第四章——因式分解知识清单 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

知识清单 第四章因式分解 一、 因式分解的定义与基本概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫 做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式； (1)对象必须是多项式，单项式本身就是积的形式， 定义 不需要分解； (2)结果必须是几个整式的积的形式，不能有加减号； (3)分解彻底，每个因式必须分解到不能再分解为止； (4)形式改变但值不变，是恒等变形； 因式分解与整式乘法是互逆变形的关系 互逆变形 整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc 因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、因式分解的基本方法 多项式各项都含有的相同因式， 公因式的概念 叫做这个多项式各项的公因式 提公因式法 (1)定系数：取各项系数的最大 确定公因式的方法 公约数； 若首项系数为负数，通常先提 出“-”号，使括号内第一项系数变 为正数，在提出“-”后，多项式的 各项都要变号； (2)定字丹：取各项都含有的相 同字母或相同的多项式因式； 公因式可以是单项式，也可以 是多项式； (3)定指数：取相同字母或多项 式在各项中的最低次幂； 如果多项式的各项有公因式，把 这个公因式提取出来，将多项式 提公因式法的定义 写成公因式与另一个因式的乘积 的形式，这种分解因式的方法叫 做提公因式法 利用乘法公式把某些多项式因式 定义 分解的方法叫做公式法 公式法 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 完全平方公式 a2-2ab+b2=(a-b)2 利用十字交叉线来分解系数，把 二次三项式分解因式的方法叫做 十字相乘法 定义 十字相乘法 x2+(p+q)x+pq 二次项系数为1型 =(x+p)(x+q) ax2+bx+c 二次项系数不为1型 =(a1X+C1)(a2X+C2) (拓展提高) 其中，a=a1a2,b=a1C2+ a2C1,C=C1C2 将一个多项式的各项适当分组， 定义 先在各组内分解因式，再对整体 作因式分解的方法 分组后要能使因式分解继续进 分组原则 行：①分组后可以提公因式；② 分组后可以运用公式 分组分解法 项数 分组特征 (拓展提高) 分成二项+二项，按字母 或者系数相同的两项分 四项 分成三项+一项，三项进 常见分组方式 行完全平方公式再进行 平方差公式 分成三项+二项，各项之 五项 间进行提公因式 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项，使 添、拆项法 原式适合用提公因式法、公式法或分组分解法分解，必 (拓展了解) 须在与原多项式相等的原则下进行变形 三、常见题型与芳点 考点类别 常见题型 判断变形是否属于因式分解： 例题：下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（) A.x2-4=(x+2)(x-2)B.-mx+my=-m(x+y) 因式分解的 C.x2-x-2=xx-1)-2D.x-2=x(1-) 定义 根据因式分解求参数： 例题：把多项式x2-X+k分解成两个因式（区-m)(区-5）的 积，那么k、m的值分别是（) A.k=20,m=-4B.k=20,m=4 C.k=-20,m=-4D.k=-20,m=4 找多项式各项的公因式： 公因式的确 例题：式子n2-1与n2+n的公因式是() 定 A. n+1B.n2C.n D.n-1 提公因式分解因式： 例题一：用提公因式法分解因式正确的是（) A.12abc 9a2b2c2 3abc(4-3ab) B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y) 提公因式法 C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c) D.x2y+5xy-y=y(x2+5x) 例题二：已知2x+y=2,xy=3,则2x2y+xy2= 判断能否用平方差公式/完全平方公式： 例题：下列各式中，能用平方差公式分解因式的是() A.x2+4y2 B.x2+2x-1 C.-x2-4y2 D.-x2+4y2 运用平方差分解因式： 例题：分解因式：am2-9= 运用完全平方分解因式： 例题：分解因式4x2-4x+1= 公式法 公式法的综合运用： 例题一：无论x、y取何值，多项式+y-2x-4y+6的值总是（) A.正数B.负数C.非负数D.无法确定 例题二：若a2+2a+b2-6b+10=0,则ab的值是() A.-1B.3C.-3D.3 例题三：因式分解：-m+8m-16= 因式分解在有理数简算中的应用： 例题：利用因式分解计算：11×1022-11×98的结果是() A.44B.800C.2200D.8800 分解二次项系数为1的二次三项式： 例题：分解因式：(1)x2-5x+6;(2)x2-9x-10. 十字相乘法 分解二次项系数不为1的二次三项式： 例题：分解因式：(1)6a2-7a-5;(2)-2x2+x+3. 十字相乘中的换元法： 例题：因式分解：(1)(m+n)2-18(m+n)+81; (2)(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4. 分组后提公因式（二二分法）： 例题：将多项式-y+3x-y分解因式的结果为（) A.(x+y+3-y)B.(x-y-3(x-y) 分组分解法 C.(x+y-3(x-)D.(c-y+3(x-y) 分组后运用公式（三一分法）： 例题：分解因式：9x-6g+y2-16 添项法： 例题：分解因式：(1)x+4y;(2)a4+4 添、拆项法 拆项法： 例题：分解因式：(1)x3+9x-10;(2)x3-2x2-5x+6. 先提公因式再套公式： 例题一：分解因式： (1)3x2y-12Xy+12y; 综合运用 (2)x2(y-1)+4(1-y); (3)25(m+2n)2-9(m-2n)2. 因式分解的综合应用（求值、几何问题等）： 例题一：若n为整数，则代数式(3n+3)(n+3)-6的值一定 可以() A.被9整除B.被6整除C.被3整除D.被2整除 例题二：已知x,y,z是△ABC的三边，且满足2Xy+x2= 2yz+z,则△ABC的形状是一· 例题三：如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为a的正方 形场地.场地甲中间有一个边长为b的正方形喷水池，四周为 草坪；场地乙的上方是长为a、宽为b的长方形花卉区，下方 为草坪，那么甲、乙两块场地中草坪面积的比是() a (甲) (乙) A.(a-b):a B.(a-b):(a+b)C.(a+b):a D.(a+b):(a-b) 知识清单 第四章 因式分解 一、因式分解的定义与基本概念 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式； ⚠（1）对象必须是多项式，单项式本身就是积的形式，不需要分解； （2）结果必须是几个整式的积的形式，不能有加减号； （3）分解彻底，每个因式必须分解到不能再分解为止； （4）形式改变但值不变，是恒等变形； 互逆变形 因式分解与整式乘法是互逆变形的关系 整式乘法：m(a + b + c) = ma + mb + mc 因式分解：ma + mb + mc = m(a + b + c) 二、因式分解的基本方法 提公因式法 公因式的概念 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 确定公因式的方法 （1）定系数：取各项系数的最大公约数； ⚠若首项系数为负数，通常先提出“−”号，使括号内第一项系数变为正数，在提出“−”后，多项式的各项都要变号； （2）定字母：取各项都含有的相同字母或相同的多项式因式； ⚠公因式可以是单项式，也可以是多项式； （3）定指数：取相同字母或多项式在各项中的最低次幂； 提公因式法的定义 如果多项式的各项有公因式，把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 公式法 定义 利用乘法公式把某些多项式因式分解的方法叫做公式法 平方差公式 完全平方公式 十字相乘法 定义 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 二次项系数为1型 二次项系数不为1型（拓展提高） 其中，，， 分组分解法（拓展提高） 定义 将一个多项式的各项适当分组，先在各组内分解因式，再对整体作因式分解的方法 分组原则 分组后要能使因式分解继续进行：① 分组后可以提公因式；② 分组后可以运用公式 常见分组方式 项数 分组特征 四项 分成二项+二项，按字母或者系数相同的两项分 分成三项+一项，三项进行完全平方公式再进行平方差公式 五项 分成三项+二项，各项之间进行提公因式 添、拆项法（拓展了解） 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项，使原式适合用提公因式法、公式法或分组分解法分解，必须在与原多项式相等的原则下进行变形 三、常见题型与考点 考点类别 常见题型 因式分解的定义 判断变形是否属于因式分解： 例题：下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 根据因式分解求参数： 例题：把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 公因式的确定 找多项式各项的公因式： 例题：式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 提公因式法 提公因式分解因式： 例题一：用提公因式法分解因式正确的是（ ） A． B． C． D． 例题二：已知，则 ． 公式法 判断能否用平方差公式/完全平方公式： 例题：下列各式中，能用平方差公式分解因式的是　　 A． B． C． D． 运用平方差分解因式： 例题：分解因式： ． 运用完全平方分解因式： 例题：分解因式__________． 公式法的综合运用： 例题一：无论、取何值，多项式的值总是（   ） A． 正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定 例题二：若，则的值是（　　） A． ﹣1 B．3 C．﹣3 D． 例题三：因式分解： ． 因式分解在有理数简算中的应用： 例题：利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 十字相乘法 分解二次项系数为1的二次三项式： 例题：分解因式：(1)；(2)． 分解二次项系数不为1的二次三项式： 例题：分解因式：(1)；(2)． 十字相乘中的换元法： 例题：因式分解：(1) ； (2) ． 分组分解法 分组后提公因式（二二分法）： 例题：将多项式分解因式的结果为（　　） A． B． C． D． 分组后运用公式（三一分法）： 例题：分解因式： 添、拆项法 添项法： 例题：分解因式：(1)；(2) 拆项法： 例题：分解因式：(1)；(2)． 综合运用 先提公因式再套公式： 例题一：分解因式： (1)； (2)； (3)． 因式分解的综合应用（求值、几何问题等）： 例题一：若为整数，则代数式的值一定可以（   ） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 例题二：已知，，是的三边，且满足，则的形状是 ． 例题三：如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为 的正方形场地．场地甲中间有一个边长为 的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为 、宽为 的长方形花卉区，下方为草坪．那么甲、乙两块场地中草坪面积的比是 （    ） A． B． C． D．． 学科网（北京）股份有限公司 $知识清 单 第四章因式分解 一、因式分解的定义与基本概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫 做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式； △(1)对象必须是多项式，单项式本身就是积的形 式，不需要分解； 定义 (2)结果必须是几个整式的积的形式，不能有加减 号； (3)分解彻底，每个因式必须分解到不能再分解为 止； (4)形式改变但值不变，是恒等变形； 因式分解与整式乘法是互逆变形的关系 互逆变形 整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc 因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、因式分解的基本方法 提公因式法 多项式各项都含有的相同因式， 公因式的概念 叫做这个多项式各项的公因式 确定公因式的方法 (1)定系数：取各项系数的最 大公约数； △若首项系数为负数，通常先提 出“_”号，使括号内第一项系 数变为正数，在提出“-”后， 多项式的各项都要变号； (2)定字母：取各项都含有的 相同字母或相同的多项式因式； △公因式可以是单项式，也可以 是多项式； (3)定指数：取相同字母或多 项式在各项中的最低次幂； 如果多项式的各项有公因式，把 这个公因式提取出来，将多项式 提公因式法的定义 写成公因式与另一个因式的乘积 的形式，这种分解因式的方法叫 做提公因式法 利用乘法公式把某些多项式因式 定义 分解的方法叫做公式法 公式法 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b2 完全平方公式 a2-2ab+b2=(a-b2 十字相乘法 定义 利用十字交又线来分解系数，把 二次三项式分解因式的方法叫做 十字相乘法 二次项系数为1型 x2+(p+q)x+pq i(x+p)(x+q) 二次项系数不为1型 ax+bx+c i(ajx+c)(azx+c2) (拓展提高) 其中，a=a1a2,b=a1C2+a,C1,c=C1C2 将一个多项式的各项适当分组， 定义 先在各组内分解因式，再对整体 作因式分解的方法 分组后要能使因式分解继续进 分组原则 行：①分组后可以提公因式； ②分组后可以运用公式 分组分解法 项数 分组特征 (拓展提 分成二项+二项，按字 高) 母或者系数相同的两项 分 四项 常见分组方式 分成三项十一项，三项 进行完全平方公式再进 行平方差公式 分成三项+二项，各项 五项 之间进行提公因式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项， (拓展了 使原式适合用提公因式法、公式法或分组分解法分 解) 解，必须在与原多项式相等的原则下进行变形 三、常见题型与考点 考点类别 常见题型 因式分解的 判断变形是否属于因式分解： 定义 例题：下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（) A.x2-4=x+2x-2)B.-mx+my=-m(x+y C.发-x2=x12D.×-2=h-名 【答案】A 【解答】A、x2-4=x+2x-2符合因式分解的定义，符合题 意； B、-mx+my=-mx-y,不符合题意； C、x2-x-2=xx-1-2中等号右边不是积的形式，不符合题 意； D、 x-2=x1-2 中为分式，不特合题意； 故选：A 根据因式分解求参数： 例题：把多项式x2-x+k分解成两个因式x-m)x-5的积，那么 k、m的值分别是（) A.k=20,m=-4B.k=20,m=4 C.k=-20,m=-4D.k=-20,m=4 【答案】C 【解答】(x-mx-5=x2-5x-mx+5m=x2-(5+mx+5m, 由于多项式x-x+k跟上式是同一个式子，所以同类项的系数相 等， 可得：-5+m=-1,k=5m, 解得：m=-4,k=-20, 故选：C 找多项式各项的公因式： 例题：式子n2-1与n+n的公因式是（) A.n+1 B.n2C.n D.n-1 公因式的确 【答案】A 定 【解答】：n2-1=n+1n-1;n2+n=nn+1, ∴.式子n2-1与n+n的公因式是n+1, 故选：A 提公因式法 提公因式分解因式： 例题一：用提公因式法分解因式正确的是() A.12abc-9a2b2c2=3abc(4-3ab) B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y) C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c) D.x2y+5xy-y=y(x2+5x) 【答案】C 【解答】A、12abc-9ab2c2=3abc(4-3abc),故本选项错误； B、3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2),故本选项错误； C、-a+ab-ac=-a(a-b+c,正确； D、x2y+5xy-y=y(X+5x-1),故本选项错误. 故选：C 例题二：已知2x+y=2,y=3,则2x2y+xy2=t 【答案】6 【解答】2xXy+xy2=xy2x+y, 将2x+y=2,xy=3代入上式，2xy+xy2=3×2=6, 故答案为：6， 判断能否用平方差公式/完全平方公式： 例题：下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( A.x2+4y2B.x2+2x-1 C.-x2-4y2 D.-x2+4y2 【答案】D 【解答】A、x2+4y是两项之和，不能用平方差公式分解，故 不合题意； 公式法 B、x2+2x-1有三项，不能用平方差公式分解，故不合题意； C、-x-4y是两项之和，不能用平方差公式分解，故不合题 意； D、-x2+4y2=(2y+x)(2y-x)能用平方差公式分解因式，故符合 题意； 故选：D 运用平方差分解因式： 例题：分解因式：am2-9=d 【答案】am+3am-3 【解答】a2m2-9=am2-32=am+3am-3, 故答案为：am+3am-3. 运用完全平方分解因式： 例题：分解因式4x2-4x+1=i 【答案】(2x-12 【解答】4x-4x+1=2x2-4x+12=2x-12, 故答案为：(2x-12. 公式法的综合运用： 例题一：无论x、y取何值，多项式+少-2x-4y+6的值总是 （) A.正数B.负数C.非负数D.无法确定 【答案】A 【 解 答 】 x2+y2-2x-4y+6=x2-2x+1+y2-4y+4+1=(x-1)2+(y-2)2+1 .多项式的值总是正数 故选：A. 例题二：若a2+2a+b-6b+10=0,则ab的值是（) A.-1 B.3C.-3D. 【答案】 【解答】a2+2a+b2-6b+10=0, .∴.（a+1)2+(b-3)2=0, ∴.a=-1,b=3, ba=3-1=》 故选D. 例题三： 因式分解：-m+8m2-16= 【答案】-(m+22(m-22 【解答】-m+8m2-16=-(m-8m2+16)=-(m2-42=-(m+22(m-22 故答案为：-(m+22(m-22. 因式分解在有理数简算中的应用： 例题：利用因式分解计算：11×102-11×98的结果是() A.44B.800C.2200D.8800 【答案】D 【解答】11×1022-11×982=11×(1022-982) 11×(102+98)(102-98)=11×200×4=8800 故选：D 十字相乘法 分解二次项系数为1的二次三项式： 例题：分解因式：(1)x2-5x+6;(2)x2-9x-10. 【答案】(1)x-2x-3(2)(x-10)(x+1) 【解答】(1)解：x2-5x+6=x-2x-3; (2)解：x2-9x-10=(x-10)(x+1). 分解二次项系数不为1的二次三项式： 例题：分解因式：(1)6a2-7a-5;(2)-2x2+x+3. 【答案】(1)(2a+1)(3a-5)(2)-(2x-3)(x+1) 【解答】(1)解：原式(2a+1)(3a-5); (2)解：原式d-2x2-x-3=-(2x-3)(x+1. 十字相乘中的换元法： 例题：因式分解：(1)(m+n2-18(m+n)+81; (2)(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4. 【答案】(1)(m+n)2-18(m+n)+81=(m+n-92 (2)(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4=x-24 【解答】1)解：(m+n2-18(m+n)+81, 设m+n=x,则原式dx2-18x+81=(x-92=(m+n-9)2, ∴.(m+n-18(m+n)+81=(m+n-92; (2)解：(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4, 设x2-4x=m,则原式m+2m+6+4 im2+8m+16=m+42 x2-4x+42=x-24; .(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4=x-2 分组分解法 分组后提公因式（二二分法）： 例题：将多项式-+3x-3y分解因式的结果为() A.(x+y+3(x-川B.(x-y-3-y川 C.(x+y-3x-川D.(x-y+3x-y川 【答案】A 【解答】解：x2-y2+3x-3y i(x+y)(x-y)+3(x-y) i(x-y)(x+y+3) 故选：A 分组后运用公式（三一分法）： 例题：分解因式：9x-6gy+y-16 【答案】(3x-y+4)(3x-y-4) 【解答】9x2-6xy+y2-16 i(9x2-6xy+y2)-16 (3x-y)2-42 i(3x-y+4)(3x-y-4); 添项法： 例题：分解因式：(1)x+4y;(2)a+4 【答案】(1)x2+2y2+2xyx2+2y2-2y (2)a2+2a+2a2-2a+2 【解答】(1)解：x4+4y ix4+4x2y2+4y4-4x2y2 x2+2y2-4x2y2 添、拆项法 i(x2+2y2+2xyx2+2y2-2xy). (2)解：a4+4 ia4+4a+4-4a2, ta2+22-2a2, ia2+2a+2a2-2a+2. 拆项法： 例题：分解因式：(1)x3+9x-10;(2)x3-2x2-5x+6. 【答案】(1x-1x2+x+10(2)x-3x+2x-1 【解答】(1)解：x2+9x-10 ix3-x2+x2+9x-10 ix2x-1+x-1x+10 ix-1x2+x+10; (2)解：x3-2x2-5x+6 ix3-3x2+x2-5x+6 (x2x-3+x-2x-3 i(x-3x+x-2 ix-3x+2x-1. 综合运用 先提公因式再套公式： 例题一：分解因式： (1)3x2y-12xy+12y; (2)x2y-1+41-y1; (3)25m+2n2-9m-2n2. 【答案】(1)3yx-22 (2)y-1(x+2x-2 (3)8(2m+n(m+8n) 【解答】(1)解：3x2y-12xy+12y i3yx2-4x+4 i3yx-22; (2）解：x2y-1+41-y y-1x-4 y-1x+2x-2; (3)解：25m+2n2-9m-2n2 i5(m+2n)+3(m-2n5(m+2n)-3(m-2n)) 8m+4n2m+16n 82m+nm+8n. 因式分解的综合应用（求值、几何问题等）： 例题一：若n为整数，则代数式3n+3n+3-6的值一定可以 () A.被9整除B.被6整除C.被3整除D.被2整除 【答案】C 【解答】因为3n+3jn+3-6 i3n2+12n+9-6 3n+12n+3 i3n2+4n+1, 所以该代数式的值一定可以被3整除. 故选：C 例题二：已知x,y,z是△ABC的三边，且满足2xy+x=2yz+z, 则△ABC的形状是 【答案】等腰三角形 【解答】2xy+x2=2yz+z2, ∴.2xy+x2-2yz-z2=0, 因式分解得：(x-z(x+z+2y)=0, x,y,z是△ABC的三边， .∴.X+z+2y≠0， .∴.X-z=0, ∴X=z, .△ABC是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形 例题三：如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为a的正方 形场地.场地甲中间有一个边长为b的正方形喷水池，四周为 草坪；场地乙的上方是长为a、宽为b的长方形花卉区，下方 为草坪，那么甲、乙两块场地中草坪面积的比是() (甲) (乙) A.(a-b):a B.(a-b):(a+b)C.(a+b):a D.(a+b):(a-b) 【答案】C 【解答】解：甲中草坪面积为a2-b,乙中草坪面积为a(a-b), .甲、乙两块场地中草坪面积的比是 (aii2-b2):fa(a-b)=(a+b):ai, 故选：C