第17章 三角形（单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测卷 第17章三角形.参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 5 6 B B B c B 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7.4 8.1<BC<7 9.60° 10.479 11.84 12.14 13.60 14.6 15.2 (3或325 16. 17.90° 25° 18.8或2 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(6分) 【详解】(1)证明：：△ABD≌aCFD, ∴∠ADB=∠CDF,∠A=∠C, :点B,D,C在一条直线上， ·LADB=LCDF=90°， :∠AFE=LCFD, .∠AEF=∠CDF=90°， .CE⊥AB;…(3分) (2)解：：△ABD≌△CFD, .BD=DF=3,AD=CD, :AD=AF+DF=1+3=4, CD=4, BC=BD+CD=3+4=7.…(6分) 20.(6分) 【详解】解：：AB∥CD(己知)， ·LABC+LBCD=180°（两直线平行，同旁内角互补），…(2分) :BD平分∠ABC,CA平分∠BCD(已知)， :∠DBC=∠1BC,∠4CB)∠BCD(角平分线的定义， 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DBC+∠ACB= 5(∠ABC+∠BCD(等式性质)，…(3分) 即∠DBC+∠ACB=90°，…(4分) :LDBC+∠ACB+∠BEC=∠180°（三角形三个内角的和等于180°），…(5分) ∠BEC=90°（等式性质），…(6分) ·AC⊥BD, 21.(6分) 【详解】(1)解：如图，EF为BD边上的高.…(2分) E FD (2):AD为ABC的中线，BE为△ABD的中线， 2 :ABC的面积为40，BD=5, .S.u BD.EF=1x5.EF=1x40. 4 解得EF=4,即点E到BC边的距离为4.…(6分) 22.(6分) 【详解】(1)解：延长AD交BC于点H, D H :BD平分∠ABC, .∠ABD=∠HBD, :AD⊥BD, .∠ADB=∠HDB=90°， BD=BD, 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.△ABD≌△HBD(ASA), ·AD=HD, S.BAD =S.BHD S.CAD =S.CHD S.BAD+S.CAD =S.BHD+S.CHD S.BDC=5 .S.48c=5+5=10;…(3分) (2)证明：过点B作BF⊥AC于F,过点C作CE⊥BD的延长线于E,则∠BFC=∠CEB=90°， :∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC, .∠BCF=∠CBE, 又：BC=CB, .△BCF≌ACBE(AAS, :BF =CE, :SBDc=5,S△ABc=10, ·.S△4Bc=2S△BDC, 即4Cr-2 BDCE. AC=2BD.…(6分 23.(8分) 【详解】(1)解：前进小组的结论不成立，理由如下， :点P是ABC两外角平分线的交点， ∠PBC+∠PCB=∠FBC+∠ECB 180°-∠ABC+180°-∠ACB =360-180-∠4A] 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0+. 在△PBC中，∠P=180-80+∠=90-A:…3分) (2)解：∠ACB的大小保持不变.理由如下： :∠X0Y=90°， ∠ABY=90°+∠0AB, :AC平分∠OAB,BE平分∠ABY, ∠ABE=A8Y,∠B4C=0MB, 2 4BE=ABY=0+2048=45+<01B: 即∠ABE=45°+∠BAC, 又：∠ABE=∠ACB+∠BAC, ∠ACB=45°， 故∠ACB的大小不发生变化且始终为45°.…(6分) 24.(8分) 【详解】解：(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG, G-- B E :∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD, △ABG≌△ADF, AG=AF,∠1=∠2， ∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD, 2 LGAE=∠EAF, 又：AE=AE, △AEG≌AAEF, :EG=EF, EG=BE +BG, 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴EF=BE+FD, 故答案为：EF=BE+FD;…(2分) (2)(1)中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, M-- B :∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠1=180°， ∠1=∠D, 在△ABM和△ADF中， AB=AD ∠1=∠D, BM=DF △ABM≌△ADF(SAS, AM=AF,∠3=∠2， ∠EAF=L∠BAD .∠2+∠4=∠EAF, ∴.∠EAM=∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF, 在△MAE和△FAE中， AM=AF ∠EAM=∠EAF, AE=AE △MAE≌△FAE(SAS, :EF=EM, EM BM +BE =BE DF, EF=BE+FD;·(5分) (3)(1)中的结论不成立，EF=BE-FD, 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：如图3，在EB上截取BH=DF,连接AH, B 图3 :∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF. :在AABH与△ADF中， AB=AD ∠ABH=∠ADF, BH=DF .△ABH≌△ADF(SAS), :AH=AF,LBAH=∠DAF, ∴.∠HAF=∠HAD+∠DAF=∠HAD+∠BAH=∠BAD, 又：∠EAF=∠BAD=∠HAF, 1 2 2 ∴.∠HAE=∠FAE, 在△HAE和△FAE中， AH=AF ∠HAE=∠FAE, AE=AE ∴△HAE≌AFAE(SAS）, :EF EH, EH BE -BH BE DF, EF=BE-FD.…(8分) 25.(9分) 【详解】(1)证明：：∠BAC=90°，AB=AC, .∠ABC=∠ACB=45°， D/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF⊥DE, ∠DAF=45°. AD=DE, ∠DAE=∠DEA, :∠DAF+LFAC=∠DAE=LDEA=LACB+∠EDC, ∠CAF=∠CDE. :∠CAF+∠DAF=∠EDC+∠ADE,即∠CAD=∠CDA, :CA=CD. 在△AFC和△DEC中， ∠CAF=∠CDE CA=CD ∠ACF=∠DCE aAFC≌△DEC(ASA).·(3分) (2)解：结论成立， 理由：如图， A B :∠ADP=45°， .∠DAE+∠DEA=∠ADP=45°， AD DE, ∠DAE=∠DEA=22.5°. :AP⊥DE, ∠PAE=67.5° ∠FAB=180°-∠BAC-∠PAE=22.5°. 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABC=45°， ∠F=∠ABC-LFAB=22.5°， :∠ADC=∠ACB-∠DAC=22.5°， :ZF ZADC, :AF AD DE. 在△AFC和△DEC中， [∠ACF=∠DCE=45° ∠AFC=∠DEC AF=DE △AFC≌aDEC(AAS).·(6分) (3)①当CA=CF时，如图所示。 A B C :∠ACF=45°， .∠CAF=∠CFA=67.5°. ∠BAF=22.5°，∠E=22.5°， .∠CDE=∠ACF-∠E=22.5°. :∠ADP=∠ABC=45°， :∠ADB+∠CDE=∠ADB+∠DAB, ∠DAB=∠CDE=22.5°， ∠DAC=∠DAB+∠BAC=112.5°. ②当CA=CF时，如图所示. 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D C 同①，∠DAC=∠DAF-∠FAC=45°-22.5°=22.5°. 综上所述，∠DAC=112.5°或22.5°.…(9分) 26.(9分) 【详解】(1)解：DE、BD、CE的数量关系为：DE=BD+CE,理由如下： 如图1所示： B 图① :BD⊥l,CE⊥I, ∴∠BDA=∠AEC=90°， .∠1+∠2=90°， 在ABC中，∠BAC=90°， ∠1+∠3=90°， ∠2=∠3， AB=AC, .△ABD≌△CAE(AAS), ∴BD=AE,AD=CE, .DE=AE+AD BD CE 故答案为：DE=BD+CE;·(3分) (2)解：(1)中的结论成立，证明如下： 如图2所示： 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A E 图② ZBDA=ZAEC=ZBAC=a,AB=AC, .∠1+∠3=180°-∠BAC=180°-a, 在△ABD中，∠1+∠2=180°-∠BDA=180°-a, ∠2=∠3， :∠BDA=LAEC=Q,AB=AC, .△ABD≌△CAE(AAS), .:BD=AE,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE;…(6分) (3)解：证明：过点E作EN∥AG,交AM的延长线于点N,如图3所示： G M A B H 图③ :△ABE和△ACG都是等腰直角三角形，且∠BAE=∠CAG=90°， ∴AB=AE,AC=AG, :AH⊥BC, .∠ABC+∠HAB=90°， :∠BAE=90°， .∠HAB+∠EAN=90°， ∴.∠ABC=∠EAN, :∠BAE=∠CAG=90°， ∴.∠BAC+∠EAG=180°， 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EN∥AG, ∴∠AEN+∠EAG=180°， .∠BAC=∠AEN, ·△ABC≌aEAN(ASA), ·AC=EN, AC=AG, .EN =AG, :EN∥AG, ∴∠N=∠MAG,∠MEN=∠MGA, ∴.△EMN≌aGMA(ASA, .EM =GM, .点M是EG的中点.…(9分) 11/11………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测卷 第17章 三角形·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知图中的两个三角形全等，则度数是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 3．如图，在中，是的角平分线，将沿所在直线折叠得到，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（ ） ①≌；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 6．如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 8．在中，，，则长度的取值范围是________． 9．如图，在中，、分别平分、．若，则________． 10．已知：如图，中，是高，是的角平分线，若，，则的度数为______． 11．冰裂纹是一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图①是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部分图案．已知，，则______度． 12．如图，指甲剪利用杠杆原理操作，图1是实物图，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，未使用指甲剪时，杠杆与上臂重合；使用时，下压点至时，刚好至点，当时，两刀片咬合，恰好平分，若，则的度数为______度． 13．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 14．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是_____． 15．如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 16．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”，如果一个“特征三角形”有一个内角为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_____． 17．如图，将长方形纸片沿着折叠（折痕分别交，于点E，F），点B，C分别落到点，的位置，再将四边形沿着折痕折叠，点，分别落到，的位置．若，则的度数为______；若，则的值为______． 18．在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 20．（6分）如下图，，平分，平分，试说明：．下面是小明的解答过程，请补充完整． 解：∵（已知）， ∴（__________）， ∵平分，平分（已知）， ∴，（角平分线的定义）， ∴（__________）（等式性质）， 即__________， ∵（__________）， ∴__________（等式性质）， ∴． 21．（6分）如图，为的中线， 为的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为40，，则点 E 到边的距离为多少？ 22．（6分）如图，在中，已知，平分，， (1)若的面积是，求的面积； (2)求证：． 23．（8分）综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用．问题情境：学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论：已知，如图1，若点P是和的角平分线的交点，则． 证明如下：∵是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴ ∴ 拓展创新： (1)如图2，若点P是外角和的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗?若成立，给出证明：若不成立，写出正确的结论并证明． 应用计算： (2)如图3，已知，点，分别在射线，上移动，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点．试问的大小是否变化？若不变，请说明理由；若随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围． 24．（8分）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 25．（9分）已知在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），将射线绕点顺时针旋转得到，直线与射线交于点，过点作的垂线，交直线于点； (1)如图，若点在线段上，且，求证：； (2)若点在线段的延长线上，且，那么第（1）小问的结论还成立吗？请说明理由； (3)若点在直线上运动，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 26.（9分）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测卷 第17章 三角形·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知图中的两个三角形全等，则度数是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 3．如图，在中，是的角平分线，将沿所在直线折叠得到，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（ ） ①≌；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 6．如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 8．在中，，，则长度的取值范围是________． 9．如图，在中，、分别平分、．若，则________． 10．已知：如图，中，是高，是的角平分线，若，，则的度数为______． 11．冰裂纹是一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图①是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部分图案．已知，，则______度． 12．如图，指甲剪利用杠杆原理操作，图1是实物图，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，未使用指甲剪时，杠杆与上臂重合；使用时，下压点至时，刚好至点，当时，两刀片咬合，恰好平分，若，则的度数为______度． 13．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 14．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是_____． 15．如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 16．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”，如果一个“特征三角形”有一个内角为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_____． 17．如图，将长方形纸片沿着折叠（折痕分别交，于点E，F），点B，C分别落到点，的位置，再将四边形沿着折痕折叠，点，分别落到，的位置．若，则的度数为______；若，则的值为______． 18．在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 20．（6分）如下图，，平分，平分，试说明：．下面是小明的解答过程，请补充完整． 解：∵（已知）， ∴（__________）， ∵平分，平分（已知）， ∴，（角平分线的定义）， ∴（__________）（等式性质）， 即__________， ∵（__________）， ∴__________（等式性质）， ∴． 21．（6分）如图，为的中线， 为的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为40，，则点 E 到边的距离为多少？ 22．（6分）如图，在中，已知，平分，， (1)若的面积是，求的面积； (2)求证：． 23．（8分）综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用．问题情境：学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论：已知，如图1，若点P是和的角平分线的交点，则． 证明如下：∵是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴ ∴ 拓展创新： (1)如图2，若点P是外角和的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗?若成立，给出证明：若不成立，写出正确的结论并证明． 应用计算： (2)如图3，已知，点，分别在射线，上移动，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点．试问的大小是否变化？若不变，请说明理由；若随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围． 24．（8分）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 25．（9分）已知在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），将射线绕点顺时针旋转得到，直线与射线交于点，过点作的垂线，交直线于点； (1)如图，若点在线段上，且，求证：； (2)若点在线段的延长线上，且，那么第（1）小问的结论还成立吗？请说明理由； (3)若点在直线上运动，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 26.（9分）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测卷 第17章三角形·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 1.已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是() Q 58 729 b A.50° B.58o C.60° D.72° 【答案】A 【详解】解：：两个三角形全等，在第一个三角形中，50°为Q,c两边的夹角度数， 在第二个三角形中，a为a,c两边的夹角， :∠a=50°. 故选：A 2.下列说法中正确的是() A.钝角三角形有两条高在三角形内部 B.三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C.三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D.钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【答案】B 【详解】解：：钝角三角形只有1条高在三角形内部，2条高在三角形外部， 、A选项错误； :钝角三角形有2条高不在三角形内部，直角三角形有2条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3条 高都在三角形内部，不存在3条高都不在三角形内部的情况， :三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B选项正确： :直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部， C选项错误； 1/27 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 “任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部， :D选项错误 3.如图，在ABC中，∠ABC=48°，∠C=28°，AD是ABC的角平分线，将△ACD沿AD所在直线折叠得 到△AED,则∠BDE的大小为() B C A.10 B.20 C.30° D.40° 【答案】B 【详解】解：由折叠的性质可得△ACD兰△AED, ∴∠E=∠C=28°，∠EAD=∠CAD, :AD是ABC的角平分线， .∠BAD=LCAD, .∠EAD=∠BAD, 点B在线段AE上， ∠ABC是BDE的外角， ∴.LABC=∠E+LBDE, ∠ABC=48°， ∠BDE=48°-28°=20°， 故选：B 4.给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是() A.AB=4cm,∠A=60°，∠B=30°B.AB=4cm,BC=3cm,∠A=30° C.AB=4cm BC=6cm,B=30 D.AB =4cm,BC=5cm AC=6cm 【答案】B 【详解】解：全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，全等判定定理包括ASA,AAS,SAS,SSS, L,但SSA不能判定三角形全等，无法确定唯一三角形， A、选项给出AB=4cm,∠A=60°，∠B=30°，符合ASA判定，可确定唯一三角形，不符合题意； B、选项给出AB=4cm,BC=3cm,∠A=30°，属于SSA,可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定 三角形的形状和大小，符合题意； 2/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C、选项给出AB=4cm,BC=6cm,∠B=30°，符合SAS判定，可确定唯一三角形，不符合题意； D、选项给出AB=4cm,BC=5cm,AC=6cm,符合SSS判定，可确定唯一三角形，不符合题意. 5.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC,点D是线段AB的中点，将一块锐角为45°的直角三角板 按如图（△ADE)放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、CE,CE与AB交于点 F.下列判断正确的有() ①△ACE≌ADBE;②BE⊥CE;③DE=DF;④SDEF=S.ACF A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】C 【详解】解：：AB=2AC,点D是线段AB的中点， :BD AD=AC, :△ADE为等腰直角三角形， :∠EAD=∠EDA=45°，EA=ED, :∠EAC=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，∠EDB=180°-∠EDA=180°-45°=135°， :∠EAC=∠EDB, 在△ACE和△DBE中， EA=ED ∠EAC=∠EDB, AC=DB ·△ACE≌△DBE(SAS),所以①正确； ∠AEC=∠DEB, :∠BEC=∠BED+∠DEC=∠AEC+∠DEC=∠DEA=90°， BE⊥EC,所以②正确： :∠DEF=90°-∠BED. 而∠AEC=∠DEB, ∠DEF=90°-∠AEC, 3/27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠DFE=∠AFC=90°-∠ACE, 而AC=AD>AE, .∠AEC>∠ACE, ·∠DEF<∠DFE, .DE>DF,所以③错误； ACE≌△DBE, S.ACE=S.DBE BD AD S.DAE S.DBE SACE =S.DAE ∴SDEr=S。4Cr,所以④正确. 故选：C 6.如图，已知Rt△ACB,∠ABC=90°，AB=BC=5,点D,E分别是AB,BC边上的动点，满足 AD=BE,连接AE,CD,则AE+CD取得最小值时，线段AD的长为(). 号 B. 5-2 c胃 D2 【答案】B 【详解】解：如图：过点A作AF⊥AB且AF=AB(点F在AB下方)，连接DF,CF交AB于D, D :AF⊥AB,∠ABC=90°， 4/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·∠FAD=∠ABE=90°， 在△FAD和△EBA中， AF=AB ∠FAD=∠ABE, AD=BE △FAD≌△EBA(SAS), .AE DF, .AE+CD DF+CD, 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，AE+CD取得最小值，最小值为FC的长， 在△FAD,和△CBD,中， AF=BC ∠FAD=∠ABE, ∠AD,F=∠BD,C △FAD≌△CBD (AAS), 5 4D=DB=5AB-7 EAE+CD取得最小值时，线段4D的长为) 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7.如图，△ABC≌△DEF,点A、B、C的对应点分别是点D、E、F,B、E、C、F四点在同一直 线上，BC=7,BF=10,那么EC的长为 B 【答案】4 【详解】解：△ABC≌△DEF, .BC=EF=7, BF=10, .CF BF-BC=3, .EC=EF-CF=7-3=4, 5/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：4. 8.在ABC中，AB=3,AC=4,则BC长度的取值范围是 【答案】1<BC<7 【详解】解：：在ABC中，AB=3,AC=4, 4-3<BC<3+4,即1<BC<7, 故答案为：1<BC<7. 9.如图，在ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB.若∠B0C=120°，则∠A= B 【答案】60° 【详解】解：：∠B0C=120°， :∠0BC+∠0CB=180°-120°=60°， :BO、C0分别平分∠ABC、∠ACB, .∠ABC=2LOBC,∠ACB=2LOCB, :∠ABC+∠ACB=2∠0BC+∠OCB=2×60°=120°， .∠A=180°-∠ABC+∠ACB)=180°-120°=60°， 10.已知：如图，ABC中，AD是高，AE是∠BAC的角平分线，若∠B=30°，∠ACD=56°，则∠EAD的 度数为 B E D 【答案】47° 【详解】解：：AD为高，∠B=30°， ∠BAD=60°. :∠ACD=56°， ∠BAC=∠ACD-∠B=26°. 6/27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AE是角平分线， ∠BAE= 2∠BAC=3, ∠EAD=∠BAD-∠BAE=47° 11.冰裂纹是一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地.图①是拙政园宜两亭中 的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部分图案.己知l∥12，∠1=∠2=48°，则∠3=度. 图① 图② 【答案】84 【详解】解：如图所示， 3 ∠1=∠2=48°， 40 2 图② :∠4=180°-∠1-∠2=180°-48°-48°=84°， :1∥12， ∠3=L4=84°. 12.如图，指甲剪利用杠杆原理操作，图1是实物图，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CE0=90°，未 使用指甲剪时，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，下压点A至A时，B刚好至B点，当AB‖OE时，两刀 片咬合，恰好CB平分∠OCE,若∠CB'A'=128°，则∠C0E的度数为度 杠杆 杠杆 刀片 臂 轴承 刀片 下臂 图1 图2 【答案】14 【详解】解：如图所示，延长CB,交EO于点F, 7127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :B刚好至B点，A'B'OE,∠CB'A'=128°， ∠CF0=∠CB'A'=128°， :∠CE0=90°， :由外角的性质得∠ECF=∠CF0-∠CE0=128°-90°=38°， :CB平分∠OCE, ∠EC0=2LECF=2×38°=76°， 在△CE0中，由三角形内角和定理得∠C0E=180°-LCE0-∠EC0=180°-90°-76°=14°. 13.如图，己知AB∥CD,点Q为射线CD外一点，AH平分∠OAB,CH交AH于点H,若 ∠QCH:∠HCD=2:3,∠HCD=30°，LAHC=25°，则∠AQC=°. H B 【答案】60 【详解】解：过点H作PH∥CD,设CH与AQ交于点F, P.--- D 7 B :AB∥CD, AB∥PH, ∠PHC=∠HCD=30°，∠PHA=∠HAB, .∠PHA=∠HAB=∠PHC+∠AHC=30°+25°=55°， 8/27 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：AH平分∠QAB, :.∠QAH=∠HAB=55°， :∠AFH=∠CFQ=180°-55°-25°=100°， :∠QCH:∠HCD=2:3,∠HCD=30°， ∠QCH=20°， .∠AQC=180°-100°-20°=60° 14.如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线， 连接CE,CF.若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积是· D B 【答案】6 【详解】解：：BD是ABC的AC边上的中线， :AE是△ABD的边BD上的中线， 1 1 S.ABC' 4 1 1 :BF是△ABE的边AE上的中线， .SEF三。SABE8八aABC,CEF 1 2 2 S.4BC 4 :S△48c=16, 5.c 1 .we 3 S阴影=SBEF+ScEF= 故答案为：6. 15.如图，在长方形ABCD中，E为AB边上一点，其中BC=9cm,BE=3cm,AB=5cm.动点P从B开 始，以3cm/s的速度沿B→C路线运动到点C停止，从点P开始运动的同一时刻动点Q以xcm/s的速度从 C点出发沿边CD运动，到D点停止.当x为时，在某一时刻△PBE与△PCQ全等. 9/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E B 【答案】2 【详解】解：设运动时间为t秒，则：BP=3t,PC=9-31,CQ=xt,且0≤t≤3,0≤xt≤5. :∠B=∠C=90°， :△PBE与△PCQ均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况： 情况一：BE=PC且BP=CQ, 3=9-31 31=xt 解得t=2,x=3 此时CQ=xt=6>CD=5,点Q超出边界，舍去. 情况二：BE=CQ且BP=PC, 3=xt 3t=9-3t 解得1= 2x=2 此时CQ=3<5,BP=4.5<9,符合运动范围，有效. 综上，唯一符合条件的解为x=2: 故答案为：2， 16.当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”， 如果一个“特征三角形”有一个内角为50°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 【答案】 50 °或32.5° 【详解】解：根据定义，特征三角形中特征角满足α=3B，其中B为另一个内角，结合三角形内角和定理， 分三种情况讨论：①当50°为特征角a时， a=50°=3β， 50 10/27 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第三个内角为180°-50°- 50 此时最小内角为 3° ②当50°为内角B时， a=3B=150°， .+B=150°+50°=200°>180°，不符合三角形内角和定理，舍去该情况： ③当50°为第三个内角时， a+B+50°=180°，且a=3β， ∴.4β=130°， 解得：B=32.5°，=97.5°， :32.5°<50°<97.5°， 此时最小内角为32.5°； 综上，这个“特征三角形”的最小内角的度数为 50 °或32.5°， 3 17.如图，将长方形纸片ABCD沿着EF折叠（折痕EF分别交AB,CD于点E,F),点B,C分别落到点 B,C的位置，再将四边形GFC'B'沿着折痕FG折叠，点B,C分别落到B,C"的位置.若∠BEF=30° ,则上EFC"的度数为；若∠GFC'=130°，则∠EFC'-∠AEG的值为 Bu B B 【答案】 90 25° 【详解】解：由折叠的性质得，∠BEF=∠FEG=30°、∠FGB'=LFGB", 四边形ABCD是长方形， AB∥CD, ∠EFG=∠BEF=30°， :LFGB′=LFEG+∠EFG=30°+30°=60°， 11/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 LFGB'=∠FGB"=60°， ∠GHF=180°-∠FGB"-∠EFG=180°-60°-30°=90°， 由折叠的性质得：FC"I‖GB”,EBI‖FC, ∠EFC"=∠GHF=90°； :∠GFC'=130°， :∠CFC'=180°-∠GFC'=180°-130°=50°， :AB∥DC、EB'IFC, LAEG=LEGF=LGFC'、∠FGB'=LCFC'=50°， :∠BEF=LFEG=LGFE, ·∠FGB'=LGEF+∠GFE=2∠EFG=50°， ∠EFG=25°， :∠EFC'-∠AEG=∠EFC'-∠GFC'=∠EFG=25° 18.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别过点B、C作直线1的垂线，垂足分别 为D、E.如果BD=5,CE=3,那么DE= 【答案】8或2 【详解】解：如图1，点B、点C在直线1同侧， D E 图1 :BD⊥I于点D,CE⊥I于点E, ∠BDA=∠AEC=90°， ∠ABD+∠BAD=90°， :∠BAC=90°， ∴.∠CAE+∠BAD=90°， .∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中， 12/27 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠AEC, AB=CA △ABD≌△CAE(AAS, .BD=AE=5,AD=CE=3, DE=AE+AD=5+3=8; 如图2，点B、点C在直线1异侧， B E 图2 :BD⊥I于点D,CE⊥I于点E, ∠BDA=∠AEC=90°， .∠ABD+∠BAD=90°， :∠CAE+∠BAD=∠BAC=90°， ∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中， [∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠AEC, AB=CA .△ABD≌△CAE(AAS), .BD=AE=5,AD CE=3, DE=AE-AD=5-3=2. 综上所述，DE的长为8或2 故答案为：8或2 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） I9.(6分)如图，△ABD≌△CFD,且点B,D,C在一条直线上，点F在AD上，延长CF交AB于点E. 13/27 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (I)试说明：CE⊥AB. (2)若BD=3,AF=1,求BC的长. 【详解】(1)证明：：△ABD≌△CFD, ∠ADB=∠CDF,∠A=∠C, :点B,D,C在一条直线上， ∠ADB=LCDF=90°， :∠AFE=∠CFD, ∠AEF=LCDF=90°， .CE⊥AB;…(3分) (2)解：：△ABD≌△CFD, :BD=DF=3,AD=CD, :AD=AF+DF=1+3=4, CD=4, BC=BD+CD=3+4=7.…(6分) 2O.(6分)如下图，AB∥CD,BD平分∠ABC,CA平分∠BCD,试说明：AC⊥BD,下面是小明的解 答过程，请补充完整。 解：：AB∥CD(己知)， .∠ABC+=180°( :BD平分∠ABC,CA平分LBCD(已知)， i∠D8C=ABC,∠ACB=∠BCD(角平分线的定义)， 2Dc+∠4cB-5 )(等式性质)， 即∠DBC+∠ACB= 14/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :LDBC+LACB+∠BEC=∠I80°( .∠BEC= (等式性质)， .AC⊥BD 【详解】解：：AB∥CD(已知)， ·LABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补），…(2分) :BD平分∠ABC,CA平分∠BCD(已知)， DBC∠ABC,∠ACB=BCD(角平分线的定义， ∠D8C+∠4CB=∠AC+∠BCD)(等式桂质，…(3分) 即∠DBC+∠ACB=90°，…(4分) :∠DBC+LACB+∠BEC=∠180°（三角形三个内角的和等于180°），·(5分) .∠BEC=90°（等式性质），…(6分) ∴.AC⊥BD, 21.(6分)如图，AD为ABC的中线，BE为△ABD的中线. B (I)在△BED中作BD边上的高； (2)若ABC的面积为40，BD=5,则点E到BC边的距离为多少？ 【详解】(1)解：如图，EF为BD边上的高.…(2分) FD (2):AD为ABC的中线，BE为△ABD的中线， 1 SARDE-SABC :ABC的面积为40，BD=5, 15/27 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .S.ODE BD.EF=x5.EF=1x40. 1 1 4 解得EF=4,即点E到BC边的距离为4.…(6分) 22.(6分)如图，在ABC中，己知∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC,AD⊥BD, D B (I)若△BDC的面积是5，求ABC的面积； (2)求证：AC=2BD 【详解】(1)解：延长AD交BC于点H, B H BD平分∠ABC, .∠ABD=∠HBD, :AD⊥BD, ∠ADB=∠HDB=90°， BD=BD, 、△ABD≌△HBD(ASA, :AD =HD, .S.BAD =S.BHD S.CAD =S.CHD, S.BAD+S.CAD =S.BHD+S.CHD=S.BDC=5, S。4Bc=5+5=10;…(3分) (2)证明：过点B作BF L AC于F,过点C作CE⊥BD的延长线于E,则∠BFC=∠CEB=90°， 16/27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B :∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC, ∠BCF=LCBE, 又：BC=CB, :△BCF≌CBE(AAS), .BF=CE, :SBDc=5,S△ABc=10, S△MBc=2S△BDc, 即ACBF=2 BDCE, 2 .AC=2BD.…(6分) 23.(8分)综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用.问题情境：学习了三角形角平分线的定义 后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论：已知ABC,如图1，若 点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A. 、) 图1 图2 图3 证明如下：：BP,CP是∠ABC和∠ACB的角平分线， :∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠SACB, 2 .∠A=180°-2∠PBC+∠PCB), :∠PBC+∠PCB=90-1∠A 2 :∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°- 00-4=9044 17/27 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 拓展创新： (I)如图2，若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗？若成立，给出证明： 若不成立，写出正确的结论并证明。 应用计算： (②)如图3，己知LX0Y=90°，点A,B分别在射线OX,OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延 长线与∠OAB的平分线相交于点C,试问∠ACB的大小是否变化？若不变，请说明理由；若随点A,B的 移动发生变化，请求出变化范围 【详解】(1)解：前进小组的结论不成立，理由如下， :点P是ABC两外角平分线的交点， &∠PBc+∠PCB-∠FBC+∠ECB )180°-∠ABC+180°-∠4CB] -3w-8w-4 22180+∠A △PBC中，P=1802I80°+∠A=90°-∠A,(3 2 (2)解：∠ACB的大小保持不变，理由如下： :∠X0Y=90°， ∠ABY=90°+∠0AB, :AC平分∠OAB,BE平分∠ABY, ∠ABE=ABY,∠B4C=501B, ∠ABE=ABY=0+∠010=45+5∠01B: 即∠ABE=45°+∠BAC, 又：∠ABE=∠ACB+∠BAC, ∠ACB=45°， 故∠ACB的大小不发生变化且始终为45°.…(6分) 24.(8分)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,LB=LD=90°，E,F分别是边BC,CD上的点， 且∠BAF=∠BAD,线段EF,BE,FD之间的关系是 ；(不需要证明) (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 18/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系， 2 并证明. (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=18O°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点， 且∠EAF=】∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系， 2 并证明. 图1 图2 图3 【详解】解：(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG, 3 G B E :∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD, .△ABG≌△ADF, ∴AG=AF,∠1=∠2， :∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAR=∠BAD, 2 ∴LGAE=∠EAF, 又：AE=AE, △AEG≌AAEF, .EG=EF, EG=BE +BG ∴.EF=BE+FD, 故答案为：EF=BE+FD;…(2分) 19/27 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)(1)中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, 3 M:-- B E :∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠1=180°， .∠1=∠D, 在△ABM和△ADF中， AB=AD ∠1=∠D, BM=DF △ABM≌△ADF(SAS, AM=AF,∠3=∠2， :∠EAF=∠BAD, 2 .∠2+∠4=∠EAF, :∠EAM=∠3+L4=∠2+∠4=∠EAF, 在△MAE和△FAE中， AM=AF ∠EAM=∠EAF, AE=AE △MAE≌△FAE(SAS, :EF=EM, EM BM BE BE DF, .EF=BE+FD;…(5分) (3)(1)中的结论不成立，EF=BE-FD, 证明：如图3，在EB上截取BH=DF,连接AH, 20/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图3 :∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∠B=∠ADF. :在AABH与△ADF中， AB=AD ∠ABH=∠ADF, BH DF △ABH≌△ADF(SAS), :AH AF,ZBAH ZDAF .∠HAF=∠HAD+∠DAF=∠HAD+∠BAH=∠BAD, 又：∠EAF=∠BAD=∠HAF, ∠HAE=∠FAE, 在△HAE和△FAE中， AH=AF ∠HAE=∠FAE, AE=AE △HAE≌aFAE(SAS), :EF=EH, EH BE-BH =BE-DF, .EF=BE-FD.…(8分) 25.(9分)已知在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合）， 将射线DA绕点D顺时针旋转45°得到DP,直线DP与射线AC交于点E,过点A作DE的垂线，交直线 BC于点F; 21/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 备用图 D (I)如图，若点D在线段BC上，且AD=DE,求证：AFC≌CDE; (2)若点D在线段BC的延长线上，且AD=DE,那么第(1)小问的结论还成立吗？请说明理由； (3)若点D在直线BC上运动，当△AFC是等腰三角形时，直接写出∠DAC的度数 【详解】(1)证明：：∠BAC=90°，AB=AC, :∠ABC=∠ACB=45°， :AF⊥DE, .∠DAF=45°. AD=DE, ∴.∠DAE=∠DEA, LDAF+LFAC=LDAE=∠DEA=LACB+∠EDC, .∠CAF=∠CDE :∠CAF+∠DAF=∠EDC+∠ADE,即∠CAD=∠CDA, :CA=CD. 在△AFC和△DEC中， ∠CAF=∠CDE CA=CD ∠ACF=∠DCE △AFC≌aDEC(ASA).·(3分) (2)解：结论成立， 理由：如图， 22/27 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B :∠ADP=45°， ∠DAE+∠DEA=∠ADP=45°， AD DE, .∠DAE=∠DEA=22.5°. :AP⊥DE, ∠PAE=67.5°. ∠FAB=180°-∠BAC-∠PAE=22.5°. :∠ABC=45°， ∠F=∠ABC-∠FAB=22.5°， :∠ADC=∠ACB-∠DAC=22.5°， :ZF ZADC, :AF AD DE. 在△AFC和△DEC中， ∠ACF=∠DCE=45° ∠AFC=∠DEC AF=DE .aAFC≌aDEC(AAS).·(6分) (3)①当CA=CF时，如图所示. B D C :LACF=45°， 23/27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠CAF=∠CFA=67.5°. ∠BAF=22.5°，∠E=22.5°， ,∠CDE=∠ACF-∠E=22.5°. :∠ADP=∠ABC=45°， ∠ADB+∠CDE=∠ADB+∠DAB, ∠DAB=∠CDE=22.5°， ∠DAC=∠DAB+∠BAC=112.5°， ②当CA=CF时，如图所示. D 同①，∠DAC=∠DAF-LFAC=45°-22.5°=22.5°. 综上所述，LDAC=112.5°或22.5°.…(9分) 26.(9分)某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形， E A H 图① 图② 图③ (1)如图①，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,BD⊥直线1，CE⊥直线1，垂足分别 为D、E.可证得：DE、BD、CE的数量关系为_： (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将(1)中的条件改 为：在ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线I上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为任 意钝角.请问(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由： (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以ABC的边AB、 AC为腰向外作等腰直角△ABE和△ACG,其中LBAE=∠CAG=90°，若AH⊥BC,垂足为点H,延长HA 交EG于点M.求证：点M是EG的中点， 【详解】(I)解：DE、BD、CE的数量关系为：DE=BD+CE,理由如下： 24/27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图1所示： B 2 D A E 图① BD⊥l,CE⊥I, ∠BDA=∠AEC=90°， ∴.∠1+∠2=90°， 在ABC中，∠BAC=90°， ∠1+∠3=90°， ∠2=∠3， AB=AC, △ABD≌ACAE(AAS), .BD=AE,AD=CE, .DE=AE+AD BD+CE 故答案为：DE=BD+CE;…(3分) (2)解：(1)中的结论成立，证明如下： 如图2所示： B 人3■ D A E 图② :∠BDA=∠AEC=LBAC=a,AB=AC, ∠1+∠3=180°-∠BAC=180°-a, 在△ABD中，∠1+∠2=180°-∠BDA=180°-a, .∠2=∠3， :∠BDA=∠AEC=a,AB=AC, △ABD≌△CAE(AAS), .BD=AE,AD=CE, 25/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE=AE+AD=BD+CE;…(6分) (3)解：证明：过点E作EN∥AG,交AM的延长线于点N,如图3所示： M B H 图③ :△ABE和△ACG都是等腰直角三角形，且LBAE=∠CAG=90°， .AB=AE,AC=AG, :AH⊥BC, .∠ABC+∠HAB=90°， :∠BAE=90°， .∠HAB+∠EAN=90°， .∠ABC=∠EAN, :∠BAE=LCAG=90°， ∠BAC+∠EAG=180°， :EN∥AG, .∠AEN+∠EAG=180°， ∴.∠BAC=∠AEN, .△ABC≌△EAN(ASA), .AC=EN, .AC=AG, .EN =AG, :EN∥AG, :∠N=∠MAG,∠MEN=∠MGA, :△EMN≌△GMA(ASA), ∴.EM=GM, 26/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二点M是EG的中点.…(9分) 27/27