2,a贴，a成等比数列. (1)求{an}的通项公式； (2)设6，=22，记(6，)的前n项和为S.,证明，对任意n∈N°，都有8<分 数学试题(L5)、第3页（共5页） 17.（本小题满分15分) 为强化高三学生的安全防范意识，某市举办校园安全知识闯关竞赛，赛前随机抽取100名参 赛学生进行模拟测试，记录两轮答题的通过情况，得到统计数据如下： 第二轮答对第二轮答错 合计 第一轮答对 60 20 80 第一轮答错 10 10 20 合计 70 30 100 (1)从参与模拟测试的100名学生中随机抽取1人，已知抽到的学生第二轮答题答对，求他第 一轮答题也答对的概率； (2)正式竞赛规则如下：①每位选手需先作答第一轮题目：若第一轮答错，直接结束比赛，最终 得0分；若第一轮答对，可得9分基础分，同时选手需立刻决定是否继续作答第二轮（不可 查看第二轮题目后再决策).②若选手选择放弃作答第二轮，最终得分即为9分，比赛结 束；若选择作答第二轮，第二轮答对则最终得分为10分，答错则最终得分为5分，比赛结 束.已知选手小张每轮答题结果相互独立，且他答题答对的概率可近似的用模拟测试的频 率来估计.小张希望自己最终得分的数学期望尽可能高，需要在赛前确定“是否作答第二 轮”的固定策略，请你通过计算分布列与数学期望，探究小张应该选择哪种策略，写出你的 分析过程 18.(本小题满分17分) 已知函数fx)=e一受x2,其中e为自然对数的底数，a∈R (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)存在两个不同的极值点x1,x2,且x1<x2. (1)求实数a的取值范围； (iⅱ)证明c1十x2>2. 数学试题(L5)第4页（共5页） 19.（本小题满分17分) 已如双曲线C三-若=1（心0,6>0）的离心率为5，其右顶点到新近线的距离为25 5 (1)求双曲线C的标准方程； (2)过双曲线C右焦点F2作垂直于x轴的直线l,与双曲线交于M,N两点，点B为双曲线C 的虚轴端点，求△BMN的面积； (3)过原点O作两条互相垂直的射线，分别与双曲线C交于P,Q两点，证明：点O到直线PQ 的距离为定值，并求|OP|2+|OQ2的最小值 数学试题(L5)第5页（共5页）