题号猜押07 江苏无锡中考数学26题（3大考点，解答题）（江苏专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押07 江苏无锡中考数学26题（解答题） 考点1 一次函数的应用 1．（2025•梁溪区•校级一模）中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如下表： 价格 甲 乙 丙 批发价（元/套） 25 ____ ____ 零售价（元/套） 30 25 35 （1）已知小张第一次批发购进乙260套，丙200套，共花费7900元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价； （2）在（1）的条件下，由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售额全部用于第二次批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高20%，丙的批发价每套比原来下降40%．设第二次销售完这三种文具套装所得利润为w元，当甲的数量不少于130套时，求w的最大值． 2．（2025•江阴市•模拟）（1）【阅读理解】倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含A、B两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台A型机器人和1台B型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台B型机器人先工作5小时后，再加入1台A型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台A型机器人和1台B型机器人每小时各处理垃圾多少吨？分析可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系． 由图可得如下的数量关系： ①1台A型10小时的垃圾处理量+1台B型10小时的垃圾处理量＝5吨； ②　　+　　＝5吨； （2）【问题解决】请你通过列方程（组）解答（1）中的问题； （3）【拓展提升】据市场调研，机器人公司对A、B两款机器人的报价如表：若垃圾处理厂采购的这批机器人（A、B两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？ 型号 A型 B型 报价（万元/台） 20 14 3．（2025·宿迁·模拟）利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元．每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件． （1）甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？ （2）若购进这100件服装的费用不得超过7500元． ①求甲种服装最多购进多少件； ②利群商场对甲种服装每件降价a（0＜a＜40）元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？ 考点2 二次函数的应用 1．（2025·锡山区·校级二模）某烘焙店销售一款蛋糕，经市场调查发现，这种蛋糕的周销量y（个）是售价x（元/个）的一次函数．现已知售价，周销量，周销售利润的部分数据如下表所示： 售价（元/个） … 15 16 17 … 周销量（个） … 500 480 b … 周销售利润（元） … 2500 a c … （1）a＝　　，b＝　　，c＝　　； （2）当周销售利润最大，求蛋糕的售价；【周销售利润＝（售价﹣成本）×销售量】 （3）由于受俄乌危机，导致原材料的价格大幅上升，从下周开始，蛋糕成本价每个上涨m元（m＞0），同时为了留住客源，蛋糕售价将不超过20元/件．若周销量与售价的函数关系不变，且下周总利润最高为3200元，求m的值． 2．（2025·江阴市·一模）某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系如图所示： （1）求每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式；（毛利润＝销售总额﹣进货成本） （2）受市场影响，服装的定价不能超过52元，则每件服装的销售价为多少元时，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 3．（2025•梁溪区•一模）果农小艺欣喜地发现，北京市农科院林业果树研究所培育的草莓“白雪公主”每亩投入种植成本36000元，亩产量可达到1000～2000kg，预计市场售价不低于60元/kg．小艺信心大增，在原有的50亩A试验田种植规模上再增加了50亩B试验田全部种植该草莓．收获时发现，由于土地肥力原因，B试验田的亩产量是A试验田亩产量的1.5倍．若同样收获3600kg该草莓所占用试验田B比A少1亩．小艺将A试验田采摘的1kg该草莓和B试验田采摘的4kg该草莓混合装箱出售．已知采摘及装箱的人工等成本平均为8元/kg．经市场调查发现，该草莓每销售价是300元时，每天可以销售100箱；若每涨价5元，则每天少销售2箱． （1）A、B两种试验田的亩产量分别是多少？ （2）若每箱的售价不超过400元，请求出定价多少元/箱时，每天可获得最大利润是多少元？ 考点3 相似的实际应用 1．（2026·海门区·校级模拟）某校社会实践小组为了测量花丛中路灯AB的高度，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为1.7m的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，路灯的顶端点A正好在同一直线上，测得ED＝3m，将标杆向后平移5m到达点G处，这时地面上的点H，标杆的顶端点F，路灯的顶端点A正好在同一直线上，这时测得GH＝5m，请你根据以上数据，计算花丛中路灯AB的高度． 2．（2025·江宁区·校级二模）如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走a m到点B． （1）若他在点A处的影长为1.8m，他的身高为1.5m，路灯高P距离地面的高度为3m，求此时他到路灯的水平距离AQ； （2）已知他在点A，B处的影长之差为b m，他的身高为h m，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 3．（2026·宜兴市·一模）某校数学研究性学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动． 【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具 【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图．测得该斜坡坡度i＝1：2.4，BM段为水平路面，B点位置设有指示牌BP，它与地面垂直． 【活动过程】 活动1：如图①所示，学习小组测得斜坡AB长为39米． （1）求斜坡BH的高度； 活动2：如图②所示，当学习小组的指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点D处，他的眼睛到斜坡的距离FD为1.2米．李老师平视前方（视线与斜坡AB平行），他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端Q点． （2）求指示牌牌杆BQ的高度； 活动3：如图③，矩形ECKG为一辆大巴车的侧面示意图，CK长为10米，EC长为3.2米．李老师利用大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点K与点B重合．李老师发现当他位于D点与大巴车车尾C点相距15米时，他透过点E刚巧能看到指示路牌的顶端P点． （3）求指示牌BP的高度． 1．（2025·无锡·校级模拟）学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶思想情操，展示才华智慧的舞台．某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，鼓励学生积极参与社团活动．与此同时，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品．经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元，购买1个A种奖品和4个B种奖品需花费88元． （1）求A，B两种奖品的单价； （2）学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍．设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？ 2．（2026·海州区·校级模拟）某中学开展爱心义卖活动，推出A，B两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个A款帆布袋和3个B款帆布袋共需31元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需34元． （1）求A，B两款帆布袋的单价分别为多少元； （2）某老师决定购买A，B两款帆布袋共12个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的．当购买A，B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 3．（2025•梁溪区•二模）某校要组建无人机社团，今年计划采购A、B两种型号的无人机共40架．其中A型无人机的抗损耐用率为80%，B型无人机的抗损耐用率为95%．已知若采购10架A型号、30架B型号无人机需要11000元；若采购20架A型号、20架B型号无人机需要10000元．（注：无人机的抗损耐用率指无人机在遭受碰撞或摔落等意外情况后仍能正常使用的比例．） （1）采购每架A型无人机和每架B型无人机各需要多少元？ （2）社团要求这两种无人机的总抗损耐用率不低于85%，请问如何购买可以使得采购费用最低？ 4．（2026•江阴市•一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质秤杆、一个秤盘（重量50g）、一个秤砣（重量200g）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图，设所称物体重量为xg，则秤盘及物体的总质量为（x+50）g，秤盘到提纽的水平距离AB＝acm．秤砣到提纽的距离BC＝ycm．当秤杆平衡时，得（x+50）•a＝200y． 【尝试操作】 （1）若取AB＝10cm，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时BO的长． 【数学建模】 （2）在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 （3）杆秤可用的长度AD＝100cm，为了保证杆秤的最大刻度不小于2kg，请计算说明a的取值范围． 5．（2025·新吴区·二模）某水果店对一款成本价为每盒30元的车厘子进行销售，如果按每盒40元销售，每天可卖出50盒．通过市场调查发现，每盒售价每上涨1元，则日销售量减少1盒． （1）若该水果店某天销售车厘子的盈利为800元，求每盒车厘子的售价； （2）当每盒车厘子的售价定为多少元时，该水果店销售车厘子可以获得最大日利润？并求出最大日利润． 6．（2025•无锡•一模）《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入﹣运营成本） 7．（2025•滨湖区•二模）某网店专门销售某种品牌的笔筒，成本为20元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图，其中规定每天笔筒的销售量不低于210件． （1）写出y与x之间的函数关系式　　； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 8．（2025•无锡•二模）五月，正值花果繁茂时节，某市的枇杷新鲜上市．小明以32元/千克的价格购进一批枇杷进行销售，运输成本是6元/千克（运输费用按照进货质量计算），运输过程中枇杷将损坏5%，损坏的枇杷无法销售，完好的枇杷均销售完，假设不计其他费用． （1）小明把购进的枇杷售完至少定价为多少元才不会亏本？ （2）在销售过程中，商店发现每天枇杷的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，若每天销量至少36千克，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？ 9．（2025•锡山区•一模）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 50≤x≤60 60＜x≤80 销售量（件） 100 400﹣5x ①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件m（m＞30）元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值． 10．（2025·连云港·一模）李老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树AB根部8m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2m，观测者目高CD＝1.75m，则树高AB约是多少米？ 11．（2025·通州区·一模）如图，已知零件的外径为8cm，现用一个交叉卡钳测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝2，且量得CD＝3cm，求AB的长及零件的厚度x（cm）． 12．（2026·连云港·模拟）如图，马路两侧有高度相同灯杆AB、CD，当小明站在两灯杆之间的点N处时，在灯C的照射下小明的影长为NF，在灯A的照射下小明的影长为NE．测得两路灯间距离BD＝21米，小明身高MN＝1.6米，NF＝4米，NE＝3米，求灯杆的高度． 13．（2025·镇江·一模）如图，路灯AB、树CD的底端与小明的站位点E在同一条直线上，灯（点B）、树顶D、小明的头顶F这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点E重合，小明的影长EH为3米，已知小明的身高为1.75米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？ 14．（2026·惠山区·一模）根据以下素材，完成问题： 【素材1】图1是某高架入口的横断面示意图．高架路面用BQ表示，地面用AP表示，斜坡用AB表示．已知BQ∥AP，高架路面BQ离地面的距离BN为21m，斜坡AB长为75m． 【素材2】图2中的矩形CDEF为一辆大巴车的侧面示意图，车长CF为10m，车高EF为3.6m． 【素材3】图3是素材1中的斜坡局部示意图，素材2中的大巴车停在该斜坡上，矩形CDEF的顶点F与点B重合，点B与指示路牌底端M点之间的距离BM为6.25m，且BM⊥BQ． 【素材4】小李驾驶一辆轿车跟随大巴车行驶，他的眼睛到斜坡的距离GH为1.2m． 问题1：如图1，求tan∠BAN； 问题2：如图3，当点H，D与指示牌底端M在同一条直线上，试求小李距大巴车尾DC的距离CG． 15．（2026·新吴区·一模）问题情境：镜子可以帮助我们整仪表、正衣冠、端品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． 【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段AB表示人的身高，其中点A表示头顶，点B表示脚底，点C表示眼睛（位于AB上），MN表示平面镜，线段A′B′表示AB在镜中的虚像．设人的身高AB为x，能看到全身像的最短镜子长度EF为y，求y与x之间的函数表达式． 【探究二】 如图2，现购买了一面90cm长的镜子并安装在墙上．小亮身高为180cm，他正立在镜子前某处，眼睛C却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为70cm．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． 【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为h1cm，最高为h2cm．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为h3cm．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含h1、h2、h3的代数式表示） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押07 江苏无锡中考数学26题（解答题） 考点1 一次函数的应用 1． 【答案】（1）乙每套的批发价为15元，丙每套的批发价为20元；（2）w的最大值为10860． 【详解】解：（1）乙每套的批发价为x元，丙每套的批发价为y元． 由题意可得：，解得：， ∴乙每套的批发价为15元，丙每套的批发价为20元， 故答案为：15，20； （2）第一次的销售额为25×260+35×200＝13500（元）， 第二次乙每套的批发价为15×（1+20%）＝18（元）， 第二次丙每套的批发价为20×（1﹣40%）＝12（元）， 设第二次购进甲a套，购进乙、丙各b套， 由题意可得：25a+18b+12b＝13500，整理得：25a+30b＝13500， ∴b＝450， ∴w＝（30﹣25）a+（25﹣18）b+（35﹣12）b＝5a+30b＝﹣20a+13500， ∵﹣20＜0， ∴w随a的减小而增大， ∵b为非负整数， ∴a≥130且a为6的整数倍， ∴当a＝132时w的值最大，w最大＝﹣20×132+13500＝10860． 2． 【答案】（1）1台A型8小时的垃圾处理量，1台B型13小时的垃圾处理量； （2）1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨； （3）当采购A型机器人66台，B型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元． 【详解】解：（1）根据第二个线段图可得： 1台A型8小时的垃圾处理量+1台B型13小时的垃圾处理量＝5吨； 故答案为：1台A型8小时的垃圾处理量，1台B型13小时的垃圾处理量； （2）设1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾x吨和y吨， 由题意可得：，解得：， 答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨； （3）设采购A型机器人t台，则采购B型机器人100﹣1.5t（台）， 由题意可得：，解得：40≤t≤66（t为整数）， 由题意可得：采购费用为：20t+14（100﹣1.5t）＝1400﹣t， ∴当t＝66时，采购费用最低，为1400﹣66＝1334（万元）， ∴100﹣1.5t＝1， 答：当采购A型机器人66台，B型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元． 3． 【答案】（1）甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元； （2）①甲种服装最多购进75件； ②当0＜a＜10时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当a＝10时，所有进货方案利润都是4000元；当10＜a＜40时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大． 【详解】解：（1）设甲种服装每件的进价m元，则乙种服装每件的进价（m﹣20）元， 由题意可得：3m＝4（m﹣20），解得：m＝80， ∴m﹣20＝80﹣20＝60， ∴甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元； （2）①设甲种服装购进x件， ∵甲种服装不少于65件，购进这100件服装的费用不得超过7500元， ∴，解得：65≤x≤75； ∴甲种服装最多购进75件； ②设获得利润为y元， 由题意可得：y＝（130﹣a﹣80）x+（100﹣60）（100﹣x）＝（10﹣a）x+4000， 当0＜a＜10时，y随x的增大而增大， ∴当x＝75时，y取最大值，此时购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大； 当a＝10时，所有进货方案利润都是4000元； 当10＜a＜40时，y随x增大而减小， ∴当x＝65时，y取最大值，此时购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大； 综上，当0＜a＜10时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当a＝10时，所有进货方案利润都是4000元；当10＜a＜40时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大． 考点2 二次函数的应用 1． 【答案】（1）2880，460，3220；（2）当周销售量最大时，面包的售价为25元；（3）2． 【详解】解：（1）设y＝kx+n（k≠0）， 由表格可得：，解得：， ∴y＝﹣20x+800， ∴每个成本为：15﹣2500÷500＝10（元）， ∴a＝480×（16﹣10）＝2880， b＝﹣20×17+800＝460， c＝460×（17﹣10）＝3220， 故答案为：2880，460，3220； （2）由题意可得：w＝（x﹣10）（﹣20x+800）＝﹣20（x﹣25）2+4500， ∴当x＝25时，w有最大值4500元， 答：当周销售量最大时，面包的售价为25元； （3）设周销售利润为w（元）， 由题意可得：w＝（x﹣10﹣m）（﹣20x+800）＝﹣20x2+（1000+20m）x﹣800（10+m）， ∴对称轴， ∵x≤20， ∴当x＝20时，w有最大值400（10﹣m）＝3200， ∴m＝2． 2． 【答案】（1）函数表达式为yx2+165x﹣4284； （2）每件服装的销售价为52元时，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是240元． 【详解】解：（1）设每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t＝kx+b， 把（50，27），（52，24）代入解析式得：，解得：， ∴tx+102， 由题意可得：y＝（x﹣42）t＝（x﹣42）（x+102）x2+165x﹣4284． ∴每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式为yx2+165x﹣4284； （2）yx2+165x﹣4284（x﹣55）2+253.5， ∵0， ∴x＜55时，y随x的增大而增大， ∵服装的定价不能超过52元， ∴x≤52， ∴x＝52时，y最大，最大值为240， 答：每件服装的销售价为52元时，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是240元． 3． 【答案】（1）A、B两种试验田的亩产量分别是1200千克、1800千克； （2）定价350元/箱时，每天可获得最大利润是16000元． 【详解】解：（1）设A试验田的亩产量为a千克， 由题意可得：，解得：a＝1200， 经检验：a＝1200是原分式方程的解， ∴1.5a＝1800， 答：A、B两种试验田的亩产量分别是1200千克、1800千克； （2）设定价为x元，每天的利润为y元， ∵每亩投入种植成本36000元， ∴A试验田每千克的成本为：36000÷1200＝30（元），B试验田每千克的成本为：36000÷1800＝20（元）， ∴混合装箱后每箱的成本为：30+4×20+8×5＝150（元）， 由题意可得：y＝（x﹣150）[100（x﹣300）]x2+280x﹣33000， ∴对称轴为：x350， ∵0，300≤x≤400， ∴当x＝350时，y取最大值，为16000元， 答：定价350元/箱时，每天可获得最大利润是16000元． 考点3 相似的实际应用 1． 【答案】花丛中路灯AB的高度5.95米． 【详解】解：∵DC∥AB， ∴△EDC∽△EBA， ∴， ∵FG∥AB， ∴△FHG∽△AHB， ∴， ∵DC＝FG， ∴， ∵ED＝3m，DG＝GH＝5 m， ∴， ∴BD＝7.5（m），经检验符合题意， ∵， ∴， ∴AB＝5.95（m），经检验符合题意， 答：花丛中路灯AB的高度5.95米． 2．． 【答案】（1）1.8m；（2）． 【详解】（1）证明：∵AC∥PQ， ∴△ACE∽△QPE， ∴，即， ∴EQ＝3.6， ∴AQ＝EQ﹣AE＝1.8； （2）解：如图，过点C作CG∥PF，交EF于点G， ∵CG∥PF， ∴∠AGC＝∠F， 在△ACG和△BDF中， ， ∴△ACG≌△BDF（AAS）， ∴AG＝BF， ∴EG＝AE﹣AG＝AE﹣BF＝b， ∵CG∥PF， ∴， ∵∠CAE＝∠PQE＝90°，∠E＝∠E， ∴△ACE∽△QPE， ∴， ∴， ∴路灯P离地面的高度为． 3． 【答案】（1）15米；（2）1.3米；（3）5.2米． 【详解】解：（1）如图，过点B作BH⊥地面，垂足为H，则∠AHB＝90°， 由题意可得：， 设BH＝5x，AH＝12x， 则（5x）2+（12x）2＝392，解得：x＝3， ∴BH＝15米； （2）如图，过点B作BK⊥FQ，交FQ于点K，BE⊥地面， ∴四边形FDBK是矩形， ∴BK＝DF＝1.2米，∠KBD＝90°， ∴∠ABE+∠KBQ＝90°， ∵∠E＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠KBQ， 由题意可得：， ∴， ∴BQ＝1.3米； （3）如图，作PO⊥DB交DB的延长线于点O，作FQ⊥PO于点Q，交CE于点R，则四边形CRQO为矩形，四边形FDCR为矩形， ∴RQ＝CO，FR＝DC＝15米，FD＝CR＝OQ＝1.2 米， ∴ER＝3.2﹣1.2＝2 米， ∵∠ABH＝∠PBO，∠O＝∠H＝90°， ∴， ∴设OB＝5x，OP＝12x，BP＝13x， ∴PQ＝OP﹣OQ＝12x﹣1.2，FQ＝OD＝CD+CB+BO＝25+5x． ∵ER⊥AB，PQ⊥AB， ∴ER∥PQ， ∴△FER∽△FPQ， ∴， ∴，解得：x＝0.4． ∴BP＝13x＝5.2米． 1． 【答案】（1）A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元； （2）购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少为1288元． 【详解】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 由题意可得：，解得：． 答：A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元； （2）设花费w元，购买B种奖品（60﹣a）个， ∵a＞2（60﹣a）， ∴a＞40， 由题意可得：w＝24a+16（60﹣a）＝8a+960， ∵8＞0， ∴w随a的增大而增大， ∵a为正整数， ∴a取最小值41时，w有最小值，w的最小值为8×41+960＝1288（元）， ∴60﹣a＝19， 答：购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少为1288元． 2． 【答案】（1）A，B两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）当购买A款帆布袋4个，B款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元． 【详解】解：（1）设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元， 由题意可得：，解得：， ∴A，B两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）设购买A款帆布袋m个，则购买B款帆布袋（12﹣m）个，设总费用为w元， ∴w＝8m+5（12﹣m）＝3m+60， ∵3＞0， ∴w随m的增大而增大． ∵购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的， ∴， ∴m≥4且m为正整数， ∴当m＝4时，w有最小值，最小值为3×4+60＝72，此时12﹣m＝12﹣4＝8， ∴购买A，B两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 3． 【答案】（1）每架A型无人机200元，每架B型无人机300元； （2）当采购A型无人机26架，则采购B型无人机14架时采购费用最低． 【详解】解：（1）设每架A型无人机x元，每架B型无人机y元， 由题意可得：，解得：， 答：每架A型无人机200元，每架B型无人机300元； （2）设采购A型无人机a架，则采购B型无人机（40﹣a）架， 由题意可得：0.85，解得：a26.67， 设总费用为w元，则w＝200a+300（40﹣a）＝12000﹣100a， ∵﹣100＜0， ∴w随a的增大而减小， ∵a为正整数， ∴a最大值为26， ∴w的最小值为12000﹣100×26＝9400（元）， ∴40﹣a＝14， 答：当采购A型无人机26架，则采购B型无人机14架时采购费用最低． 4． 【答案】（1）BO的长为2.5cm；（2）y＝0.05x+2.5；杆秤上的刻度线是均匀的；（3）0＜a． 【详解】解：（1）由题意可知：秤盘为空时，所称物体重量x＝0， ∵（x+50）•a＝200y， ∴（0+50）×10＝200y， ∴y＝2.5，即BO＝2.5cm， 答：此时BO的长为2.5cm； （2）∵（x+50）•a＝200y， ∴代入a＝10得：10（x+50）＝200y， ∴y＝0.05x+2.5， ∴该函数为一次函数，k＝0.05＞0， ∴当x每增加相同的数值时，y的增加量恒为0.05×增量值，保持不变， 答：y与x的函数关系式为y＝0.05x+2.5；杆秤上的刻度线是均匀的； （3）∵秤砣的最大活动范围AD＝100cm， ∴AD＝AB+BO最大，即秤砣到提纽的最大距离y≤100﹣a， ∴当称重x＝2000g时，秤砣位置需满足：（2000+50）•a≤200（100﹣a）， ∴a， 又∵a为正数且需能承载秤盘， ∴0＜a． 5． 【答案】（1）每盒车厘子售价为50元或70元； （2）当每盒车厘子售价60元时，可以获得最大日利润为900元． 【详解】解：（1）设每盒车厘子售价x元， ∴（x﹣30）[50﹣（x﹣40）]＝800． ∴x1＝50，x2＝70， 答：每盒车厘子售价为50元或70元； （2）设每盒车厘子售价为m元，利润为w元， ∴w＝（m﹣30）[50﹣（m﹣40）]＝﹣（m﹣60）2+900， ∴当m＝60时，w有最大值900， 答：当每盒车厘子售价60元时，可以获得最大日利润为900元． 6． 【答案】（1）y＝﹣4x+320（30≤x≤80，且x是整数）； （2）该影院IMAX厅将电影票售价x定为50元时，该厅每场的获利最大． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b， 由题意可得：，解得：， ∴y＝﹣4x+320（30≤x≤80，且x是整数）； （2）设该厅每场的获利为w元， 由题意可得：w＝（﹣4x+320）（x﹣20）﹣2000＝﹣4x2+400x﹣8400＝﹣4（x﹣50）2+1600， ∵﹣4＜0，30≤x≤80， ∴当x＝50时，w最大值，最大值为1600， 答：该影院IMAX厅将电影票售价x定为50元时，该厅每场的获利最大． 7． 【答案】（1）y＝﹣10x+600；（2）当销售单价为39元时，每天获取的利润最大，最大利润是3990元． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 由题意可得：，解得：k＝﹣10，b＝600， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+600， 故答案为：y＝﹣10x+600； （2）设利润为w元， 由题意可得：w＝（x﹣20）y ＝（x﹣20）（﹣10x+600） ＝﹣10（x﹣20）（x﹣60） ＝﹣10（x2﹣80x+1200） ＝﹣10（x﹣40）2+4000， ∵每天笔筒的销售量不低于210件， ∴﹣10x+600≥210，解得：x≤39， ∵a＝﹣10＜0， ∴x＝39时，w最大＝3990， ∴当销售单价为39元时，每天获取的利润最大，最大利润是3990元． 8． 【答案】（1）至少40元/千克；（2）当销售单价定为52元/千克时，每天获得的利润是432元． 【详解】解：（1）设购进枇杷a千克，枇杷定价每千克x元水果商才不亏本， 由题意可得：xa（1﹣5%）≥a（32+6），解得：x≥40， 答：至少40元/千克才不亏本； （2）设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b， ∵图象过（35，70），（25，90）， ∴，解得：． ∴销售量y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣2x+140，每天销量至少36千克， ∴﹣2x+140≥36，解得：x≤52， 由（1）可知：每千克枇杷的平均成本为40元， 由题意可得：w＝（x﹣40）（﹣2x+140）＝﹣2x2+220x﹣5600＝﹣2（x﹣55）2+450， ∵﹣2＜0，开口向下， ∴当x≤55时，w随x的增大而增大， ∵x≤52， ∴当x＝52时，w有最大值，最大值为432元， 答：当销售单价定为52元/千克时，每天获得的利润是432元． 9． 【答案】（1）A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元； （2）①当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元；②m＝32． 【详解】解：（1）设B纪念品每件的进价是b元，则A纪念品每件的进价是（b+30）元， 由题意可得：，解得：b＝20， 经检验：b＝20是原方程的解， 当b＝20时，b+30＝20+30＝50， ∴A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元； （2）①设利润为w元，由表格可得： 当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000， ∵k＝100＞0， ∴w随着x的增大而增大， ∴当售价为：60元时，利润最大为：100×60﹣5000＝1000元； 当60＜x≤80时，w＝（x﹣50）（400﹣5x）＝﹣5x2+650x﹣20000＝﹣5（x﹣65）2+1125， ∵a＝﹣5＜0， ∴当x＝65时，利润最大为：1125元； 综上，当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元． ②设该商场购进A型纪念品a件，则购进B型纪念品（200﹣a）件， 由题意可得：50≤a＜200﹣a，解得：50≤a＜100， 由表格可知：400﹣5x＝a，则x＝80， 设A，B型纪念品均全部售出后获得的总利润为y元， 由题意可得：y＝（80a﹣50）a+（m﹣20）（200﹣a）， 整理得：ya2+（50﹣m）a+200m﹣4000， ∴对称轴为a＝125m， ∵m＞30， ∴125m＜50， ∴对称轴在50≤a＜100的左侧， ∴当a＝50时，y有最大值，最大值为：y502×（50﹣m）×50+200m﹣4000＝150m﹣2000＝2800， ∴m＝32＞30， ∴m的值为32． 10． 【答案】7m． 【详解】解：由题意可得：∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴，解得：AB＝7（m）， 答：树高AB约是7m． 11． 【答案】AB的长为6cm，零件的厚度x为1cm 【详解】解：∵OA：OC＝OB：OD＝2，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴AB：CD＝OB：OD＝2． ∴AB＝2CD＝6cm， ∴x＝＝1（cm）， 答：AB的长为6cm，零件的厚度x为1cm． 12． 【答案】6.4米． 【详解】解：设灯杆高度AB＝CD＝h米，BN＝x米，则ND＝（21﹣x）米， ∵AB⊥BD，MN⊥BD， ∴MN∥AB， ∴△EMN∽△EAB， ∴， ∵MN＝1.6米，NE＝3米，BE＝BN+NE＝x+3米， ∴①， ∵CD⊥BD，MN⊥BD， ∴MN∥CD， ∴△FMN∽△FCD， ∴， ∵NF＝4，FD＝NF+ND＝4+（21﹣x）＝25﹣x， ∴②， 联立①②得：，解得：x＝9， 将x＝9代入①得：，解得：h＝6.4， 答：灯杆高度为6.4米． 13． 【答案】树与路灯相距6米． 【详解】解：∵AB⊥AH，EF⊥AH， ∴AB∥EF， ∴△EFH∽△ABH， ∴， ∴， ∴AB＝7， 建立如图所示的平面直角坐标系， 设B（m，7），F（m+9，1.75） ∵灯（点B）、树顶D、小明的头顶F这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支， ∴7m＝1.75（m+9），解得：m＝3， ∴B（3，7）， 设双曲线的解析式为y， ∴k＝21， ∴双曲线的解析式为y， 设D（n，）， ∴AC＝n﹣3，CD， ∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EAB， ∴， ∴， ∴n＝9或n＝3（不合题意，舍去）， 答：树与路灯相距6米． 14． 【答案】（1）tan∠BAN；（2）CG＝11.75米． 【详解】解：（1）如图， ∵在Rt△ABH中，BN为21米，斜坡AB长为75米， ∴（米）， ∴tan∠BAN； （2）如图2，作MO⊥GB交GB的延长线于点O，作HP⊥MO于点P，交DC于点R， 则四边形CRPO为矩形，四边形HGCR为矩形， ∴RP＝CO，HR＝GC，HG＝CR＝OP＝1.2米， ∴DR＝3.6﹣1.2＝2.4（米）， ∵∠ABN＝∠MBO，∠O＝∠P＝90°，BM为6.25米， ∴，解得：BO＝1.75米， ∴（米）， ∴MQ＝6﹣1.2＝4.8（米），RP＝CO＝10+1.75＝11.75（米）． ∵DR⊥AB，MP⊥AB， ∴DR∥MP， ∴△HDR∽△HMP， ∴， ∴，解得：FR＝11.75米， ∴CG＝HD＝11.75米． 15． 【答案】（1）y与x之间的函数表达式为yx；（2）下移距离为55cm；（3）最小镜长为． 【详解】解：（1）∵成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ∴B'N＝BN，AB＝A'B'， ∵FN∥BC， ∴， ∴CF＝FB'， ∵EF∥A'B'， ∴△CEF∽△CA'B'， ∴， ∵AB＝x，EF＝y， ∴，则， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）法一：如图，由成像原理作出看到部分人像的长度为70cm的图形，过点C'作BB'的平行线分别交PN、AB于点M′、M， ∵CM∥QM'，MM'＝M'C'， ∴，即C'Q＝QC， ∵P'Q∥AC， ∴△AP'Q∽△CA'C'， ∴， ∴P'QA'C'＝35cm， 如图，由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形， 由（1）可知：AB＝A'B'＝180cm， ∵P'Q'＝PQ＝90cm， ∴QQ'＝P'Q'﹣P'Q＝90﹣35＝55（cm），即下移的距离为55cm； 法二：如图，CA'交PQ于点E，CB'交直线PQ于点F，CQ交A'B'于点D'， ∵A'D'＝70， ∴D'B'＝A'B'﹣A'D'＝180﹣70＝110， 由（1）可得：， ∵要想看到全身，镜子的下沿不得高于点F， ∴下移距离即为QF的长， ∴下移距离为55cm； （3）如图，最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度FN， ∴， 如图，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度EN， ∴， ∴最小镜长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押07 江苏无锡中考数学26题（解答题） 考点1 一次函数的应用 1．（2025•梁溪区•校级一模）中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如下表： 价格 甲 乙 丙 批发价（元/套） 25 ____ ____ 零售价（元/套） 30 25 35 （1）已知小张第一次批发购进乙260套，丙200套，共花费7900元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价； （2）在（1）的条件下，由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售额全部用于第二次批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高20%，丙的批发价每套比原来下降40%．设第二次销售完这三种文具套装所得利润为w元，当甲的数量不少于130套时，求w的最大值． 【答案】（1）乙每套的批发价为15元，丙每套的批发价为20元；（2）w的最大值为10860． 【详解】解：（1）乙每套的批发价为x元，丙每套的批发价为y元． 由题意可得：，解得：， ∴乙每套的批发价为15元，丙每套的批发价为20元， 故答案为：15，20； （2）第一次的销售额为25×260+35×200＝13500（元）， 第二次乙每套的批发价为15×（1+20%）＝18（元）， 第二次丙每套的批发价为20×（1﹣40%）＝12（元）， 设第二次购进甲a套，购进乙、丙各b套， 由题意可得：25a+18b+12b＝13500，整理得：25a+30b＝13500， ∴b＝450， ∴w＝（30﹣25）a+（25﹣18）b+（35﹣12）b＝5a+30b＝﹣20a+13500， ∵﹣20＜0， ∴w随a的减小而增大， ∵b为非负整数， ∴a≥130且a为6的整数倍， ∴当a＝132时w的值最大，w最大＝﹣20×132+13500＝10860． 2．（2025•江阴市•模拟）（1）【阅读理解】倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含A、B两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台A型机器人和1台B型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台B型机器人先工作5小时后，再加入1台A型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台A型机器人和1台B型机器人每小时各处理垃圾多少吨？分析可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系． 由图可得如下的数量关系： ①1台A型10小时的垃圾处理量+1台B型10小时的垃圾处理量＝5吨； ②　　+　　＝5吨； （2）【问题解决】请你通过列方程（组）解答（1）中的问题； （3）【拓展提升】据市场调研，机器人公司对A、B两款机器人的报价如表：若垃圾处理厂采购的这批机器人（A、B两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？ 型号 A型 B型 报价（万元/台） 20 14 【答案】（1）1台A型8小时的垃圾处理量，1台B型13小时的垃圾处理量； （2）1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨； （3）当采购A型机器人66台，B型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元． 【详解】解：（1）根据第二个线段图可得： 1台A型8小时的垃圾处理量+1台B型13小时的垃圾处理量＝5吨； 故答案为：1台A型8小时的垃圾处理量，1台B型13小时的垃圾处理量； （2）设1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾x吨和y吨， 由题意可得：，解得：， 答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨； （3）设采购A型机器人t台，则采购B型机器人100﹣1.5t（台）， 由题意可得：，解得：40≤t≤66（t为整数）， 由题意可得：采购费用为：20t+14（100﹣1.5t）＝1400﹣t， ∴当t＝66时，采购费用最低，为1400﹣66＝1334（万元）， ∴100﹣1.5t＝1， 答：当采购A型机器人66台，B型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元． 3．（2025·宿迁·模拟）利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元．每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件． （1）甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？ （2）若购进这100件服装的费用不得超过7500元． ①求甲种服装最多购进多少件； ②利群商场对甲种服装每件降价a（0＜a＜40）元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？ 【答案】（1）甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元； （2）①甲种服装最多购进75件； ②当0＜a＜10时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当a＝10时，所有进货方案利润都是4000元；当10＜a＜40时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大． 【详解】解：（1）设甲种服装每件的进价m元，则乙种服装每件的进价（m﹣20）元， 由题意可得：3m＝4（m﹣20），解得：m＝80， ∴m﹣20＝80﹣20＝60， ∴甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元； （2）①设甲种服装购进x件， ∵甲种服装不少于65件，购进这100件服装的费用不得超过7500元， ∴，解得：65≤x≤75； ∴甲种服装最多购进75件； ②设获得利润为y元， 由题意可得：y＝（130﹣a﹣80）x+（100﹣60）（100﹣x）＝（10﹣a）x+4000， 当0＜a＜10时，y随x的增大而增大， ∴当x＝75时，y取最大值，此时购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大； 当a＝10时，所有进货方案利润都是4000元； 当10＜a＜40时，y随x增大而减小， ∴当x＝65时，y取最大值，此时购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大； 综上，当0＜a＜10时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当a＝10时，所有进货方案利润都是4000元；当10＜a＜40时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大． 考点2 二次函数的应用 1．（2025·锡山区·校级二模）某烘焙店销售一款蛋糕，经市场调查发现，这种蛋糕的周销量y（个）是售价x（元/个）的一次函数．现已知售价，周销量，周销售利润的部分数据如下表所示： 售价（元/个） … 15 16 17 … 周销量（个） … 500 480 b … 周销售利润（元） … 2500 a c … （1）a＝　　，b＝　　，c＝　　； （2）当周销售利润最大，求蛋糕的售价；【周销售利润＝（售价﹣成本）×销售量】 （3）由于受俄乌危机，导致原材料的价格大幅上升，从下周开始，蛋糕成本价每个上涨m元（m＞0），同时为了留住客源，蛋糕售价将不超过20元/件．若周销量与售价的函数关系不变，且下周总利润最高为3200元，求m的值． 【答案】（1）2880，460，3220；（2）当周销售量最大时，面包的售价为25元；（3）2． 【详解】解：（1）设y＝kx+n（k≠0）， 由表格可得：，解得：， ∴y＝﹣20x+800， ∴每个成本为：15﹣2500÷500＝10（元）， ∴a＝480×（16﹣10）＝2880， b＝﹣20×17+800＝460， c＝460×（17﹣10）＝3220， 故答案为：2880，460，3220； （2）由题意可得：w＝（x﹣10）（﹣20x+800）＝﹣20（x﹣25）2+4500， ∴当x＝25时，w有最大值4500元， 答：当周销售量最大时，面包的售价为25元； （3）设周销售利润为w（元）， 由题意可得：w＝（x﹣10﹣m）（﹣20x+800）＝﹣20x2+（1000+20m）x﹣800（10+m）， ∴对称轴， ∵x≤20， ∴当x＝20时，w有最大值400（10﹣m）＝3200， ∴m＝2． 2．（2025·江阴市·一模）某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系如图所示： （1）求每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式；（毛利润＝销售总额﹣进货成本） （2）受市场影响，服装的定价不能超过52元，则每件服装的销售价为多少元时，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 【答案】（1）函数表达式为yx2+165x﹣4284； （2）每件服装的销售价为52元时，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是240元． 【详解】解：（1）设每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t＝kx+b， 把（50，27），（52，24）代入解析式得：，解得：， ∴tx+102， 由题意可得：y＝（x﹣42）t＝（x﹣42）（x+102）x2+165x﹣4284． ∴每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式为yx2+165x﹣4284； （2）yx2+165x﹣4284（x﹣55）2+253.5， ∵0， ∴x＜55时，y随x的增大而增大， ∵服装的定价不能超过52元， ∴x≤52， ∴x＝52时，y最大，最大值为240， 答：每件服装的销售价为52元时，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是240元． 3．（2025•梁溪区•一模）果农小艺欣喜地发现，北京市农科院林业果树研究所培育的草莓“白雪公主”每亩投入种植成本36000元，亩产量可达到1000～2000kg，预计市场售价不低于60元/kg．小艺信心大增，在原有的50亩A试验田种植规模上再增加了50亩B试验田全部种植该草莓．收获时发现，由于土地肥力原因，B试验田的亩产量是A试验田亩产量的1.5倍．若同样收获3600kg该草莓所占用试验田B比A少1亩．小艺将A试验田采摘的1kg该草莓和B试验田采摘的4kg该草莓混合装箱出售．已知采摘及装箱的人工等成本平均为8元/kg．经市场调查发现，该草莓每销售价是300元时，每天可以销售100箱；若每涨价5元，则每天少销售2箱． （1）A、B两种试验田的亩产量分别是多少？ （2）若每箱的售价不超过400元，请求出定价多少元/箱时，每天可获得最大利润是多少元？ 【答案】（1）A、B两种试验田的亩产量分别是1200千克、1800千克； （2）定价350元/箱时，每天可获得最大利润是16000元． 【详解】解：（1）设A试验田的亩产量为a千克， 由题意可得：，解得：a＝1200， 经检验：a＝1200是原分式方程的解， ∴1.5a＝1800， 答：A、B两种试验田的亩产量分别是1200千克、1800千克； （2）设定价为x元，每天的利润为y元， ∵每亩投入种植成本36000元， ∴A试验田每千克的成本为：36000÷1200＝30（元），B试验田每千克的成本为：36000÷1800＝20（元）， ∴混合装箱后每箱的成本为：30+4×20+8×5＝150（元）， 由题意可得：y＝（x﹣150）[100（x﹣300）]x2+280x﹣33000， ∴对称轴为：x350， ∵0，300≤x≤400， ∴当x＝350时，y取最大值，为16000元， 答：定价350元/箱时，每天可获得最大利润是16000元． 考点3 相似的实际应用 1．（2026·海门区·校级模拟）某校社会实践小组为了测量花丛中路灯AB的高度，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为1.7m的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，路灯的顶端点A正好在同一直线上，测得ED＝3m，将标杆向后平移5m到达点G处，这时地面上的点H，标杆的顶端点F，路灯的顶端点A正好在同一直线上，这时测得GH＝5m，请你根据以上数据，计算花丛中路灯AB的高度． 【答案】花丛中路灯AB的高度5.95米． 【详解】解：∵DC∥AB， ∴△EDC∽△EBA， ∴， ∵FG∥AB， ∴△FHG∽△AHB， ∴， ∵DC＝FG， ∴， ∵ED＝3m，DG＝GH＝5 m， ∴， ∴BD＝7.5（m），经检验符合题意， ∵， ∴， ∴AB＝5.95（m），经检验符合题意， 答：花丛中路灯AB的高度5.95米． 2．（2025·江宁区·校级二模）如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走a m到点B． （1）若他在点A处的影长为1.8m，他的身高为1.5m，路灯高P距离地面的高度为3m，求此时他到路灯的水平距离AQ； （2）已知他在点A，B处的影长之差为b m，他的身高为h m，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 【答案】（1）1.8m；（2）． 【详解】（1）证明：∵AC∥PQ， ∴△ACE∽△QPE， ∴，即， ∴EQ＝3.6， ∴AQ＝EQ﹣AE＝1.8； （2）解：如图，过点C作CG∥PF，交EF于点G， ∵CG∥PF， ∴∠AGC＝∠F， 在△ACG和△BDF中， ， ∴△ACG≌△BDF（AAS）， ∴AG＝BF， ∴EG＝AE﹣AG＝AE﹣BF＝b， ∵CG∥PF， ∴， ∵∠CAE＝∠PQE＝90°，∠E＝∠E， ∴△ACE∽△QPE， ∴， ∴， ∴路灯P离地面的高度为． 3．（2026·宜兴市·一模）某校数学研究性学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动． 【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具 【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图．测得该斜坡坡度i＝1：2.4，BM段为水平路面，B点位置设有指示牌BP，它与地面垂直． 【活动过程】 活动1：如图①所示，学习小组测得斜坡AB长为39米． （1）求斜坡BH的高度； 活动2：如图②所示，当学习小组的指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点D处，他的眼睛到斜坡的距离FD为1.2米．李老师平视前方（视线与斜坡AB平行），他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端Q点． （2）求指示牌牌杆BQ的高度； 活动3：如图③，矩形ECKG为一辆大巴车的侧面示意图，CK长为10米，EC长为3.2米．李老师利用大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点K与点B重合．李老师发现当他位于D点与大巴车车尾C点相距15米时，他透过点E刚巧能看到指示路牌的顶端P点． （3）求指示牌BP的高度． 【答案】（1）15米；（2）1.3米；（3）5.2米． 【详解】解：（1）如图，过点B作BH⊥地面，垂足为H，则∠AHB＝90°， 由题意可得：， 设BH＝5x，AH＝12x， 则（5x）2+（12x）2＝392，解得：x＝3， ∴BH＝15米； （2）如图，过点B作BK⊥FQ，交FQ于点K，BE⊥地面， ∴四边形FDBK是矩形， ∴BK＝DF＝1.2米，∠KBD＝90°， ∴∠ABE+∠KBQ＝90°， ∵∠E＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠KBQ， 由题意可得：， ∴， ∴BQ＝1.3米； （3）如图，作PO⊥DB交DB的延长线于点O，作FQ⊥PO于点Q，交CE于点R，则四边形CRQO为矩形，四边形FDCR为矩形， ∴RQ＝CO，FR＝DC＝15米，FD＝CR＝OQ＝1.2 米， ∴ER＝3.2﹣1.2＝2 米， ∵∠ABH＝∠PBO，∠O＝∠H＝90°， ∴， ∴设OB＝5x，OP＝12x，BP＝13x， ∴PQ＝OP﹣OQ＝12x﹣1.2，FQ＝OD＝CD+CB+BO＝25+5x． ∵ER⊥AB，PQ⊥AB， ∴ER∥PQ， ∴△FER∽△FPQ， ∴， ∴，解得：x＝0.4． ∴BP＝13x＝5.2米． 1．（2025·无锡·校级模拟）学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶思想情操，展示才华智慧的舞台．某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，鼓励学生积极参与社团活动．与此同时，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品．经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元，购买1个A种奖品和4个B种奖品需花费88元． （1）求A，B两种奖品的单价； （2）学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍．设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？ 【答案】（1）A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元； （2）购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少为1288元． 【详解】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 由题意可得：，解得：． 答：A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元； （2）设花费w元，购买B种奖品（60﹣a）个， ∵a＞2（60﹣a）， ∴a＞40， 由题意可得：w＝24a+16（60﹣a）＝8a+960， ∵8＞0， ∴w随a的增大而增大， ∵a为正整数， ∴a取最小值41时，w有最小值，w的最小值为8×41+960＝1288（元）， ∴60﹣a＝19， 答：购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少为1288元． 2．（2026·海州区·校级模拟）某中学开展爱心义卖活动，推出A，B两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个A款帆布袋和3个B款帆布袋共需31元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需34元． （1）求A，B两款帆布袋的单价分别为多少元； （2）某老师决定购买A，B两款帆布袋共12个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的．当购买A，B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）A，B两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）当购买A款帆布袋4个，B款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元． 【详解】解：（1）设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元， 由题意可得：，解得：， ∴A，B两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）设购买A款帆布袋m个，则购买B款帆布袋（12﹣m）个，设总费用为w元， ∴w＝8m+5（12﹣m）＝3m+60， ∵3＞0， ∴w随m的增大而增大． ∵购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的， ∴， ∴m≥4且m为正整数， ∴当m＝4时，w有最小值，最小值为3×4+60＝72，此时12﹣m＝12﹣4＝8， ∴购买A，B两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 3．（2025•梁溪区•二模）某校要组建无人机社团，今年计划采购A、B两种型号的无人机共40架．其中A型无人机的抗损耐用率为80%，B型无人机的抗损耐用率为95%．已知若采购10架A型号、30架B型号无人机需要11000元；若采购20架A型号、20架B型号无人机需要10000元．（注：无人机的抗损耐用率指无人机在遭受碰撞或摔落等意外情况后仍能正常使用的比例．） （1）采购每架A型无人机和每架B型无人机各需要多少元？ （2）社团要求这两种无人机的总抗损耐用率不低于85%，请问如何购买可以使得采购费用最低？ 【答案】（1）每架A型无人机200元，每架B型无人机300元； （2）当采购A型无人机26架，则采购B型无人机14架时采购费用最低． 【详解】解：（1）设每架A型无人机x元，每架B型无人机y元， 由题意可得：，解得：， 答：每架A型无人机200元，每架B型无人机300元； （2）设采购A型无人机a架，则采购B型无人机（40﹣a）架， 由题意可得：0.85，解得：a26.67， 设总费用为w元，则w＝200a+300（40﹣a）＝12000﹣100a， ∵﹣100＜0， ∴w随a的增大而减小， ∵a为正整数， ∴a最大值为26， ∴w的最小值为12000﹣100×26＝9400（元）， ∴40﹣a＝14， 答：当采购A型无人机26架，则采购B型无人机14架时采购费用最低． 4．（2026•江阴市•一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质秤杆、一个秤盘（重量50g）、一个秤砣（重量200g）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图，设所称物体重量为xg，则秤盘及物体的总质量为（x+50）g，秤盘到提纽的水平距离AB＝acm．秤砣到提纽的距离BC＝ycm．当秤杆平衡时，得（x+50）•a＝200y． 【尝试操作】 （1）若取AB＝10cm，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时BO的长． 【数学建模】 （2）在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 （3）杆秤可用的长度AD＝100cm，为了保证杆秤的最大刻度不小于2kg，请计算说明a的取值范围． 【答案】（1）BO的长为2.5cm；（2）y＝0.05x+2.5；杆秤上的刻度线是均匀的；（3）0＜a． 【详解】解：（1）由题意可知：秤盘为空时，所称物体重量x＝0， ∵（x+50）•a＝200y， ∴（0+50）×10＝200y， ∴y＝2.5，即BO＝2.5cm， 答：此时BO的长为2.5cm； （2）∵（x+50）•a＝200y， ∴代入a＝10得：10（x+50）＝200y， ∴y＝0.05x+2.5， ∴该函数为一次函数，k＝0.05＞0， ∴当x每增加相同的数值时，y的增加量恒为0.05×增量值，保持不变， 答：y与x的函数关系式为y＝0.05x+2.5；杆秤上的刻度线是均匀的； （3）∵秤砣的最大活动范围AD＝100cm， ∴AD＝AB+BO最大，即秤砣到提纽的最大距离y≤100﹣a， ∴当称重x＝2000g时，秤砣位置需满足：（2000+50）•a≤200（100﹣a）， ∴a， 又∵a为正数且需能承载秤盘， ∴0＜a． 5．（2025·新吴区·二模）某水果店对一款成本价为每盒30元的车厘子进行销售，如果按每盒40元销售，每天可卖出50盒．通过市场调查发现，每盒售价每上涨1元，则日销售量减少1盒． （1）若该水果店某天销售车厘子的盈利为800元，求每盒车厘子的售价； （2）当每盒车厘子的售价定为多少元时，该水果店销售车厘子可以获得最大日利润？并求出最大日利润． 【答案】（1）每盒车厘子售价为50元或70元； （2）当每盒车厘子售价60元时，可以获得最大日利润为900元． 【详解】解：（1）设每盒车厘子售价x元， ∴（x﹣30）[50﹣（x﹣40）]＝800． ∴x1＝50，x2＝70， 答：每盒车厘子售价为50元或70元； （2）设每盒车厘子售价为m元，利润为w元， ∴w＝（m﹣30）[50﹣（m﹣40）]＝﹣（m﹣60）2+900， ∴当m＝60时，w有最大值900， 答：当每盒车厘子售价60元时，可以获得最大日利润为900元． 6．（2025•无锡•一模）《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入﹣运营成本） 【答案】（1）y＝﹣4x+320（30≤x≤80，且x是整数）； （2）该影院IMAX厅将电影票售价x定为50元时，该厅每场的获利最大． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b， 由题意可得：，解得：， ∴y＝﹣4x+320（30≤x≤80，且x是整数）； （2）设该厅每场的获利为w元， 由题意可得：w＝（﹣4x+320）（x﹣20）﹣2000＝﹣4x2+400x﹣8400＝﹣4（x﹣50）2+1600， ∵﹣4＜0，30≤x≤80， ∴当x＝50时，w最大值，最大值为1600， 答：该影院IMAX厅将电影票售价x定为50元时，该厅每场的获利最大． 7．（2025•滨湖区•二模）某网店专门销售某种品牌的笔筒，成本为20元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图，其中规定每天笔筒的销售量不低于210件． （1）写出y与x之间的函数关系式　　； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣10x+600；（2）当销售单价为39元时，每天获取的利润最大，最大利润是3990元． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 由题意可得：，解得：k＝﹣10，b＝600， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+600， 故答案为：y＝﹣10x+600； （2）设利润为w元， 由题意可得：w＝（x﹣20）y ＝（x﹣20）（﹣10x+600） ＝﹣10（x﹣20）（x﹣60） ＝﹣10（x2﹣80x+1200） ＝﹣10（x﹣40）2+4000， ∵每天笔筒的销售量不低于210件， ∴﹣10x+600≥210，解得：x≤39， ∵a＝﹣10＜0， ∴x＝39时，w最大＝3990， ∴当销售单价为39元时，每天获取的利润最大，最大利润是3990元． 8．（2025•无锡•二模）五月，正值花果繁茂时节，某市的枇杷新鲜上市．小明以32元/千克的价格购进一批枇杷进行销售，运输成本是6元/千克（运输费用按照进货质量计算），运输过程中枇杷将损坏5%，损坏的枇杷无法销售，完好的枇杷均销售完，假设不计其他费用． （1）小明把购进的枇杷售完至少定价为多少元才不会亏本？ （2）在销售过程中，商店发现每天枇杷的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，若每天销量至少36千克，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）至少40元/千克；（2）当销售单价定为52元/千克时，每天获得的利润是432元． 【详解】解：（1）设购进枇杷a千克，枇杷定价每千克x元水果商才不亏本， 由题意可得：xa（1﹣5%）≥a（32+6），解得：x≥40， 答：至少40元/千克才不亏本； （2）设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b， ∵图象过（35，70），（25，90）， ∴，解得：． ∴销售量y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣2x+140，每天销量至少36千克， ∴﹣2x+140≥36，解得：x≤52， 由（1）可知：每千克枇杷的平均成本为40元， 由题意可得：w＝（x﹣40）（﹣2x+140）＝﹣2x2+220x﹣5600＝﹣2（x﹣55）2+450， ∵﹣2＜0，开口向下， ∴当x≤55时，w随x的增大而增大， ∵x≤52， ∴当x＝52时，w有最大值，最大值为432元， 答：当销售单价定为52元/千克时，每天获得的利润是432元． 9．（2025•锡山区•一模）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 50≤x≤60 60＜x≤80 销售量（件） 100 400﹣5x ①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件m（m＞30）元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值． 【答案】（1）A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元； （2）①当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元；②m＝32． 【详解】解：（1）设B纪念品每件的进价是b元，则A纪念品每件的进价是（b+30）元， 由题意可得：，解得：b＝20， 经检验：b＝20是原方程的解， 当b＝20时，b+30＝20+30＝50， ∴A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元； （2）①设利润为w元，由表格可得： 当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000， ∵k＝100＞0， ∴w随着x的增大而增大， ∴当售价为：60元时，利润最大为：100×60﹣5000＝1000元； 当60＜x≤80时，w＝（x﹣50）（400﹣5x）＝﹣5x2+650x﹣20000＝﹣5（x﹣65）2+1125， ∵a＝﹣5＜0， ∴当x＝65时，利润最大为：1125元； 综上，当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元． ②设该商场购进A型纪念品a件，则购进B型纪念品（200﹣a）件， 由题意可得：50≤a＜200﹣a，解得：50≤a＜100， 由表格可知：400﹣5x＝a，则x＝80， 设A，B型纪念品均全部售出后获得的总利润为y元， 由题意可得：y＝（80a﹣50）a+（m﹣20）（200﹣a）， 整理得：ya2+（50﹣m）a+200m﹣4000， ∴对称轴为a＝125m， ∵m＞30， ∴125m＜50， ∴对称轴在50≤a＜100的左侧， ∴当a＝50时，y有最大值，最大值为：y502×（50﹣m）×50+200m﹣4000＝150m﹣2000＝2800， ∴m＝32＞30， ∴m的值为32． 10．（2025·连云港·一模）李老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树AB根部8m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2m，观测者目高CD＝1.75m，则树高AB约是多少米？ 【答案】7m． 【详解】解：由题意可得：∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴，解得：AB＝7（m）， 答：树高AB约是7m． 11．（2025·通州区·一模）如图，已知零件的外径为8cm，现用一个交叉卡钳测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝2，且量得CD＝3cm，求AB的长及零件的厚度x（cm）． 【答案】AB的长为6cm，零件的厚度x为1cm 【详解】解：∵OA：OC＝OB：OD＝2，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴AB：CD＝OB：OD＝2． ∴AB＝2CD＝6cm， ∴x＝＝1（cm）， 答：AB的长为6cm，零件的厚度x为1cm． 12．（2026·连云港·模拟）如图，马路两侧有高度相同灯杆AB、CD，当小明站在两灯杆之间的点N处时，在灯C的照射下小明的影长为NF，在灯A的照射下小明的影长为NE．测得两路灯间距离BD＝21米，小明身高MN＝1.6米，NF＝4米，NE＝3米，求灯杆的高度． 【答案】6.4米． 【详解】解：设灯杆高度AB＝CD＝h米，BN＝x米，则ND＝（21﹣x）米， ∵AB⊥BD，MN⊥BD， ∴MN∥AB， ∴△EMN∽△EAB， ∴， ∵MN＝1.6米，NE＝3米，BE＝BN+NE＝x+3米， ∴①， ∵CD⊥BD，MN⊥BD， ∴MN∥CD， ∴△FMN∽△FCD， ∴， ∵NF＝4，FD＝NF+ND＝4+（21﹣x）＝25﹣x， ∴②， 联立①②得：，解得：x＝9， 将x＝9代入①得：，解得：h＝6.4， 答：灯杆高度为6.4米． 13．（2025·镇江·一模）如图，路灯AB、树CD的底端与小明的站位点E在同一条直线上，灯（点B）、树顶D、小明的头顶F这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点E重合，小明的影长EH为3米，已知小明的身高为1.75米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？ 【答案】树与路灯相距6米． 【详解】解：∵AB⊥AH，EF⊥AH， ∴AB∥EF， ∴△EFH∽△ABH， ∴， ∴， ∴AB＝7， 建立如图所示的平面直角坐标系， 设B（m，7），F（m+9，1.75） ∵灯（点B）、树顶D、小明的头顶F这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支， ∴7m＝1.75（m+9），解得：m＝3， ∴B（3，7）， 设双曲线的解析式为y， ∴k＝21， ∴双曲线的解析式为y， 设D（n，）， ∴AC＝n﹣3，CD， ∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EAB， ∴， ∴， ∴n＝9或n＝3（不合题意，舍去）， 答：树与路灯相距6米． 14．（2026·惠山区·一模）根据以下素材，完成问题： 【素材1】图1是某高架入口的横断面示意图．高架路面用BQ表示，地面用AP表示，斜坡用AB表示．已知BQ∥AP，高架路面BQ离地面的距离BN为21m，斜坡AB长为75m． 【素材2】图2中的矩形CDEF为一辆大巴车的侧面示意图，车长CF为10m，车高EF为3.6m． 【素材3】图3是素材1中的斜坡局部示意图，素材2中的大巴车停在该斜坡上，矩形CDEF的顶点F与点B重合，点B与指示路牌底端M点之间的距离BM为6.25m，且BM⊥BQ． 【素材4】小李驾驶一辆轿车跟随大巴车行驶，他的眼睛到斜坡的距离GH为1.2m． 问题1：如图1，求tan∠BAN； 问题2：如图3，当点H，D与指示牌底端M在同一条直线上，试求小李距大巴车尾DC的距离CG． 【答案】（1）tan∠BAN；（2）CG＝11.75米． 【详解】解：（1）如图， ∵在Rt△ABH中，BN为21米，斜坡AB长为75米， ∴（米）， ∴tan∠BAN； （2）如图2，作MO⊥GB交GB的延长线于点O，作HP⊥MO于点P，交DC于点R， 则四边形CRPO为矩形，四边形HGCR为矩形， ∴RP＝CO，HR＝GC，HG＝CR＝OP＝1.2米， ∴DR＝3.6﹣1.2＝2.4（米）， ∵∠ABN＝∠MBO，∠O＝∠P＝90°，BM为6.25米， ∴，解得：BO＝1.75米， ∴（米）， ∴MQ＝6﹣1.2＝4.8（米），RP＝CO＝10+1.75＝11.75（米）． ∵DR⊥AB，MP⊥AB， ∴DR∥MP， ∴△HDR∽△HMP， ∴， ∴，解得：FR＝11.75米， ∴CG＝HD＝11.75米． 15．（2026·新吴区·一模）问题情境：镜子可以帮助我们整仪表、正衣冠、端品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． 【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段AB表示人的身高，其中点A表示头顶，点B表示脚底，点C表示眼睛（位于AB上），MN表示平面镜，线段A′B′表示AB在镜中的虚像．设人的身高AB为x，能看到全身像的最短镜子长度EF为y，求y与x之间的函数表达式． 【探究二】 如图2，现购买了一面90cm长的镜子并安装在墙上．小亮身高为180cm，他正立在镜子前某处，眼睛C却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为70cm．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． 【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为h1cm，最高为h2cm．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为h3cm．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含h1、h2、h3的代数式表示） 【答案】（1）y与x之间的函数表达式为yx；（2）下移距离为55cm；（3）最小镜长为． 【详解】解：（1）∵成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ∴B'N＝BN，AB＝A'B'， ∵FN∥BC， ∴， ∴CF＝FB'， ∵EF∥A'B'， ∴△CEF∽△CA'B'， ∴， ∵AB＝x，EF＝y， ∴，则， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）法一：如图，由成像原理作出看到部分人像的长度为70cm的图形，过点C'作BB'的平行线分别交PN、AB于点M′、M， ∵CM∥QM'，MM'＝M'C'， ∴，即C'Q＝QC， ∵P'Q∥AC， ∴△AP'Q∽△CA'C'， ∴， ∴P'QA'C'＝35cm， 如图，由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形， 由（1）可知：AB＝A'B'＝180cm， ∵P'Q'＝PQ＝90cm， ∴QQ'＝P'Q'﹣P'Q＝90﹣35＝55（cm），即下移的距离为55cm； 法二：如图，CA'交PQ于点E，CB'交直线PQ于点F，CQ交A'B'于点D'， ∵A'D'＝70， ∴D'B'＝A'B'﹣A'D'＝180﹣70＝110， 由（1）可得：， ∵要想看到全身，镜子的下沿不得高于点F， ∴下移距离即为QF的长， ∴下移距离为55cm； （3）如图，最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度FN， ∴， 如图，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度EN， ∴， ∴最小镜长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $