试卷5 焦作市2024-2025学年下学期期末学情调研试题卷（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷（北师大版·新教材 河南专版）

**基本信息** 立足八年级下学期核心知识，融合亚冬会吉祥物等社会热点与探究性问题，梯度设计适配期末学情检测，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、不等式变形、因式分解|基础概念与几何直观结合，如第1题图形识别| |填空题|5/15|分式意义、旋转坐标、不等式组|综合计算与空间观念，如第15题旋转动态分析| |解答题|8/75|配方法应用、几何证明、利润问题|探究性与应用意识，如第22题亚冬会购物情境，第23题平行四边形判定探究|

试卷5　焦作市 刷八年级下学期期末学情调研试题卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1.下列体育运动图标中，是中心对称图形的是（　B　） A. B. C. D. 2.若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　C　） A.a＋5＜b＋5 B.＜ C.2a－1＞2b－1 D.－3a＞－3b 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB的值为（　B　） A.100° B.115° C.130° D.145° 4.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　B　） A.2a（b－c）＝2ab－2ac B.a2－9＝（a＋3）（a－3） C.ab＋ac＋1＝a（b＋c）＋1 D.（x－2）（x＋2）＝x2－4 5.如果把分式 中的x和y都变为原来的5倍，那么分式的值（　A　） A.变为原来的5倍 B.变为原来的25倍 C.变为原来的 D.不变 6.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　B　） A.AB＝BC B.AD＝BC C.OA＝OB D.AC⊥BD 7.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E.已知AB＝8，AC＝12，则DE的长为（　D　） A.5 B.4 C.3 D.2 8.若k为任意整数，则（k＋3）2－（k－2）2的值总能（　C　） A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 9.生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌.下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（　B　） A.正方形 B.正五边形 C.正六边形 D.正十二边形 10.如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2 025次旋转后，顶点D的坐标为（　A　） A.（－，－） B.（，－） C.（－，） D.（－，－） 解析：如图，连接AD，BD. 在边长为1的正六边形ABCDEF中，∠FAB＝∠BCD＝∠CDE＝＝120°，AB＝BC＝CD＝1，∴∠DAB＝∠CDA＝∠CDE＝60°，∠CDB＝（180°－∠BCD）＝×60°＝30°.∴∠ADB＝∠CDA－∠CDB＝30°.∴∠ABD＝180°－∠DAB－∠ADB＝180°－60°－30°＝90°.∴AD＝2AB＝2.∴BD＝＝＝. 在Rt△AOF中，AF＝1，∠OAF＝180°－∠FAB＝60°，∴∠OFA＝30°.∴OA＝AF＝. ∴OB＝OA＋AB＝.∴点D的坐标为（，）. ∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，∴6次一个循环. ∵2 025÷6＝337……3，∴经过第2 025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D3的坐标相同.∵D与D3关于原点对称，∴D3（－，－）.∴经过第2 025次旋转后，顶点D的坐标为（－，－）.故选A. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.要使分式有意义，请写出一个满足条件的x的值　2（答案不唯一）　. 12.若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是　m≤2　. 13.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－3x和y＝kx＋b相交于点A.若不等式－3x≥kx＋b的解集为x≤－1，则点A的坐标为　（－1，3）　. 14.若关于x的分式方程 ＝有增根，则k的值为　1　. 15.如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得△AB′D′，连接BD′，当BD′∥AC时，BD′的长为　＋或－　. 解析：∵AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠C＝（180°－∠ABC）＝45°，AC＝＝2 . ∵D为BC的中点，∴BD＝BC＝1. ∴AD＝＝. 根据旋转的性质，可知AD′＝AD＝. 当BD′∥AC时，对于BD′的位置，分两种情况：①如图1，当点D′在点B的左侧时，过点A作AE⊥BD′于点E， 图1 ∴∠AEB＝∠AED′＝90°. ∵BD′∥AC，∴∠ABE＝∠BAC＝45°. 在Rt△ABE中，AB＝2， 由勾股定理，得AB＝＝＝AE＝2. ∴BE＝AE＝. ∴ED′＝＝＝. ∴BD′＝ED′＋BE＝＋. ②如图2，当点D′在点B的右侧时，过点B作BE⊥AC于点E，过点D′作D′F⊥AC于点F， 图2 ∴∠AEB＝∠CEB＝∠AFD′＝90°. ∵∠BAC＝45°，∴AB＝＝＝AE＝2. ∴BE＝AE＝. ∵BE⊥AC，D′F⊥AC，∴BE∥D′F. ∵BD′∥AC，∴四边形BEFD′为平行四边形. ∴EF＝BD′，D′F＝BE＝. ∴AF＝＝＝. ∴BD′＝EF＝AF－AE＝－. 综上所述，BD′的长为－或＋. 三、解答题（本题8小题，共75分） 16.（10分）（1）分解因式：2x3－2x； 解：（1）原式＝2x（x2－1）（3分） ＝2x（x＋1）（x－1）.（5分） （2）解不等式组： 解：（2） 解不等式①，得x＞－2.（2分） 解不等式②，得x≤.（4分） 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示. ∴不等式组的解集为－2＜x≤.（5分） 17.（8分）先化简，再求值：（1－）÷，选择一个适当的数作为x的值代入求值. 解：原式＝•＝.（4分） 分式有意义时，x不可取－1，2.（6分） ∴当x＝3时，原式＝＝3.（答案不唯一）（8分） 18.（8分）【阅读材料】配方法是数学中一种重要的思想方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题. ①用配方法分解因式 例1：分解因式x2＋4x－5. 解：原式＝x2＋4x＋22－22－5＝（x＋2）2－9 ＝（x＋2＋3）（x＋2－3）＝（x＋5）（x－1）. ②用配方法求值 例2：已知x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，求x＋y的值. 解：原方程可化为x2－2x＋1＋y2＋4y＋4＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝0. ∵（x－1）2≥0，（y＋2）2≥0，∴x＝1，y＝－2.∴x＋y＝－1. 请根据上述材料，解决下列问题： （1）用配方法分解因式a2－2a－3； 解：（1） 原式＝a2－2a＋1－1－3＝（a－1）2－4（2分） ＝（a－1＋2）（a－1－2） ＝（a＋1）（a－3）.（4分） （2）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足a2＋b2－8a－10b＋41＝0，求边c的取值范围. 解：（2）原方程可化为（a2－8a＋16）＋（b2－10b＋25）＝0，即 （a－4）2＋（b－5）2＝0.（6分） ∵（a－4）2≥0， （b－5）2≥0， ∴a＝4，b＝5.（7分） 根据三角形的三边关系，可知5－4＜c＜4＋5. ∴边c的取值范围为1＜c＜9.（8分） 19.（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（－1，3），B（－2，1），C（2，2）. （1）将△ABC先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.（3分） （2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A2BC2，画出△A2BC2； 解：（2）如图，△A2BC2即为所求.（5分） （3）从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到　3　个平行四边形，写出其中一个平行四边形的面积　　S▱ABB1A1＝7（答案不唯一）　. 20.（9分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF. （1）求证：AD⊥CF； 解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°. ∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴∠BDE＝45°. ∵BF∥AC，∴∠CBF＝180°－∠ACB＝90°. ∴∠BFD＝45°＝∠BDE.∴BF＝DB.（3分） ∵D为BC的中点，∴CD＝DB.∴BF＝CD. 在△CBF和△ACD中，BF＝CD， ∠CBF＝∠ACD＝90°，CB＝AC， ∴△CBF≌△ACD（SAS）.（5分） ∴∠BCF＝∠CAD. ∵∠BCF＋∠GCA＝90°，∴∠CAD＋∠GCA＝90°. ∴AD⊥CF.（6分） （2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由. 解：（2）△ACF是等腰三角形.（7分） 理由如下：由（1）知，△CBF≌△ACD， ∴CF＝AD. ∵△DBF是等腰三角形，且BE是∠DBF的平分线， ∴BE垂直平分DF.（8分） ∵点A在直线BE上， ∴AF＝AD.∴CF＝AF. ∴△ACF是等腰三角形.（9分） 21.（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线. （1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ABC的平分线交AC于点E； 解：（1）如图，BE即为所求.（3分） （2）在（1）的条件下，若F是AC上一点且DF∥BE.求证：DF平分∠ADC； 解：（2）证明：∵DF∥BE，∴∠BEF＝∠EFD. ∴180°－∠BEF＝180°－∠EFD，即∠AEB＝∠CFD.（4分） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB ∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC. ∴∠BAE＝∠DCF.（5分） ∴△BAE≌△DCF（AAS）.∴∠ABE＝∠CDF.（7分） ∵∠ABC＝∠ADC，∠ABE＝∠ABC， ∴∠CDF＝∠ADC.∴DF平分∠ADC.（8分） （3）在（1）（2）的条件下，若AB⊥AC，∠ABC＝60°，则S△ABES△BCE＝　1:2　. 22.（10分）2025年2月7日至2月14日第9届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受大众喜爱.某商场购进一批“滨滨”和“妮妮”吉祥物的布偶共300件，其中购进“滨滨”布偶用了4 000元，购进“妮妮”布偶用了12 000元，已知每件“妮妮”的进价是“滨滨”的1.5倍. （1）求每件“滨滨”和“妮妮”布偶的进价； 解：（1）设每件“滨滨”布偶的进价是x元，则每件“妮妮”布偶的进价是1.5x元. 由题意，得 ＋＝300.解得x＝40.（3分） 经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意.∴1.5x＝1.5×40＝60. 答：每件“滨滨”布偶的进价是40元，每件“妮妮”布偶的进价是60元.（5分） （2）如果两款吉祥物布偶按进价的1.5倍标价销售，“滨滨”很快售完，那么“妮妮”至少售出多少件后，剩余的按五折优惠售出，才能使两款吉祥物布偶全部售完的总利润不低于5 750元（不考虑其他因素）. 解：（2）设“妮妮”布偶售出m件后，剩余的按五折优惠售出.由题意，得“滨滨”的销售总利润为（40×1.5－40）×（4 000÷40）＝2 000（元）.“妮妮”的销售总利润为（60×1.5－60）m＋（60×1.5×0.5－60）（12 000÷60－m）＝45m－3 000.2 000＋45m－3 000≥5 750.解得m≥150.（8分） ∴至少售出150件，利润才能不低于5 750元.（10分） 23.（11分）某数学兴趣小组发现平行四边形（邻边不相等）的对角平分线互相平行. 合作探究：同学们讨论时，甲同学提出一组对角平分线互相平行的四边形是平行四边形；乙同学说“不对，应该是一组对角相等，且这一组对角的平分线互相平行的四边形是平行四边形”. （1）意见正确的同学是　②　（填序号）； ①甲正确　　②乙正确　　③都不正确 （2）如果你认为哪位同学的意见正确，请就下面的图形写出已知条件并给予证明；如果认为两个人的说法都不正确，请说明理由. 已知：如图，在四边形ABCD中，DF，BE　分别是∠ADC，∠ABC的平分线，且∠ADC＝∠ABC　，DF∥BE. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 解：证明：∵DF，BE分别是∠ADC，∠ABC的平分线， ∴∠CDF＝∠ADC，∠ABE＝∠ABC. ∵∠ADC＝∠ABC，∴∠CDF＝∠ABE.（5分） ∵ DF∥BE，∴∠AFD＝∠ABE. ∴∠AFD＝∠CDF.∴CD∥AB.（7分） ∴∠ADC＋∠A＝180°. ∴∠ABC＋∠A＝180°.∴AD∥BC. ∴四边形ABCD为平行四边形.（9分） 拓展探究：同学们改变条件，继续研究，请帮助同学们计算下面的问题： （3）一组对角互补，且这一组对角的平分线互相平行的四边形相邻三边的长依次是，2，，这个四边形的面积是　＋或＋　. 解析：分两种情况：①如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，且BE∥DF，AB＝，BC＝2，CD＝，连接BD. 图1 ∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC， ∴∠ABE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADC. ∵BE∥DF，∴∠AFD＝∠ABE＝∠ABC， ∠CEB＝∠CDF＝∠ADC. ∴∠AFD＋∠ADF＝（∠ABC＋∠ADC）＝90°，∠CBE＋∠CEB＝（∠ABC＋∠ADC）＝90°. ∴∠A＝∠C＝90°，BD＝＝＝. ∴AD＝＝＝. ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB•AD＋BC•CD＝××＋×2×＝＋. ②如图2，在四边形ABCD中， ∠BCD＋∠DAB＝180°，AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD，且AE∥CF，AB＝，BC＝2，CD＝，连接AC. 图2 同理可得，∠B＝∠D＝90°， ∴AC＝＝＝3， AD＝＝＝. ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB•BC＋AD•CD＝××2＋××＝＋. 综上所述，四边形ABCD的面积为＋或＋. 学科网（北京）股份有限公司 $