专题4 因式分解（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（北师大版·新教材 河南专版）

**基本信息** 聚焦期末高频考点，以“概念辨析-方法应用-综合拓展”为逻辑主线，系统覆盖提公因式、公式法、分组分解等核心方法，强化代数推理与跨学科应用，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题（选择1-3）|因式分解定义辨析、公因式确定方法|从定义出发，区分因式分解与整式变形，建立概念认知| |基础方法应用|11题（选择4-8、填空9-12、解答13-14）|提公因式法、平方差/完全平方公式法、简便计算技巧|公因式确定→公式适用条件→简单求值与应用，形成方法链| |综合拓展|2题（解答15-16）|分组分解法、代数推理与实际建模|结合跨学科（物理）与新考法（阅读理解），实现知识迁移与创新应用|

专题4　因式分解 编者按：紧抓期末高频考点，配合“名师划重点”使用，稳固根基！ 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（　B　） A.x2＋2x－1＝x（x＋2）－1 B.x2－2xy＝x（x－2y） C.6xy2＝3x•2y2 D.2x＋1＝x（2＋） 2.在多项式15a4b3－6a2b5c中，各项的公因式是（　A　） A.3a2b3 B.6a4b5　　 C.15a2 D.3a2 b3c 3.下列多项式，能用公式法分解因式的有（　B　） ①x2＋y2；②－x2＋y2；③x2＋4xy－4y2；④－x2＋4xy－4y2；⑤－x2－y2. A.1个 B.2个　　 C.3个 D.4个 4.若多项式x2＋mx－28可因式分解为（x＋4）（x－7），则m的值为（　A　） A.－3 B.3　　 C.－11 D.11 5.如图，邻边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b＋ab3＋2a2b2的值为（　D　） A.70 B.140　　 C.256 D.490 6.若m为自然数，则（3m＋2）2－5m2的值总能（　B　） A.被3整除 B.被4整除　　 C.被5整除 D.被6整除 7.已知△ABC的三边长a，b，c满足条件 a4－b4＝a2c2－b2c2，则△ABC的形状是（　D　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 8.在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便.原理如下：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2）.若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3－xy2，取x＝30，y＝20，用上述方法产生的密码不可能是（　B　） A.301050 B.103020　　 C.305010 D.501030 二、填空题（每小题3分，共12分） 9.新考法　开放性试题 　多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是　4x（答案不唯一）　. 10.跨学科　物理 　如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3.当R1＝20，R2＝32，R3＝48，I＝2.2时，U的值为　220　. 第10题图 11.［教材P113第3题改编］我们在学习乘法公式时，可以用几何图形来推理论证.受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长为a的正方形纸片剪去1个长为a、宽为b的长方形和2个边长为b的正方形之后，再将图1的阴影部分沿虚线剪开，拼成了如图2所示的长方形.观察图1和图2的阴影部分的面积，请从因式分解的角度，用一个含有a，b的等式表示从图1到图2的变化过程：　a2－ab－2b2＝（a＋b）（a－2b）　. 第11题图 12.新考法　代数推理 　如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，如8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52，即8，16，24均为“和谐数”.若将这一列和谐数8，16，24……由小到大依次记为a1，a2，a3，…，an，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝　440　. 三、解答题（共34分） 13.（12分）因式分解： （1）6a2m－3am；　　　 解：（1）原式＝3am（2a－1）.（3分） （2）2a3－12a2b＋18ab2； 解：（2）原式＝2a（a2－6ab＋9b2）＝2a（a－3b）2.（3分） （3）x2（x＋y）－y2（y＋x）；　　　　 解：（3）原式＝（x＋y）（x2－y2）＝（x＋y）2（x－y）.（3分） （4）9（m＋n）2－（m－n）2. 解：（4）原式＝［3（m＋n）＋（m－n）］［3（m＋n）－（m－n）］＝（3m＋3n＋m－n）（3m＋3n－m＋n）＝（4m＋2n）（2m＋4n）＝4（2m＋n）（m＋2n）.（3分） 14.（6分）利用因式分解进行简便计算： （1）25×1012－992×25；　　　　 解：（1）原式＝25×（1012－992）＝25×（101＋99）×（101－99）＝25×200×2＝10 000.（3分） （2）242－24×50＋252. 解：（2）原式＝242－2×24×25＋252＝（24－25）2＝1.（3分） 15.新考法　阅读理解题 　（8分）阅读下面的材料，解答下面的问题. ①将3n－mn－6＋2m因式分解. 解：原式＝（3n－mn）－（6－2m）＝n（3－m）－2（3－m）＝（3－m）（n－2）. ②将m2－6mn＋9n2－16因式分解. 解：原式＝（m2－6mn＋9n2）－16＝（m－3n）2－16＝（m－3n＋4）（m－3n－4）. 小明发现：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，可以将多项式分为若干组，如四项中每两项为一组，或者三项为一组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的. （1）请用分组分解法将下列代数式因式分解： ①－a3＋2a2＋4a－8；　 解：（1）①原式＝（－a3＋2a2）＋（4a－8）＝－a2（a－2）＋4（a－2）＝（－a2＋4）（a－2）＝－（a2－4）（a－2）＝－（a＋2）（a－2）（a－2）＝－（a＋2）（a－2）2.（2分） ②a2－10ab＋25b2－2a＋10b＋1. 解：（1）②原式＝（a2－10ab＋25b2）－（2a－10b）＋1＝（a－5b）2－2（a－5b）＋1＝（a－5b－1）2.（4分） （2）如图是边长为a，b的两个正方形组成的图形（a＞b），若两个正方形的面积之和为194，阴影部分的面积为72.根据以上信息，先将a4－b4－12a2＋4b2＋32因式分解，再求值. 解：（2）原式＝（a4－12a2＋36）－（b4－4b2＋4）＝（a2－6）2－（b2－2）2＝（a2－6＋b2－2）（a2－6－b2＋2）＝（a2＋b2－8）（a2－b2－4）.（6分） 由题意可知，a2＋b2＝194，阴影部分的面积为（a－b）•a＋（a－b）•b＝（a＋b）（a－b）＝（a2－b2）＝72，即a2－b2＝144. ∴原式＝（194－8）×（144－4）＝26 040.（8分） 16.［教材P121素材改编］（8分）定义：若一个大于1的正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，例如7＝42－32，7就是一个智慧数. （1）小明通过求相邻的两个正整数的平方差发现：大于1的奇数都是智慧数，请利用因式分解的方法证明； 解：（1）证明：设相邻的两个正整数分别为n和n＋1，则（n＋1）2－n2＝n2＋2n＋1－n2＝2n＋1，即2n＋1＝（n＋1）2－n2. ∴大于1的奇数都是智慧数.（2分） （2）小明通过求相隔2的两个正整数的平方差深入研究发现：大于4且能被4整除的数都是智慧数，请利用因式分解的方法证明； 解：（2）证明：设相隔2的两个正整数分别为n和n＋2，则（n＋2）2－n2＝n2＋4n＋4－n2＝4n＋4＝4（n＋1），即4（n＋1）＝（n＋2）2－n2. ∵n是正整数，∴4（n＋1）＞4. ∴大于4且能被4整除的数都是智慧数.（5分） （3）在一次科技展览活动中，展品编号从100到200（包含100和200），其中智慧数对应的展品会有特殊的互动环节，求有特殊互动环节的展品数量. 解：（3）奇数：从101到199，奇数有（199－101）÷2＋1＝50（个）.∵奇数都是智慧数，∴有50个智慧数.大于4且能被4整除的数：从100到200中，100＝4×25，200＝4×50，这样的数有50－25＋1＝26（个）.∵大于4且能被4整除的数都是智慧数，∴智慧数一共有50＋26＝76（个），即有特殊互动环节的展品数量为76.（8分） 学科网（北京）股份有限公司 $