专项11 全等三角形的常见模型（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷专项精炼（北师大版·新教材 河南专版）

**基本信息** 聚焦“一线三垂直”“手拉手”两大全等模型，通过问题背景-解决问题-拓展应用链条，系统提炼模型识别、全等证明及结论迁移方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一线三垂直模型|3（含游戏应用）|利用同角余角证等角，AAS证全等得线段关系|从等腰直角三角形基础模型到一般化垂直情境，实现从特殊到一般的应用迁移| |手拉手图形|3（含变式探究）|通过角的和差找对应角，SAS证全等得数量与位置关系|从顶角相等等腰三角形到等腰直角三角形变式，构建模型变式与综合应用逻辑|

专项11　全等三角形的常见模型 1.【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边相等时，必定存在全等三角形. 【解决问题】（1）①如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，DE＝5，AD＝2，则BE的长为　3　； ②如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，探索AD，DE，BE之间的数量关系，并说明理由； 　　　 图1　　　图2 解：（1）②AD，DE，BE之间的数量关系为AD＝BE＋DE.理由：因为AD⊥CE，BE⊥CE，所以∠ADC＝∠CEB＝90°.因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＋∠BCE＝90°，因为∠ACD＋∠CAD＝90°，所以∠CAD＝∠BCE.在△CAD与△BCE中，因为∠ADC＝∠CEB＝90°，∠CAD＝∠BCE，AC＝CB，所以△CAD≌△BCE（AAS），所以CD＝BE，AD＝CE.因为CE＝CD＋DE，所以AD＝BE＋DE. 【拓展应用】（2）如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12 m的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为18 m，高为4 m的矮台B，则旗杆OM的高度是　17　m. 　 图3 解析：如图，过点A作AE⊥OM，过点B作BF⊥OM.由题意知∠AOB＝90°，OA＝OB，所以∠BOF＋∠AOE＝90°.因为∠AOE＋∠EAO＝90°，所以∠EAO＝∠BOF.在△AEO和△OFB中，∠EAO＝∠FOB，∠AEO＝∠OFB，OA＝BO，所以△AEO≌△OFB（AAS），所以OE＝BF，AE＝OF，即AE＋BF＝OE＋OF.因为AC＝12 m，BD＝4 m，所以EF＝12－4＝8（m）.因为AE＋BF＝18，即OE＋OF＝OE＋OE＋EF＝18，所以2OE＝10，所以OE＝5 m，所以OM＝OE＋ME＝OE＋AC＝5＋12＝17（m），所以旗杆OM的高度是17 m. 2.【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形. （1）如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE.试说明：△ABD≌△ACE； 图1 解：（1）因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，所以∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，因为AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE（SAS）. 【变式探究】（2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，即AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，C，D在同一条直线上.请判断线段BD与CE的关系，并说明理由； 图2 解：（2）BD＝CE，BD⊥CE.理由如下：因为∠BAC＝∠DAE＝90°，所以∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，因为AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE（SAS），所以BD＝CE，∠ADB＝∠AEC.因为∠ECD＋∠ADB＝∠EAD＋∠AEC，所以∠ECD＝∠EAD＝90°，即BD⊥CE. 【拓展应用】（3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠BCD的数量关系，并说明理由. 图3 解：（3）∠A＋∠BCD＝180°.理由如下：如图，延长DC至点P，使DP＝DB，连接PB.因为∠BDC＝60°，所以△BDP是等边三角形，所以BD＝BP，∠DBP＝60°，所以∠ABC＝∠DBP，所以∠ABC－∠DBC＝∠PBD－∠DBC，即∠ABD＝∠PBC.在△ABD和△CBP中，因为BD＝BP，∠ABD＝∠CBP，AB＝CB，所以△ABD≌△CBP（SAS），所以∠BCP＝∠A.因为∠BCD＋∠BCP＝180°，所以∠A＋∠BCD＝180°. 学科网（北京）股份有限公司 $