4.3公式法（第2课时 完全平方公式）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学导学案聚焦“用完全平方公式分解因式”，通过知识回顾（提公因式法、平方差公式法）和问题情境引入，搭建从整式乘法到因式分解的逆向迁移支架，引导学生理解公式来源与结构特征。 以“自主探究+合作研讨”为主线，设计分层题型（直接应用、先提公因式再分解、实际问题解决），培养学生的推理意识与运算能力，结合几何图形与代数计算提升应用意识，助力学生掌握因式分解步骤与综合运用方法。

4.3公式法 导学案 第2课时 完全平方公式 1.理解并掌握用完全平方公式分解因式. 2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算. 学习重点：正确辨别并分解符合完全平方形式的多项式. 学习难点：在综合题目中灵活运用不同因式分解方法并深入理解其运算价值. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾： 1.因式分解学过了哪些方法？ 提公因式法：ma+mb+mc= ； 平方差公式法：= . 2.把下列各式分解因式: (1)a﹣a; (2)﹣16. 3.填空： （1）＝________； （2）＝_________. 上述算式有什么共同特征？ 如果将上面的算式等号左右两边交换位置，等式还成立吗？ 新知自研：自研课本第119页例题3--120页的内容． 【学法指导】 自研课本第119页例题3--120页的内容，思考： ●探究一：用完全平方公式因式分解 ◆1.尝试思考 根据上述问题中的等式填空： （1）＝_______； （2）＝_______. 它们有什么共同特征？你能由此得到什么结论？ 根据学习用平方差公式因式分解的经验和方法，你能将形如“、”的式子因式分解吗？ ◆2.新知归纳 用完全平方公式因式分解： 分别把乘法公式＝ ， ＝反过来，就得到: . 形如 的式子称为完全平方式. 语言叙述：两个数(或式子)的 加上(或减去)这两个数(或式子)的 的2倍，等于这两个数(或式子)的和(或差)的 . ◆3.思考交流 下列各式是不是完全平方式？ （1）；；；；. ◆4.知识归纳 完全平方式的特点： 1.是 项式（或可以看成三项）； 2.有两个同号的数或式的 ； 3.中间是这两个数的积的 倍. 只有完全平方式才可以用完全平方公式因式分解. 注意：公式中的a，b既可以是单项式，也可以是 . ◆5.练一练 下列多项式能用完全平方公式因式分解的有(　　) (1)+ab+；(2)-a+；(3)9-24ab+4；(4)-+8a-16. A.1个 　 B.2个 C.3个 D.4个 ●探究二：用完全平方公式因式分解的注意事项 ◆1.尝试交流 ①把下列各式因式分解： (1)＋14x＋49； (2)－6(m＋n)＋9. ②把下列各式因式分解： (1)3a＋6axy＋3a； (2)－－4＋4xy. ◆2.新知探究： 用完全平方公式因式分解的注意事项： 运用完全平方公式因式分解所得结果是“和的平方”还是“差的平方”,取决于“积的二倍项的 ”与“平方项的符号”的关系:“积的二倍项”与“平方项”同号时,结果是 的平方;异号时,结果是 的平方。 ◆3.练一练 把多项式8-8+2a因式分解,结果正确的是(　　) A.2a(4-4a+1) B.8(a-1) C. D.2a 4.知识归纳 公式法 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用 把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. ●探究三：完全平方公式因式分解的应用 ◆1.尝试交流 ①利用完全平方公式因式分解计算下列各式： (1)； (2)38.9² − 2 × 38.9 × 48.9 + 48.9². ②已知 , ，求 的值。 【方法归纳】 解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后 求值. ◆2.回顾反思 （1）回顾从整式乘法到因式分解的探索过程，你有哪些感悟？ （2）在解决哪些问题时，用因式分解的方法更加便利？请举例说明. 提示：整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形,可以利用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。 因式分解是解题的工具,可以将复杂的多项式转化为乘积形式,方便化简与计算。 ◆3.知识归纳 因式分解的一般步骤： 在进行因式分解时,应遵循“一 、二 、三 ”的原则，一般按如下步骤进行: 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 把下列各式因式分解: (1)+4a+4; (2)-6(x-1)+9;  (3)-16.　 例2 已知a,b,c分别是△ABC三边的长,且 －2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状,并说明理由． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何用完全平方公式分解因式； B.如何利用因式分解的完全平方公式进行简便计算. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．下列不能用公式法因式分解的是(　　) A. B. C. D. 2．小组活动：把多项式 因式分解。组长小明发现小组里有以下四种结果与自己的结果“”不同，他认真思考后，发现还有一种结果是正确的，你认为正确的是(　　) A. B. C. D. 4.如图是长与宽分别为 的长方形，它的周长为 14，面积为 10，则 的值为(　　) A.2560　B.490　C.70　D.49 5．若 , 则多项式 的值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 6.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是____.(填序号) ①-2x-2；②+1；③-4x+4；④+4x+1. 7.因式分解：＝______. 8.若 ，且 ，则代数式 的值为______. 9.为了烘托新年的节日氛围，市政人员在某广场上用鲜花摆放了一个圆形花坛，已知该花坛的面积为 平方米，则这个圆形花坛的半径为_____. 10.把下列各式因式分解: (1); (2). (3);  (4). 11.已知 , 求 的值。 12.已知 分别是 的三边长。 （1）分别将多项式 进行因式分解； （2）若 ，试判断 的形状，并说明理由 题型一：直接利用完全平方公式分解因式 1．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（　　） A．x2+xy+y2 B．x2﹣2x﹣1 C．﹣4﹣4x﹣x2 D．x2+4y2 2．下列各式能用完全平方公式分解因式的有（　　） ①4x2﹣4xy﹣y2；②﹣1﹣a；③m2n2+4﹣4mn；④a2﹣2ab+4b2；⑤x2﹣8x+9 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝　 　． 4．因式分解： （1）9x2﹣6xy+y2． （2）（x+1）（x﹣3）+4． 5．因式分解： （1）； （2）﹣a2﹣4b2+4ab ； （3）（m+n）2﹣6（m+n）+9 题型二 先提公因式再用完全平方公式分解因式 6．多项式2ax2﹣4ax+2a因式分解为（　　） A．a（2x﹣1）2 B．a（2x+1）2 C．2a（x+1）2 D．2a（x﹣1）2 7．因式分解： (1) (2) 8．因式分解： （1）3x3+12x2+12x； （2）﹣2a3+12a2﹣18a； （3）﹣3x2﹣2x ； （4）6xy2﹣9x2y﹣y3． 9．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 利用平方差公式解决因式分解应用问题 10．若分解因式x2+mx+16的结果为（x﹣4）2，则m的值为（　　） A．m＝4 B．m＝﹣8 C．m＝±8 D．m＝8 11．因式分解：x2﹣ax+4＝（bx+2）2，其中a，b是常数，则a+b＝（　　） A．±3 B．﹣3 C．3 D．4 12．已知3a2+mab+3b2可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 13．已知xy＝﹣1，x+y＝2，则（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 14．若x2+（3﹣m）x+9可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为 　 　． 15．若a＝2004x+2000，b＝2004x+2002，c＝2004x+2004，求代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值． 16．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值； （3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值． ▲1、用完全平方公式分解因式： 语言叙述：两个数(或式子)的 加上(或减去)这两个数(或式子)的 的2倍，等于这两个数(或式子)的和(或差)的 . ▲２、完全平方式的特点： 1.是 项式（或可以看成三项）； 2.有两个同号的数或式的 ； 3.中间是这两个数的积的 倍. 只有完全平方式才可以用完全平方公式因式分解. 注意：公式中的a，b既可以是单项式，也可以是 . ▲3、公式法 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用 把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3公式法 导学案 第2课时 完全平方公式 1.理解并掌握用完全平方公式分解因式. 2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算. 学习重点：正确辨别并分解符合完全平方形式的多项式. 学习难点：在综合题目中灵活运用不同因式分解方法并深入理解其运算价值. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾： 1.因式分解学过了哪些方法？ 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)； 平方差公式法：=(a+b)(a-b). 2.把下列各式分解因式: (1)a﹣a; (2)﹣16. 解：(1)a-a =a(-1) =a(x+1)(x-1). (2)-16 =(+4)(-4) =( +4)(x+2)(x-2). 3.填空： （1）＝________； （2）＝_________. 解：+4ab+4,9-6ab+ 上述算式有什么共同特征？ 以上都是用完全平方公式：＝+2ab+，＝-2ab+计算得出来的. 如果将上面的算式等号左右两边交换位置，等式还成立吗？ 新知自研：自研课本第119页例题3--120页的内容． 【学法指导】 自研课本第119页例题3--120页的内容，思考： ●探究一：用完全平方公式因式分解 ◆1.尝试思考 根据上述问题中的等式填空： （1）＝_______； （2）＝_______. 解：, 它们有什么共同特征？你能由此得到什么结论？ 根据学习用平方差公式因式分解的经验和方法，你能将形如“、”的式子因式分解吗？ ◆2.新知归纳 用完全平方公式因式分解： 分别把乘法公式＝ ， ＝反过来，就得到: . 形如 的式子称为完全平方式. 语言叙述：两个数(或式子)的平方和加上(或减去)这两个数(或式子)的积的2倍，等于这两个数(或式子)的和(或差)的平方. ◆3.思考交流 下列各式是不是完全平方式？ （1）；；；；. 解：（1） 满足完全平方的条件，可写作； （2）只有两项，不是三项式； （3） 与 符号不一致，不符合完全平方结构； （4） 中间项不是与的2倍乘积，故不是； （5）可写作，是完全平方式。 ◆4.知识归纳 完全平方式的特点： 1.是三项式（或可以看成三项）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间是这两个数的积的±2倍. 只有完全平方式才可以用完全平方公式因式分解. 注意：公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式. ◆5.练一练 下列多项式能用完全平方公式因式分解的有(　　) (1)+ab+；(2)-a+；(3)9-24ab+4；(4)-+8a-16. A.1个 　 B.2个 C.3个 D.4个 解：B.(1)+ab+，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)-a+＝；(3)9-24ab+4，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)-+8a-16＝-(a2-8a+16)＝.所以(2)(4)能用完全平方公式分解. ●探究二：用完全平方公式因式分解的注意事项 ◆1.尝试交流 ①把下列各式因式分解： (1)＋14x＋49； (2)－6(m＋n)＋9. 解： (2)－6(m＋n)＋9 ＝ ＝. ②把下列各式因式分解： (1)3a＋6axy＋3a； (2)－－4＋4xy. 解：3a＋6axy＋3a ＝ 3a(＋2xy＋) ＝； (2)－－4＋4xy ＝ －(＋4－4xy) ＝ －(－4xy＋4) ＝－[－2·x·2y＋] ＝. ◆2.新知探究： 用完全平方公式因式分解的注意事项： 运用完全平方公式因式分解所得结果是“和的平方”还是“差的平方”,取决于“积的二倍项的符号”与“平方项的符号”的关系:“积的二倍项”与“平方项”同号时,结果是和的平方;异号时,结果是差的平方。 ◆3.练一练 把多项式8-8+2a因式分解,结果正确的是(　　) A.2a(4-4a+1) B.8(a-1) C. D.2a 解：C 4.知识归纳 公式法 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. ●探究三：完全平方公式因式分解的应用 ◆1.尝试交流 ①利用完全平方公式因式分解计算下列各式： (1)； (2)38.9² − 2 × 38.9 × 48.9 + 48.9². 解：(1) ＝+2×202×98+ ＝ ＝ ＝90 000. (2)38.9² − 2 × 38.9 × 48.9 + 48.9² ＝ ＝ ＝100. ②已知 , ，求 的值。 解： 当 , 时， 【方法归纳】 解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入求值. ◆2.回顾反思 （1）回顾从整式乘法到因式分解的探索过程，你有哪些感悟？ （2）在解决哪些问题时，用因式分解的方法更加便利？请举例说明. 提示：整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形,可以利用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。 因式分解是解题的工具,可以将复杂的多项式转化为乘积形式,方便化简与计算。 ◆3.知识归纳 因式分解的一般步骤： 在进行因式分解时,应遵循“一提、二套、三检查”的原则，一般按如下步骤进行: 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 把下列各式因式分解: (1)+4a+4; (2)-6(x-1)+9;  (3)-16.　 解:(1)+4a+4 =+2·a·2+ =. 　(2) = = = (3) = = = 例2 已知a,b,c分别是△ABC三边的长,且 －2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状,并说明理由． 解：由－2b(a＋c)＝0，得 ＝0， 即＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何用完全平方公式分解因式； B.如何利用因式分解的完全平方公式进行简便计算. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．下列不能用公式法因式分解的是(　　) A. B. C. D. 解：B． 2．小组活动：把多项式 因式分解。组长小明发现小组里有以下四种结果与自己的结果“”不同，他认真思考后，发现还有一种结果是正确的，你认为正确的是(　　) A. B. C. D. 解：D 解：A 4.如图是长与宽分别为 的长方形，它的周长为 14，面积为 10，则 的值为(　　) A.2560　B.490　C.70　D.49 解：B 5．若 , 则多项式 的值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 解：C 6.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是____.(填序号) ①-2x-2；②+1；③-4x+4；④+4x+1. 解：③ 7.因式分解：＝______. 解： 8.若 ，且 ，则代数式 的值为______. 解：-2025 9.为了烘托新年的节日氛围，市政人员在某广场上用鲜花摆放了一个圆形花坛，已知该花坛的面积为 平方米，则这个圆形花坛的半径为_____. 解：(a+9b)米 10.把下列各式因式分解: (1); (2). (3);  (4). 解：(1) = = (2) = = =. (3) = =. (4) = = =. 11.已知 , 求 的值。 解：∵x5＝0， ∴=0， 即＝0, ∴ x+2＝0，y−1＝0.  ∴x＝−2，y＝1. ∴xy＝−2. 12.已知 分别是 的三边长。 分别将多项式 进行因式分解； （2）若 ，试判断 的形状，并说明理由 解： (2)△ABC是等腰三角形. 理由:因为ac-bc=, 所以c(a-b)=-, c(a-b)+=0, (a-b)(c+a-b)=0. 因为a,b,c分别是△ABC的三边长, 所以它们满足任意两边之和大于第三边, 所以c+a-b>0, 所以a-b=0, 即a=b, 故△ABC是等腰三角形. 题型一：直接利用完全平方公式分解因式 1．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（　　） A．x2+xy+y2 B．x2﹣2x﹣1 C．﹣4﹣4x﹣x2 D．x2+4y2 【分析】4+4x+x2＝22+2×2x+x2，满足首平方，尾平方，首尾积的2倍在中央． 【解答】解：A、B、D都不能用完全平方公式进行分解因式，而选项C，﹣4﹣4x﹣x2＝﹣（4+4x+x2）＝﹣（2+x）2． 故选：C． 【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式特点是解题关键． 2．下列各式能用完全平方公式分解因式的有（　　） ①4x2﹣4xy﹣y2；②﹣1﹣a；③m2n2+4﹣4mn；④a2﹣2ab+4b2；⑤x2﹣8x+9 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据完全平方公式的特点逐一判断即可． 【解答】解：①4x2﹣4xy﹣y2，不能用完全平方公式分解； ②﹣1﹣a（1+a）＝﹣（1）2，可以用完全平方公式分解； ③m2n2+4﹣4mn＝（mn﹣2）2，可以用完全平方公式分解； ④a2﹣2ab+4b2，不能用完全平方公式分解； ⑤x2﹣8x+9，不能用完全平方公式分解； 故选：B． 【点评】本题主要考查因式分解﹣运用公式法，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3．因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝　 　． 【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案． 【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32 ＝（m+n﹣3）2． 故答案为：（m+n﹣3）2． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，考查整体思想，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键． 4．因式分解： （1）9x2﹣6xy+y2． （2）（x+1）（x﹣3）+4． 【分析】（1）原式利用完全平方公式分解即可； （2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）9x2﹣6xy+y2 ＝（3x）2﹣6xy+y2 ＝（3x﹣y）2； （2）（x+1）（x﹣3）+4 ＝x2﹣2x+1 ＝（x﹣1）2． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5．因式分解： （1）； （2）﹣a2﹣4b2+4ab ； （3）（m+n）2﹣6（m+n）+9 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式． （2）先提取“﹣”号，再根据完全平方公式分解因式即可得出答案． （3）将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案． 【解答】解：（1）原式＝． （2）原式＝﹣（a2﹣4ab+4b2） ＝﹣（a﹣2b）2． 故答案为：﹣（a﹣2b）2． （3）原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32 ＝（m+n﹣3）2． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键． 题型二 先提公因式再用完全平方公式分解因式 6．多项式2ax2﹣4ax+2a因式分解为（　　） A．a（2x﹣1）2 B．a（2x+1）2 C．2a（x+1）2 D．2a（x﹣1）2 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【解答】解：2ax2﹣4ax+2a ＝2a（x2﹣2x+1） ＝2a（x﹣1）2， 故选：D． 【点评】本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 7．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解． 【解答】（1）解： （2）解： 【点评】本题考查因式分解，能够综合运用提取公因式法和公式法是解题的关键． 8．因式分解： （1）3x3+12x2+12x； （2）﹣2a3+12a2﹣18a； （3）﹣3x2﹣2x ； （4）6xy2﹣9x2y﹣y3． 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； 【解答】解：（1）3x3+12x2+12x ＝3（x2+4x+4） ＝3（x+2）2； （2）﹣2a3+12a2﹣18a ＝﹣2a（a2﹣6a+9） ＝﹣2a（a﹣3）2； （3）﹣3x2﹣2x ＝﹣3（x2x） ＝﹣3（x）2； （4）6xy2﹣9x2y﹣y3 ＝﹣y（9x2﹣6xy+y2） ＝﹣y（3x﹣y）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 9．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 题型三 利用平方差公式解决因式分解应用问题 10．若分解因式x2+mx+16的结果为（x﹣4）2，则m的值为（　　） A．m＝4 B．m＝﹣8 C．m＝±8 D．m＝8 【分析】直接利用完全平方公式，完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2得出答案． 【解答】解：∵分解因式x2+mx+16的结果为（x﹣4）2＝x2﹣8x+16， ∴m＝﹣8． 故选：B． 【点评】此题主要考查了公式分解因式，正确运用完全平方公式是解题关键． 11．因式分解：x2﹣ax+4＝（bx+2）2，其中a，b是常数，则a+b＝（　　） A．±3 B．﹣3 C．3 D．4 【分析】根据完全平方公式展开，得到b2＝1，﹣a＝4b，然后分两种情况分别求解即可． 【解答】解：根据题意得：x2﹣ax+4＝b2x2+4bx+4， ∴b2＝1，﹣a＝4b， ∴b＝±1，a＝﹣4b， 当b＝1时，a＝﹣4，a+b＝﹣3； 当b＝﹣1时，a＝4，a+b＝3； 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，考查分类讨论的思想，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键． 12．已知3a2+mab+3b2可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 【分析】根据完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：由题意得： 3a2+mab+3b2＝（±）2， ∴3a2+mab+3b2＝3a2±6ab+3b2， ∴m＝±6， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 13．已知xy＝﹣1，x+y＝2，则（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【分析】先对所求的式子进行因式分解，再整体代入计算即可． 【解答】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2， ∴ xy（x2+2xy+y2） xy（x+y）2 ＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法与公式法的综合运用是解决本题的关键． 14．若x2+（3﹣m）x+9可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为 　 　． 【分析】根据完全平方公式的特征：“首平方，尾平方，两倍乘积放中央”．进行解答．因为9＝（±3）2，所以3﹣m＝±6，解之即可． 【解答】解：∵x2+（3﹣m）x+9可以用完全平方式来分解因式． ∴3﹣m＝±6． 当3﹣m＝6时，解得m＝﹣3． 当3﹣m＝﹣6时，解得m＝9． ∴m的值为﹣3或9． 故答案为：﹣3或9． 【点评】本题考查了完全平方公式的特征，熟记完全平方公式的特征是解题的关键． 15．若a＝2004x+2000，b＝2004x+2002，c＝2004x+2004，求代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值． 【分析】先利用完全平方公式得到原式[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，再分别计算（a﹣b）、（b﹣c）、（c﹣a），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac[2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac] [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2] ∵a＝2004x+2000，b＝2004x+2002，c＝2004x+2004， ∴a﹣b＝﹣2，b﹣c＝﹣2，c﹣a＝4， ∴原式[（﹣2）2+（﹣2）2+42] ＝12． 【点评】此题考查因式分解的运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键． 16．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值； （3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值． 【分析】（1）根据x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x﹣y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可； （2）首先根据a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可； （3）首先根据a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可． 【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0， ∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0， ∴x﹣y＝0，y+3＝0， ∴x＝﹣3，y＝﹣3， ∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9， 即xy的值是9． （2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0， ∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0， ∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0， ∴a﹣5＝0，b﹣6＝0， ∴a＝5，b＝6， ∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6， ∴6≤c＜11， ∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10． （3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0， ∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0， ∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0， ∴a﹣4＝0，c﹣8＝0， ∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4， ∴a+b+c＝4﹣4+8＝8， 即a+b+c的值是8． 【点评】（1）此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． ▲1、用完全平方公式分解因式： 语言叙述：两个数(或式子)的平方和加上(或减去)这两个数(或式子)的积的2倍，等于这两个数(或式子)的和(或差)的平方. ▲２、完全平方式的特点： 1.是三项式（或可以看成三项）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间是这两个数的积的±2倍. 只有完全平方式才可以用完全平方公式因式分解. 注意：公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式. ▲3、公式法 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $