专题6 平行四边形（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（北师大版·新教材 河南专版）

**基本信息** 聚焦平行四边形性质判定及综合应用，通过分类讨论、中位线等思想方法，系统构建从基础到中考真题的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|选择1-6题（6题）|角平分线性质、对角线互相平分、折叠性质|从平行四边形角/边/对角线性质到梯形、坐标系中的应用| |判定与综合|填空9-11题+解答13题（4题）|对角线互相平分判定、作图法证角平分线|从判定定理到开放性试题，结合勾股定理解决计算| |数学思想与新考法|填空12题+解答14-15题（3题）|分类讨论动点位置、中位线定理逆向证明|以面积扩建、定理逆命题探究，体现几何直观与推理意识|

专题6　平行四边形 编者按：紧抓期末高频考点，配合“名师划重点”使用，稳固根基！ 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.如图，在▱ABCD中，BD平分∠ABC.若∠ABD＝70°，则∠C的度数为（　D　） A.100° B.80°　　 C.70° D.40° 第1题图 2.如图，在▱ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△BOC的周长是（　A　） A.21 B.25　　 C.28 D.32 第2题图 3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝5，∠C＝60°，则CD的长度为（　D　） A.10 B.6 　　 C.3  D.6 第3题图 4.如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（－1，－1），（2，－1），则顶点D的坐标是（　C　） A.（－3，2） B.（3，－2）　　 C.（3，2） D.（2，2） 第4题图 5.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列说法错误的是（　C　） A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度　　　　　　 B.CE＝FG C.线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离 D.AB＝CD 第5题图 6.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处.若∠1＝∠2＝44°， 则∠B的度数为（　D　） A.124° B.66°　　 C.104° D.114° 第6题图 7.［河南中考］如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　B　） A. B.1　　 C. D. 第7题图 解析：如图.由题意可知，BC＝AF＝BG＝2，∠AFD＝∠BGD＝90°.∵∠ADF＝∠BDG，∴△ADF≌△BDG（AAS）.∴AD＝BD.同理可得，AE＝CE.∴DE是△ABC的中位线.∴DE＝BC＝1.故选B. 8.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF分别交AD，BC于点E，F.若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为（　C　） A.6 B.4 　　 C.3  D.2  第8题图 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO.∵∠EOD＝∠FOB.∴△EOD≌△FOB（ASA）.∴S△EOD＝S△FOB.如图，过点A作AG⊥BC于点G.∵∠ABC＝60°，∴∠BAG＝30°.∴BG＝AB＝2.∴AG＝＝＝2 . ∴S▱ABCD＝BC•AG＝6×2 ＝12 .∴S阴影＝S△EOD＋S△COF＝S△FOB＋S△COF＝S△BOC＝S▱ABCD＝3 .故选C. 二、填空题（每小题3分，共12分） 9.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件　OB＝OD（答案不唯一）　，使四边形ABCD是平行四边形. 第9题图 10.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝6，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，Q为CD上一点，那么PQ＋CQ的最小值为　3　. 第10题图 11.如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于点F，G，分别以点F，G为圆心，大于FG的长为半径作弧，两弧交于点H，连接BH交AD于点E，连接CE.若CE⊥BC，AD＝3，BE＝2 ，则AB的长为　2　. 第11题图 解析：由作图过程可知，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3，AB＝CD.∴∠AEB＝∠CBE.∴∠ABE＝∠AEB.∴AB＝AE.在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE＝＝＝.设AB＝x，则CD＝AE＝x，DE＝3－x.在Rt△CDE中，由勾股定理，得CD2＝CE2＋DE2，即x2＝（）2＋（3－x）2.解得x＝2，即AB的长为2. 12.数学思想　分类讨论　 如图，四边形ABDC是平行四边形，AB＝8 cm，AC＝6 cm，点G在CD上，CG＝3 cm，动点E从点B出发，沿折线B→D→C→A→B的方向以2 cm/s的速度运动，动点F从点B出发，沿折线B→A→C→D→B的方向以1 cm/s的速度运动.若动点E，F同时出发，相遇时停止运动，在第　3或　s时，以点A，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形. 第12题图 解析：∵CG＝3 cm，CD＝AB＝8 cm，∴DG＝CD－CG＝8－3＝5（cm）.设运动时间为t s，分两种情况讨论：①如图1，点E在CD上，且在点G的右边，点F在AB上，四边形AGEF为平行四边形，则AF＝GE.∴8－t＝5－（2t－6）.解得t＝3.②如图2，点E在CD上，且在点G的左边，点F在AB上，四边形AEGF为平行四边形，则AF＝EG.∴8－t＝2t－6－5.解得t＝.综上所述，当t＝3或时，以点A，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形. 图1　　图2 三、解答题（共24分） 13.新考法　开放性试题 　（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，　①（或②）　. 请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形BCDE为平行四边形； 解：（1）证明：选择①.∵∠B＝∠AED，∴BC∥DE. ∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形.（4分） （或选择②.∵AE＝BE，AE＝CD，∴BE＝CD. ∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形.（4分）） （2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长. 解：（2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形， ∴DE＝BC＝10. ∵AD⊥AB，∴∠A＝90°. ∴AE＝＝＝6. ∴线段AE的长为6.（8分） 14.（8分）如图，某校操场角落处有一片四边形空地，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树.学校也准备进行一次绿化扩建，既想使这片空地的面积扩大一倍，又想保持四棵大树在边上不动，并要求扩建后的区域是平行四边形的形状.请问能否实现这一设想？若不能，请说明理由；若能，请你设计出所要求的平行四边形，并对设计方案进行简要说明（图形画规范，不要求用尺规作图；平行四边形的四个顶点分别用M，N，P，Q来表示；说理时，可以在图形上用S1，S2，S3……进行标注）. 解：能设计出所要求的平行四边形，如图所示.（3分） 理由如下：连接对角线AC，BD交于点O，过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线，过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线，四条平行线依次交于M，N，P，Q四点，则可得四边形AODQ，AOBM，BOCN，OCPD均为平行四边形.在▱AODQ中，AO＝QD，AQ＝OD，AD＝AD，∴△AQD≌△DOA（SSS）.∴S1＝S1′.同理可得，S2＝S2′，S3＝S3′，S4＝S4′.∴S▱MNPQ＝2S▱ABCD.∴▱MNPQ即为所求.故能设计出所要求的平行四边形.（8分） 15.［郑州市］（8分）如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点.对“三角形中位线定理”进行逆向思考，可得以下三个命题： Ⅰ.若D是AB的中点，DE＝BC，则E是AC的中点； Ⅱ.若DE∥BC，DE＝BC，则D，E分别是AB，AC的中点； Ⅲ.若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点. （1）小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题. 他的思考方法如下：在图2中用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点E，从而直观判断E不一定是AC的中点. 小明尺规作图的方法步骤如下： ①在图2中，作边BC的垂直平分线，交BC于点M； ②在图2中，以点D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC交于点E和E′. 请你在图2中完成以上作图. 解：（1）所作图形如图1所示.（3分） 图1 （2）小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明. 图1　图2 解：（2）选择命题Ⅱ. 证明：如图2，过点E作 EM∥AB交BC边于点M，连接DM.∵DE∥BC，∴四边形EDBM是平行四边形.∴BD＝EM，DE＝BM.∵DE＝BC，∴DE＝BM＝CM.∴四边形DECM是平行四边形.∴DM＝CE，DM∥CE.∴DM∥AE.（6分） 又∵EM∥AD，∴四边形ADME是平行四边形.∴AD＝EM，DM＝AE.∴AD＝BD，AE＝CE.∴D，E 分别是 AB，AC的中点.（8分） （或选择命题Ⅲ. 证明：如图3，延长ED至点F，使DF＝DE，连接BF. ∵D是AB的中点，∴AD＝BD.又∵∠ADE＝∠BDF，∴△ADE≌△BDF（SAS）.∴AE＝BF，∠AED＝∠BFD.∴AC∥BF.（6分） ∵DE∥BC，即EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形. ∴BF＝CE.∴CE＝AE.∴E是AC的中点.（8分）） 图2　　图3 学科网（北京）股份有限公司 $