专题03 函数5大考点（福建专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题03 函数 5大考点概览 考点01 平面直角坐标系 考点02 函数基础知识 考点03 一次函数 考点04 二次函数及其应用 考点05 反比例函数及其应用 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·福建泉州·一模）在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·福建三明·一模）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是_________（填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 3．（2026·福建厦门·一模）已知点为抛物线的顶点，其对称轴与轴的交点为，点为抛物线所在平面内一点（不与重合）．直线与抛物线分别交于点和（点在点的左侧），与轴交于点． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)若， ①直线与直线交于点，求的最大值； ②点与点关于点对称，当，时，比较与的大小，并说明理由． 函数基础知识 考点02 1．（2026·福建泉州·一模）物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（安）和它们的电压U（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2026·福建厦门·一模）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：）随时间x（单位：）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为________分钟． 一次函数 考点03 1．（2026·福建漳州·一模）已知是抛物线上不同的三个点．若对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建泉州·一模）在“测量小车运动的瞬时速度”物理实验中，小明通过打点计时器记录了小车在恒定拉力作用下运动的速度与时间关系．测得当秒时，小车的速度米秒；当秒时，小车的速度米秒．已知小车速度与时间满足一次函数关系，当秒时，小车的速度___________米秒． 3．（2026·福建三明·一模）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为________． 4．（2026·福建泉州·一模）若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），则k的值为_____． 5．（2026·福建三明·一模）已知一次函数（是常数，），随的增大而减小，写出一个符合条件的的值为_________． 6．（2026·福建三明·一模）2026年是农历丙午马年，马年吉祥物深受大众喜爱，某超市购进一批马年吉祥物进行销售，每个进货价为30元，当每个售价为40元时，平均每月可售出600个，经调查发现，当售价在40元至60元范围内时，该吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． (1)若售价上涨x元，平均每月销售量为y个，则y与x的函数关系式为______； (2)若超市要实现平均每月10000元的销售利润，则这种马年吉祥物的售价应定为多少元？ 7．（2026·福建三明·一模）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买、两种型号的帐篷，若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买、两种型号的帐篷共顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷的数量不超过购买种型号帐篷的数量的．为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？ 8．（2026·福建漳州·一模）某社区现有老年人800人，为满足日间照料需求，当地政府计划在该社区建设日间服务照料中心．经测算，拟定A，B两种建设运营方案： A方案：每年除固定投入80万元外，还需为每位接受服务的老年人支付年均费用0.3万元； B方案：每年除固定投入120万元外，还需为每位接受服务的老年人支付年均费用0.2万元． 设接受服务的老年人为人（，且为整数），A，B两种方案的年总费用分别为万元． (1)写出关于的函数关系式； (2)结合接受服务的老年人的人数，通过计算分析采用哪种方案的年总费用较少． 9．（2026·福建·一模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． 10．（2026·福建漳州·一模）综合与实践 某镇黄金梨种植基地迎来丰收季，黄澄澄的梨果挂满枝头，果农们忙碌采摘，洋溢着喜悦．该镇以“兴产业、促就业、带民富”为思路，立足资源禀赋，优化农业结构，发展特色林果经济，创新“合作社+基地+种植户”模式，带动农户抱团发展．某合作社以12元/千克的价格购进一批黄金梨，如果以20元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以25元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克．根据销售经验可以知道，每天的销售量（单位：千克）与销售价格（，且为整数，单位：元/千克）存在一次函数关系． (1)与之间的函数表达式为_____（不用写出自变量的取值范围） (2)设该合作社销售黄金梨每天获得的利润为w，则当销售价格为多少元/千克时，每天获得的利润w最大?最大利润是多少? (3)若物价局规定商品的利润率不能高于100%，而该合作社每天销售黄金梨的利润为2520元，请直接写出的值． 11．（2026·福建·一模）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 12．（2026·福建泉州·一模）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式　 　； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ 二次函数及其综合应用 考点04 1．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．（2026·福建泉州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．（2026·福建三明·一模）已知点，和都在关于的二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·福建三明·一模）已知二次函数（m为常数）．若，点，在该函数图象上，则p与q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．（2026·福建厦门·一模）从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；）与小球的运动时间t（单位：）之间满足．则下列选项中正确的是（   ） A．和时，小球离地面的高度相同 B．时，小球到达最高点 C．时，小球回到地面 D．时，小球处于下降阶段 6．（2026·福建厦门·一模）二次函数的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 7．（2026·福建泉州·一模）若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·福建龙岩·一模）已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·福建泉州·一模）若关于x的一元二次方程的两个根分别为，，那么抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 10．（2026·福建福州·一模）已知抛物线（为常数）经过点、、，当时，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 11．（2026·福建·一模）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    ) A． B．或 C． D．或 12．（2026·福建福州·一模）下列抛物线的顶点坐标为（0，1）的是（    ） A． B． C． D． 13．（2026·福建泉州·一模）如图，在平面直角坐标系网格中，点Q、R、S、T都在格点上，过点P(1,2)的抛物线y=ax2+2ax+c(a<0)可能还经过（  ） A．点Q B．点R C．点S D．点T 14．（2026·福建三明·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线图象上的三点，若时，满足恒成立，则的整数部分数值为_____． 15．（2026·福建泉州·一模）将抛物线图象向________平移4单位长度得到抛物线的图象．（填“上”或“下”） 16．（2026·福建漳州·一模）在2025年第十五届全运会10米跳台比赛中，某运动员从起跳到入水的运动轨迹可以近似看作是抛物线的一部分．如图所示，跳台宽度为，水池边与跳台支柱之间的宽度为（见图中标注）．该运动员的起跳点A距离水面，运动过程中的最高点B距离水面，此时与点A的水平距离为．根据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为________． 17．（2026·福建厦门·一模）抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为________． 18．（2026·福建漳州·一模）已知二次函数的图象的对称轴为直线若关于x的一元二次方程为实数，在的范围内有解，则t的取值范围是______ ． 19．（2026·福建厦门·一模）抛物线的对称轴是______． 20．（2026·福建漳州·一模）已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若点均在抛物线上，且对于任意，都有． ①求的值（用含的代数式表示）； ②求证：． 21．（2026·福建厦门·一模）已知二次函数：部分自变量的值与的值如下表． (1)直接写出该二次函数的对称轴； (2)若，当时，，求a的取值范围； (3)点，是该二次函数与轴的交点，点在该二次函数的对称轴上，当时，试问该二次函数上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有的坐标，若不存在，请说明理由． 22．（2026·福建泉州·一模）已知二次函数（a，b是常数，）． (1)若时，二次函数图象的对称轴为直线，求二次函数的表达式； (2)写出一组a，b的值，使函数的图象的顶点在x轴上，并求此二次函数的顶点坐标； (3)已知二次函数的图象和直线都经过点，求的最小值． 23．（2026·福建泉州·一模）如图，抛物线与x轴交于点，点B与点C是该抛物线上的两点，且点B在第一象限，点C在第四象限，连接，． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)记点B与点C的横坐标分别为m与n，试证明：当时，平分． 24．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线． (1)当时，证明此抛物线与轴必有两个交点； (2)设抛物线与x轴分别交于，两点（点在点左侧），与轴正半轴交于点．已知点在第一象限，若，且． ①求证：； ②过轴上的点的直线交抛物线于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标． 25．（2026·福建三明·一模）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点A，且与y轴交于点C． (1)若，，求此二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移m个单位长度，得到新的二次函数的图象，当时，求新的二次函数的最小值； (3)设一次函数（n是常数）．若二次函数y1的表达式还可以表示为的形式，当函数的图象经过点时，求的值． 26．（2026·福建三明·一模）已知抛物线经过点、，且． (1)若，求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； (3)设抛物线的顶点为，若，判断直线是否过一定点？若不存在，请说明理由；若存在，请求出该定点坐标． 27．（2026·福建泉州·一模）在平面直角坐标系中，点，中恰有一点在二次函数的图象上，当时，函数值随的增大而增大． (1)若点在该二次函数的图象上， 求的值； 已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式； (2)在（）②所求的解析式的条件下，，为二次函数图象上的不同两点，且，试判断的值是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 28．（2026·福建三明·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为． (1)若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值； (2)若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围． 29．（2026·福建福州·一模）抛物线经过点A，B，C，已知，． (1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标； (2)点D在上方的抛物线上． ①如图1，若，求点D的坐标； ②如图2，直线交y轴于点N，过点B作的平行线交y轴于点M，当点D运动时，求的最大值及此时点D的坐标． 30．（2026·福建漳州·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 31．（2026·福建·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．    (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标． 32．（2026·福建泉州·一模）如图，二次函数的图像交轴于，交轴于，过画直线． （1）求二次函数的解析式； （2）点在轴正半轴上，且，求的长； （3）点在二次函数图像上，以为圆心的圆与直线相切，切点为． ① 点在轴右侧，且（点与点对应），求点的坐标； ② 若的半径为，求点的坐标． 反比例函数及其应用 考点05 1．（2026·福建泉州·一模）如图，点在双曲线上，轴，垂足为，过点作交双曲线于点，连接，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建三明·一模）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 3．（2026·福建厦门·一模）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（   ） A．k＜0 B．k＞0 C．k＜1 D．k＞1 4．（2026·福建福州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（ ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 考点：反比例函数系数k的几何意义. 5.（2026·福建厦门·一模）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式传播．5G技术的发展，使得依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值： 频率（） 波长（） 则当时，电磁波的波长为________． 6．（2026·福建漳州·一模）反比例函数的图象如图所示，则的值可以是___________．（写出一个满足条件的值即可） 7．（2026·福建泉州·一模）已知双曲线与函数的图象有两个交点，则b的值是________． 8．（2026·福建泉州·一模）随着人工智能的发展，我国已发布多款机器狗．已知某款机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，其图象如图所示，当其载重后总质量时，其最快移动速度v等于________． 9.（2026·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点，则不等式的解集为______． 10．（2026·福建·一模）如图，点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上，点在轴上，若四边形是面积为的正方形，则实数的值为______． 11．（2026·福建漳州·一模）反比例函数的图象经过点，则的值为_________． 12．（2026·福建漳州·一模）反比例函数的图象上有两点，且，则的取值范围是______． 13．（2026·福建福州·一模）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是__. 14．（2026·福建三明·一模）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求证：； (2)的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)与相等吗？请说明理由． 15．（2026·福建福州·一模）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 16．（2026·福建泉州·一模）已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表． （单位：Ω） 5 10 15 20 25 （单位：A） 0．4 (1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式 ； (2)在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象； (3)已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是 ． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 5大考点概览 考点01 平面直角坐标系 考点02 函数基础知识 考点03 一次函数 考点04 二次函数及其应用 考点05 反比例函数及其应用 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·福建泉州·一模）在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】∵a2⩾0， ∴a2+1⩾1， ∴点P(−3,a2+1)所在的象限是第二象限． 故选B. 2．（2026·福建三明·一模）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是_________（填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．①把代入解析式，即可判断；②利用一元二次方程根的判别式，即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的性质，即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，即可判断． 【详解】解：当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确； ∵此抛物线与轴只有一个公共点， ∴方程的有两个相等的实数根， ∴， 解得：，故②错误； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大， ∵点，在抛物线上，且， ∴，故③错误； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 如图，过点A作直线于点B，则点，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确． 故答案为：①④ 3．（2026·福建厦门·一模）已知点为抛物线的顶点，其对称轴与轴的交点为，点为抛物线所在平面内一点（不与重合）．直线与抛物线分别交于点和（点在点的左侧），与轴交于点． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)若， ①直线与直线交于点，求的最大值； ②点与点关于点对称，当，时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)①的最大值为；②，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，对称的性质，中点坐标公式，圆的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）点代入抛物线解析式即可求解； （2）①由题意得，，推出，即可求解；②设点，点，联立，则点，点，设，根据对称和可得，结合，求出，进而得到，，，推出，根据可得点在以为直径的圆上，圆心坐标为，半径为，点在圆上，则的最大值为直径，进而得到． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得； （2）解：①抛物线的顶点， 直线的解析式为， 联立， 解得， ， ， ， 当时，取得最大值，其最大值为； ②，理由如下： 设点，点， 联立， 消得， ， 点，点， 设， 点与点关于点对称，， ，， ，， ， ， ， 解得， 此时，，，，， ， ， 点在以为直径的圆上，圆心坐标为，半径为， 到圆心的距离为， 点在圆上， 的最大值为直径， ． 函数基础知识 考点02 1．（2026·福建泉州·一模）物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（安）和它们的电压U（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象与性质；根据公式，即，结合反比例函数的性质，图象离原点越远，k值越大，即用电器功率（P）越大． 【详解】解：∵， ∴，即当电功率一定时，其图象是反比例函数的图象， ∵乙、丁两点在曲线上， ∴乙、丁两用电器的功率相等， ∵甲点在曲线上方，丙点在曲线下方， ∴功率最大的是甲． 故选：A． 2．（2026·福建厦门·一模）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：）随时间x（单位：）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为________分钟． 【答案】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值等知识，关键是读懂题意，列出函数关系式．用待定系数法分别求直线和曲线的解析式，分别求解当时，对应的x值，即可得该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间． 【详解】解：设直线解析式为：，则， 解得：， ∴温度上升段（）的解析式为：， 当时，即， 解得； 设反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 故温度下降段（段）函数表达式： 当时，即， 解得； 则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为（分钟）， 故答案为：． 一次函数 考点03 1．（2026·福建漳州·一模）已知是抛物线上不同的三个点．若对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，然后分别画图求解和时的的取值范围． 【详解】解：对于，对称轴为直线， ∵，如图： ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ∵，如图： ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 综上：． 2．（2026·福建泉州·一模）在“测量小车运动的瞬时速度”物理实验中，小明通过打点计时器记录了小车在恒定拉力作用下运动的速度与时间关系．测得当秒时，小车的速度米秒；当秒时，小车的速度米秒．已知小车速度与时间满足一次函数关系，当秒时，小车的速度___________米秒． 【答案】 1.1 【分析】根据与满足一次函数关系，设出一次函数解析式，利用待定系数法求出解析式，再将代入计算得到对应的值. 【详解】解：设关于的一次函数解析式为. 将和分别代入解析式，得 ， 解得 ， ∴. 将代入解析式，得. 3．（2026·福建三明·一模）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ， 故答案为：． 4．（2026·福建泉州·一模）若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），则k的值为_____． 【答案】-2 【分析】因为正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），代入解析式，解之即可求得k． 【详解】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4）， ∴﹣4＝2k， 解得：k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． 5．（2026·福建三明·一模）已知一次函数（是常数，），随的增大而减小，写出一个符合条件的的值为_________． 【答案】-1 【分析】根据y随x的增大而减小可得k＜0． 【详解】解：∵一次函数随的增大而减小， ∴， ∴的值可以是－1， 故答案为：–1． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0，y随x增大而减小． 6．（2026·福建三明·一模）2026年是农历丙午马年，马年吉祥物深受大众喜爱，某超市购进一批马年吉祥物进行销售，每个进货价为30元，当每个售价为40元时，平均每月可售出600个，经调查发现，当售价在40元至60元范围内时，该吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． (1)若售价上涨x元，平均每月销售量为y个，则y与x的函数关系式为______； (2)若超市要实现平均每月10000元的销售利润，则这种马年吉祥物的售价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)售价应定为50元 【分析】（1）根据“吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个”列函数关系式即可． （2）设售价上涨x元，根据“超市要实现平均每月10000元的销售利润”列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∵售价在40元至60元范围内， ∴， 则y与x的函数关系式为； （2）解法一：设售价上涨x元． 依题意得：， 解得：，． ∴当时，售价为元； 当时，售价为元， 又∵售价在40元元范围内， ∴不符合题意，舍去． ∴售价应定为50元． 解法二：设售价应定为x元． 依题意得：， 解得：，， 又∵售价在40元元范围内， ∴不符合题意，舍去． ∴售价应定为50元． 7．（2026·福建三明·一模）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买、两种型号的帐篷，若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买、两种型号的帐篷共顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷的数量不超过购买种型号帐篷的数量的．为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？ 【答案】(1)每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元 (2)购买种型号帐篷顶，购买种型号帐篷顶时，总费用最低 【分析】（1）设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元，根据题意构造方程组并求解即可； （2）设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，购买帐篷的总费用为元，根据题意可得，计算出，结合一次函数的增减性可得，当时，取得最小值． 【详解】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． （2）解：设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，购买帐篷的总费用为元， 根据题意可得，，且， 解得， ， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最小值（元）．此时购买种型号帐篷顶，购买种型号帐篷顶． 答：购买种型号帐篷顶，购买种型号帐篷顶时，总费用最低． 8．（2026·福建漳州·一模）某社区现有老年人800人，为满足日间照料需求，当地政府计划在该社区建设日间服务照料中心．经测算，拟定A，B两种建设运营方案： A方案：每年除固定投入80万元外，还需为每位接受服务的老年人支付年均费用0.3万元； B方案：每年除固定投入120万元外，还需为每位接受服务的老年人支付年均费用0.2万元． 设接受服务的老年人为人（，且为整数），A，B两种方案的年总费用分别为万元． (1)写出关于的函数关系式； (2)结合接受服务的老年人的人数，通过计算分析采用哪种方案的年总费用较少． 【答案】(1)，； (2)当接受服务的老年人的人数小于人时，A方案的年总费用较少，当接受服务的老年人的人数等于人时，A方案与B方案的年总费用相同，当接受服务的老年人的人数大于人且小于等于人时，B方案的年总费用较少． 【分析】（1）根据年总费用每年固定投入接受服务的老人年平均费用人数，即可解答； （2）令，，，求解不等式与方程，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，，； （2）解：令，则， 解得， 令，则， 解得， 令，则， 解得， 答：当接受服务的老年人的人数小于人时，A方案的年总费用较少，当接受服务的老年人的人数等于人时，A方案与B方案的年总费用相同，当接受服务的老年人的人数大于人且小于等于人时，B方案的年总费用较少． 9．（2026·福建·一模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由对称轴为直线，以及点的坐标得出与的值，即可求出抛物线解析式； （2）由抛物线的对称轴及的长，确定出与两点的横坐标，代入抛物线解析式求出与两点的纵坐标，得出与两点的坐标，再作点关于轴的对称点为点，连接，，交x轴于点D，则点D即为所求，最后利用待定系数法求出直线的解析式，即可解决问题； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设直线与交于点P，过点P作轴，垂足为点H，设与y轴交于点S，则，，进一步得；由已知面积之比求出的长，确定出点的横坐标，代入直线的解析式求出点的纵坐标，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，，且两点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为，点的横坐标为． 把代入抛物线解析式得：， ∴，． 如图，作点关于轴的对称点为点，连接，，交x轴于点D， 则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小． 设直线解析式为，（）， 把代入得，， 解得，， 即直线解析式为， 令得，， 解得，， 即点D的坐标为； （3）解：由（2）得，，， 设直线解析式为，（）， 将代入得，， 解得，， ∴直线解析式为． 如图，设直线与交于点P，过点P作轴，垂足为点H，设与y轴交于点S， 则，， ∴， ∴． ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或． ∵， ∴或， ∴或， ∴点P的横坐标为或． 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或． 10．（2026·福建漳州·一模）综合与实践 某镇黄金梨种植基地迎来丰收季，黄澄澄的梨果挂满枝头，果农们忙碌采摘，洋溢着喜悦．该镇以“兴产业、促就业、带民富”为思路，立足资源禀赋，优化农业结构，发展特色林果经济，创新“合作社+基地+种植户”模式，带动农户抱团发展．某合作社以12元/千克的价格购进一批黄金梨，如果以20元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以25元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克．根据销售经验可以知道，每天的销售量（单位：千克）与销售价格（，且为整数，单位：元/千克）存在一次函数关系． (1)与之间的函数表达式为_____（不用写出自变量的取值范围） (2)设该合作社销售黄金梨每天获得的利润为w，则当销售价格为多少元/千克时，每天获得的利润w最大?最大利润是多少? (3)若物价局规定商品的利润率不能高于100%，而该合作社每天销售黄金梨的利润为2520元，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)当销售价格为或元/千克时，每天获得的利润w最大，最大利润为元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用． （1）根据题意，销量与价格的函数关系为，待定系数法求解析式即可求解； （2）依题意，，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）依题意，，解方程并检验，即可求解． 【详解】（1）解：设销量与价格的函数关系为， ∵当时，，当时， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意， ∵为整数 ∴当或时，每天获得的利润w最大 当时： 当时： 答：当销售价格为或元/千克时，每天获得的利润w最大，最大利润为元 （3）解：依题意， 整理得 即： 解得：或 又∵物价局规定商品的利润率不能高于100%， 即 ∴ ∴ 11．（2026·福建·一模）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 12．（2026·福建泉州·一模）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式　 　； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）25元 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式； （2）根据每周的利润＝每本的利润×每周的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（22，36），（24，32）代入y＝kx+b，得： ， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80（20≤x≤28）． 故答案为：y＝﹣2x+80（20≤x≤28）． （2）依题意，得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150， 整理，得：x2﹣60x+875＝0， 解得：x1＝25，x2＝35（不合题意，舍去）． 答：每本纪念册的销售单价是25元． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式及利用利润＝每本的利润×每周的销售数量列一元二次方程． 二次函数及其综合应用 考点04 1．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题利用抛物线对称轴性质，垂直关系和线段相等条件，结合点M在抛物线上的坐标性质，化简推导得到长度的平方，即可求出． 【详解】解：设点，，抛物线对称轴为直线， ∵，由勾股定理得：， 代入坐标得：， 展开化简得：， ∵在抛物线上， ∴， 两边除以得：， 设是抛物线与轴交点， ∴， 两边除以得， ∵， ∴， 代入坐标得： ， 展开化简并代入，得： ， ∴， 把代入得： ， 化简得：， ∵， ∴． 2．（2026·福建泉州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再结合抛物线与x轴的交点位置，根据开口向上抛物线的函数值正负对应的自变量范围，判断选项的正确性． 【详解】解：∵ 对任意实数a，， ∴ ，即该二次函数抛物线开口向上， ∵ 抛物线与x轴交于、，且， ∴ 根据开口向上抛物线的性质，可得： 当时，；当时，或， ∵ 点在抛物线上，即， ∴ 当时，， 当时，或． 对于选项A：当时，，而不一定成立，故该选项错误，不符合题意； 对于选项B：当时，或，故该选项错误，不符合题意； 对于选项C：当时，或，故该选项错误，不符合题意； 对于选项D：当时，，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（2026·福建三明·一模）已知点，和都在关于的二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵， ∴． 4．（2026·福建三明·一模）已知二次函数（m为常数）．若，点，在该函数图象上，则p与q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】分别代入求出，再作差比较大小即可． 【详解】解：二次函数， ， ， 又， ，则， 即， 故，即． 5．（2026·福建厦门·一模）从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；）与小球的运动时间t（单位：）之间满足．则下列选项中正确的是（   ） A．和时，小球离地面的高度相同 B．时，小球到达最高点 C．时，小球回到地面 D．时，小球处于下降阶段 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，当时，，利用待定系数法可得，据此利用二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，当时，， ∴， ∴或（舍去）； ∴， 当时， 当时，， ∴和时，小球离地面的高度不相同，故A说法错误； ∵， ∴当时，有最大值， ∴时，小球到达最高点，故B说法错误； 当时，， ∴时，小球没有回到地面，故C说法错误； ∵，， ∴当时，h随t的增大而减小， ∴当时，小球处于下降阶段，故D说法正确； 故选：D． 6．（2026·福建厦门·一模）二次函数的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式特征，当开口向上时，函数在顶点处取得最小值． 【详解】解：∵ 的顶点坐标为，且二次项系数， ∴ 函数有最小值，最小值为． 故选：C． 7．（2026·福建泉州·一模）若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过计算与的差值判断即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 即． 故选：A． 8．（2025·福建龙岩·一模）已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴为，根据和关于对称，分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，点关于对称， ①当时，则点关于对称轴对称， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴， ∴， ∴； ③当时，则：， ∴， ∴， ∴； 综上：； 故选A． 9．（2026·福建泉州·一模）若关于x的一元二次方程的两个根分别为，，那么抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查一元二次方程与函数图象的关系．根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线与轴的两个交点的横坐标为方程的两个根，进一步计算从而求解． 【详解】解：∵抛物线与轴的两个交点的横坐标为方程的两个根， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为：， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：C． 10．（2026·福建福州·一模）已知抛物线（为常数）经过点、、，当时，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．先求出，可得抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线的对称性可得，进而得到，再结合，可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线（为常数）经过点、， ∴，即， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B 11．（2026·福建·一模）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    ) A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时的范围，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴有实数根， ∴ 即 解得：或， 当时，如图所示，    依题意，当时，， 解得：， 当时，，解得， 即， 当时， 当时，， 解得： ∴    综上所述，或， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．（2026·福建福州·一模）下列抛物线的顶点坐标为（0，1）的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断． 【详解】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），故A选项符合题意； 抛物线y=x2-1的顶点坐标为（0，-1），故B选项不符合题意； 抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（-1，0），故C选项不符合题意； 抛物线y=（x-1）2的顶点坐标为（1，0），故D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为(，) ． 13．（2026·福建泉州·一模）如图，在平面直角坐标系网格中，点Q、R、S、T都在格点上，过点P(1,2)的抛物线y=ax2+2ax+c(a<0)可能还经过（  ） A．点Q B．点R C．点S D．点T 【答案】D 【分析】根据抛物线解析式先确定对称轴，再根据抛物线的对称性及二次函数的性质解答即可. 【详解】抛物线y=ax2+2ax+c的对称轴为：直线x=-1 ∵a<0 故抛物线开口向下 又∵抛物线过点P(1,2) ∴抛物线过点（-3,2） 故抛物线不过点Q、S、R，则抛物线可能还经过点T 故选 ：D 【点睛】本题考查的是抛物线的性质及图象，掌握抛物线的对称性是关键. 14．（2026·福建三明·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线图象上的三点，若时，满足恒成立，则的整数部分数值为_____． 【答案】 【分析】通过代入三点横坐标求出抛物线对应纵坐标，根据函数值的大小关系列不等式解出的取值范围，结合时不等式恒成立的条件确定的取值范围，进而得出的整数部分即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵点在抛物线上， ∴， ， ， 由得 ， 化简得， ∵，两边除以，不等号方向改变，得， 解得， 由得 ， 化简得， ∵，两边除以，不等号方向改变，得，解得， ∴， ∵时不等式恒成立， ∴的整数部分为． 15．（2026·福建泉州·一模）将抛物线图象向________平移4单位长度得到抛物线的图象．（填“上”或“下”） 【答案】上 【分析】根据二次函数图象平移规律，结合原抛物线和平移后抛物线的解析式，判断平移方向． 【详解】解：已知原抛物线为，平移后抛物线为，解析式常数项加，符合向上平移的变化规律． 所以将抛物线图象向上平移4单位长度得到抛物线的图象． 16．（2026·福建漳州·一模）在2025年第十五届全运会10米跳台比赛中，某运动员从起跳到入水的运动轨迹可以近似看作是抛物线的一部分．如图所示，跳台宽度为，水池边与跳台支柱之间的宽度为（见图中标注）．该运动员的起跳点A距离水面，运动过程中的最高点B距离水面，此时与点A的水平距离为．根据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，确定点的坐标和抛物线对称轴，设出抛物线顶点式解析式，代入坐标求解出解析式，进而得到点的横坐标，即点与池边的水平距离． 【详解】如图，以水面所在的直线为轴，以跳台支柱所在的直线为轴建立平面直角坐标系，并绘制函数图象． 由题意，得，，对称轴为直线． 设抛物线的表达式为， 则， 解得， ， 当时， 解得：（舍去）或 ， ∴， 即点C距离池边 故答案为：． 17．（2026·福建厦门·一模）抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，等边三角形的性质，勾股定理，首先根据顶点式确定原抛物线的顶点 A 的坐标，再写出平移后的抛物线方程和顶点B的坐标．联立两条抛物线方程求出交点C的坐标；过点C作于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出的长和点D的坐标，进而建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，点A的坐标为， ∵将抛物线沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B， ∴点B的坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为， 联立，得， ∴或， 当时，，不符合题意； 当时，， 在中，当时，， ∴； 如图所示，过点C作于D， ∵是等边三角形， ∴（向右平移，m是正数）， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为： 18．（2026·福建漳州·一模）已知二次函数的图象的对称轴为直线若关于x的一元二次方程为实数，在的范围内有解，则t的取值范围是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键． 根据对称轴求出的值，然后求与在的范围内有交点问题即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， ， 解得． ∴二次函数为． 当时，取得最大值4； 当时，； 当时，； 时，． ∵即的解相当于与直线的交点， 当即时，在的范围内有解， 的取值范围是． 故答案为：． 19．（2026·福建厦门·一模）抛物线的对称轴是______． 【答案】轴 【分析】本题考查了抛物线的对称轴，根据对称轴公式解答即可，掌握对称轴公式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为：轴． 20．（2026·福建漳州·一模）已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若点均在抛物线上，且对于任意，都有． ①求的值（用含的代数式表示）； ②求证：． 【答案】(1)直线 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可； （2）①分和两种情况讨论，利用二次函数的图象与性质求解即可；②先求出，再用的代数式表示出，再根据二次函数的性质求证即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）①解：当时，∵点均在抛物线上，且对于任意，都有． ∴点为抛物线的顶点， 由（1）得，当时， ∴； 当时，抛物线开口向下，函数值没有最小值，故不符合题意； 综上：； ②证明：∵点在抛物线上， ∴ ∴ ， ∵， 由①可得， ∴当时，取得最大值，即． 21．（2026·福建厦门·一模）已知二次函数：部分自变量的值与的值如下表． (1)直接写出该二次函数的对称轴； (2)若，当时，，求a的取值范围； (3)点，是该二次函数与轴的交点，点在该二次函数的对称轴上，当时，试问该二次函数上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线 (2) (3)存在，点的坐标为，， 【分析】（1）根据二次函数图像对称性，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，可直接计算对称轴 （2）先写出二次函数交点式，代入点坐标，根据判断乘积符号，进而得到的取值范围； （3）先根据的值求出二次函数解析式，再分为菱形的边和为菱形的对角线两种情况，结合菱形的性质计算点坐标，验证是否在抛物线上得到结果 【详解】（1）解：由表格可知，二次函数图像经过点和，两点纵坐标相同， 因此两点关于对称轴对称.因此对称轴为直线. （2）解：设二次函数解析式为， 将，代入得 ，， 因此 ，即的取值范围是. （3）解：将展开得，因此 ， 解得 因此二次函数解析式为， 当时，， 解得： ∴点，，， ∵点在对称轴上，设，， 分情况讨论：情况1：为菱形的边 ， 与纵坐标相等，且， 解得或. 将代入解析式，得，得. 将代入解析式，得，得. 根据对称性，若，代入解析式得， 整理得， 判别式，无实根，此情况不存在符合条件的点. 情况2：为菱形的对角线时， 菱形对角线互相平分， 中点与中点重合，中点为， 因此 解得，. 将代入解析式，得， 因此，验证可得四边边长相等，满足菱形条件. 综上，存在符合条件的点，坐标为，，. 22．（2026·福建泉州·一模）已知二次函数（a，b是常数，）． (1)若时，二次函数图象的对称轴为直线，求二次函数的表达式； (2)写出一组a，b的值，使函数的图象的顶点在x轴上，并求此二次函数的顶点坐标； (3)已知二次函数的图象和直线都经过点，求的最小值． 【答案】(1) (2)，时，顶点坐标是（答案不唯一） (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出答案； （2）根据一元二次方程根的判别式和抛物线与x轴的交点个数问题进行解答即可； （3）求出，代入进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵对称轴为直线， ∴． ∴； （2）解：令，则， 当时，则， ∴， ∴若，时，函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为，顶点坐标是． （3）解：∵函数的图象与直线都经过， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值是． 23．（2026·福建泉州·一模）如图，抛物线与x轴交于点，点B与点C是该抛物线上的两点，且点B在第一象限，点C在第四象限，连接，． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)记点B与点C的横坐标分别为m与n，试证明：当时，平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）首先利用待定系数法求出抛物线解析式，然后配方成顶点式求解即可； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设点，，然后表示出，，，，然后证明出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ，即， ， ， ， ∴该抛物线的顶点坐标为． （2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ∴该抛物线的表达式为， 设点，， 则，，，， 在和中，，， ． ， ， ，即， 平分． 24．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线． (1)当时，证明此抛物线与轴必有两个交点； (2)设抛物线与x轴分别交于，两点（点在点左侧），与轴正半轴交于点．已知点在第一象限，若，且． ①求证：； ②过轴上的点的直线交抛物线于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）将代入，抛物线解析式，令，计算一元二次方程的判别式，即可得证； （2）①先求得点，，则，根据得出，进而得出，设交轴于点，过点作轴于点，根据得出，即可得出，再证明，即可求解； ②设，经过点的直线为，联立抛物线解析式，进而得出，求得的表达式，根据题意得出时，是一个定值，即可求解． 【详解】（1）证明：当时，抛物线 当时， 即 ∴ ∴此抛物线与轴必有两个交点； （2）解：①当时，，即 ∴ 解得：或 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴当时， 解得： ∴，，， ∵点在第一象限， 当时，，则在上， 如图，设交轴于点，过点作轴于点， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴， 当时，，则， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∵，，， ∴，， ∴且 ∴ ②如图，过轴上的点的直线交抛物线于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点． 设，经过点的直线为 联立 ∴ ∴ ∵是的中点 ∴， ∴ ∵ ∴ ∵是一个定值， ∴是一个定值， ∵ ∴时，是一个定值， ∴ ∴点的坐标为 25．（2026·福建三明·一模）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点A，且与y轴交于点C． (1)若，，求此二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移m个单位长度，得到新的二次函数的图象，当时，求新的二次函数的最小值； (3)设一次函数（n是常数）．若二次函数y1的表达式还可以表示为的形式，当函数的图象经过点时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）确定平移后的解析式，根据抛物线的性质得到对称轴为直线，分类讨论即可得解．（3）把，代入中，得出关于，的关系式，把代入求解即可； 【详解】（1）二次函数的图象经过，， ， 解得：， 此二次函数的表达式为； （2），且向右平移m个单位长度， 新的二次函数可表示为， 对称轴为， ①当，即时， 当时，有， ②当时，即时， 当时，有， ③当，即时， 当时，有； （3），， ， ， ， 又图象经过点， ， 或， 或． 26．（2026·福建三明·一模）已知抛物线经过点、，且． (1)若，求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； (3)设抛物线的顶点为，若，判断直线是否过一定点？若不存在，请说明理由；若存在，请求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)见详解 (3)存在，该定点坐标为 【分析】（1）结合，得、，再运用待定系数法进行解方程，得，即； （2）把点、分别代入，整理得是方程的两个实数根，根据韦达定理得，然后运用求根公式得，，再分别化简，又因为，得，即，即， （3）由（2）得，整理得抛物线的顶点，再分别表示出，，再代入，得，又因为，得，再求出直线的解析式为，故直线过点． 【详解】（1）解：∵， ∴、， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， （2）解：∵抛物线经过点、， ∴ 整理 即是方程的两个实数根， 由韦达定理得， ∴， ∴ 令时，则， 解得， ∵， ∴，， 设， 则， ∴，， ∴ ∵， ∵且， ∴ ∴ 则， ∴ 则 ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 即， （3）解：存在，该定点坐标为 由（2）得， 对称轴为直线， 把代入， 得 ， ∵设抛物线的顶点为， ∴， ∵、， ∴， ∵， ∴， 即 整理得， ∴， 若或，则抛物线的顶点P与点N或M重合，无法构成，不满足的条件， ∴ ∴， 即， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 得 解得 ∴直线的解析式为 ∵ ∴ 当时，则， ∴直线过点， 即直线是过一定点，且定点为． 【点睛】本题考查了二次函数的其他应用，一元二次方程的根与系数，一次函数的其他应用，勾股定理，两点间的距离公式，公式法求一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 27．（2026·福建泉州·一模）在平面直角坐标系中，点，中恰有一点在二次函数的图象上，当时，函数值随的增大而增大． (1)若点在该二次函数的图象上， 求的值； 已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式； (2)在（）②所求的解析式的条件下，，为二次函数图象上的不同两点，且，试判断的值是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；该二次函数的解析式为； (2)的值为定值，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点在该二次函数的图象上，则，然后整理即可求解； 若点在抛物线上，则点，是抛物线上的对称点，则对称轴为直线，从而与“当时，函数值随的增大而增大”矛盾，故只能点在抛物线上，将点代入得，再通过二次函数的性质即可求出解析式； （）由（）得，，，则二次函数解析式为，在中，令，则，所以，又，为二次函数图象上的不同两点，则，，再把化简，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵点在该二次函数的图象上， ∴， ∴； 若点在抛物线上，则点，是抛物线上的对称点， ∴对称轴为直线， ∴与“当时，函数值随的增大而增大”矛盾， ∴只能点在抛物线上， 将点代入， 得， 由（）得， ∴，即， ∴， ∴， ∵二次函数有最大值， ∴，， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：的值为定值，理由如下： 由（）得，，， ∴二次函数解析式为， 在中，令，则， ∴， ∵，为二次函数图象上的不同两点， ∴，， ∴ ． 28．（2026·福建三明·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为． (1)若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值； (2)若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答． （1）根据待定系数法求出函数解析式，然后配方成顶点式，即可求解； （2）把，代入抛物线解析式得出，的关系，然后求出对称轴，由函数的增减性求出的取值范围即可； （3）由，得到离对称轴越远，函数值越大，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，得出关于m的不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：当，且点在函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴函数图象开口向上， ∴当时，有最小值为2； （2）解：∵过， ∴， ∴， ∴对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ， 解得， 又 ∴； （3）解：∵点，在抛物线上， ∵， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，在抛物线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， 解得． 29．（2026·福建福州·一模）抛物线经过点A，B，C，已知，． (1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标； (2)点D在上方的抛物线上． ①如图1，若，求点D的坐标； ②如图2，直线交y轴于点N，过点B作的平行线交y轴于点M，当点D运动时，求的最大值及此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)①；②的最大值为，此时 【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式； （2）①过点D作轴交x轴于H，连接、，先证明，可得，设，列出关于x的方程并求解即可； ②连接、、、，设，得出，设，，，得出，，得，再由求解即可． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， ∴抛物线解析式为 ∴顶点E的坐标； （2）①过点D作轴交x轴于H，连接、    则 ∵ ∴ ∴ 设 则， ∵，， ∴ 解得：， ∵当时， 当时， ∴； ②连接、、、    设 ∴ ∵，， ∴设，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，最大 此时 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、相似三角形的判定及性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 30．（2026·福建漳州·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②存在，，点G的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法先求出函数解析式，再根据函数图象与坐标轴的交点坐标的特征即可求解． （2）①设直线的函数解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，由中点的性质可求得，进而可求得点，即，由，则，根据，，，可得，再由平行线的性质可得，进而可得，进而可求解；②过点G作轴于点H，设点，利用相似三角形的判定及性质可得，解出方程即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴； 把代入得：， 解得：， ∴． （2）①如图：    设直线的函数解析式为：， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为：， ∵，，点N运动到的中点， ∴， 把代入得：， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； ②过点G作轴于点H，    由①可得：， ∴， ∴，则， 设点， ∵， ∴，，则， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵，   ∴， ∴，即， 整理得：， 令，则， 解得：， 当时，不符合题意，舍去； 当时，解得：，， 此时，或（舍）， 综上：存在，，点G的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，借助恰当的辅助线，构造相似三角形解决问题． 31．（2026·福建·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．    (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标． 【答案】(1) (2)30 (3) 【分析】（1）用两点式设出二次函数的解析式，然后求得C点的坐标，并将其代入二次函数的解析式，求得a的值，再将a代入解析式中即可． （2）先将二次函数变形为顶点式，求得顶点坐标，然后利用矩形、三角形的面积公式即可求得答案． （3）根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最后联立一次函数与二次函数的解析式，求得点P的坐标． 【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于两点． ∴设二次函数的表达式为 ∵， ∴，即的坐标为 则，得 ∴二次函数的表达式为； （2） ∴顶点的坐标为 过作于，作于， 四边形的面积 ；    （3）如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时， 连接，过作交于，过作于，    ∵，则为等腰直角三角形，． 由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， ∴ 由，得， ∴． ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴的坐标为 所以过的直线的解析式为 令 解得，或 所以直线与抛物线的两个交点为 即所求的坐标为 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质以及与坐标系几何图形的综合证明计算问题，解题的关键是将所学的知识灵活运用． 32．（2026·福建泉州·一模）如图，二次函数的图像交轴于，交轴于，过画直线． （1）求二次函数的解析式； （2）点在轴正半轴上，且，求的长； （3）点在二次函数图像上，以为圆心的圆与直线相切，切点为． ① 点在轴右侧，且（点与点对应），求点的坐标； ② 若的半径为，求点的坐标． 【答案】（1）（2）3/2（3）①或②或 【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交轴于 ∴设该二次函数的解析式为： 又二次函数y=ax2+bx+c的图像交轴于 将代入，得 解得， ∴抛物线的解析式为，即 （2）设，则 在中， 由勾股定理，得 解得，，即 （3）① ∵，点与点对应 ∴ 情形1：如图，当在点下方时 ∵ ∴轴，∴ 点在二次函数图像上 ∴ 解得（舍去）或，∴ 情形2：如图，当在点上方时 ∵ 由（2）得，为直线与抛物线的另一交点 设直线的解析式为 把的坐标代入，得 解得，，∴ 由，解得，（舍去）或 此时，∴ ∴点的坐标为或 ②以为圆心的圆与直线相切，则点到直线的距离即为圆半径．因为同时也在抛物线上，因此利用平行线间距离处处相等的性质，先在轴上找到与直线距离为的点，过点作与直线平行的直线，根据平行直线的解析式中相等的性质确定直线解析式，再联立直线与抛物线解析式求得坐标． 在轴上取一点，过点作于点，使 ∵ ∴，∴ ∴，解得 ∴或 过点作，交抛物线于点 设直线的解析式为，将代入可得，，解得 ∴设直线的解析式为，将或代入可得， 或，解得或 则直线的解析式为或 当时，， ，方程无实数解 当时，， 解得 ∴点坐标为或 反比例函数及其应用 考点05 1．（2026·福建泉州·一模）如图，点在双曲线上，轴，垂足为，过点作交双曲线于点，连接，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先设出点P的坐标，进而得到点B的坐标，再根据直线与平行求出直线的解析式，联立直线与双曲线的方程求出点A的坐标，根据，求得，最后根据求解即可． 【详解】解：设， ∵轴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得， ∵， ∴， 将代入得， ∴点的坐标为， 作轴于点， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·福建三明·一模）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 3．（2026·福建厦门·一模）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（   ） A．k＜0 B．k＞0 C．k＜1 D．k＞1 【答案】D 【分析】对于反比例函数，当时，在每一个象限内，y随着x的增大而减小；当时，在每一个象限内，y随着x的增大而增大，据此进行求解即可． 【详解】根据题意可得：， 解得：， 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 4．（2026·福建福州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（ ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【详解】AC=m﹣1，CQ=n， 则S四边形ACQE=AC•CQ=（m﹣1）n=mn﹣n． ∵，Q（m，n）在函数（x＞0）的图象上， ∴mn=k=4（常数）， ∴S四边形ACQE=AC•CQ=（m﹣1）n=4﹣n， ∵当m＞1时，n随m的增大而减小， ∴S四边形ACQE=4﹣n随m的增大而增大． 故选B． 考点：反比例函数系数k的几何意义. 5.（2026·福建厦门·一模）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式传播．5G技术的发展，使得依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值： 频率（） 波长（） 则当时，电磁波的波长为________． 【答案】 【分析】观察表格数据，发现波长与频率的乘积为定值，确定两者满足反比例函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：由表中数据可知，，，，，， 波长与频率的乘积为定值，即与满足反比例函数关系． 设波长关于频率的函数解析式为． 把，代入上式中得：， 当时， 6．（2026·福建漳州·一模）反比例函数的图象如图所示，则的值可以是___________．（写出一个满足条件的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点， 则点的横坐标为，纵坐标小于，即点可以是， 将代入，得， 解得， 则的值可以是． 7．（2026·福建泉州·一模）已知双曲线与函数的图象有两个交点，则b的值是________． 【答案】4 【分析】由函数得，且，与双曲线联立，根据一元二次方程的根与交点的关系即可求解． 【详解】解：由函数得，且， 联立，则， ∴， ∵， ∴必有两个不相等的实数根， ∵时，，且双曲线的图象在第一、三象限， ∴与的图象在第一象限必有一个交点； 联立，则， ∴， ∵与的图象在第一象限有一个交点， ∴要使总交点数为2， ∴与的图象必有一个交点， ∴有两个相等的实数根， ∴， 解得， 当时，则，解得， 当时，，符合题意； 当时，则，解得， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上所述，． 8．（2026·福建泉州·一模）随着人工智能的发展，我国已发布多款机器狗．已知某款机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，其图象如图所示，当其载重后总质量时，其最快移动速度v等于________． 【答案】3 【分析】根据图象的信息，利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后再将代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为, 根据图象可知，机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度, ∴， 解得：， 反比例函数解析式为, ∴当时，． 9.（2026·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方时的范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数交于点， ∴不等式的解集为． 10．（2026·福建·一模）如图，点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上，点在轴上，若四边形是面积为的正方形，则实数的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数图像上任意一点作轴、轴的垂线，与轴、轴所围成的矩形面积为的绝对值．如图：由题意可得，再根据进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上， ∴， ∵四边形是面积为的正方形， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 11．（2026·福建漳州·一模）反比例函数的图象经过点，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的求解，解决本题的关键是将点代入求解． 将点坐标代入函数解析式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将代入解析式，得． 故答案为：． 12．（2026·福建漳州·一模）反比例函数的图象上有两点，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解不等式，由反比例函数的性质，时，在每个象限内，y随x的增大而减小，得，然后解不等式即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13．（2026·福建福州·一模）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是__. 【答案】k>2 【分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2-k的符号，即可解答． 【详解】∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限， ∴2-k＜0， ∴k＞2． 故答案为k＞2． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键． 14．（2026·福建三明·一模）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求证：； (2)的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的面积不是定值 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数面积问题； （1）联立，整理得，在根据一元二次方程根与系数的关系得到； （2）先求出，，再根据，由，，求出，据此判断即可； （3）先求出，，再根据，得到，则． 【详解】（1）解：方法一：根据函数图象可得在第一象限，在第三象限， ∴， ∴； 方法二：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，两点， ∴联立，整理得， ∴和是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴； （2）解：当时，，则，； 当时，，则，； ∴ ， 由（1）可得，， ∴， ∵的值不确定， ∴的值不确定， ∴的值不确定， 即的面积不是定值； （3）解：，理由如下： ，， ∵， ∴， ∴． 15．（2026·福建福州·一模）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 16．（2026·福建泉州·一模）已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表． （单位：Ω） 5 10 15 20 25 （单位：A） 0．4 (1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式 ； (2)在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象； (3)已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是 ． 【答案】(1) (2)，函数图象见解析 (3) 【分析】（1）根据欧姆定律进行求解即可； （2）根据（1）所求的关系式代值计算，再画出对应的图形即可； （3）分别求出通过滑动变阻器的最大电流和最小电流，根据（1）所求关系求出对应的电阻即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，电压表的度数为， ∴由欧姆定律得， 故答案为：； （2）解：当时，，当时，， 函数图象如下所示； （3）解：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵定值电阻的电压固定为， ∴电流的最小值为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $