专题04 图形的性质（几何初步与三角形）6大考点（福建专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题04 图形的性质1 6大考点概览 考点01 几何图形初步 考点02 相交线与平行线 考点03 与三角形有关的线段和角 考点04 全等三角形 考点05 等腰三角形 考点06 直角三角形 几何图形初步 考点01 1．（2026·福建三明·一模）将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，，从而得，根据三角形内角和定理得出，即可得． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分线定义可设，得到，，，根据周角的定义列方程并解方程，进一步即可得到答案． 【详解】解：∵为的三等分线， ∴可设， 则， ∵交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 3．（2026·福建漳州·一模）数学活动课上，小明将一副三角板如图放置，点落在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行性质得，用求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2026·福建漳州·一模）贝贝按如图方式在大正方体的每一个面上都涂上两个绿色小正方形和两个白色小正方形，使它从各个角度看起来都是由四个绿色小正方体和四个白色小正方体搭建而成，则这个大正方体的表面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方体的展开图，具备空间想象能力是解决问题的关键．根据正方体的展开图和两个绿色小正方形与两个白色小正方形的相对位置解答即可． 【详解】解：根据正方体的展开图和两个绿色小正方形与两个白色小正方形的相对位置，B选项符合题意． 故选：B． 5．（2026·福建漳州·一模）单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，．平分，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用． 根据和的度数分别求出的度数，结合，求出，再由角平分线定理得到，结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵，平分， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2026·福建漳州·一模）如图，农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体表面积，圆的面积公式，根据弧长公式求出弧长，然后利用求出表面面积即可，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：塑料膜的面积 ， 故答案为：． 7．（2025·福建龙岩·一模）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． (1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 【答案】(1) (2)作图见解析，不唯一 【分析】本题考查长方体的认识，二次根式的运算，正方形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握长方体的侧面和底面的关系是解题的关键． （1）设纸的长为，宽为，第一次翻折：由图可知，，得出，第一次翻折中，则，即可求解； （2）纸宽为，先利用图2的底面积得出，分别利用长方体的特征得到如图3和图4，再将底面积分别用含的代数式表示出来，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：设纸的长为，宽为， 第一次翻折：由图可知，， ∴四边形是正方形， ∴， 第一次翻折：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵纸的宽与长的比值为， ∴如图，设，， 由题可知， ∴底面积为， 得， 作法不唯一，如图3，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 如图4，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 相交线与平行线 考点02 1．（2026·福建·一模）将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 2．（2026·福建·一模）一副直角三角板如图放置，其中，，，点F在CB的延长线上若，则等于（    ） A．35° B．25° C．30° D．15° 【答案】D 【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE=45°，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°， ∵DE∥CB， ∴∠BDE=∠ABC=45°， ∴∠BDF=45°-30°=15°． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE的度数是解题关键． 3．（2026·福建厦门·一模）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 4．（2026·福建泉州·一模）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆的切线性质、平行线的性质及圆周角定理的综合应用，灵活运用切线垂直于半径、两直线平行内错角相等及同弧所对圆周角是圆心角的一半等性质是解题的关键．首先根据切线的性质得出，在中求出的度数；再利用圆周角定理求得的度数；最后根据平行线的性质，由得出内错角与相等，从而求出的大小． 【详解】解：如图，连接， 与相切， ， ， 又， ， ， ， ． 故选：． 5．（2026·福建泉州·一模）如图，，，则________． 【答案】/度 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行解答即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 6．（2026·福建·一模）已知，如图，点，和为轴上两点，其中点在点的左侧，连接，若平分，则的值为______． 【答案】/ 【分析】作交延长线于点，可证，对应边成比例，由角平分线的定义，结合等边对等角，可得，设，，则，根据勾股定理可得，，代入，化简可得，即可得的值． 【详解】解：作交延长线于点，则，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 作轴， ∵， ∴，， 设，，，，则 ，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形相似的判定和性质，角平分线的定义，等边对等角，勾股定理． 7．（2026·福建三明·一模）如图，已知B、F、C、E在一条直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】证明，得出，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． ∴． 即． 8．（2026·福建漳州·一模）如图，已知是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质可得，结合是的中点，得到，利用证明，即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·福建·一模）如图，在中，点D是的中点，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．求证：点D是的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，由可得，进而证明，推出，即可证明点D是的中点． 【详解】证明：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D是的中点． 与三角形有关的线段和角 考点03 1．（2026·福建泉州·一模）如图，点G是的重心，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】延长交于，由重心得，，即可求解． 【详解】解：延长交于， 点G是的重心，， ，， ， ． 2．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，，，以为直径的半圆O交于点D，与相切于点B，则的长为（   ） A． B． C． D．5π 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理、切线的性质、等腰三角形的性质、外角的性质、弧长计算等知识点，解题关键是利用外角性质求出，再利用弧长公式即可． 【详解】如图，连接 ， 半圆O 与相切于点B， ， ， ， ， 是的外角， ， 且为直径， ， ． 3．（2026·福建三明·一模）如图，点A，B，C在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理计算出，再根据等边对等角得出，最后利用三角形内角和定理即可求出； 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 4．（2026·福建三明·一模）如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理求出，再根据三角形外角定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ， ， ∵是外角， ． 5．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，在AB上存在点E满足，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）用尺规作图作出线段的中点即可； （2）由（1）作图可知：，再结合可得，利用等边对等角、三角形内角和定理、角的和差可得，进而证明结论． 【详解】（1）解：如图：点D即为所求． （2）证明：由（1）作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 全等三角形 考点04 1．（2026·福建泉州·一模）如图①所示的是中国古代的一种打击乐器编钟．小颖绘制编钟的正面示意图如图②所示，她发现绘制的编钟的正面示意图是个轴对称图形．则下列说法不一定正确的是（   ） A． B．垂直平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 根据轴对称的性质可求得，垂直平分线段，，，无法判断的度数； 【详解】解：A、因为编钟是关于对称的轴对称图形，和为对应线段，所以，该选项不符合题意； B、，为对应点，所以直线垂直平分线段，该选项不符合题意； C、和是对应角，只能得到，无法判断的度数，该选项符合题意； D、因为和是对应角，所以，该选项不符合题意； 2．（2026·福建泉州·一模）如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，结合垂直平分线的性质，得出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵边的垂直平分线交于 ∴ ∵的周长 ∴的周长 故选：A 3．（2026·福建泉州·一模）如图，中，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接交于点．取的中点，连接，．若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】作于点，设，通过解直角三角形可得，，由旋转的性质可得，，，．由，使用面积法可求出，进而可证明，则，因此是的中位线，从而得到，解出的值后，求出的长即可． 【详解】解：如图，作于点，设， 在直角中，， 由勾股定理可得，， 由旋转的性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，解得， ∴． 4．（2026·福建漳州·一模）如图，在四边形中，，，E为边上一点．若四边形的面积为24，的最小值为___． 【答案】 【分析】过点A作，交的延长线于点F，连接，作关于的对称线段，连接，先证明四边形是正方形，同时求出，进一步推得，然后证明，得出，再根据轴对称的性质得到，所以，同时可证明，，从而，根据两点之间线段最短，即可利用勾股定理求解． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点F，在上取点M，使，连接，过点M作，交于点N，作关于的对称线段，连接， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 和关于对称， ，F、C、G三点共线， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 当点M在上时，最小，即取得最小值， 在中，，， ， 最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的最值问题，轴对称的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是关键． 5．（2026·福建三明·一模）如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为________． 【答案】 【分析】如图，设交与点J，过点J作于点K．首先利用相似三角形的性质证明，再想办法求出，可得结论． 【详解】解：如图，设交与点J，交与点T．过点J作于点K． 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 由作图可知平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．（2026·福建·一模）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是__________．    【答案】4 【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 7．（2026·福建·一模）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得． 【详解】如图，过D作，则D到的距离为DE 平分，， 点D到的距离为． 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键． 8．（2026·福建厦门·一模）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两点，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质可得，即；再结合可证明，最后运用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（2026·福建泉州·一模）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． (1)如图1，当点D，E分别在上时，求证； (2)如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（），连接，，，． ①设，求k的值； ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）证明，可得，，从而得到，进而得到； （2）①证明，即可得到答案；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为，此时时，最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得的长，再结合，即可求解． 【详解】（1）解∵点O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）解：①∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，，，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；即． ②在中，∵，，， ∴， 由①得四边形为平行四边形， ∴四边形的面积等于， ∴当最小时，四边形的面积最小， 即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小， 如图，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小， ∵，， ∴， 即当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴ 10．（2026·福建泉州·一模）如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】证明，即可得到结论． 【详解】证明：在矩形中，，， 在和中， ∴； ∴． 11．（2026·福建泉州·一模）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质得到，再证明，则可证明，推出． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·福建泉州·一模）如图，小明利用折叠矩形纸片进行数学探究活动： 第一步：先折叠矩形纸片，确定边的中点，连接； 第二步：将沿折叠至处，点与点对应．连接，延长交于点； 第三步：点是边上一点，连接，将沿折叠，且点与点重合． (1)求证：； (2)求的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，再结合两次折叠的角平分线特征，证明两角相等； （2）解法：通过设参数表示线段长度，利用定理证明直角三角形全等，结合（1）的结论证明平行线，再通过相似三角形的比例关系求解线段比值； 解法：利用折叠的直角性质证明三点共线，结合矩形对边平行与折叠的等角性质，证明等腰三角形，再通过设参数建立线段关系，求解线段比值． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 由图形折叠的特征可得：，， ． （2）解：连接． 解法： 设，，则，． ， ， 易得， ， ， ， ， ， 由（1），得， ， ， ，即， ， ， ， ． 解法：由图形折叠的特征可得：，， ， ， 三点共线， ， ， ， ， ， 设，，则，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练运用相关定理和性质是解答本题的关键． 13．（2026·福建泉州·一模）如图，在中，，点D是边上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转到位置，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先得到，然后证明出，即可得到． 【详解】证明：， ， ， ，， ， ． 14．（2026·福建三明·一模）如图，已知等边，．请解答下列问题． (1)尺规作图：请将补全成一个菱形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的判定方法作图即可，例如：作； （2）过点C作，垂足为E，根据等边三角形的性质得出，，在中，解直角三角形求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，菱形即为所求作的图形． （画法不唯一，部分作法如上图所示） （2）解法一：过点C作，垂足为E． ∵是等边三角形，， ∴，． 在中， ∵，， ∴． ∴． 解法二：连接，交于点O． ∵四边形是菱形， ∴，． ∵是等边三角形，， ∴，． 在中， ∵，， ∴． ∴． ∴． 15．（2026·福建三明·一模）如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形的性质求得，，再求得，利用证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（2026·福建泉州·一模）如图1，在等边三角形中，为边延长线上的一点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)如图2，将线段BF沿方向平移的长度得到线段与相交于点，连接． ①求证：三点在同一条直线上； ②当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）运用旋转的性质得到，，从而证明，即可得证； （2）①由平移的性质可知，连接，则是等边三角形，证明，从而证明三点在同一条直线上； ②延长交的延长线于点Q，证明可得，设，，则，则，，再证明，可得，从而找到a与b的关系即，解得，作，求出和，从而利用求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质，得，． ∵是等边三角形， ∴， ． ∴ ∵，，， ∴， ∴； （2）解：①由平移的性质，得， ∴， 连接， 由（1）得，， ∴是等边三角形，， ∴三点在同一条直线上； ②延长交的延长线于点Q， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 设，，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：或(舍去) 作，垂足为，则， ∵是等边三角形， ∴， 在中，，则，， ∴， 在中，， ∴． 17．（2026·福建泉州·一模）如图，在四边形中，对角线平分和．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由平分和，得到，，证明即可得出． 【详解】解：∵平分和， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 18．（2026·福建厦门·一模）将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接．将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接交于点N． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，根据等边对等角可得，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）可证明都是等腰直角三角形，则可证明B、D、M三点共线；利用勾股定理可推出，证明，则． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由旋转的性质可得， ，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴B、D、M三点共线； 由勾股定理可得，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 等腰三角形 考点05 1．（2026·福建厦门·一模）如图，中，．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E．若点F为的中点，连接，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由作图过程可知：是的角平分线，利用等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：由作图过程可知：是的角平分线， ∵． ∴， ∵点F为的中点， ∴． 2．（2026·福建漳州·一模）如图，在中，，，点是斜边上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，与相交于点，点为下方半圆上一点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理，平行线的判定与性质，等边对等角等知识，掌握相关知识是解题的关键． 连接，先计算得到，接着可证得，进而得到，再由圆周角定理可得． 【详解】连接， 在中，，， ， 圆与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， （同弧所对的圆周角相等）． 故选：B． 3．（2026·福建漳州·一模）如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理以及三角形面积公式．根据等边三角形的性质，三角形中位线定理，三角形面积公式等知识，对每个选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：是等边三角形，是的中点，是的中线，根据等边三角形三线合一性质，则是的高，，故选项正确； 、分别是、的中点，，，，故选项错误； 、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确； 、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确； 故选：． 4．（2026·福建漳州·一模）如图，点A，B，C在上，，，则的半径是（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 先由圆周角定理得到，然后可得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的半径是4， 故选：C． 5．（2026·福建泉州·一模）如图，在正五边形的内部作正三角形，则___________． 【答案】 48 【分析】求出，求差即可. 【详解】解：由题意，， ∴. 6．（2026·福建厦门·一模）抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，等边三角形的性质，勾股定理，首先根据顶点式确定原抛物线的顶点 A 的坐标，再写出平移后的抛物线方程和顶点B的坐标．联立两条抛物线方程求出交点C的坐标；过点C作于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出的长和点D的坐标，进而建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，点A的坐标为， ∵将抛物线沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B， ∴点B的坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为， 联立，得， ∴或， 当时，，不符合题意； 当时，， 在中，当时，， ∴； 如图所示，过点C作于D， ∵是等边三角形， ∴（向右平移，m是正数）， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为： 7．（2026·福建福州·一模）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接交于点，连接交于点，若，则的值是_______．    【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，证明是等腰直角三角形，得到，勾股定理得到，即可得出结论． 【详解】解：连接，如下图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2026·福建·一模）如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________．    【答案】 【分析】由，，是边上的中线，可知，则，由翻折的性质可知，，，则，如图，记与的交点为，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵，，是边上的中线， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， 如图，记与的交点为，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，，．将绕点C顺时针旋转得到，点D在上．求的度数． 【答案】 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，由旋转的性质可得，，利用等边对等角可得，最后利用平角列式计算即可． 【详解】解：∵在中，，． ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到，点D在上， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·福建泉州·一模）如图，在锐角中，，过点B作交的外接圆于点D．连接，延长交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质结合已知条件即可证得结论； （2）过点B作于点H，先证明求得，设，则，利用勾股定理列出方程求解x的值，进而利用余弦的定义求得最终结果； （3）连接，，延长，分别交，于点F，G，连接，，利用相似三角形的判定与性质，结合已知条件和勾股定理列出方程求解未知数，从而求得的半径． 【详解】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点B作于点H， 由（1）知， ，， ，， ，， ， ，即， ， 设，则． 在和中，， ，解得，即， 在中，． （3）解：如图，连接，，延长，分别交，于点F，G，连接，， ， ∴设，则， ，， 垂直平分， ，， 在中，， 设的半径为r，则， ， 在中，，即，解得， ，， ， ， ， ， 由（1）知， ， ，， ，， ， ， ，即，解得， ， ，， ， ，即，解得， ，即的半径长为． 11．（2026·福建三明·一模）如图，是的直径，与相切于点A，点B是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若弦，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，先由圆周角定理求解，即可求解，再由四边形内角和等于求解即可； （2）过点O作，垂足为D，先由等腰三角形得到，再解即可求解半径． 【详解】（1）解：证明：连接 ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵与相切于点A ∴ 又∵，， ∴ 又∵点B是上的一点 ∴是的切线； （2）解：过点O作，垂足为D ∵，， ∴ 在中，， ∵，， ∴ ∴的半径为2． 12．（2026·福建泉州·一模）在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F． (1)如图1，若E为中点，求证：； (2)如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由； (3)如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，与交于点H（点A的对应点为），求的最小值，并求此时线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据翻折的性质和等腰三角形的性质易证得，从而得出结论； （2）分情况讨论：当时：易得到点在的垂直平分线上，取中点，连接，过点作于点，由勾股定理求出的值，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解的值；当时：点在的垂直平分线上，取中点，连接，过点作于点、于点，同理求出的值； （3）过点作于点，易证得，进而得到，作点关于直线的对称点，则，此时，当、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，利用勾股定理求出的值即可；再找到，进而得到，证得，进而得到，据此求解的值即可． 【详解】（1）证明：E为中点， ， 由翻折性质得：、， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：由翻折性质得：、、， 四边形是矩形， 、， ①当时： ， ， 点在的垂直平分线上， 取中点，连接，过点作于点， 、， 在中，由勾股定理得： ， 、， 、， ， 设，则， 在中，， 由勾股定理得：， 解得， ； ②当时： 点在的垂直平分线上， 取中点，连接，过点作于点、于点， 、， 、， 在中，由勾股定理：， 设，则， 在中，由勾股定理：， 解得， ， 综上所述，的长为或； （3）解：由翻折可知：，且的中点在上， 过点作于点， 、 、 ，即 作点关于直线的对称点，则，此时，当、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 、、， 由勾股定理得：， 的最小值为：； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， 、， ， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查翻折的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 13．（2026·福建泉州·一模）如图，在中，，垂足为．求的长． 【答案】 【分析】根据含30度角性质求出，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 14．（2026·福建·一模）如图，正三角形的边长为，是边上不与点，重合的动点，过点作边的垂线，交于，用表示线段的长度，用表示的面积． (1)直接写出的取值范围； (2)求关于的函数表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）过作于，由等边三角形的性质推出，即可得到； （2）过作于，由等边三角形的性质得到，，由含度角的直角三角形的性质得到，求出，由勾股定理求出，由三角形的面积公式即可得到关于的函数关系式． 【详解】（1）解：过作于， 是边长为的等边三角形， ， 不与、重合， ， ； （2）解：过作于， 是边长为的等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 15．（2026·福建漳州·一模）如图，在直角三角形中，． (1)先作的平分线；设它交边于点，再以点为圆心，为半径作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)图见解析； (2)的面积为． 【分析】（1）以点为圆心，小于长为半径画弧交、，再分别以该弧与、的交点为圆心画弧，连接点与两弧交点并延长交边于点，再以点为圆心，为半径作； （2）由特殊角的三角函数值可得，结合角平分线的定义、等角对等边、解直角三角形的相关计算求出、，即可求出的面积． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：，， ， 是的平分线， ， ，， 的面积为． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线的作法、圆的作法、角平分线的定义、等角对等边、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状、解直角三角形的相关计算，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． 16．（2026·福建漳州·一模）如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证明是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形， ， ∴， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， 即的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 直角三角形 考点06 1．（2026·福建泉州·一模）如图，为的直径，点，在上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据为的直径，得出进而求得，进而根据同弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 2．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题利用抛物线对称轴性质，垂直关系和线段相等条件，结合点M在抛物线上的坐标性质，化简推导得到长度的平方，即可求出． 【详解】解：设点，，抛物线对称轴为直线， ∵，由勾股定理得：， 代入坐标得：， 展开化简得：， ∵在抛物线上， ∴， 两边除以得：， 设是抛物线与轴交点， ∴， 两边除以得， ∵， ∴， 代入坐标得： ， 展开化简并代入，得： ， ∴， 把代入得： ， 化简得：， ∵， ∴． 3．（2026·福建泉州·一模）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在上，且，延长交边于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，，，再根据对顶角和正方形的性质证明得，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·福建泉州·一模）如图，将一块直角三角尺（，）沿射线方向平移到三角尺的位置，点A的对应点为点D．若，，则的长为________．    【答案】4.5 【分析】先根据图形平移性质求得，再求出的长度，最后根据“直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半”求得的长． 【详解】解：∵直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点A的对应点为点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 5．（2026·福建泉州·一模）如图，正方形的边在的边上，点在边上，，，点为射线上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当取最小值时，则___________． 【答案】 【分析】连接，由旋转的性质得到，，推出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，作于点，延长交于点，在中，由勾股定理计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴当取最小值时，也取得最小值， ∴当时，取得最小值， 如图，作于点，延长交于点， ∵，，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 6．（2026·福建泉州·一模）在物理学中，作用于同一点的两个力的合成符合“平行四边形法则”，即两个共点力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，则这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，如图．如果两个共点力、如图所示，若方格图中每个小正方形的边长都表示，则合力的大小为________． 【答案】 【分析】先在网格中取格点构造平行四边形，再通过勾股定理计算各边长度，验证四边形为平行四边形后，其对角线长度即为两个力的合力大小． 【详解】解：如图，取格点、、，连接、、， 由勾股定理得，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴合力的大小为． 7．（2026·福建三明·一模）如图，已知正方形的边长为2，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，结合正方形性质、勾股定理求出，证明四边形是矩形即可得，再根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：连接，如下图： ∵正方形中，， ， 又， ∴四边形是矩形， ， 则的最小值即为的最小值， 当时，最短， 此时， ， 即的最小值为． 8．（2026·福建泉州·一模）如图，点是矩形的边上的一点（点不与点C，D重合），将沿直线翻折得到，边，分别与边相交于点G，H，若图中阴影部分的周长为14，，点是矩形的对称中心，则___________． 【答案】 【分析】根据题意求得，再根据矩形的性质结合勾股定理求得． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∵阴影部分的周长为 ， ∵图中阴影部分的周长为14，， ∴， ∴， 连接， ∵点是矩形的对称中心， ∴． 9．（2026·福建漳州·一模）在矩形中，是的中点，点在上运动．将沿翻折得到，连接，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】如图，连接，由折叠的性质易证，推出点在以点为圆心，为直径的圆上运动，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为直径的圆上运动， 当三点共线时，有最小值， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为． 10．（2026·福建泉州·一模）如图，是中边上的中线，与相交于点E，且，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质、三角形中线的定义得到，根据平行四边形的判定即可得到结论； （2）证明是直角三角形，且， 根据直角三角形的性质和勾股定理求出相应的边长，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵，， ∴，， ∴点A，B，C都在以为直径的圆上， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 11．（2026·福建厦门·一模）已知正实数，满足，． (1)若，求实数； (2)已知，以，，为边长的三角形是直角三角形，求该三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，可得到，用表示的式子，再代入求解， 结合为正实数舍去负根得到结果 （2）先判断出的范围，得出，进而得出为直角三角形的斜边，根据勾股定理，完全平方公式建立方程求得的值，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴，则， ∵，是正实数，则， ∵， ∴ 解得：（负值舍去） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵以，，为边长的三角形是直角三角形， ∴为直角三角形的斜边，，是直角三角形的直角边 ∴ 又∵ ∴ ∴（负值舍去） ∴该三角形的面积为 12．（2026·福建三明·一模）如图，在中，为钝角．，点在上，， (1)将沿翻折得到，请尺规作图画出点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）以点为圆心、长为半径画弧，以点为圆心、长为半径画弧，两弧的交点即为点，连接、； （2）过点作于点，先利用的等腰三角形三线合一性质求出，再根据沿翻折的全等性质推出，结合已知得到，因此，在中利用三角函数求出，再通过勾股定理算出，接着利用三角形外角性质推出，由等角对等边得到，进而算出，最后在中通过勾股定理求出的长． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，过点作，垂足为， 又∵， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 13．（2026·福建漳州·一模）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，已知，，的长度都是整数．    (1)当时，求的值； (2)求证：为无理数． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】本题考查有理数无理数概念及运算，涉及正方形性质及应用，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关线段的长度． （1）延长至，使，证明≌，可得，，从而证明≌，得，设，，根据勾股定理得，，故，又和是正整数，得，或，，可求出，，即可得到答案； （2）设，，，由勾股定理有，，设，则，同得，变形有，，从而，即，代入得，即知为无理数，即为无理数． 【详解】（1）解：如图，    延长至，使， 四边形是正方形， ，， ≌， ，， ， ， ，即， ， ， ≌， ， 设，，则，，， 根据勾股定理得，， ， ， 和是正整数， ，， ， ，或，， ，或，， 当，时， ， ， ， 当，时， 同理可得， 综上所述：为或； （2）证明：设，，， ，， 设，则， 同知，， ， ，， ， ， 代入得：， ，，， ， ，是整数， 是有理数， 为无理数，即为无理数． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的性质1 6大考点概览 考点01 几何图形初步 考点02 相交线与平行线 考点03 与三角形有关的线段和角 考点04 全等三角形 考点05 等腰三角形 考点06 直角三角形 几何图形初步 考点01 1．（2026·福建三明·一模）将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建漳州·一模）数学活动课上，小明将一副三角板如图放置，点落在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建漳州·一模）贝贝按如图方式在大正方体的每一个面上都涂上两个绿色小正方形和两个白色小正方形，使它从各个角度看起来都是由四个绿色小正方体和四个白色小正方体搭建而成，则这个大正方体的表面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·福建漳州·一模）单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，．平分，，则__________． 6．（2026·福建漳州·一模）如图，农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是 ． 7．（2025·福建龙岩·一模）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． (1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 相交线与平行线 考点02 1．（2026·福建·一模）将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2026·福建·一模）一副直角三角板如图放置，其中，，，点F在CB的延长线上若，则等于（    ） A．35° B．25° C．30° D．15° 3．（2026·福建厦门·一模）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 4．（2026·福建泉州·一模）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·福建泉州·一模）如图，，，则________． 6．（2026·福建·一模）已知，如图，点，和为轴上两点，其中点在点的左侧，连接，若平分，则的值为______． 7．（2026·福建三明·一模）如图，已知B、F、C、E在一条直线上，，，． 求证：． 8．（2026·福建漳州·一模）如图，已知是的中点，求证：． 9．（2026·福建·一模）如图，在中，点D是的中点，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．求证：点D是的中点． 与三角形有关的线段和角 考点03 1．（2026·福建泉州·一模）如图，点G是的重心，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 2．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，，，以为直径的半圆O交于点D，与相切于点B，则的长为（   ） A． B． C． D．5π 3．（2026·福建三明·一模）如图，点A，B，C在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·福建三明·一模）如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，在AB上存在点E满足，连接．求证：． 全等三角形 考点04 1．（2026·福建泉州·一模）如图①所示的是中国古代的一种打击乐器编钟．小颖绘制编钟的正面示意图如图②所示，她发现绘制的编钟的正面示意图是个轴对称图形．则下列说法不一定正确的是（   ） A． B．垂直平分 C． D． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．12 3．（2026·福建泉州·一模）如图，中，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接交于点．取的中点，连接，．若，，，则的长为______． 4．（2026·福建漳州·一模）如图，在四边形中，，，E为边上一点．若四边形的面积为24，的最小值为___． 5．（2026·福建三明·一模）如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为________． 6．（2026·福建·一模）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是__________．    7．（2026·福建·一模）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________． 8．（2026·福建厦门·一模）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两点，连接，且．求证：． 9．（2026·福建泉州·一模）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． (1)如图1，当点D，E分别在上时，求证； (2)如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（），连接，，，． ①设，求k的值； ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 10．（2026·福建泉州·一模）如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，．求证：． 11．（2026·福建泉州·一模）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，连接，若．求证：． 12．（2026·福建泉州·一模）如图，小明利用折叠矩形纸片进行数学探究活动： 第一步：先折叠矩形纸片，确定边的中点，连接； 第二步：将沿折叠至处，点与点对应．连接，延长交于点； 第三步：点是边上一点，连接，将沿折叠，且点与点重合． (1)求证：； (2)求的值； 13．（2026·福建泉州·一模）如图，在中，，点D是边上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转到位置，且，连接．求证：． 14．（2026·福建三明·一模）如图，已知等边，．请解答下列问题． (1)尺规作图：请将补全成一个菱形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求菱形的面积． 15．（2026·福建三明·一模）如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，且．求证：． 16．（2026·福建泉州·一模）如图1，在等边三角形中，为边延长线上的一点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)如图2，将线段BF沿方向平移的长度得到线段与相交于点，连接． ①求证：三点在同一条直线上； ②当时，求的值． 17．（2026·福建泉州·一模）如图，在四边形中，对角线平分和．求证：． 18．（2026·福建厦门·一模）将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接．将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接交于点N． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，，求线段的长度． 等腰三角形 考点05 1．（2026·福建厦门·一模）如图，中，．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E．若点F为的中点，连接，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 2．（2026·福建漳州·一模）如图，在中，，，点是斜边上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，与相交于点，点为下方半圆上一点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建漳州·一模）如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·福建漳州·一模）如图，点A，B，C在上，，，则的半径是（   ） A． B．3 C．4 D． 5．（2026·福建泉州·一模）如图，在正五边形的内部作正三角形，则___________． 6．（2026·福建厦门·一模）抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为________． 7．（2026·福建福州·一模）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接交于点，连接交于点，若，则的值是_______．    8．（2026·福建·一模）如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________．    9．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，，．将绕点C顺时针旋转得到，点D在上．求的度数． 10．（2026·福建泉州·一模）如图，在锐角中，，过点B作交的外接圆于点D．连接，延长交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)若，，求的半径． 11．（2026·福建三明·一模）如图，是的直径，与相切于点A，点B是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若弦，求的半径． 12．（2026·福建泉州·一模）在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F． (1)如图1，若E为中点，求证：； (2)如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由； (3)如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，与交于点H（点A的对应点为），求的最小值，并求此时线段的长． 13．（2026·福建泉州·一模）如图，在中，，垂足为．求的长． 14．（2026·福建·一模）如图，正三角形的边长为，是边上不与点，重合的动点，过点作边的垂线，交于，用表示线段的长度，用表示的面积． (1)直接写出的取值范围； (2)求关于的函数表达式． 15．（2026·福建漳州·一模）如图，在直角三角形中，． (1)先作的平分线；设它交边于点，再以点为圆心，为半径作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积． 16．（2026·福建漳州·一模）如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 直角三角形 考点06 1．（2026·福建泉州·一模）如图，为的直径，点，在上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2026·福建泉州·一模）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在上，且，延长交边于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建泉州·一模）如图，将一块直角三角尺（，）沿射线方向平移到三角尺的位置，点A的对应点为点D．若，，则的长为________．    5．（2026·福建泉州·一模）如图，正方形的边在的边上，点在边上，，，点为射线上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当取最小值时，则___________． 6．（2026·福建泉州·一模）在物理学中，作用于同一点的两个力的合成符合“平行四边形法则”，即两个共点力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，则这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，如图．如果两个共点力、如图所示，若方格图中每个小正方形的边长都表示，则合力的大小为________． 7．（2026·福建三明·一模）如图，已知正方形的边长为2，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，，则的最小值为______． 8．（2026·福建泉州·一模）如图，点是矩形的边上的一点（点不与点C，D重合），将沿直线翻折得到，边，分别与边相交于点G，H，若图中阴影部分的周长为14，，点是矩形的对称中心，则___________． 9．（2026·福建漳州·一模）在矩形中，是的中点，点在上运动．将沿翻折得到，连接，则的最小值为___________． 10．（2026·福建泉州·一模）如图，是中边上的中线，与相交于点E，且，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的面积． 11．（2026·福建厦门·一模）已知正实数，满足，． (1)若，求实数； (2)已知，以，，为边长的三角形是直角三角形，求该三角形的面积． 12．（2026·福建三明·一模）如图，在中，为钝角．，点在上，， (1)将沿翻折得到，请尺规作图画出点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 13．（2026·福建漳州·一模）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，已知，，的长度都是整数．    (1)当时，求的值； (2)求证：为无理数． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $