4.3 第1课时 平方差公式（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“运用平方差公式因式分解”，通过复习导入回顾分解因式定义及提公因式法，再以平方差公式的逆用为切入点，引导学生从整式乘法过渡到因式分解，搭建新旧知识联系的学习支架。 资料以素养目标为导向，融合提公因式法与公式法综合运用，通过分层习题、实际问题（如面积计算）培养学生数学眼光（观察式子特点）、数学思维（推理与运算）和数学语言（模型应用），助力提升观察联想能力与问题解决能力。

第四章 因式分解 4.3 公式法 第1课时　运用平方差公式因式分解 【素养目标】 1.了解能运用平方差公式因式分解的式子特点． 2.会用平方差公式分解因式． 3.初步会结合提公因式法与公式法分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用． 4.培养学生的观察、联想能力，会用数学的眼光观察现实世界，进一步渗透整体思想． 重点：应用平方差公式分解因式． 难点：灵活运用公式法和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求． 【复习导入】 1. 什么叫把多项式分解因式? 2. 已学过哪一种分解因式的方法? 【合作探究】 探究点：用平方差公式进行因式分解 问题1：计算下列各式： (1) (x＋5)(x－5)； (2) (3x＋y)(3x－y). 思考：这个计算的依据是什么？ 问题2：根据上面两道题，试着分解因式. (1) x2－25； (2) 9x2－y2. 思考：观察这个变化过程有什么规律？ 问题3：我们把这些式子推广到一般式 a2－b2，你能将它分解因式吗？ 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形， 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 将公式等号两边互换位置，就得到： a2－b2＝(a＋b)(a－b) 运用这个公式，可以把形如平方差的多项式分解因式. [练一练] 1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式 ? (1) x2 + y2 (2) x2－y2 (3) －x2 －y2 (4) －x2 + y2 (5) x2－25y2 (6) 9m2－1 总结：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解， 即能写成 ( )2－( )2 的形式. [典例精析] 例1 把下列各式因式分解： (1) 25－16x2； (2) 9a2－b2. 例2 分解因式： (1) 2x3－8x； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. [归纳总结] 公式中的 a，b 无论表示数 ，单项式 ，还是多项式 ，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式 ，就能用平方差公式因式分解. 例3 把下列各式因式分解： (1) a3b－ab. (2) (a＋b)2－4a2. [归纳总结] 1.分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查. 2.分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. [练一练] 2. 把下列各式分解因式： (1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b. 3. 已知 x2－y2＝－2，x＋y＝1，求 x－y，x，y 的值. [操作·思考] 如图，在一块边长为 a cm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为 b cm 的正方形，求剩余部分的面积。当 a = 3.6，b = 0.8 时，剩余部分的面积是多少 ? 当堂反馈 1.下列各式中，能用平方差公式因式分解的是(　　) A.x2＋x B.x2＋8x＋16 C.x2＋4 D.x2－1 2.因式分解x2－4的结果是(　　) A.x(x－4) B.x(x－2)2 C.(x＋2)(x－2) D.x(x＋2)2 3.因式分解：a2－4b2＝　 　. 4.因式分解与简便计算. (1)(2x＋3)2－x2； (2)a3－9a； (3)3.14×5.52－3.14×4.52. 参考答案 【复习导入】 1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作多项式的分解因式. 2. 提公因式法 【合作探究】 探究点：用平方差公式进行因式分解 问题1：解：(1) (x＋5)(x－5) ＝x2－52 ＝x2－25； (2) (3x＋y)(3x－y)＝ (3x)2－y2 ＝ 9x2－y2. 思考：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 问题2：解：(1) x2－25＝(x＋5)(x－5)； (2) 9x2－y2＝(3x＋y)(3x－y). 思考： 把平方差公式等号两边互换就可以得到因式分解的结果. [练一练] 1.(1) × (2)√ (3) × (4) √ (5)√ (6) √ [典例精析] 例1 解：(1) 原式＝52－(4x)2 ＝ (5＋4x)(5－4x) (2) 原式＝(3a)2－ (b)2 ＝ (3a＋b)2 (3a－b)2 例2 解：(1) 原式＝2x(x2－ 4)＝2x( x + 2 )( x－2) (2) 原式＝(3m＋3n)2－(m－n)2 ＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 例3 解：(1) 原式＝ab(a2－1)＝ab(a + 1)(a－1). (2) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b). [练一练] 2. 解：(1)原式 ＝ 5m2(a4－b4)＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2) ＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b). (2)原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b)＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) ＝ (a＋2b)(a－2b－1). 3. 解：∵ x2－y2 ＝ (x＋y)(x－y)＝－2， x＋y＝1①， ∴ x－y ＝ －2②. 联立①②组成二元一次方程组， 解得 [操作·思考] 大正方形面积：a2 . 小正方形面积：4b2 . S剩余部分 = a2－4b2. 当 a = 3.6，b = 0.8 时： S剩余部分 = 3.62－4×0.82 =10.4 cm2. 当堂反馈 1.　D　 2.　C　 3.(a＋2b)(a－2b)　. 4.(1)解：原式＝3(x＋3)(x＋1). (2)解：原式＝a(a＋3)(a－3). (3)解：原式＝31.4. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $