专题9 平行四边形中的计算与证明（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（北师大版·新教材 河南专版）

**基本信息** 聚焦平行四边形判定与计算，以分层题型构建知识逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|3道|条件开放型证明（中点/角关系）|中位线性质→平行四边形判定| |综合计算|2道|结合勾股定理与中位线计算|平行四边形性质→直角三角形计算| |动态几何|1道|双动点分类讨论|运动轨迹→分类讨论思想|

专题9　平行四边形中的计算与证明 编者按：紧抓期末高频考点，配合“名师划重点”使用，稳固根基！ 1.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边AC上一点，连接BD，E，F分别为BC，BD的中点，连接AF，EF，DE.下面是两位同学的说法： 小星：根据题目条件，若添加条件AC＝3AD，则可证明四边形ADEF是平行四边形. 小红：根据题目条件，若添加条件∠AFD＝∠EDF，则可证明四边形ADEF是平行四边形. （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； 解：（1）选择小星的说法.（1分） 证明：∵E，F 分别为 BC，BD的中点， ∴EF是△BCD的中位线.∴EF∥CD，CD＝2EF.（3分） ∵AC＝3AD，∴CD＝2AD.∴AD＝EF.∵AD∥EF， ∴四边形ADEF是平行四边形.（5分） （或选择小红的说法.（1分） 证明：∵E，F分别为BC，BD的中点， ∴EF是△BCD的中位线.∴EF∥CD.（3分） ∵∠AFD＝∠EDF，∴DE∥AF. ∴四边形ADEF是平行四边形.（5分）） （2）在（1）的结论下，若CD＝DE，AB＝15，求EF的长. 解：（2）∵F是BD的中点，∠BAC＝90°，∴BD＝2AF.（6分） 由（1）知，四边形ADEF是平行四边形，CD＝2AD， ∴DE＝AF，AD＝EF.（7分） ∵CD＝DE，∴BD＝2AF＝2DE＝2CD＝4AD.（8分） ∴在Rt△ABD中，AD2＋AB2＝BD2，即AD2＋152＝16AD2. 解得AD＝（负值已舍去）.∴EF＝AD＝.（10分） 2.（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是AD边的中点，延长DC至点F，使FC＝CD，连接CE，AF，AF交边BC于点G. （1）求证：四边形AECG是平行四边形； 解：（1）证明：∵FC＝CD，∴C是DF边的中点. ∵E是AD边的中点，∴EC是△DAF的中位线. ∴EC∥AF.（2分） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴四边形AECG是平行四边形.（4分） （2）若AB＝1，BC＝3，对角线AC⊥AB，连接BD，交AC于点O，求对角线BD的长. 解：（2）∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°.∵AB＝1，BC＝3， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝2.（7分） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC＝AC＝，BD＝2BO＝2OD. ∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得BO＝＝.∴BD＝2BO＝2.（10分） 3.（10分）如图，在▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F，连接BF. （1）求证：四边形ABFC是平行四边形； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CD＝AB.∴∠ABC＝∠FCB.（2分） ∵E是BC边的中点，∴BE＝CE. 在△AEB与△FEC中，∵∠ABE＝∠FCE， BE＝CE，∠AEB＝∠FEC，∴△AEB≌△FEC（ASA）.（4分） ∴AB＝CF.∴四边形ABFC是平行四边形.（5分） （2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积. 解：（2）∵AB∥CD，∠D＝60°，∴∠BAD＝120°.（6分） ∵AF平分∠BAD，∴∠FAD＝60°.∴△ADF为等边三角形.（7分） ∵AB＝CF，CD＝AB，∴CF＝CD. ∴∠CAD＝∠FAD＝30°，∠ACD＝90°.（8分） ∵AD＝8，∴CD＝4.∴AC＝＝4 . ∴S▱ABCD＝CD•AC＝4×4＝16 .（10分） 4.（10分）如图，在▱ABCD中，连接BD. （1）尺规作图：作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BD，BC于点M，O，N；（不要求写作法，保留作图痕迹） 解：（1）如图，MN即为所求.（2分） （2）连接BM，DN，求证：△DOM≌△BON； 解：（2）证明：∵MN垂直平分BD，∴OB＝OD.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO.（4分） 在△DOM和△BON中，∵∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，OD＝OB，∴△DOM≌△BON（AAS）.（6分） （3）若DM＝10，MN＝12，求BD的长. 解：（3）∵△DOM≌△BON，∴OM＝ON＝MN＝×12＝6.（7分） 在Rt△MOD中，∠MOD＝90°，OM＝6，DM＝10， ∴由勾股定理，得OD＝＝＝8. ∴BD＝2OD＝16.（10分） 5.［深圳市］（10分）如图，在▱ABCD中，G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上. （1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件　AE＝CF（答案不唯一）　，使得四边形EGFH是平行四边形，并说明理由； 解：理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠GAE＝∠HCF. ∵G，H分别是AB，CD的中点，∴AG＝CH. ∵AE＝CF，∴△AGE≌△CHF（SAS）.（3分） ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH. ∵∠GEF＋∠AEG＝180°，∠HFE＋∠CFH＝180°， ∴∠GEF＝∠HFE.∴GE∥HF. ∵GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形.（5分） （2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，OE＝OF，AE＋CF＝EF，求EG的长. 解：（2）如图，连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵BD＝10，∴OB＝OD＝5. ∵OE＝OF，OA＝OC，∴AE＝CF.（7分） ∵AE＋CF＝EF，∴2AE＝EF＝2OE. ∴AE＝OE. ∵G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线. ∴EG＝OB＝2.5.（10分） 6.（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝5 cm，BC＝9 cm，动点P从点A出发，以每秒2 cm的速度沿▱ABCD的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒3 cm的速度沿▱ABCD的边顺时针匀速运动.设点P的运动时间为t秒（0＜t＜）. （1）当点P在BC上运动时，BP＝　（2t－5）　cm；（用含t的代数式表示） （2）当t＝　　秒时，P，Q两点相遇； （3）是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. 解：（3）存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形.（5分） 分两种情况：①如图1，当APCQ为平行四边形时，由题意，得PC＝（14－2t）cm，AQ＝3t cm.∵四边形APCQ为平行四边形，∴14－2t＝3t.∴5t＝14.∴t＝.（7分） ②如图2，当AQCP为平行四边形时，由题意，得AQ＝（28－3t）cm，PC＝（2t－14）cm.∵四边形AQCP为平行四边形，∴28－3t＝2t－14.∴5t＝42.∴t＝. 综上所述，t的值为或.（10分） 学科网（北京）股份有限公司 $