专题06 图形的变化7大考点（福建专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题06 图形的变化 7大考点概览 考点01 平移 考点02 轴对称 考点03 旋转 考点04 中心对称 考点05 相似三角形 考点06 锐角三角函数 考点07 投影与视图 平移 考点01 1．（2026·福建泉州·一模）如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 2．（2026·福建泉州·一模）如图，将一块直角三角尺（，）沿射线方向平移到三角尺的位置，点A的对应点为点D．若，，则的长为________．    轴对称 考点02 1．（2026·福建漳州·一模）下列博物馆标志图案中，既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建福州·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·一模）数学推理与运算离不开数学符号的规范使用，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建泉州·一模）如图，小明利用折叠矩形纸片进行数学探究活动： 第一步：先折叠矩形纸片，确定边的中点，连接； 第二步：将沿折叠至处，点与点对应．连接，延长交于点； 第三步：点是边上一点，连接，将沿折叠，且点与点重合． (1)求证：； (2)求的值； 5．（2026·福建三明·一模）如图，在中，为钝角．，点在上，， (1)将沿翻折得到，请尺规作图画出点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 6．（2026·福建·一模）如图，在正方形中，点P，点Q分别在边和上，连接交对角线于点E，将正方形沿折叠，使点A落在边上的点F处，点D落在点G处，交于点H． (1)求证：； (2)求证：A，E，H三点共线； (3)设正方形的面积为，面积为，求的最小值． 旋转 考点03 1．（2026·福建厦门·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的平行线，过点C作的平行线，相交于点E．下列三角形中，可以看成由绕点O旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，中，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接交于点．取的中点，连接，．若，，，则的长为______． 3．（2026·福建泉州·一模）如图，正方形的边在的边上，点在边上，，，点为射线上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当取最小值时，则___________． 4．（2026·福建厦门·一模）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为________． 5．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，，．将绕点C顺时针旋转得到，点D在上．求的度数． 6．（2026·福建泉州·一模）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． (1)如图1，当点D，E分别在上时，求证； (2)如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（），连接，，，． ①设，求k的值； ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 7．（2026·福建泉州·一模）如图，在中，，点D是边上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转到位置，且，连接．求证：． 8．（2026·福建泉州·一模）如图1，在等边三角形中，为边延长线上的一点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)如图2，将线段BF沿方向平移的长度得到线段与相交于点，连接． ①求证：三点在同一条直线上； ②当时，求的值． 9．（2026·福建厦门·一模）将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接．将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接交于点N． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，，求线段的长度． 10．（2026·福建漳州·一模）在中，，，．将绕点B顺时针旋转得到，直线，交于点P． （1）如图1，当时，连接． ①求的面积； ②求的值； （2）如图2，连接，若F为中点，求证；C，E，F三点共线． 中心对称 考点04 1．（2026·福建漳州·一模）下列属于中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）点关于原点对称的点的坐标是______. 3．（2026·福建福州·一模）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)作出关于坐标原点O成中心对称的； (2)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心坐标为______． 相似三角形 考点05 1．（2026·福建泉州·一模）如图，点在双曲线上，轴，垂足为，过点作交双曲线于点，连接，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2.（2026·福建泉州·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建漳州·一模）如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（   ） A． B． C． D． 4.（2026·福建福州·一模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上，若线段，则线段的长是（   ） A． B． C．1 D． 5．（2026·福建泉州·一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 7．（2026·福建泉州·一模）如图，在中，．若，，则________． 8．（2026·福建三明·一模）如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为________． 9．（2026·福建三明·一模）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5m，AC在地面的影长CM＝4.5m，则窗户的高度为_________m． 10．（2026·福建漳州·一模）如图，内接于，直径交于点G，过点D作射线，使得，延长交过点B的切线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 11．（2026·福建三明·一模）在中，，以为直径的分别交线段，于点D，E，连接． (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，过点E作，垂足为点F，交于点G，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 12．（2026·福建·一模）如图，的外接圆的直径交于点，过点作于点，延长交于点，连接，． (1)求证：； (2)若平分． ①已知，，求的长； ②若点为的中点，且，，三点在同一直线上，试猜想与的数量关系，并证明你的结论． 13．（2026·福建泉州·一模）（1）如图1，在中，，在边上任取一点D，连接，将沿着翻折，得到，且点在直线的上方．连接并延长与的延长线交于点E． ①与之间有怎样的位置关系？请证明你的结论； ②若，请探究与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． （2）如图2，在平行四边形中，，，，点E是边上的点，满足，将绕着点E顺时针旋转得到．过点E作交于点N，连接，，．若，则四边形的面积为__________． 14．（2026·福建福州·一模）如图，在中，，，，于B，点D为射线上一点，连接，若与相似． (1)求的长； (2)请直接写出与的面积比． 15．（2026·福建福州·一模）抛物线经过点A，B，C，已知，． (1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标； (2)点D在上方的抛物线上． ①如图1，若，求点D的坐标； ②如图2，直线交y轴于点N，过点B作的平行线交y轴于点M，当点D运动时，求的最大值及此时点D的坐标． 16．（2026·福建漳州·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 锐角三角函数 考点06 1．（2026·福建三明·一模）2025年7月15日5时34分，搭载“天舟九号”货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射．当火箭上升到点A时，位于发射场地面R处的雷达测得点R到点A的距离为，仰角为θ，则此时火箭距地面的高度为（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·福建漳州·一模）如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 3．（2026·福建·一模）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于，否则就有危险，那么梯子的长至少为（  ） A．8米 B．米 C．米 D．米 4．（2026·福建泉州·一模）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为______m． 投影与视图 考点07 1．（2026·福建厦门·一模）如图所示的几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建泉州·一模）如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建三明·一模）如图1，陀螺是中国传统文化的重要组成部分，其历史可追溯至7000多年前的河姆渡遗址，是世界上现存最古老的玩具之一，如图2，陀螺的轮廓可以近似抽象成是由圆柱和圆锥组合而成，那么该几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·福建泉州·一模）如图是小东根据某建筑物的最顶层抽象制作的模型示意图，则该模型的主视图是（   ） A．B．C． D． 5．（2026·福建漳州·一模）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·福建三明·一模）如图1为同学们学习了电压和电阻的知识后，制作的简易调光台灯，图2是该台灯的灯罩部分，其俯视图为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·福建泉州·一模）杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．如图是常见的一种秤砣，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·福建漳州·一模）如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 9．（2026·福建泉州·一模）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在任意的中，、、所对的边分别为a、b、c，则有：，称为正弦定理，是解三角形的重要结论之一． 【问题提出】 洛阳桥是泉州“海丝”文化遗产，承载着宋元时期的造桥智慧．某校数学兴趣小组为绘制洛阳桥古桥遗址分布图，需测量江两岸A、B两处古桥遗址的水平距离，因江宽及地形限制，无法直接测量，小组结合数学知识设计了如下测量方案． 【方案设计】 测量工具： 测角仪：可测量水平面上两点与观测点连线的夹角； 测距仪：可测量任意可到达的两点间的水平距离，量程范围：． 测量过程： 步骤一：如图2，在江岸边空旷处选取一点C（点C可观测到A、B两点）； 步骤二：分别站在A、B两处测得，； 步骤三：测得． 【问题解决】 请你利用【阅读材料】中的正弦定理和特殊锐角三角函数值，解决下列问题： (1)求A、B两处古桥遗址间的实际距离；（精确到1米，参考数据：，，） (2)在江岸边另一空旷处取一点D，测得，，求． 10．（2026·福建厦门·一模）如图1，在中，为直径，C为上的点，且在直径上方，D为上的点，且在直径下方，C，D不与A，B重合，交于点E． (1)若，，求； (2)当时． ①如图2，试探究，，的数量关系，并说明理由； ②如图3，过C作，交于点F，过F作，交于点G，当时，求证：F，G，D三点共线． 11．（2026·福建泉州·一模）计算：． 12．（2026·福建三明·一模）计算：． 13．（2026·福建三明·一模）如图，点、在上，过点的切线交所在的直线于点，过点作于，连接． (1)求证：平分； (2)连接并延长，交于点，若．求的值． 14．（2026·福建漳州·一模）如图，菱形． (1)求作矩形，使得点，分别在，的延长线上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的值． 15．（2026·福建泉州·一模）计算：． 16．（2026·福建·一模）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 17．（2026·福建·一模）阅读下列材料，解答问题． 【背景】如图1，李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡，为方便浇水灌溉，从家里铺设的水管到果园，原来经过小土坡铺设的水管（）由于风吹日晒，老化损坏，现在李叔准备从土坡下直接埋一条水管（D，B，C，E在同一直线上）． 【问题】为了计算新水管的长度，需要测量B，C之间的距离； 要了解水管承受的压力，需要测量土坡的高度． 【工具】一把皮尺和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小． 【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度，，再用测角仪测得． 解答问题： (1)求的长度；（结果用含a，b，的代数式表示） (2)若测得，，，求出小土坡的高度． 18．（2026·福建·一模）计算：． 19．（2026·福建·一模）计算： 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 图形的变化 7大考点概览 考点01 平移 考点02 轴对称 考点03 旋转 考点04 中心对称 考点05 相似三角形 考点06 锐角三角函数 考点07 投影与视图 平移 考点01 1．（2026·福建泉州·一模）如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键； 根据平移可进行求解． 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，将一块直角三角尺（，）沿射线方向平移到三角尺的位置，点A的对应点为点D．若，，则的长为________．    【答案】4.5 【分析】先根据图形平移性质求得，再求出的长度，最后根据“直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半”求得的长． 【详解】解：∵直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点A的对应点为点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 轴对称 考点02 1．（2026·福建漳州·一模）下列博物馆标志图案中，既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； B、该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故符合题意； C、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 2．（2026·福建福州·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行分析判断即可求解． 【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意， 故选：A． 3．（2026·福建泉州·一模）数学推理与运算离不开数学符号的规范使用，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，解题的关键是掌握两种图形的判定方法（轴对称图形沿直线折叠后重合，中心对称图形绕中心旋转后重合）． 分别判断各选项图形是否同时满足轴对称和中心对称的判定条件． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意； 故选：D． 4．（2026·福建泉州·一模）如图，小明利用折叠矩形纸片进行数学探究活动： 第一步：先折叠矩形纸片，确定边的中点，连接； 第二步：将沿折叠至处，点与点对应．连接，延长交于点； 第三步：点是边上一点，连接，将沿折叠，且点与点重合． (1)求证：； (2)求的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，再结合两次折叠的角平分线特征，证明两角相等； （2）解法：通过设参数表示线段长度，利用定理证明直角三角形全等，结合（1）的结论证明平行线，再通过相似三角形的比例关系求解线段比值； 解法：利用折叠的直角性质证明三点共线，结合矩形对边平行与折叠的等角性质，证明等腰三角形，再通过设参数建立线段关系，求解线段比值． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 由图形折叠的特征可得：，， ． （2）解：连接． 解法： 设，，则，． ， ， 易得， ， ， ， ， ， 由（1），得， ， ， ，即， ， ， ， ． 解法：由图形折叠的特征可得：，， ， ， 三点共线， ， ， ， ， ， 设，，则，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练运用相关定理和性质是解答本题的关键． 5．（2026·福建三明·一模）如图，在中，为钝角．，点在上，， (1)将沿翻折得到，请尺规作图画出点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）以点为圆心、长为半径画弧，以点为圆心、长为半径画弧，两弧的交点即为点，连接、； （2）过点作于点，先利用的等腰三角形三线合一性质求出，再根据沿翻折的全等性质推出，结合已知得到，因此，在中利用三角函数求出，再通过勾股定理算出，接着利用三角形外角性质推出，由等角对等边得到，进而算出，最后在中通过勾股定理求出的长． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，过点作，垂足为， 又∵， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 6．（2026·福建·一模）如图，在正方形中，点P，点Q分别在边和上，连接交对角线于点E，将正方形沿折叠，使点A落在边上的点F处，点D落在点G处，交于点H． (1)求证：； (2)求证：A，E，H三点共线； (3)设正方形的面积为，面积为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)的最小值为 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、平行四边形的判定与性质、圆的性质等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键． （1）作，交于点W，结合正方形及折叠性质证明，即可证明结论； （2）作于点W，连接，设交于点，先证明，再证明，证明点A、B、F、共圆即可证明结论； （3）作于点W，作的外接圆O，连接，作于点V，设，则，求出及，当A、O、V共线时a最小，即可求出结论． 【详解】（1）证明：如下图，作，交于点W， ∵正方形沿折叠，使点A落在边上的点F处， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如下图，作于点W，设交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∵正方形沿折叠，使点A落在边上的点F处， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点A、B、F、共圆， ， 点在上，即点E与点重合， ∴A，E，H三点共线； （3）解：如下图，作于点W，作的外接圆O，连接，作于点V， 设， 则正方形的面积为， ， ， ， ， ， ，即a最小值为，此时A、O、V共线， ， ∴的最小值为． 旋转 考点03 1．（2026·福建厦门·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的平行线，过点C作的平行线，相交于点E．下列三角形中，可以看成由绕点O旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定，旋转的性质，先根据菱形的性质推出、、、全等，再根据旋转的性质得绕点O旋转得到的是． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点O， ∴，，，， ∴、、、全等， ∴由绕点O旋转得到的是． 故选：B． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，中，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接交于点．取的中点，连接，．若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】作于点，设，通过解直角三角形可得，，由旋转的性质可得，，，．由，使用面积法可求出，进而可证明，则，因此是的中位线，从而得到，解出的值后，求出的长即可． 【详解】解：如图，作于点，设， 在直角中，， 由勾股定理可得，， 由旋转的性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，解得， ∴． 3．（2026·福建泉州·一模）如图，正方形的边在的边上，点在边上，，，点为射线上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当取最小值时，则___________． 【答案】 【分析】连接，由旋转的性质得到，，推出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，作于点，延长交于点，在中，由勾股定理计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴当取最小值时，也取得最小值， ∴当时，取得最小值， 如图，作于点，延长交于点， ∵，，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 4．（2026·福建厦门·一模）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为________． 【答案】2 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质解题即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：≌， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 5．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，，．将绕点C顺时针旋转得到，点D在上．求的度数． 【答案】 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，由旋转的性质可得，，利用等边对等角可得，最后利用平角列式计算即可． 【详解】解：∵在中，，． ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到，点D在上， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·福建泉州·一模）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． (1)如图1，当点D，E分别在上时，求证； (2)如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（），连接，，，． ①设，求k的值； ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）证明，可得，，从而得到，进而得到； （2）①证明，即可得到答案；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为，此时时，最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得的长，再结合，即可求解． 【详解】（1）解∵点O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）解：①∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，，，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；即． ②在中，∵，，， ∴， 由①得四边形为平行四边形， ∴四边形的面积等于， ∴当最小时，四边形的面积最小， 即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小， 如图，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小， ∵，， ∴， 即当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴ 7．（2026·福建泉州·一模）如图，在中，，点D是边上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转到位置，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先得到，然后证明出，即可得到． 【详解】证明：， ， ， ，， ， ． 8．（2026·福建泉州·一模）如图1，在等边三角形中，为边延长线上的一点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)如图2，将线段BF沿方向平移的长度得到线段与相交于点，连接． ①求证：三点在同一条直线上； ②当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）运用旋转的性质得到，，从而证明，即可得证； （2）①由平移的性质可知，连接，则是等边三角形，证明，从而证明三点在同一条直线上； ②延长交的延长线于点Q，证明可得，设，，则，则，，再证明，可得，从而找到a与b的关系即，解得，作，求出和，从而利用求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质，得，． ∵是等边三角形， ∴， ． ∴ ∵，，， ∴， ∴； （2）解：①由平移的性质，得， ∴， 连接， 由（1）得，， ∴是等边三角形，， ∴三点在同一条直线上； ②延长交的延长线于点Q， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 设，，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：或(舍去) 作，垂足为，则， ∵是等边三角形， ∴， 在中，，则，， ∴， 在中，， ∴． 9．（2026·福建厦门·一模）将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接．将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接交于点N． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，根据等边对等角可得，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）可证明都是等腰直角三角形，则可证明B、D、M三点共线；利用勾股定理可推出，证明，则． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由旋转的性质可得， ，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴B、D、M三点共线； 由勾股定理可得，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·福建漳州·一模）在中，，，．将绕点B顺时针旋转得到，直线，交于点P． （1）如图1，当时，连接． ①求的面积； ②求的值； （2）如图2，连接，若F为中点，求证；C，E，F三点共线． 【答案】（1）①10．②．（2）证明见解析部分． 【分析】（1）①过点作于．证明四边形是矩形，推出，利用勾股定理求出，可得结论． ②利用面积法求出，再利用勾股定理求出，推出，可得结论． （3）如图2中，连接，取的中点，连接，．想办法证明，可得结论． 【详解】解：（1）①过点作于． ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 由旋转的旋转可知，， ． ②由旋转的性质可知，， ， ， ， ， ， ， ． （2）如图2中，连接，取的中点，连接，． ，， ，， 是由旋转得到， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， 、、三点共线． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明． 中心对称 考点04 1．（2026·福建漳州·一模）下列属于中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A． 该图形旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B． 该图形旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C． 该图形旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D． 该图形旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）点关于原点对称的点的坐标是______. 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中关于原点对称的点的特征，根据关于原点对称的点的坐标规律，点的横坐标和纵坐标都变为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故点的坐标为， 故答案为． 3．（2026·福建福州·一模）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)作出关于坐标原点O成中心对称的； (2)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查画中心对称图形，找旋转中心，利用数形结合的思想是解题关键． （1）找出各顶点关于坐标原点O成中心对称的对应点，再顺次连接即可； （2）作线段和的垂直平分线，其交点O即为旋转中心，再结合坐标系写出O点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，连接，，作线段和的垂直平分线，其交点D即为旋转中心， ∴由图可知旋转中心坐标． 相似三角形 考点05 1．（2026·福建泉州·一模）如图，点在双曲线上，轴，垂足为，过点作交双曲线于点，连接，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先设出点P的坐标，进而得到点B的坐标，再根据直线与平行求出直线的解析式，联立直线与双曲线的方程求出点A的坐标，根据，求得，最后根据求解即可． 【详解】解：设， ∵轴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得， ∵， ∴， 将代入得， ∴点的坐标为， 作轴于点， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 2.（2026·福建泉州·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算，即可得到答案． 【详解】解：和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ，即相似比为， 与的面积比为． 故选：D． 3．（2026·福建漳州·一模）如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据题意设和，则和，根据平行线的性质得和，可求得，则即可解得答案． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 即，化简得， 整理得， 得，解得（负值舍去）， ∴， 故选：B． 4.（2026·福建福州·一模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上，若线段，则线段的长是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．过点作这组平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作这组平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点， 由题意可知，， 由平行线分线段成比例定理得：， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．（2026·福建泉州·一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案． 【详解】解：如图：连接BE， ∵四边形BCED是正方形， ∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD， ∴BF＝CF， 根据题意得：AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴DP：CP＝BD：AC＝1：3， ∴DP：DF＝1：2， ∴DP＝PF＝CF＝BF， 在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2， ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝2． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，以及求角的正切值，灵活运用相似三角形的性质，并理解正切的定义是解题关键 7．（2026·福建泉州·一模）如图，在中，．若，，则________． 【答案】12 【分析】根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长． 【详解】解：，， ， ， ， ． 8．（2026·福建三明·一模）如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为________． 【答案】 【分析】如图，设交与点J，过点J作于点K．首先利用相似三角形的性质证明，再想办法求出，可得结论． 【详解】解：如图，设交与点J，交与点T．过点J作于点K． 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 由作图可知平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．（2026·福建三明·一模）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5m，AC在地面的影长CM＝4.5m，则窗户的高度为_________m． 【答案】2 【分析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度． 【详解】解：， ， ， ，，， ， ， ， 答：窗户的高度是． 故答案为：2． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题． 10．（2026·福建漳州·一模）如图，内接于，直径交于点G，过点D作射线，使得，延长交过点B的切线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①9② 【分析】（1）连接，证明，即可得出是的切线； （2）①连接，证明，得出的长； ②通过勾股定理得出的长，再利用，得出的长，从而得出直径的长度，由此得出的半径． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2）解：①连接， ∵， ∴， ∵是切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∵， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 11．（2026·福建三明·一模）在中，，以为直径的分别交线段，于点D，E，连接． (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，过点E作，垂足为点F，交于点G，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理得出，证明，得出，即可证明平分． （2）连接．根据圆内接四边形得出，结合，得出，证明，得出，即可证明． （3）根据，得出，证明，得出．结合，得出．结合，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴． ∴平分． （2）证明：连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴． ∵为直径，， ∴． ∵，，， ∴． ∴． 又∵， ∴． （3）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴． 12．（2026·福建·一模）如图，的外接圆的直径交于点，过点作于点，延长交于点，连接，． (1)求证：； (2)若平分． ①已知，，求的长； ②若点为的中点，且，，三点在同一直线上，试猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，见解析 【分析】（1）由三角形内角和定理得到，进而即可得解； （2）①过点B作于点M，则，先证，可得，所以，利用勾股定理求出，再利用等面积求出，，，，最后再证，利用相似比求解即可； ②先证都是等腰直角三角形，过点F作于点M，可证，，所以，设，则，，进而即可得解． 【详解】（1）证明：如图1． ∵是的直径，， ∴， ∵对的圆周角是和， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图2，过点B作于点M，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，，由勾股定理，得：． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． ②与的数量关系是，理由如下： 如图． ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 过点F作于点M， ∵平分， ∴， 在中，， 由①，得：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设，则，， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13．（2026·福建泉州·一模）（1）如图1，在中，，在边上任取一点D，连接，将沿着翻折，得到，且点在直线的上方．连接并延长与的延长线交于点E． ①与之间有怎样的位置关系？请证明你的结论； ②若，请探究与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． （2）如图2，在平行四边形中，，，，点E是边上的点，满足，将绕着点E顺时针旋转得到．过点E作交于点N，连接，，．若，则四边形的面积为__________． 【答案】（1）①，证明见解析；②，证明见解析 （2）11 【分析】（1）①利用翻折的性质得：，，点A、D都在线段的垂直平分线上，即可得出结论； ②延长交于H，设，则，可求得，所以．再证明，得即可； （2）过点作交于点，交延长线于点，连接交于点，通过证明得到，，得到的长，再利用全等三角形判定得到，得出，最后利用面积公式，代入数据即可解答． 【详解】解：（1）①，证明如下： 由翻折的性质得：，， 点A、D都在线段的垂直平分线上， ； ②，证明如下： 延长交于H，如图， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． （2）如图，过点作交于点，交延长线于点，连接交于点， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 平行四边形， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 将绕着点E顺时针旋转得到， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ，， ， 四边形的面积为11． 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造直角三角形应用三角函数，利用相似三角形的性质和勾股定理求线段长度是解题的关键，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 14．（2026·福建福州·一模）如图，在中，，，，于B，点D为射线上一点，连接，若与相似． (1)求的长； (2)请直接写出与的面积比． 【答案】(1)6或； (2)或3． 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可； （2）分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可． 【详解】（1）在中，，，， ∴， 当时，，即， 解得：； 当时，，即， 解得：； 的长为6或； （2）当时，面积比； 当时，面积比， 则与的面积比为或3． 15．（2026·福建福州·一模）抛物线经过点A，B，C，已知，． (1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标； (2)点D在上方的抛物线上． ①如图1，若，求点D的坐标； ②如图2，直线交y轴于点N，过点B作的平行线交y轴于点M，当点D运动时，求的最大值及此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)①；②的最大值为，此时 【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式； （2）①过点D作轴交x轴于H，连接、，先证明，可得，设，列出关于x的方程并求解即可； ②连接、、、，设，得出，设，，，得出，，得，再由求解即可． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， ∴抛物线解析式为 ∴顶点E的坐标； （2）①过点D作轴交x轴于H，连接、    则 ∵ ∴ ∴ 设 则， ∵，， ∴ 解得：， ∵当时， 当时， ∴； ②连接、、、    设 ∴ ∵，， ∴设，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，最大 此时 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、相似三角形的判定及性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 16．（2026·福建漳州·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②存在，，点G的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法先求出函数解析式，再根据函数图象与坐标轴的交点坐标的特征即可求解． （2）①设直线的函数解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，由中点的性质可求得，进而可求得点，即，由，则，根据，，，可得，再由平行线的性质可得，进而可得，进而可求解；②过点G作轴于点H，设点，利用相似三角形的判定及性质可得，解出方程即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴； 把代入得：， 解得：， ∴． （2）①如图：    设直线的函数解析式为：， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为：， ∵，，点N运动到的中点， ∴， 把代入得：， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； ②过点G作轴于点H，    由①可得：， ∴， ∴，则， 设点， ∵， ∴，，则， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵，   ∴， ∴，即， 整理得：， 令，则， 解得：， 当时，不符合题意，舍去； 当时，解得：，， 此时，或（舍）， 综上：存在，，点G的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，借助恰当的辅助线，构造相似三角形解决问题． 锐角三角函数 考点06 1．（2026·福建三明·一模）2025年7月15日5时34分，搭载“天舟九号”货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射．当火箭上升到点A时，位于发射场地面R处的雷达测得点R到点A的距离为，仰角为θ，则此时火箭距地面的高度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ∴． 2．（2026·福建漳州·一模）如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，圆的切线性质，理解题意是解题的关键．根据题意画出图形，解即可． 【详解】解：如图，记直径为，过点作于点， 由题意得，，，，与圆相切于点N， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 3．（2026·福建·一模）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于，否则就有危险，那么梯子的长至少为（  ） A．8米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先作出图形，得出∠ABC≤60°，最大角为60°．再解这个直角三角形即可． 【详解】解：此题考查的是解直角三角形 如图：AC=4，AC⊥BC， ∵梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能＞60°． ∴∠ABC≤60°，最大角为60°． ∴ 即梯子的长至少为米， 故选：C. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，找出∠ABC=60°是解题的关键． 4．（2026·福建泉州·一模）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为______m． 【答案】20 【分析】本题考查直角三角形的应用，根据坡比等于铅直高比上水平宽，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为：20． 投影与视图 考点07 1．（2026·福建厦门·一模）如图所示的几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 从正面看，即主视图是． 2．（2026·福建泉州·一模）如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据俯视图的概念即可求解． 【详解】解：根据图形的特征，则俯视图是： ． 3．（2026·福建三明·一模）如图1，陀螺是中国传统文化的重要组成部分，其历史可追溯至7000多年前的河姆渡遗址，是世界上现存最古老的玩具之一，如图2，陀螺的轮廓可以近似抽象成是由圆柱和圆锥组合而成，那么该几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，因此该组合体的左视图为上方的矩形与下方的等腰三角形组合． 【详解】解：从左面观察该陀螺(圆柱与圆锥的组合体)，圆柱的左视图为矩形，圆锥的左视图为等腰三角形， ∴该几何体的左视图是上方为矩形、下方为等腰三角形． 故选；B． 4．（2026·福建泉州·一模）如图是小东根据某建筑物的最顶层抽象制作的模型示意图，则该模型的主视图是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】主视图即从正面看几何体，据此即可解题． 【详解】解：该模型的主视图是 5．（2026·福建漳州·一模）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 根据主视图是从前面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从前面看到的图形是一个等腰三角形，和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正中间，即看到的图形如下： 故选：D． 6．（2026·福建三明·一模）如图1为同学们学习了电压和电阻的知识后，制作的简易调光台灯，图2是该台灯的灯罩部分，其俯视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的三视图中的俯视图，正确理解三视图是解题的关键． 根据灯罩是圆台形，从正上方观察时，看到的是上底面的小圆和下底面的大圆，小圆在大圆内部，且是同心圆，都能看到不需要用虚线表示，即可判断． 【详解】解：A、是主视图，故选项不符合题意； B、两个实线的同心圆，故符合题意； C、内圆是虚线，故选项不符合题意； D、外圆是虚线，故不符合题意． 故选：B． 7．（2026·福建泉州·一模）杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．如图是常见的一种秤砣，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】 解：从正面看，可得它的主视图是． 故选：A． 8．（2026·福建漳州·一模）如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行作答即可． 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： ， 故选：D 9．（2026·福建泉州·一模）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在任意的中，、、所对的边分别为a、b、c，则有：，称为正弦定理，是解三角形的重要结论之一． 【问题提出】 洛阳桥是泉州“海丝”文化遗产，承载着宋元时期的造桥智慧．某校数学兴趣小组为绘制洛阳桥古桥遗址分布图，需测量江两岸A、B两处古桥遗址的水平距离，因江宽及地形限制，无法直接测量，小组结合数学知识设计了如下测量方案． 【方案设计】 测量工具： 测角仪：可测量水平面上两点与观测点连线的夹角； 测距仪：可测量任意可到达的两点间的水平距离，量程范围：． 测量过程： 步骤一：如图2，在江岸边空旷处选取一点C（点C可观测到A、B两点）； 步骤二：分别站在A、B两处测得，； 步骤三：测得． 【问题解决】 请你利用【阅读材料】中的正弦定理和特殊锐角三角函数值，解决下列问题： (1)求A、B两处古桥遗址间的实际距离；（精确到1米，参考数据：，，） (2)在江岸边另一空旷处取一点D，测得，，求． 【答案】(1)A、B两处古桥遗址间的实际距离约为米； (2) 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，再结合正弦定理求解即可； （2）过点作于点，利用直角三角形得出，，，则再结合正弦定理求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， 解得：（米）， 答：A、B两处古桥遗址间的实际距离约为米； （2）解：如图，过点作于点， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中， ． 10．（2026·福建厦门·一模）如图1，在中，为直径，C为上的点，且在直径上方，D为上的点，且在直径下方，C，D不与A，B重合，交于点E． (1)若，，求； (2)当时． ①如图2，试探究，，的数量关系，并说明理由； ②如图3，过C作，交于点F，过F作，交于点G，当时，求证：F，G，D三点共线． 【答案】(1)； (2)①；②证明见详解． 【分析】（1）由题意得，，根据计算即可； （2）①由（1）得，，证垂直平分，得，证得，代入化简即可；②连接，，，证为直角三角形，求得，，进而证明是等边三角形，证明，根据平行公理即可解答． 【详解】（1）解：∵为直径， ∴， ∵C，D为上的点，，， ∴， ∴； （2）①解：； 理由：由（1）得，， ∴， ∵， ∴，为直径， ∴垂直平分，即，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②连接，，， 由①得，， ∵， ∴，即为直角三角形，， 为直径， ∵， ∴，， ， 是等边三角形， ， ∵， ， 同理可得， ， ， ， ∴F，G，D三点共线． 11．（2026·福建泉州·一模）计算：． 【答案】3 【详解】解： ． 12．（2026·福建三明·一模）计算：． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：原式 ． 13．（2026·福建三明·一模）如图，点、在上，过点的切线交所在的直线于点，过点作于，连接． (1)求证：平分； (2)连接并延长，交于点，若．求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆的切线的性质推出，利用平行线的性质和等边对等角的性质，得出，即可得证； （2）连接、，由直径可得，由同角的余角相等以及等边对等角，得出，从而证明，得到，再根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，连接、， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ． 14．（2026·福建漳州·一模）如图，菱形． (1)求作矩形，使得点，分别在，的延长线上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别延长，再分别过点作的垂线，垂足分别为，即可； （2）根据菱形的性质可得，，推出，再根据矩形的性质可得，利用勾股定理求出，利用正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：∵菱形中，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 15．（2026·福建泉州·一模）计算：． 【答案】 【分析】先进行零次幂计算、根式化简、三角函数计算、负数次幂计算，最后进行混合运算即可． 【详解】解：原式 16．（2026·福建·一模）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 【答案】(1)， (2)①，②可以，理由见解析③见解析 【分析】（1）设，，则，利用圆的周长公式和弧长公式解答即可； （2）①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可； ②将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可； ③设计出能够放置扇环纸片的最小的的矩形纸片即可． 【详解】（1）解：由题意得：的长为，的长为， 设，，则， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，如图， 则， 四边形为矩形， 四边形，为矩形， ， 由题意得：，，，， 为等边三角形， ，，， ，， ，， ， ． ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，理由： 将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，，，， ，，， ， ，， ，， 用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片． ③设的矩形纸片为矩形，，将扇环纸片如图放置，使点在边上，点在边上，点在边上，与边相切于点， 则此时的值最小，若求的范围，则此时的为的最小值． 延长，，延长线交于点，连接，交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点， 由题意得：，，，， 与边相切于点， ， ，，四边形为矩形， 四边形，四边形，四边形为矩形， ，，， ，． 求得，的值即可求得的最小值； 由于，解和即可求得结论． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，弧长公式，分类讨论的思想方法，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 17．（2026·福建·一模）阅读下列材料，解答问题． 【背景】如图1，李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡，为方便浇水灌溉，从家里铺设的水管到果园，原来经过小土坡铺设的水管（）由于风吹日晒，老化损坏，现在李叔准备从土坡下直接埋一条水管（D，B，C，E在同一直线上）． 【问题】为了计算新水管的长度，需要测量B，C之间的距离； 要了解水管承受的压力，需要测量土坡的高度． 【工具】一把皮尺和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小． 【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度，，再用测角仪测得． 解答问题： (1)求的长度；（结果用含a，b，的代数式表示） (2)若测得，，，求出小土坡的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作交延长线于点，设，在中利用三角函数的定义求出和的长，得出的长，在中利用勾股定理表示出的长，再根据平角的定义得到，即可求解； （2）过点作于点，结合（1）中的结论，代入数据求出和的长，再利用等面积法得到，求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作交延长线于点，则， 设， 在中，，， ，， ， 在中，， ， ， ，即， ， 的长度为． （2）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， ， 答：小土坡的高度为． 18．（2026·福建·一模）计算：． 【答案】 【分析】分别根据绝对值、零指数幂的运算法则及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查绝对值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值，熟知各个运算法则是解答此题的关键． 19．（2026·福建·一模）计算： 【答案】6 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $