假期必刷32 二项分布与超几何分布、正态分布-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三0022 高二数学恐 假期必刷32 二项分布与超几何 不积跬步，无以至千里。 分布、正态分布 完成日期： 月 思维整合室 5.超几何分布 般地，假设一批产品共有V件，其中有M 1.相互独立事件 件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放 对任意两个事件A与B,如果P(AB)= 回)，用X表示抽取的n件产品中的次品 ,则称事件A与事件B相互独 数，则X的分布列为P(X=k)= 立，简称为独立 ,k=m,m+1,m十2，…，r,其中， 2.条件概率 n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0, (1)概念：一般地，设A,B为两个随机事件，且 n一N+M},r=min{n,M},如果随机变量 X的分布列具有上式的形式，那么称随机变 P(A)>0,我们称 为在 量X服从超几何分布. 事件A发生的条件下，事件B发生的条件 6.正态分布 概率，简称条件概率。 (1)定义 (2)两个公式 若随机变量X的概率分布密度函数为 ①利用古典概型，P(BA)= f()=1·e,x∈R,其中，∈R, 6√/2元 ②概率的乘法公式：P(AB)= σ>0为参数，则称随机变量X服从 3.伯努利试验与二项分布 记为X~N(,o). (1)伯努利试验 (2)正态曲线的特点 的试验叫做伯努利试验； ①曲线是单峰的，它关于直线 对称. 将一个伯努利试验独立地重复进行n次组 ②曲线在 处达到峰值 成的随机试验称为 。/2元 ③当|x无限增大时，曲线无限接近x轴. (2)二项分布 (3)3。原则 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验 ①P(μ-≤X≤4十o)≈0.6827； 中事件A发生的概率为p(0<<1),用X ②P(μ-2a≤X≤u+2a)≈0.9545； 表示事件A发生的次数，则X的分布列为 ③P(u-3≤X≤μ十3o)≈0.9973. P(X=k)= (4)正态分布的均值与方差 k=0,1,2,…,n. 若X~V(,g2),则E(X)= ,D(X) 如果随机变量X的分布列具有上式的形 【《技能提升台 式，则称随机变量X服从二项分布，记作 1.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞 赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为 4.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X) 音和子，甲，乙两人是香获得一等笑相互独 ,D(X)= 立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概 率为 ( (2)若X~B(n,p),则E(X)= ,D(X) A B.2 c. 65 飞受快乐假明 900= 2.(2025·昆明诊断)袋中装有2个红球，3个 7.(多选)(2025·张家口模拟)袋子中有2个 黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则 黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机 3次中恰有2次抽到黄球的概率是( 取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记 A号 B c n 4次取球的总分数为X,则 ( 3.在n重伯努利试验中，设每次成功的概率为 AXB4,号 B.P(X=2)= p(0<p<1),则失败的概率为1一p,将试验 进行到恰好出现r次成功时结束试验，用随 C.E(X)=8 3 D.D(X)=8 9 机变量X表示试验次数，则称X服从以r, 8.已知某批产品的质量指标X服从正态分布 p为参数的帕斯卡分布，记为X~NB(r, N(25,0.16),其中X∈[24.6,26.2]的产品 p).已知X~NB(3,p),若P(X=6)≥P(X 为“可用产品”，则在这批产品中任取1件， =5),则p的最大值为 抽到“可用产品”的概率约为 c号 D.s 参考数据：若X~N(4,o2),则 4.(2025·济南模拟)已知随机变量服从正 P(-o≤X≤+o)≈0.6827，P(-2o≤ 态分布N(μ，o),若函数f(x)=P(x≤≤x X≤+2o)≈0.9545，P(4-3o≤X≤4+ 十1)为偶函数，则= 3o)≈0.9973. A.-司 B.0 c D.1 9.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的 成就，在研究一类二次型数论问题时，他在 5.一个不透明的袋子有10个除颜色不同外， 他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩 大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球， 4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐 余的概念.二次剩余理论在噪音工程学、密 个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的 码学以及大数分解等各个领域都有广泛的 个数为X,期望和方差分别为E(X), 应用.已知对于正整数a,n(n≥2)，若存在 D(X);试验二：逐个有放回地随机摸出3 一个整数x,使得n整除x2一a,则称a是n 个球，记取到白球的个数为X2,期望和方 的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1 差分别为E(X,),D(X,).则下列判断正 到20这20个整数中随机抽取一个整数a, 确的是 记事件A=“a与12互质”，B=“a是12的 A.E(X)<E(X2)B.E(X1)>E(X2) 二次非剩余”，则P(A)= C.D(X)>D(X2)D.D(X1)<D(X2) P(B A)= 6.(多选)(2024·新课标I卷)随着“一带一 10.(2024·新课标I卷)甲、乙两人各有四张 路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并 卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片 举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收 上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分 入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本， 别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛， 得到推动出口后亩收入的样本均值x=2. 1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的 在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡 亩收入X服从正态分布N(1.8,0.1).假 片中随机选一张，并比较所选卡片上的数 设推动出口后的亩收入Y服从正态分布 字的大小，数字大的人得1分，数字小的人 N(x,s2),则（若随机变量Z服从正态分布 得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃 V(u,o2),则P(Z<u+o)≈0.8413)( 置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四 A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5 轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.8 66 三0022 11.为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育 12.某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系 人、为国育才使命”的要求，某省推出的高 列优惠政策.已知创业项目甲成功的概率 考新方案是“3十1十2”模型，“3”是语文、外 为号，项日成功后可获得玫府奖金20万 语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两 科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、 元；创业项目乙成功的概率为p,(0<p。<1), 地理四科中选择两科作为高考科目.某学 项目成功后可获得政府奖金30万元.项目没 校为做好选课走班教学，给出三种可供选 有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一 择的组合进行模拟选课，其中A组合：物 次实施机会，两个项目的实施是否成功互 理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理， 不影响，项目成功后当地政府兑现奖励， C组合：物理、化学、地理，根据选课数据得 (1)大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业 生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖 到，选择A组合的概率为，选择B组合 金累计为X(单位：万元)，若X≤30的概 的概率为号，选择C组合的概率为号，甲、 率为好求p的大小： 乙、丙三位同学每人选课是相互独立的. (2)若两位大学毕业生都选择创业项目甲 (1)求这三位同学恰好选择互不相同的组 或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种 合的概率； 创业项目，累计得到的奖金的均值更大？ (2)记”表示这三人中选择含地理的组合 的人数，求)的分布列及数学期望 67三0022. (2)(1)X的可能取值为0.4，-0.4，-1.2，-2，-2.6， 4.C[:函数f(x)=P(x≤≤x十1)为偶函数，则f(-x) 则P(X=0.4)=1000 800 4 =f(x), 59 .P(-x≤≤-x+1)=P(x≤≤x+1), P(X=-0.4)=100010' 100 1 =1] 2 P(X=-1.2)=100050' 603 5.D[①从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为 P(X=-2)=1000100' 30 3 X1X的可能取位是0,1.2,3，则P(X1=0)=CC C30 P(X=-2.6)=1000100' 10 1 6.PX:-D-cC-+p(X:-2)-Cicl 1 Cio 2 C30 10 EX=04X号-04x0-1.2x品-2X品-2.6x P(X1=3)= CC8=,故随机变量X1的概率分布列为 C0 301 =0.32-0.04-0.072-0.06-0.026=0.122 0 2 3 (ⅱ)保单的保费调整后，无索赔保单的保费为0.384万 P 3 1 元，有索赔保单的保费为0.48万元. 2 1030 毛利润Y的可能取值为0.384，-0.32，-1.12，-1.92， 则数净期塑为E(X)=0X日+1×号+2X品+3×0 1 1 -2.52, .6 此时EY=0.384×号-0.32×0-1.12×品-192 5 ×0-2.52×0=0.3072-0.0a2-00672-0.0576 方为DX)=(0-合)×日+(-)广× -0.0252=0.1252. -9)×+-)×- ∴.调整后的保单毛利润的数学期望的估计值大于调整 ②从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概 前的保单毛利润数学期望的估计值 假期必刷32 率为普号则X~B3号)} 思维整合室 故BX)=3X号=日DX)=3号×(-号)2 1.P(A)P(B) 故E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2).] 2.(1)P(BIA)-P(AB P(A) (2)n(AB) P(A)P(BA) n(A) 6.BC[由题意得X~N(1.8,0.12), 3.(1)只包含两个可能结果n重伯努利试验 Y~N(2.1,0.12), (2)Chpk (1-p)"-k X~-B(n,B) 故P(X>2)<P(X>4十σ)=1-P(X<4十)<0.2，故B 正确，A错误； 4.(1)pp(1-p)(2)npnp(1-p) 5.ChC P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5, C P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=0.8413-0.5 6.(1)正态分布(2)x=4x=4(4)μ2 =0.3413, 技能提升台 P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+P(Y≥2.1) 1.D[根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获 =0.3413+0.5=0.8413>0.8,故C正确，D错误.] 关或甲没技笑乙筑关，则所求概率是号×(-一圣)十 7.ACD[从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互 不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1 子×1-)] 分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机 变量X服从二项分布， 2.D[袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每 次抽取1球，每次取到黄球的概率P=号“3次中拾有 即X~B(,号)故A正确： 2次抽到黄球的概率P=号×（层）广×(-)=嘉] PX=2)=(得)（付）-故B锈送 3.C[因为P(X=6)≥P(X=5),所以C号2(1-)3·p≥ 因为X~B,号)所以ECX0=4号号故C正确： C21-p2·,解得p≤号，甲D的最大值为号.] D)=4X号×号-D正确] 123 飞受快乐假期 00M= 8.解析：由题意知，该产品服从X一N(25,0.16),则4=25， (2)由题意知7的所有可能取值为0,1,2,3， 6=0.4, 所以P(24.6≤X≤26.2)=P(25-0.4≤X≤25+3× 且广B(3,号） 0.40=Pg-≤X≤4+3a)-0.6821+0.9973=0.84. 所以P(7=0)= 2 2 ()'()广器 即抽到“可用产品”的概率为0.84. 答案：0.84 p=D-C(号)()-器 9.解析：在1一20内与12互质的数有1,5,7,11,13,17,19， P(7=2)=( ()()-器 所以PA)品： P(7=3)= ()(”=盘 报搭定义，对于2等子鉴数的红不存在，则口是12的 所以？的分布列为 二次非剩余数， 0 1 2 3 显然，当a=1时，x=11;当a=13时，x=7;当a=5,7, 27 54 36 8 11,17,19时，x不存在； 125 125 125 P(BIA)=5. -7 所以E(7)=0 125+1X 27 54 36 答案品号 7 12.解：(1①由巴知可知，张某创立成功的概率为号，幸某创 10.解析：本题相当于1,3,5,7}与{2,4,6,8}的搭配问题， 总共有A=24种方法， 业成功的概率为，且两人是否创业成功互不影响， 把甲的卡片标号分为A1={1,3},A2={5,7}两组，把乙 记“这2人累计获得的奖金X≤30”的事件为A, 的卡片标号分为B1={2,4},B2={6,8}两组， 则事件A的对立事件为“X=50”, 要使甲得分不少于两分，甲的卡片标号大的次数至少有 :P(X=50)=3po, 2 两次， ①A2与B1搭配，一共有A号·A?=4种； P(A=1-PX=50y=1-号0=名解得o=3 ②A2与B2搭配，只能是5配8,7配6,1配4,3配2，一 (2)设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的 共有1种； 次数为X1,都选择创业项目乙且创业成功的次数为X2, ③A2与B1中一个，与B2中一个搭配； 则这两人选择项目甲累计获得的奖金的均值为E (1)若B1选择2，则B2必不能选8，故{5,7}与{2,6}搭 (20X1),选择项目乙累计获得的奖金的均值为E 配，{1,3}与{4,8}搭配，一共有2种； (30X2) (2)若B1选择4，分两种情况： 2 (i){5,7}与(4,6}搭配，{1,3}与{2,8}搭配，一共有1· 由已知可得，X~B(2,3)X,~B(2,p), A号+1=3种； (1)(5,7}与{4,8}搭配，{1,3}与{2,6}搭配，一共有 EX)=青X)=2h 2种； 所以甲的卡片标号大的次数至少有两次的情况有12种， E(20X)=20E(X)=9,E(30X:)=30E(X,) 所以甲感得分不低于2分的凝率P是-日 =60p0, 答案：司 若EC20X1)>E(80X,.即0>60p,解得0<<号： 11.解：用A;表示第i位同学选择A组合，用B,表示第i位 若E(20X)<E(30X2).即9<60pg,解得号<0<1： 3 同学选择B组合，用C;表示第i位同学选择C组合，i= 若E20X1)=EC30X,),即89=60po,郎得p=号 1,2,3. 由题意可知，A,B:,C,互相独立， 综上所述，当0<p<号时，他们都选择项目甲进行创 且PA)-gPB)=号，PC)= 业，累计得到的奖金的均值更大； (1)三位同学怡好选择不同的组合共有A=6种情况， 当号<p<1时，他们都选择项目乙进行创业，累计得 每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的 到的奖金的均值更大； 概率P=6XPAB,G)=6P(A)PB,)PCC)=6X号× 当=号助，他们选择两项目进行创业，累计得到的奖 金的均值相等. 124