专题9 平行四边形中的计算与证明（PPT课件）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（北师大版·新教材 河南专版）

这是一份初中数学北师大版八年级下册的期末复习课件，涵盖教材重点梳理、专题攻克、预测卷及真题练习。通过“过教材”明确三角形证明、不等式等六章核心内容，“攻专题”强化计算、实际应用等高频考点，搭配名师研创预测卷和多地期末真题，构建系统复习支架。 资料注重核心素养培养，以专题9平行四边形证明题为例，通过中位线性质推理、全等三角形判定等，发展学生几何直观与推理能力。真题与预测结合，引导学生用数学语言表达逻辑关系，既帮助学生巩固考点提升解题能力，又为教师教学提供分层训练资源，助力高效复习。

专题3　图形的平移与旋转 专题4　因式分解 专题5　分式与分式方程 专题6　平行四边形 专题7　计算 专题8　实际应用题 专题9　平行四边形中的计算与证明 过教材 名师划重点 第一章　三角形的证明及其应用 第二章　不等式与不等式组 第三章　图形的平移与旋转 第四章　因式分解 第五章　分式与分式方程 第六章　平行四边形 攻专题 专题1　三角形的证明及其应用 专题2　不等式与不等式组 《期末考试》北师8数下 1 做预测 期末快递·　名师研创预测卷（一） 期末快递·　名师研创预测卷（二） 刷真题 试卷1　郑州市中原区 试卷2　郑州市金水区 试卷3　平顶山市 试卷4　平顶山市 试卷5　焦作市 试卷6　驻马店市 试卷7　新密市/荥阳市/登封市 试卷8　汝州市 试卷9　宝丰县 《期末考试》北师8数下 2 专题9　平行四边形中的计算与证明 《期末考试》北师8数下 3 编者按：紧抓期末高频考点，配合“名师划重点”使用，稳固根基！ 1. （10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边AC上一点， 连接BD，E，F分别为BC，BD的中点，连接AF，EF，DE. 下面是两 位同学的说法： 小星：根据题目条件，若添加条件AC＝3AD，则可证明四边形ADEF是平行四边形. 小红：根据题目条件，若添加条件∠AFD＝∠EDF，则可证明四边形ADEF是平行四边形. （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； 解：（1）选择小星的说法.（1分） 证明：∵E，F 分别为 BC，BD的中点， ∴EF是△BCD的中位线.∴EF∥CD，CD＝2EF. （3分） ∵AC＝3AD，∴CD＝2AD. ∴AD＝EF. ∵AD∥EF， ∴四边形ADEF是平行四边形.（5分） （或选择小红的说法.（1分） 证明：∵E，F分别为BC，BD的中点， ∴EF是△BCD的中位线.∴EF∥CD. （3分） ∵∠AFD＝∠EDF，∴DE∥AF. ∴四边形ADEF是平行四边形.（5分）） （2）在（1）的结论下，若CD＝DE，AB＝15，求EF的长. 解：（2）∵F是BD的中点，∠BAC＝90°，∴BD＝2AF. （6分） 由（1）知，四边形ADEF是平行四边形，CD＝2AD， ∴DE＝AF，AD＝EF. （7分） ∵CD＝DE，∴BD＝2AF＝2DE＝2CD＝4AD. （8分） ∴在Rt△ABD中，AD2＋AB2＝BD2，即AD2＋152＝16AD2. 解得AD＝（负值已舍去）.∴EF＝AD＝.（10分） 2. （10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是AD边的中点，延 长DC至点F，使FC＝CD，连接CE，AF，AF交边BC于点G. （1）求证：四边形AECG是平行四边形； 解：（1）证明：∵FC＝CD，∴C是DF边的中点. ∵E是AD边的中点，∴EC是△DAF的中位线. ∴EC∥AF. （2分） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴四边形AECG是平行四边形.（4分） （2）若AB＝1，BC＝3，对角线AC⊥AB，连接BD，交AC于点O，求 对角线BD的长. 解：（2）∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°. ∵AB＝1，BC＝3， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝2.（7分） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC＝AC＝，BD＝2BO＝2OD. ∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得BO＝＝.∴BD＝ 2BO＝2.（10分） 3. （10分）如图，在▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE并延长与 DC的延长线交于点F，连接BF. （1）求证：四边形ABFC是平行四边形； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CD＝AB. ∴∠ABC＝∠FCB. （2分） ∵E是BC边的中点，∴BE＝CE. 在△AEB与△FEC中，∵∠ABE＝∠FCE， BE＝CE，∠AEB＝∠FEC，∴△AEB≌△FEC（ASA）.（4分） ∴AB＝CF. ∴四边形ABFC是平行四边形.（5分） （2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积. 解：（2）∵AB∥CD，∠D＝60°，∴∠BAD＝120°.（6分） ∵AF平分∠BAD，∴∠FAD＝60°.∴△ADF为等边三角形.（7分） ∵AB＝CF，CD＝AB，∴CF＝CD. ∴∠CAD＝∠FAD＝30°，∠ACD＝90°.（8分） ∵AD＝8，∴CD＝4.∴AC＝＝4 . ∴S▱ABCD＝CD•AC＝4×4＝16 .（10分） 4. （10分）如图，在▱ABCD中，连接BD. （1）尺规作图：作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BD，BC于 点M，O，N；（不要求写作法，保留作图痕迹） 解：（1）如图，MN即为所求.（2分） （2）连接BM，DN，求证：△DOM≌△BON； 解：（2）证明：∵MN垂直平分BD，∴OB＝OD. ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO. （4分） 在△DOM和△BON中， ∵∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，OD＝OB， ∴△DOM≌△BON（AAS）.（6分） （3）若DM＝10，MN＝12，求BD的长. 解：（3）∵△DOM≌△BON，∴OM＝ON＝MN＝×12＝6. （7分） 在Rt△MOD中，∠MOD＝90°，OM＝6，DM＝10， ∴由勾股定理，得OD＝＝＝8. ∴BD＝2OD＝16.（10分） 5. ［深圳市］（10分）如图，在▱ABCD中，G，H分别是AB，CD的 中点，点E，F在对角线AC上. （1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件 ⁠ ，使得四边形EGFH是平行四边形，并说明理由； AE＝CF（答 案不唯一） 解：理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠GAE＝∠HCF. ∵G，H分别是AB，CD的中点，∴AG＝CH. ∵AE＝CF，∴△AGE≌△CHF（SAS）.（3分） ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH. ∵∠GEF＋∠AEG＝180°，∠HFE＋∠CFH＝180°， ∴∠GEF＝∠HFE. ∴GE∥HF. ∵GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形.（5分） （2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，OE＝OF，AE＋CF＝EF，求 EG的长. 解：（2）如图，连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD. ∵BD＝10，∴OB＝OD＝5. ∵OE＝OF，OA＝OC，∴AE＝CF. （7分） ∵AE＋CF＝EF，∴2AE＝EF＝2OE. ∴AE＝OE. ∵G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线. ∴EG＝OB＝2.5.（10分） 6. （10分）如图，在▱ABCD中，AB＝5 cm，BC＝9 cm，动点P从点A 出发，以每秒2 cm的速度沿▱ABCD的边逆时针匀速运动；动点Q同时 从点A出发，以每秒3 cm的速度沿▱ABCD的边顺时针匀速运动.设点P 的运动时间为t秒（0＜t＜）. （1）当点P在BC上运动时，BP＝ cm；（用含t的代数式 表示） （2t－5） （2）当t＝ 秒时，P，Q两点相遇； ​ （3）是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. 解：（3）存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四 边形.（5分） 分两种情况：①如图1，当APCQ为平行四边形时，由题意，得PC＝ （14－2t）cm，AQ＝3t cm.∵四边形APCQ为平行四边形，∴14－2t ＝3t.∴5t＝14.∴t＝.（7分） ②如图2，当AQCP为平行四边形时，由题意，得AQ＝（28－3t） cm，PC＝（2t－14）cm.∵四边形AQCP为平行四边形， ∴28－3t＝2t－14.∴5t＝42.∴t＝. 综上所述，t的值为或.（10分） $