专项8 代数推理（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷专项精炼（北师大版·新教材 河南专版）

**基本信息** 聚焦代数推理，通过“实例感知-代数抽象-推理证明”三阶训练，系统培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比较大小|1|作差比较法|从具体整数到字母表示，通过代数式作差推理大小关系| |规律探究|1|规律归纳与代数证明|观察实例提炼两位数平方规律，用代数展开验证一般性| |新定义问题|1|代数建模与推理|定义“儿童数”，经实例运算后用字母表示推导普适结论|

专项8　代数推理 1.我们研究“两个相邻整数的平均数的平方”与“它们平方的平均数”的大小关系，可采用下面的步骤： （1）设这两个整数中的一个数为n，则另一个数可表示为　n＋1（或n－1）　（用含n的代数式表示）； （2）这两个整数的平均数的平方表示为　（或）　，它们平方的平均数表示为　（或）　； （3）请你用适当的方法比较它们的大小. 解：（3）因为 －＝ ＝－＜0，所以这两个整数的平均数的平方小于它们平方的平均数.（或因为－＝＝－＜0，所以这两个整数的平均数的平方小于它们平方的平均数.） 2.请观察下列各式的规律，回答问题. 282＝（28＋8）×20＋82；372＝（37＋7）×30＋72；462＝（46＋6）×40＋62；… （1）请根据上述规律填空：552＝　（55＋5）×50＋52　； （2）我们知道，任何一个两位数（个位上的数字为n，十位上的数字为m）都可以表示为10m＋n，根据上述规律写出：（10m＋n）2＝　（10m＋n＋n）×10m＋n2　，并用所学知识说明你的结论的正确性. 解：因为（10m＋n）2＝（10m）2＋2×10m×n＋n2＝100m2＋20mn＋n2，（10m＋n＋n）×10m＋n2＝（10m＋2n）×10m＋n2＝100m2＋20mn＋n2，所以（10m＋n）2＝（10m＋n＋n）×10m＋n2，即结论成立. 3.对于一个三位自然数M，若它的百位数字比个位数字多6，十位数字比个位数字多1，则称M为“儿童数”.如：三位数721，因为7－1＝6，2－1＝1，所以721是“儿童数”. （1）请你写出一个“儿童数”：　943（答案不唯一）　；（721除外） （2）将721按照如下程序运算：721交换百位数字和个位数字后为127，用大数721减去小数127得到差为594，差594不是两位数，594交换百位数字和个位数字后为495，用大数594减去小数495得到差为99，请你用（1）中所写“儿童数”按照程序计算结果； 解：（2）943变换为349，即943－349＝594，差为三位数； 594变换为495，即594－495＝99，差为两位数，即最终的结果为99. （3）设任意一个“儿童数”，百位数字为（a＋6），十位数字为（a＋1），个位数字为a，按照（2）的程序列式计算，并提出进一步的猜想. 解：（3）猜想：任意“儿童数”按照（2）的程序列式计算，最终的结果均为99. 根据题意，得变换为，因为＝100（a＋6）＋10（a＋1）＋a＝111a＋610，＝100a＋10（a＋1）＋（a＋6）＝111a＋16， 所以－＝111a＋610－111a－16＝594，差为三位数； 594变换为495，即594－495＝99，差为两位数，即最终的结果为99. 学科网（北京）股份有限公司 $