专题5 分式与分式方程（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（北师大版·新教材 河南专版）

**基本信息** 聚焦分式与分式方程核心考点，融合跨学科情境与数学思想，通过典例解析构建“概念-运算-应用”三阶方法体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-3题|分式值为0的条件、基本性质应用|从分式定义到变形规则，构建概念认知基础| |运算技巧|选择6题、解答13-14题|分式化简步骤、符号处理、增根检验|通过过程性错误分析，强化运算规范性| |实际应用|选择4/7题、填空12题、解答15题|跨学科建模（生物/物理）、情境问题转化|以真实情境为载体，培养用数学语言表达现实世界的能力| |数学思想|填空11题|分类讨论（分式方程无解）|结合整式方程与分式方程的关联，发展逻辑推理意识|

专题5　分式与分式方程 编者按：紧抓期末高频考点，配合“名师划重点”使用，稳固根基！ 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.若分式 的值为0，则x的值为（　B　） A.－2 B.2　　 C.0 D.±2 2.如果分式 中的x，y的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　B　） A.不变 B.扩大到原来的2倍 C.扩大到原来的4倍 D.扩大到原来的5倍 3.下列式子从左到右的变形，正确的是（　B　） A.＝B.＝ C. ＝ D. ＝ 4.跨学科　生物 　牛奶和鸡蛋中含有丰富的蛋白质.已知m g牛奶中含a g蛋白质，比n g鸡蛋中含的蛋白质少b g，则m g鸡蛋中蛋白质的含量是（　B　） A.B. C.D. 5.若÷的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　C　） A.y＋2 B.3x　　 C.4y D.x－y 6.［郑州市］下面是小明、小亮和小芳三名同学在黑板上化简＋的做法. 小明：原式＝－＝＝＝. 小亮：原式＝（a＋3）（a－2）＋（2－a）＝a2＋a－6＋2－a＝a2－4. 小芳：原式＝－＝－＝＝1. 对于这三名同学的做法，你的判断是（　C　） A.小明的做法正确 B.小亮的做法正确　　 C.小芳的做法正确 D.都不正确 7.跨学科　物理 　在物理学中，物质的密度ρ等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即ρ＝.已知A，B两个物体的密度之比为31，当物体A的质量是200 g，物体B的质量是600 g时，物体B的体积比物体A的体积大24 cm3.如果设物体A的体积是x cm3，那么根据题意列方程为（　D　） A.3×＝ B.3×＝　　 C.＝3× D.＝3× 8.若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤－2，且关于y的分式方程＝－2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　D　） A.－26 B.－24　　 C.－15 D.－13 解析：解不等式组得∵不等式组的解集为x≤－2，∴＞－2.∴a＞－11.解分式方程＝－2得y＝.∵y是负整数且y≠－1.∴是负整数且≠－1.∴a＝－8或－5.∴所有满足条件的整数a的值之和－8－5＝－13.故选D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 9.新考法　开放性试题　 请写出一个关于x的分式，无论x取何值，该分式都有意义且当x＝1时分式的值为2：　（答案不唯一）　. 10.当a＝2，b＝1时，（ab3）2×（－）3÷（－）4＝　－1　. 11.数学思想　分类讨论 　已知关于x的分式方程－＝1.若此方程无解，则a的值为　－2或1　. 解析：方程两边同乘x（x－1），得x（x－a）－3（x－1）＝x（x－1），整理得（a＋2）x＝3.分两种情况讨论：①当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝－2.②当a＋2≠0时，要使原分式方程无解，则x（x－1）＝0.解得x＝0或x＝1.把x＝0代入整式方程，a的值不存在.把x＝1代入整式方程，得a＝1.综上所述，a的值为－2或1. 12.真实情境　斑马线路段问题 　斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12 m，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是　1　m/s. 三、解答题（共24分） 13.（8分）解分式方程： （1）＋1＝；　　　　　　　　　　　 解：（1）方程两边都乘2x－2，得2x＋2x－2＝3. 解得x＝.（2分） 检验：把x＝代入2x－2，得2×－2＝≠0. ∴原分式方程的解为x＝.（4分） （2）－＝2. 解：（2）方程两边都乘x－3，得x－2－1＝2（x－3）. 解得x＝3.（2分） 检验：把x＝3代入x－3，得3－3＝0. ∴x＝3是原分式方程的增根.∴原分式方程无解.（4分） 14.新考法　过程性学习 　（8分）下面是小明同学化简分式（－）÷的过程.请认真阅读，完成下列任务. 解：原式＝÷……第一步 ＝（－）÷……第二步 ＝•……第三步 ＝1.……第四步 任务一：①第一步变形用到的数学方法是　因式分解　，第二步运算的依据是　分式的基本性质　； ②第　三　步开始出错，错误的原因是　去括号时，数字1前面的符号没有改变　； ③化简该分式的正确结果是　　； 任务二：请从不等式－1≤a≤3的整数解中，选择一个合适的值作为a的值代入，求出（－）÷的值. 解：任务二：要使分式有意义，则a≠±3且a≠－1. ∵－1≤a≤3的整数解有－1，0，1，2，3，∴a可取0，1，2.（7分） 当a＝0时，原式＝＝－1.（8分） （或当a＝1时，原式＝＝0.（8分） 或当a＝2时，原式＝＝.（8分）） 15.［合肥市］（8分）某商场销售甲，乙两种产品，甲产品的售价为每个210元，乙产品的售价为每个150元，每个甲产品的进价比乙产品的进价多40元，商场用6 400元购进甲产品的数量与用4 800元购进乙产品的数量相等. （1）求甲，乙两种产品的进价； 解：（1）设每个乙产品进价为x元，则每个甲产品进价为（x＋40）元. 根据题意，得＝.解得x＝120. 经检验，x＝120是原方程的根.∴x＋40＝120＋40＝160. 答：甲，乙两种产品的进价分别为160元，120元.（3分） （2）现计划购进甲，乙两种产品共150个，设购进甲产品x个，两种产品全部售完，商场获利y元.要求购进甲产品的数量不高于乙产品的2倍，总利润不低于5 700元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； 解：（2）根据题意，得x≤2（150－x）.解得x≤100. ∵y＝（210－160）x＋（150－120）（150－x）＝20x＋4 500，∴20x＋4 500≥5 700.解得x≥60.∴60≤x≤100. 合理的方案共有100－60＋1＝41（种）. 当x＝100时，y有最大值.y最大＝20×100＋4 500＝6 500. 答：合理的方案共有41种，其中购进甲产品100个，乙产品50个，获利最大，最大利润为6 500元.（6分） （3）在（2）的条件下，商场对甲产品每个售价降低m元，乙产品每个售价增加n元，两个产品进价不变，且m＝6＋n.若销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响，求m的值. 解：（3）∵m＝6＋n，∴n＝m－6. 根据题意，得y＝（210－m－160）x＋（150＋n－120）（150－x）＝（50－m）x＋（30＋n）（150－x）＝（50－m）x＋（24＋m）（150－x）＝（26－2m）x＋150（24＋m）. ∵销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响， ∴26－2m＝0.解得m＝13.（8分） 学科网（北京）股份有限公司 $