专题02 方程与不等式5大考点（福建专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01 一元一次方程 考点02 二元一次方程 考点03 一元二次方程 考点04 分式方程 考点05 不等式和不等式组 一元一次方程 考点01 1．（2026·福建厦门·一模）日历中蕴含着丰富的数学规律．如图是某月的日历，在此日历上用一个正方形圈出9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．现用一个3×3正方形圈出另外的9个数，若这9个数之和记为n，则n的值可能是（   ） A．108 B．109 C．153 D．154 2．（2026·福建泉州·一模）如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建三明·一模）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文．现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥” a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即 ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断：若S在1到26之间，则S 就是该字母加密后的密文所对应的数字；若S 大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文．例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（ m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12＋4＝40. ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： (1)若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为 ； (2)在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为 ； (3)小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； (4)利用（ 3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 二元一次方程 考点02 1．（2026·福建泉州·一模）某航天基地规划建设新型试验场，将部分原有测试平台改建为智能观测区．改建后，智能观测区与测试平台总面积共198亩，测试平台面积是智能观测区面积的．若设改建后智能观测区的面积为x亩，测试平台的面积为y亩，则根据条件可列方程组是（   ） A． B． C． D． 2.（2026·福建漳州·一模）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘小舟过江，若每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；若每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，问共有多少只小舟，多少人，设共有x只小舟，y人，则可列方程组为（　　　） A． B． C． D． 3．（2026·福建厦门·一模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（    ） A． B． C． D． 4．（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 5．（2026·福建三明·一模）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买、两种型号的帐篷，若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买、两种型号的帐篷共顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷的数量不超过购买种型号帐篷的数量的．为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？ 6．（2025·福建泉州·模拟预测）由于电力紧张，某地决定对工厂实行“峰谷”用电．规定：在每天的至为“峰电”期，电价为a元/度；每天至为“谷电”期，电价为b元/度．下表为某厂月份的用电量和电费的情况统计表： 月份 用电量（万度） 电费（万元） 4 12 6.4 5 16 8.8 (1)若4月份“谷电”的用电量占当月总电量的，5月份“谷电”的用电量占当月总用电量的，求的值． (2)若6月份该厂预计用电20万度，为将电费控制在10万元至10.6万元之间（不含10万元和万元），那么该厂6月份在“谷电”的用电量占当月用电量的比例应在什么范围？ 7.（2026·福建三明·一模）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 一元二次方程 考点03 1．（2026·福建泉州·一模）下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 2.（2026·福建漳州·一模）中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号笔记本电脑发售时每台售价9860元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降两次，且每次降价百分率相同，现在每台售价为元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建三明·一模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建三明·一模）为提升学生数学探究能力，某中学自年起在数学课堂推广“几何画板”软件，当年有名学生使用该软件．年使用人数较年增长，学校后续持续推进软件普及，2025年使用人数增至人．若2023至2025年使用人数的年平均增长率保持不变，求这两年的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·福建厦门·一模）某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·福建厦门·一模）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C． D．， 7．（2026·福建泉州·一模）临近毕业，相处三年的同学们建立了深厚的友谊，九年级（1）班的同学们组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·福建三明·一模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·福建泉州·一模）根据广东省统计局数据，广东省年的地区生产总值为亿元，位列全国第一，年的地区生产总值为亿元．设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为，根据题意可列方程（  ） A． B． C． D． 10．（2026·福建福州·一模）方程的根是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·福建福州·一模）已知关于的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程根的情况是(    )    A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 12．（2026·福建·一模）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）    A． B． C．或 D． 13．（2026·福建泉州·一模）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个解，则m的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 14．（2026·福建泉州·一模）已知双曲线与函数的图象有两个交点，则b的值是________． 15．（2026·福建三明·一模）已知a、b是一元二次方程的两根，则______． 16．（2026·福建漳州·一模）若是方程的一个解，则的值是___________． 17．（2026·福建漳州·一模）已知关于x的方程有一个根是0，则m的值为____． 18．（2026·福建三明·一模）若a，b是方程的两个实数根，则的值为_____． 19．（2026·福建厦门·一模）若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是___________ （写出一个符合条件的值即可）． 20．（2026·福建三明·一模）2026年是农历丙午马年，马年吉祥物深受大众喜爱，某超市购进一批马年吉祥物进行销售，每个进货价为30元，当每个售价为40元时，平均每月可售出600个，经调查发现，当售价在40元至60元范围内时，该吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． (1)若售价上涨x元，平均每月销售量为y个，则y与x的函数关系式为______； (2)若超市要实现平均每月10000元的销售利润，则这种马年吉祥物的售价应定为多少元？ 21．（2026·福建三明·一模）已知抛物线经过点、，且． (1)若，求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； (3)设抛物线的顶点为，若，判断直线是否过一定点？若不存在，请说明理由；若存在，请求出该定点坐标． 22．（2026·福建泉州·一模）在平面直角坐标系中，点，中恰有一点在二次函数的图象上，当时，函数值随的增大而增大． (1)若点在该二次函数的图象上， 求的值； 已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式； (2)在（）②所求的解析式的条件下，，为二次函数图象上的不同两点，且，试判断的值是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 23．（2026·福建厦门·一模）解方程：． 51．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求证：； (2)的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)与相等吗？请说明理由． 24．（2026·福建福州·一模）解方程：． 25．（2026·福建福州·一模）解决问题 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 准备素材 小明收集到闲置纸板箱如图①所示．将其拆解出的如图②和图③两种矩形纸板，两种纸板的长和宽如图所示． 设计方案 小明分别将图②和图③两种矩形纸板以不同的方式制作储物盒． 图②矩形纸板的制作方式 图③矩形纸板的制作方式 如图④，裁去纸板角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 如图⑤，将纸板四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标达成 小明利用两种不同的制作方式进一步探究． 初步应用 小明按照矩形纸板②的制作方式，制作了如图④所示的储物盒的底面积是，求这个储物盒的容积． 储物收纳 小明按照矩形纸板③的制作方式，制作了如图⑤所示储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．小明家里一个玩具攀爬小火车的实物图和尺寸大小如图⑥所示，通过计算判断这个玩具能否完全放入该储物盒． 26．（2026·福建泉州·一模）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式　 　； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ 分式方程 考点04 1．（2026·福建三明·一模）在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 2．（2026·福建漳州·一模）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（注释：椽是传统木构建筑用以支撑屋顶材料的木杆）．设这批椽有株，则符合题意的方程是 （   ） 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·一模）为了筹备学校文艺汇演，美术组需要赶制200个相同的舞台道具．最初由几位经验丰富的同学负责制作，原计划每天做个可按时完成任务，后来为了加快进度，又增加了几位新同学帮忙，使得实际每天比原计划多做10个，结果比原计划提前1天完成了任务，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建·一模）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·福建泉州·一模）已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 6．（2026·福建三明·一模）物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，如图，密度计悬浮在密度为（单位：）的液体中，浸在液体中的高度（单位：）与液体的密度的关系式．已知橘子汁的密度是水的密度的倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中的高度多，求水的密度． 不等式和不等式组 考点05 1．（2026·福建泉州·一模）若在实数范围内有意义，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建三明·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建漳州·一模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·福建泉州·一模）关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 故选：C． 6．（2026·福建·一模）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 7．（福建三明市尤溪县2025-2026学年初中毕业班总复习阶段监测数学试卷）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 故选：A． 8．（2026·福建泉州·一模）已知实数x，y满足，则的最大值为____． 9．（2026·福建泉州·一模）不等式的解集为________． 10（2026·福建厦门·一模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 11．（2026·福建·一模）某学校把学生的思想素质测试、行为习惯两项成绩分别按、的比例计入评价总成绩中的一项．小明行为习惯的成绩是81分，若想评价总成绩中这一项不低于90分，则思想素质测试的成绩至少是 _______ 分． 12．（2026·福建厦门·一模）已知正实数，满足，． (1)若，求实数； (2)已知，以，，为边长的三角形是直角三角形，求该三角形的面积． 13．（2026·福建泉州·一模）解不等式组 14.（2026·福建三明·一模）解不等式组： 15．（2026·福建漳州·一模）某社区现有老年人800人，为满足日间照料需求，当地政府计划在该社区建设日间服务照料中心．经测算，拟定A，B两种建设运营方案： A方案：每年除固定投入80万元外，还需为每位接受服务的老年人支付年均费用0.3万元； B方案：每年除固定投入120万元外，还需为每位接受服务的老年人支付年均费用0.2万元． 设接受服务的老年人为人（，且为整数），A，B两种方案的年总费用分别为万元． (1)写出关于的函数关系式； (2)结合接受服务的老年人的人数，通过计算分析采用哪种方案的年总费用较少． 16．（2026·福建泉州·一模）解不等式组，并将解集用数轴表示出来． 17．（2026·福建厦门·一模）圆周率是指圆的周长与其直径的比值，是无限不循环小数，其常用近似值可表示为3.141592653……．古往今来，历代中外数学家均围绕圆周率的精确估算展开了深入的探索，产生了很多方法，如我国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”，此外还有如下方法： 1．利用“布丰投针试验”估算 1777年，法国数学家布丰设计了著名的投针试验：如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上．针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟该试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值________附近（结果精确到0.001）；根据上述数据请你估计的近似值为________（精确到0.01）． 2．利用“莱布尼茨无穷级数”逼近 17世纪，德国数学家莱布尼茨创立微积分，推导出计算的另一种表达式 （n为非负整数） 记，则； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ……随着n增大，逐渐逼近，的值越接近的值． 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，求n的最小值． 18．（2026·福建三明·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为． (1)若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值； (2)若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围． 19．（2026·福建泉州·一模）【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 20．（2026·福建泉州·一模）已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表． （单位：Ω） 5 10 15 20 25 （单位：A） 0．4 (1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式 ； (2)在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象； (3)已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是 ． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01 一元一次方程 考点02 二元一次方程 考点03 一元二次方程 考点04 分式方程 考点05 不等式和不等式组 一元一次方程 考点01 1．（2026·福建厦门·一模）日历中蕴含着丰富的数学规律．如图是某月的日历，在此日历上用一个正方形圈出9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．现用一个3×3正方形圈出另外的9个数，若这9个数之和记为n，则n的值可能是（   ） A．108 B．109 C．153 D．154 【答案】C 【分析】设正方形圈出的9个数正中间的数为，根据日历中数的排列规律（左右相差1，上下相差7），用含的代数式表示出这9个数，求和得到，再结合日历的边界条件进行判断． 【详解】解：设正方形圈出的9个数正中间的数为， 则这9个数分别为： ，，，， 必须是9的倍数 和不是9的倍数 排除B、D选项 对于A选项，若，则，解得 观察日历可知，12位于第一列（周日），其左侧没有数字，无法构成的正方形，故A不符合题意 对于C选项，若，则，解得 观察日历可知，17位于第六列（周五），其上下左右均有数字，可以构成的正方形（圈出的数为9，10，11，16，17，18，23，24，25），故C符合题意． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分线定义可设，得到，，，根据周角的定义列方程并解方程，进一步即可得到答案． 【详解】解：∵为的三等分线， ∴可设， 则， ∵交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 3．（2026·福建三明·一模）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 4．（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文．现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥” a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即 ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断：若S在1到26之间，则S 就是该字母加密后的密文所对应的数字；若S 大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文．例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（ m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12＋4＝40. ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： (1)若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为 ； (2)在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为 ； (3)小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； (4)利用（ 3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 【答案】(1) (2)7 (3) (4) 【分析】（1）根据将明文转换为密文的方法计算得出对应的S，即可得出答案； （2）先确定M对应的数，再结合计算方法求出b即可； （3）根据要求列出方程组，求出符合题意的解； （4）根据（3）中两个密钥，再根据计算要求解答． 【详解】（1）解：∵，，将明文中字母H（）转换成所对应的密文， 则， ∵， ∴21对应的字母是U， ∴明文中字母H对应的密文是字母U； 同理，明文中字母I对应的密文是字母W； ∴“”加密后的密文是“”； （2）解：根据题意可知， ∵M对应的数是， ∴， 解得； （3）根据题意，得， 解得； 根据题意，得， 解得，不是整数，不符合题意， 根据题意，得， 解得，不符合题意； （4）解：∵T和N对应的数是20，14，且，，设明文对应的数是x，y， ∴，， 解得，， ∵12对应的字母是L，6对应的字母是F， ∴密文“”解密获得的明文为“”． 二元一次方程 考点02 1．（2026·福建泉州·一模）某航天基地规划建设新型试验场，将部分原有测试平台改建为智能观测区．改建后，智能观测区与测试平台总面积共198亩，测试平台面积是智能观测区面积的．若设改建后智能观测区的面积为x亩，测试平台的面积为y亩，则根据条件可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只需从题干中提取两个等量关系，依次列出方程即可． 【详解】解：∵设改建后智能观测区的面积为亩，测试平台的面积为亩， 根据“智能观测区与测试平台总面积共198亩”，可得第一个方程： 根据“测试平台面积是智能观测区面积的”，可得第二个方程： 因此可列方程组为． 2.（2026·福建漳州·一模）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘小舟过江，若每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；若每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，问共有多少只小舟，多少人，设共有x只小舟，y人，则可列方程组为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系并列出方程组是关键；根据等量关系：每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，列出方程组即可． 【详解】解：由题意共有x只小舟，y人， 则得方程组， 故选：A． 3．（2026·福建厦门·一模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为， 故选：D． 4．（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值； （2）根据材料的方法仿照解题即可． 【详解】（1）解：方程组， 由③得，， 代入②，解得， 代入①，解得， ∴方程组的解为； （2）解：（i）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为； （ii）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是 ， 当，即时， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为，符合题意； ∴． 5．（2026·福建三明·一模）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买、两种型号的帐篷，若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买、两种型号的帐篷共顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷的数量不超过购买种型号帐篷的数量的．为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？ 【答案】(1)每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元 (2)购买种型号帐篷顶，购买种型号帐篷顶时，总费用最低 【分析】（1）设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元，根据题意构造方程组并求解即可； （2）设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，购买帐篷的总费用为元，根据题意可得，计算出，结合一次函数的增减性可得，当时，取得最小值． 【详解】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． （2）解：设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，购买帐篷的总费用为元， 根据题意可得，，且， 解得， ， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最小值（元）．此时购买种型号帐篷顶，购买种型号帐篷顶． 答：购买种型号帐篷顶，购买种型号帐篷顶时，总费用最低． 6．（2025·福建泉州·模拟预测）由于电力紧张，某地决定对工厂实行“峰谷”用电．规定：在每天的至为“峰电”期，电价为a元/度；每天至为“谷电”期，电价为b元/度．下表为某厂月份的用电量和电费的情况统计表： 月份 用电量（万度） 电费（万元） 4 12 6.4 5 16 8.8 (1)若4月份“谷电”的用电量占当月总电量的，5月份“谷电”的用电量占当月总用电量的，求的值． (2)若6月份该厂预计用电20万度，为将电费控制在10万元至10.6万元之间（不含10万元和万元），那么该厂6月份在“谷电”的用电量占当月用电量的比例应在什么范围？ 【答案】(1)“峰电”期电价为0.6元/度，“谷电”期电价为0.4元/度 (2)在大于小于之间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识；由题意列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． （1）根据已知条件可以求出4月、5月的“峰电”的用电量和“谷电”的用电量，然后根据电费建立二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设6月份的“谷电”的用电量为x万度，则“峰电”的用电量为万度，根据电费的控制范围建立不等式组求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵4月份“谷电”的用电量占当月总电量的， ∴4月份“谷电”的用电量是：（万度）， ∴4月份“峰电”的用电量是：（万度）， ∵5月份“谷电”的用电量占当月总用电量的， ∴5月份“谷电”的用电量是：（万度）， ∴5月份“峰电”的用电量是：（万度）， 由题意得：， 解得：， 答：“峰电”期电价为元/度，“谷电”期电价为元/度； （2）设6月份“谷电”的用电量为x万度，则“峰电”的用电量为万度， 由题意得：， 解得：， ∴该厂6月份在“谷电”的用电量占当月用电量的比例应在大于且小于之间． 7.（2026·福建三明·一模）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 【答案】农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷，根据题意列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷， 由题意可得，， 解得， 答：农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷． 一元二次方程 考点03 1．（2026·福建泉州·一模）下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A 选项，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B 选项，， ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C 选项，， ， 方程没有实数根，符合题意； D 选项，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 2.（2026·福建漳州·一模）中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号笔记本电脑发售时每台售价9860元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降两次，且每次降价百分率相同，现在每台售价为元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵每次降价的百分率为 ∴第一次降价后的售价为 元 ∴第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降，售价为元 又∵现在每台售价为 元 ∴可列方程为 ． 3．（2026·福建三明·一模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解答本题的关键． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形， 根据题意得： 故选：B． 4．（2026·福建三明·一模）为提升学生数学探究能力，某中学自年起在数学课堂推广“几何画板”软件，当年有名学生使用该软件．年使用人数较年增长，学校后续持续推进软件普及，2025年使用人数增至人．若2023至2025年使用人数的年平均增长率保持不变，求这两年的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设年平均增长率为x，根据两年增长模型，列出方程，解方程求解即可． 【详解】解：设年平均增长率为， 则， 解得：或（舍）， 即年平均增长率为， 故选：D． 5．（2026·福建厦门·一模）某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均下降率问题，从第一个月到第三个月经过两个月下降，成本按倍变化． 【详解】解：∵ 第一个月成本为450万元，第三个月成本为370万元，且平均每月下降率为x， ∴ 经过两个月下降，第三个月成本第一个月成本， 即． 故选：D． 6．（2026·福建厦门·一模）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过因式分解法求解方程． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 或， ∴ 方程的解为 ，． 故选：B． 7．（2026·福建泉州·一模）临近毕业，相处三年的同学们建立了深厚的友谊，九年级（1）班的同学们组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 每名学生需要给其他名学生写留言，因此总留言数为份，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意，列出方程为， 故选：C． 8．（2026·福建三明·一模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 9．（2025·福建泉州·一模）根据广东省统计局数据，广东省年的地区生产总值为亿元，位列全国第一，年的地区生产总值为亿元．设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为，根据题意可列方程（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为，根据题意可列方程， ， 故选：B． 10．（2026·福建福州·一模）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用因式分解法一元二次方程，观察等号右边等于0，直接求解即可选出正确选项． 【详解】解：； ； 即，； 故选：B． 11．（2026·福建福州·一模）已知关于的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程根的情况是(    )    A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先由数轴得出，再计算判别式的值即可判断． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 12．（2026·福建·一模）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（2026·福建泉州·一模）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个解，则m的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个解， ，解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14．（2026·福建泉州·一模）已知双曲线与函数的图象有两个交点，则b的值是________． 【答案】4 【分析】由函数得，且，与双曲线联立，根据一元二次方程的根与交点的关系即可求解． 【详解】解：由函数得，且， 联立，则， ∴， ∵， ∴必有两个不相等的实数根， ∵时，，且双曲线的图象在第一、三象限， ∴与的图象在第一象限必有一个交点； 联立，则， ∴， ∵与的图象在第一象限有一个交点， ∴要使总交点数为2， ∴与的图象必有一个交点， ∴有两个相等的实数根， ∴， 解得， 当时，则，解得， 当时，，符合题意； 当时，则，解得， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上所述，． 15．（2026·福建三明·一模）已知a、b是一元二次方程的两根，则______． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到，再利用通分把变形为然后整体代入的方法即可求解． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两根， ∴， ． 16．（2026·福建漳州·一模）若是方程的一个解，则的值是___________． 【答案】 【分析】先将方程的解代入方程得到，再将原代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴ ∴， ∴． 17．（2026·福建漳州·一模）已知关于x的方程有一个根是0，则m的值为____． 【答案】 1 【分析】本题考查了方程的解的定义．将代入方程，利用根的定义求解 【详解】解：将代入方程 ，得 ， 故答案为：1 18．（2026·福建三明·一模）若a，b是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、，是解题的关键． 根据一元二次方程的解得出，，进而求出，再利用根与系数的关系可得出 ， ，整体代入化简后的表达式计算． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴，即， ∴ ， 同理：． ∴， ∵， ， ∴原式． 故答案为：． 19．（2026·福建厦门·一模）若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是___________ （写出一个符合条件的值即可）． 【答案】2（答案不唯一，m大于1即可） 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出m的取值范围，取其内的任意一数即可． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴ ， 解得： ． 故答案为：2（答案不唯一，m大于1即可）． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键． 20．（2026·福建三明·一模）2026年是农历丙午马年，马年吉祥物深受大众喜爱，某超市购进一批马年吉祥物进行销售，每个进货价为30元，当每个售价为40元时，平均每月可售出600个，经调查发现，当售价在40元至60元范围内时，该吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． (1)若售价上涨x元，平均每月销售量为y个，则y与x的函数关系式为______； (2)若超市要实现平均每月10000元的销售利润，则这种马年吉祥物的售价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)售价应定为50元 【分析】（1）根据“吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个”列函数关系式即可． （2）设售价上涨x元，根据“超市要实现平均每月10000元的销售利润”列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∵售价在40元至60元范围内， ∴， 则y与x的函数关系式为； （2）解法一：设售价上涨x元． 依题意得：， 解得：，． ∴当时，售价为元； 当时，售价为元， 又∵售价在40元元范围内， ∴不符合题意，舍去． ∴售价应定为50元． 解法二：设售价应定为x元． 依题意得：， 解得：，， 又∵售价在40元元范围内， ∴不符合题意，舍去． ∴售价应定为50元． 21．（2026·福建三明·一模）已知抛物线经过点、，且． (1)若，求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； (3)设抛物线的顶点为，若，判断直线是否过一定点？若不存在，请说明理由；若存在，请求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)见详解 (3)存在，该定点坐标为 【分析】（1）结合，得、，再运用待定系数法进行解方程，得，即； （2）把点、分别代入，整理得是方程的两个实数根，根据韦达定理得，然后运用求根公式得，，再分别化简，又因为，得，即，即， （3）由（2）得，整理得抛物线的顶点，再分别表示出，，再代入，得，又因为，得，再求出直线的解析式为，故直线过点． 【详解】（1）解：∵， ∴、， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， （2）解：∵抛物线经过点、， ∴ 整理 即是方程的两个实数根， 由韦达定理得， ∴， ∴ 令时，则， 解得， ∵， ∴，， 设， 则， ∴，， ∴ ∵， ∵且， ∴ ∴ 则， ∴ 则 ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 即， （3）解：存在，该定点坐标为 由（2）得， 对称轴为直线， 把代入， 得 ， ∵设抛物线的顶点为， ∴， ∵、， ∴， ∵， ∴， 即 整理得， ∴， 若或，则抛物线的顶点P与点N或M重合，无法构成，不满足的条件， ∴ ∴， 即， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 得 解得 ∴直线的解析式为 ∵ ∴ 当时，则， ∴直线过点， 即直线是过一定点，且定点为． 【点睛】本题考查了二次函数的其他应用，一元二次方程的根与系数，一次函数的其他应用，勾股定理，两点间的距离公式，公式法求一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22．（2026·福建泉州·一模）在平面直角坐标系中，点，中恰有一点在二次函数的图象上，当时，函数值随的增大而增大． (1)若点在该二次函数的图象上， 求的值； 已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式； (2)在（）②所求的解析式的条件下，，为二次函数图象上的不同两点，且，试判断的值是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；该二次函数的解析式为； (2)的值为定值，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点在该二次函数的图象上，则，然后整理即可求解； 若点在抛物线上，则点，是抛物线上的对称点，则对称轴为直线，从而与“当时，函数值随的增大而增大”矛盾，故只能点在抛物线上，将点代入得，再通过二次函数的性质即可求出解析式； （）由（）得，，，则二次函数解析式为，在中，令，则，所以，又，为二次函数图象上的不同两点，则，，再把化简，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵点在该二次函数的图象上， ∴， ∴； 若点在抛物线上，则点，是抛物线上的对称点， ∴对称轴为直线， ∴与“当时，函数值随的增大而增大”矛盾， ∴只能点在抛物线上， 将点代入， 得， 由（）得， ∴，即， ∴， ∴， ∵二次函数有最大值， ∴，， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：的值为定值，理由如下： 由（）得，，， ∴二次函数解析式为， 在中，令，则， ∴， ∵，为二次函数图象上的不同两点， ∴，， ∴ ． 23．（2026·福建厦门·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键．本题利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ∴， ∴ 51．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求证：； (2)的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的面积不是定值 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数面积问题； （1）联立，整理得，在根据一元二次方程根与系数的关系得到； （2）先求出，，再根据，由，，求出，据此判断即可； （3）先求出，，再根据，得到，则． 【详解】（1）解：方法一：根据函数图象可得在第一象限，在第三象限， ∴， ∴； 方法二：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，两点， ∴联立，整理得， ∴和是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴； （2）解：当时，，则，； 当时，，则，； ∴ ， 由（1）可得，， ∴， ∵的值不确定， ∴的值不确定， ∴的值不确定， 即的面积不是定值； （3）解：，理由如下： ，， ∵， ∴， ∴． 24．（2026·福建福州·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键熟练掌握配方法，利用配方法解方程即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 开平方，得， 解得，． 25．（2026·福建福州·一模）解决问题 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 准备素材 小明收集到闲置纸板箱如图①所示．将其拆解出的如图②和图③两种矩形纸板，两种纸板的长和宽如图所示． 设计方案 小明分别将图②和图③两种矩形纸板以不同的方式制作储物盒． 图②矩形纸板的制作方式 图③矩形纸板的制作方式 如图④，裁去纸板角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 如图⑤，将纸板四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标达成 小明利用两种不同的制作方式进一步探究． 初步应用 小明按照矩形纸板②的制作方式，制作了如图④所示的储物盒的底面积是，求这个储物盒的容积． 储物收纳 小明按照矩形纸板③的制作方式，制作了如图⑤所示储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．小明家里一个玩具攀爬小火车的实物图和尺寸大小如图⑥所示，通过计算判断这个玩具能否完全放入该储物盒． 【答案】初步应用：储物盒的容积为  储物收纳：这个玩具不能完全放入该储物盒 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程． 初步应用：设裁去小正方形边长为，根据底面积，列出方程求解即可； 储物收纳：设裁去小长方形长为，宽为，推出，根据底面积得出，将n的代数式代入，求出m的值，再得出制作储物盒长为cm，高为，宽为，即可解答． 【详解】初步应用： 解：设裁去的正方形的边长为， ， 解得：（舍去），， ∴这个储物盒的容积为． 储物收纳： 解：设减去的长方形的长为，宽为， 则， 解得， ∵， ∴， 解得：（舍去），， 即高为， ∴储物盒的底面的两边长为cm，， ∵，，， ∴这个玩具不能完全放入该储物盒． 26．（2026·福建泉州·一模）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式　 　； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）25元 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式； （2）根据每周的利润＝每本的利润×每周的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（22，36），（24，32）代入y＝kx+b，得： ， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80（20≤x≤28）． 故答案为：y＝﹣2x+80（20≤x≤28）． （2）依题意，得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150， 整理，得：x2﹣60x+875＝0， 解得：x1＝25，x2＝35（不合题意，舍去）． 答：每本纪念册的销售单价是25元． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式及利用利润＝每本的利润×每周的销售数量列一元二次方程． 分式方程 考点04 1．（2026·福建三明·一模）在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 【答案】D 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合题意判断各选项中未知数和空缺部分的正误即可． 【详解】解：设规定时间为，则快马时间为，快马速度为， 慢马时间为，慢马速度为， 又∵快马速度是慢马的2倍，可得，因此表示规定时间，A正确； △应为，故D错误； 设慢马速度为，则快马速度为，慢马时间为，规定时间， 快马时间为，规定时间，因此方程为，可得表示慢马速度，B正确； *表示，C正确． 综上，不正确的是D． 2．（2026·福建漳州·一模）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（注释：椽是传统木构建筑用以支撑屋顶材料的木杆）．设这批椽有株，则符合题意的方程是 （   ） 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这批椽有x株，则一株椽的价钱为，拿一株椽后，剩余株，根据剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，列出方程即可． 【详解】解：设这批椽有x株，依题意得 ． 3．（2026·福建泉州·一模）为了筹备学校文艺汇演，美术组需要赶制200个相同的舞台道具．最初由几位经验丰富的同学负责制作，原计划每天做个可按时完成任务，后来为了加快进度，又增加了几位新同学帮忙，使得实际每天比原计划多做10个，结果比原计划提前1天完成了任务，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据“工作时间工作总量工作效率”，分别表示出原计划和实际的工作时间，再根据实际比原计划提前1天完成的等量关系列出方程即可． 【详解】解：∵原计划每天做个，总任务量为200个， ∴原计划完成任务的时间为天， ∵实际每天比原计划多做10个， ∴实际每天完成个，实际完成任务的时间为天， ∵实际比原计划提前1天完成，即原计划时间减去实际时间等于1， ∴可列方程为． 4．（2026·福建·一模）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，乘公交车平均每小时走x千米，根据“电动汽车时间+小时=公交车时间”列出分式方程即可求解﹒ 【详解】解：15分钟=小时 设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米， 得： 故选：D 5．（2026·福建泉州·一模）已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 【答案】 【分析】将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴ 解得． 6．（2026·福建三明·一模）物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，如图，密度计悬浮在密度为（单位：）的液体中，浸在液体中的高度（单位：）与液体的密度的关系式．已知橘子汁的密度是水的密度的倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中的高度多，求水的密度． 【答案】水的密度为 【分析】设密度计浸在水中的高度为x，则浸在橘子汁中的高度为，根据“橘子汁的密度是水的密度的倍”得关于x的分式方程，列式计算进而求解即可． 【详解】解：设密度计悬浸在水中的高度为x，则浸在橘子汁中的高度为， ∵橘子汁的密度是水的密度的倍， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴水的密度为． 答：水的密度为． 不等式和不等式组 考点05 1．（2026·福建泉州·一模）若在实数范围内有意义，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件为．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴实数的值可以为． 2．（2026·福建三明·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 不等式的解集在数轴上表示为：． 3．（2026·福建泉州·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可. 【详解】解：， 解得， 在数轴上表示解集如图： 4．（2026·福建漳州·一模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示解集，关键是熟练应用； 先移项再合并同类项，系数化为，即可算出解集. 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 5．（2026·福建泉州·一模）关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求不等式的解集，在数轴上表示不等式解集，熟练掌握用数轴表示不等式解集是解题的关键．先求出不等式的解集，再把解集用数轴表示出来即可． 【详解】解：， 移项得：， 在数轴上表示为： 故选：C． 6．（2026·福建·一模）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 7．（福建三明市尤溪县2025-2026学年初中毕业班总复习阶段监测数学试卷）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解． 【详解】解： 解得：， 数轴上表示不等式的解集 故选：A． 8．（2026·福建泉州·一模）已知实数x，y满足，则的最大值为____． 【答案】18 【分析】先求得和的值，再求得，解不等式可求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意，设①， 又②， 得，， 即， 得，， ∴， ， 的最大值为18． 9．（2026·福建泉州·一模）不等式的解集为________． 【答案】/ 【分析】按照解一元一次不等式的步骤，先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 10（2026·福建厦门·一模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 11．（2026·福建·一模）某学校把学生的思想素质测试、行为习惯两项成绩分别按、的比例计入评价总成绩中的一项．小明行为习惯的成绩是81分，若想评价总成绩中这一项不低于90分，则思想素质测试的成绩至少是 _______ 分． 【答案】96 【分析】本题考查了一元一次不等式，加权平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设思想素质测试的成绩为x分，根据加权平均数的定义及题意列不等式，再求解可得答案． 【详解】解：设思想素质测试的成绩为x分． 由题意得， 解得， ∴思想素质测试的成绩至少为96． 故答案为：96． 12．（2026·福建厦门·一模）已知正实数，满足，． (1)若，求实数； (2)已知，以，，为边长的三角形是直角三角形，求该三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，可得到，用表示的式子，再代入求解， 结合为正实数舍去负根得到结果 （2）先判断出的范围，得出，进而得出为直角三角形的斜边，根据勾股定理，完全平方公式建立方程求得的值，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴，则， ∵，是正实数，则， ∵， ∴ 解得：（负值舍去） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵以，，为边长的三角形是直角三角形， ∴为直角三角形的斜边，，是直角三角形的直角边 ∴ 又∵ ∴ ∴（负值舍去） ∴该三角形的面积为 13．（2026·福建泉州·一模）解不等式组 【答案】 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴原不等式组的解集为． 14.（2026·福建三明·一模）解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为 15．（2026·福建漳州·一模）某社区现有老年人800人，为满足日间照料需求，当地政府计划在该社区建设日间服务照料中心．经测算，拟定A，B两种建设运营方案： A方案：每年除固定投入80万元外，还需为每位接受服务的老年人支付年均费用0.3万元； B方案：每年除固定投入120万元外，还需为每位接受服务的老年人支付年均费用0.2万元． 设接受服务的老年人为人（，且为整数），A，B两种方案的年总费用分别为万元． (1)写出关于的函数关系式； (2)结合接受服务的老年人的人数，通过计算分析采用哪种方案的年总费用较少． 【答案】(1)，； (2)当接受服务的老年人的人数小于人时，A方案的年总费用较少，当接受服务的老年人的人数等于人时，A方案与B方案的年总费用相同，当接受服务的老年人的人数大于人且小于等于人时，B方案的年总费用较少． 【分析】（1）根据年总费用每年固定投入接受服务的老人年平均费用人数，即可解答； （2）令，，，求解不等式与方程，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，，； （2）解：令，则， 解得， 令，则， 解得， 令，则， 解得， 答：当接受服务的老年人的人数小于人时，A方案的年总费用较少，当接受服务的老年人的人数等于人时，A方案与B方案的年总费用相同，当接受服务的老年人的人数大于人且小于等于人时，B方案的年总费用较少． 16．（2026·福建泉州·一模）解不等式组，并将解集用数轴表示出来． 【答案】，见解析 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 把解集用数轴表示出来，如图： 17．（2026·福建厦门·一模）圆周率是指圆的周长与其直径的比值，是无限不循环小数，其常用近似值可表示为3.141592653……．古往今来，历代中外数学家均围绕圆周率的精确估算展开了深入的探索，产生了很多方法，如我国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”，此外还有如下方法： 1．利用“布丰投针试验”估算 1777年，法国数学家布丰设计了著名的投针试验：如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上．针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟该试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值________附近（结果精确到0.001）；根据上述数据请你估计的近似值为________（精确到0.01）． 2．利用“莱布尼茨无穷级数”逼近 17世纪，德国数学家莱布尼茨创立微积分，推导出计算的另一种表达式 （n为非负整数） 记，则； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ……随着n增大，逐渐逼近，的值越接近的值． 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，求n的最小值． 【答案】问题1：0.318；；问题2： 【分析】本题考查根据频率估计概率，解不等式，代数式求值； 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值0.318附近，即，再代入计算即可； 问题2：根据题意，解得，再逐个取的值，一直到满足条件即可． 【详解】解：问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值0.318附近，即， ∵，， ∴， 解得， ∴估计的近似值为， 故答案为：0.318；； 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，即， 解得， ∵当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，满足； ∴n的最小值． 18．（2026·福建三明·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为． (1)若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值； (2)若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答． （1）根据待定系数法求出函数解析式，然后配方成顶点式，即可求解； （2）把，代入抛物线解析式得出，的关系，然后求出对称轴，由函数的增减性求出的取值范围即可； （3）由，得到离对称轴越远，函数值越大，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，得出关于m的不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：当，且点在函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴函数图象开口向上， ∴当时，有最小值为2； （2）解：∵过， ∴， ∴， ∴对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ， 解得， 又 ∴； （3）解：∵点，在抛物线上， ∵， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，在抛物线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， 解得． 19．（2026·福建泉州·一模）【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 【答案】（1）；（2）；；（3）见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确得到，是解题的关键。 （1）根据盐水加水后会变淡可知加水后的盐水浓度小于未加水时盐水的浓度，据此可得答案； （2）根据盐水浓度等于盐的质量除以盐水的质量可得第一空答案，根据加盐后会变咸可知加盐后的盐水浓度大于未加盐时盐水的浓度，据此可得答案； （3）根据（1）（2）可得，，，，，，再由不等式的性质证明即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得，此时盐水浓度为， ∵盐水变得更咸了， ∴， 故答案为：；； （3）∵在中，三条边的长度分别为x、y、z， ∴， ∴，，， ∴； ∵，，， ∴， ∴． 20．（2026·福建泉州·一模）已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表． （单位：Ω） 5 10 15 20 25 （单位：A） 0．4 (1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式 ； (2)在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象； (3)已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是 ． 【答案】(1) (2)，函数图象见解析 (3) 【分析】（1）根据欧姆定律进行求解即可； （2）根据（1）所求的关系式代值计算，再画出对应的图形即可； （3）分别求出通过滑动变阻器的最大电流和最小电流，根据（1）所求关系求出对应的电阻即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，电压表的度数为， ∴由欧姆定律得， 故答案为：； （2）解：当时，，当时，， 函数图象如下所示； （3）解：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵定值电阻的电压固定为， ∴电流的最小值为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 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