假期必刷29 排列、组合、二项式定理-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三0022 高二数学的 假期必刷29 排列、组合、二项式定理 书到用时方恨少，事非经过不知难。 完成日期： 月 思维整合室 3.二项式定理 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (1)二项式定理 (1)分类加法计数原理 ①二项式定理：(a十b)” 完成一件事有两类不同方案，在第1类方 (n∈N*); 案中有m种不同的方法，在第2类方案中 ②通项公式：T6+1= ,它表示第 有种不同的方法.那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. 项； (2)分步乘法计数原理 ③二项式系数：二项展开式中各项的系数 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m C,C…,Cw 种不同的方法，做第2步有种不同的方 (2)二项式系数的性质 法，那么完成这件事共有N= 种 不同的方法、 性质 性质描述 2.排列与组合 与首末等距离的两个二项式系 对称性 (1)排列与组合的概念 数相等，即 名称 定义 并按照 当"生a∈N) 排成一列，叫做从n 二项式系 时，是 的 排列 增减性 从n个不同 个元素中取出m个 数C 元素中取出 元素的一个排列 当aEN) m(m≤n)个 作为一组，叫做从n 时，是 的 元素 个不同元素中取出 组合 当n为偶数时，中间的一项C m个元素的一个 二项式 组合 取得最大值 系数最 当n为奇数时，中间的两项C号 (2)排列数、组合数的公式及性质 大值 与C号 相等且取得最大值 ①Am n (n-m) (3)各二项式系数和 公式 Cg-(n-1(n-2).( A m! ①(a+b)”展开式的各二项式系数和： (n,m∈N*,且m≤n).特 C+C+C%+…+C”= 别地C%=1 ②奇数项的二项式系数的和等于偶数项的 ①0！= :A= 二项式系数的和，即C。十C+C+… 性质 ②CW=C”-m;C= =C+C%+C十…= 59 毫快乐假明 00M= 《技能提升台 7.已知 (a为常数)的展开式的二 1.不等式A<6×A:2的解集为 A.{2,8} B.{2,6} 项式系数之和为32，常数项为80，则a的 C.{7,12} D.{8 值为 2.甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读 A.1 B.±1 C.2 D.±2 2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种 8.(多选)下列等式正确的有 () 相同的选法共有 ( n！ A.Cg=m1m-m刀 A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 B.C=C 3.2025年第9届亚冬会在哈尔滨举办，某校 C.C n+1 n+1 的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物 D.CH=C 馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著 9.(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错 名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位 误的是 同学前往，并且每位同学只能选择其中一个 A.共计有720种不同的排法 景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景 B.男生甲排在两端的共有120种排法 点，则不同的选法种数是 () C.男生甲、乙相邻的排法总数为120种 A.18 B.36 D.男女生相间排法总数为72种 C.54 D.72 4.(2025·湖北武汉高二模拟)武汉马拉松组 10.（多选)若(1-2x)°=a。十a1x十a2x2十 委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲、 a3x3十a4x十ax,则下列结论中正确的是 乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路 口，每个路口至少有两位引导员，若小王和 A.a0=1 小李不能去同一路口，则不同的安排方案种 B.a1+a2+a3十a4十a5=2 数为 () C.a-a1十a2-a3十a4-a5=3 A.40 B.28 C.20 D.14 D.a-|a1|+a2-a3|+a4-a5|=-1 5.周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看 11.(2024·北京卷)在(x一√元)4的二项展开 火爆全球电影《哪吒之魔童闹海》，订购的4 式中，x3的系数为 张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全 A.6 B.-6 C.12 D.-12 起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则 12.(2025·宁夏石嘴山模拟预测)用1、2、3、 不同的坐法种数为 4、5组成没有重复数字的五位数abede,若 A.8 B.12 C.16 D.20 满足a>b>c<d<e的五位数有n个，则 6.某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用 在1+(1+x)1+(1+x)2+(1+x)3+… 比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟 +(1+x)"+1的展开式中，x2的系数是 从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已 知该校初中部和高中部分别有400名和200 .(用数学作答) 名学生，则不同的抽样结果共有 13.(2024·上海卷)在(x十1)”的展开式中， A.C48·C5种 B.C0。·C28种 若各项系数和为32，则展开式中x2的系数 C.C0。·C30种 D.C8·C28种 为 60三0002 二教都 7.ABC[因为F(2,0)是抛物线C:y2 (2)由AP=3PB,可得y1=-3y2 2px的焦点，所以多=2，即得p=4,A 3 由y=x+ 可得y2-2y十2t=0, 选项正确； y2=3x, 设M(x0%)在y2=8x上，所以x0≥0， 其中△=4-8t>0, 所以MF=0+专>≥号=0F, 所以y1十y2=2,从而-3y2十y2=2, B选项正确； 故y1=3,y2=-1. 因为以M为圆心且过F的圆半径为|MF|=xo十2等于 M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C 代入C的方程得1=3日 的准线相切，C选项正确； 当∠OFM=120°时，x0>2, 所以A3.8B(兮-故AB-4 0-2=tan60°=5，且听=8x0w>0, 12.解：(1)抛物线y2=4x的焦点F(1,0), 显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：x=my十1， 所以5听-80-163=0%=4或0=-4y5含 3 由=my+1, y2=4x, 所以△OFM的面积为S△0FM=2OFX%=4B,D 消去x并整理得方程为y2-4my-4=0, 选项错误.门 设点A(x1y1),B(x2y2), 8.解析：设A(m,n),由抛物线的方程可知p=2, 则y1十y2=4m,y1y2=-4, 则由抛物线的定义可得AF=m十多=3， 矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为S1=x1y1= 所以m=2. 答案：2 = 9.解析：由题意抛物线的标准方程为y2=2px,则p=8,所 所以S5,=.11-1-=4 以其焦点坐标为(4,0). 44 16 答案：(4,0) (2)由(1)得M(x1,0),N(0,y1),C(.x2,0),D(0,y2), 10.解析：由题知圆(x十2)2十y2=3和曲线y2=2px关于x 于是得直线MN的方程为y=一兰x+I, 轴对称，不妨设切线方程为y=k.x,k>0, 所以2=5，解得=5， 直线CD的方程为y=-兰x+十y2, W1+k2 由v=x I- 2p 解得=0 3 y1x十1 或 y2=2px (y=0' 2√3p 3 y= 2x十y 以o)+(- 3 消去y并整理得丛-业 x=y1-y2 1 2 解得p=6.当k=一√3时，同理可得。 而义-业=”-2_4一) a1 t2 yi y y1y2 =y1一y2 答案：6 4 4 3 11.解：设直线1的方程为y=2x十t,A0M),B(x22) 因此x=1, ①南题说得F(学o）长AP+B=++ 即直线MN与直线CD交点在直线x=1上，所以MWN 与直线CD交点在定直线x=1上. 又AF十BF=,所以看十- 假期必刷29 3 由=2+”可得92+121-1D十2=0. 思维整合室 (y2=3.x, 1.(1)m十n(2)m×n2.(1)一定的顺序(2)n(n-1)(n 其中△=144(1-21)>0， n! 则西十x2=-12(1-D -2)(n-m+1)ml7-m1!C+C听-1 9 3.(1)Can+Can-1b+…+Can-b+…+Cb"Cha”- 从而-12-名得1=-号（满足4>0 b5k十1 9 所以底线的方程为y=子司 (2)CW=CW-m递增递减 (3)2m2-1 119 飞受快乐假朗 --90M= 技能提升台 10.ACD[令x=0,则a0=15=1,故A正确，令x=1得- 8 1,D[Q)16X(10-x)1, 1=ao十a1十a2+a3+a4+a5,所以a1+a2十a3十a4+a5 =-1-ao=-2,故B错误；令x=-1,得35=a0-a1十 .x2-19.x十84<0，解得7<x<12. a2一a3十a4一a5,故C正确；因为二项式(1-2x)5的展 又”x8,x-2≥0， 开式的第r+1项为T,+1=C(-2)'x',所以当r为奇数 .7<x8,x∈N,即x=8.] 2.C[首先确定相同的读物，共有C种情况， 时，Cg(一2)r为负数，即a,<0(其中i为奇数)，所以a0 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物 lail+a2-las|+as-las |=ao +a+az +as +as+as =一1，故D正确.] 里，选出两种进行排列，共有A号种， 根据分步乘法计数原理，则共有C·A号=120（种）.门 11.A[(x一√)4的展开式的通项T6+1=C路x(-√)- 3.B[若甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：1， (-1)C,令4-冬=3，解得长=2，所以在 2,2的选法总数为：C号A=18, (x-√)4的展开式中，x3的系数为(-1)2C=6.] 若甲、乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：1,1,3 12.解析：由五位数abcde满足a>b>c<de,得c=1,从 的选法总为：=18， CC 2、3、4、5中任取两个分别作a,b,另两个为c,d, 所以不同的选法总数为：18十18=36.] 因此n=C号=6,1+(1十x)1+(1+x)2+(1+x)3+.+ 4.B[若小王在1号路口，小李在2号路口，则剩余4个人 (1十x)7的展开式中x2的系数为：C+C+C?+C号+ 分到两个路口，两个路口为1十3人分布，共有CCA= C+C号=C+C号+C?+Cg+C喝+C号=C+C?+C号+ 8(种)方案，两个路口为2+2人分布，共有CCA9=6 C%+C号=C+C号+C%+C号=C+C号=Cg=56. A 答案：56 (种)方案，此时共有8十6=14（种）方案：同理若小王在213.解析：由题意可知，令x=1得，展开式中各项系数的和 号路口，小李在1号路口，也共有8+6=14（种）方案.所 是(1十1)”=32，所以n=5,该二项式的展开式的通项公 以一共有28（种）不同安排方案种数.] 式是T,+1=C5·x5r·1",令5-r=2,得r=3,则x2 5.C[法一：将4个座位编号如下，4人的座位可分四种情 项的系数为C=10. 况，①④坐家长②③坐孩子、①④坐孩子②③坐家长、① 答案：10 ③坐家长②④坐孩子、①③坐孩子②④坐家长，所以不同 假期必刷30 的坐法种数为4A号A号=16. 思维整合室 ①②③ ④ 1.不能同时发生有且仅有一个发生 法二：当两个孩子挨着坐且坐在两端时有一个孩子两侧 2.(1)有限个 相等(2) n 均无家长，所以不同的坐法种数为A一2AA号=16.] 3.P(A)+P(B)1-P(B) 6.D[根据按比例分配的分层抽样可知初中部抽取40人， 技能提升台 高中部抽取20人，不同的抽样结果共有C80·C8。.] 1.D[“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发 7.C[根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和 生，故D正确.] 为32， 2D[报据凝率公式计究可仔PA)=多-之P(B)=意 4 则有2=32，可得n=5, 则二项式的展开式通项为T6+1=C哈（√）5一 1 P(A十B)-是-号：由托率的加法公式可知 =4Cx-,令15k=0,解得k=3, P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),代入计算可得 6 则其常数项为Ca, P(AB)-.] 根据题意，有Ca3=80,解得a=2.] 3.A[从O,A,B,C,D这5个，点中任取3点，取法有C= &ABC[A是组合数公式：B是组合数性质：由贺C 10种，其中取到的3点共线的只有{O,A,C},{O,B,D}这 n+I(m+D！(n-m1=C得C正确；D错误.] =m+1×,（n+1)！ 2种取法，所以所求概率为品-号] 4.C[依题意每位同学均有5种选择，则四位同学一共有 9.BC[3男3女排成一排共计有A8=720种；男生甲排在 54种方案，若小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两 两端的共有2A=240种：男生甲、乙相邻的排法总数 人看同一部电影，有两人看《哪吃之魔童闹海》，则有 AA=240种；男女生相间排法总数2AA=72种.] CA?种方案，有一人看《哪吒之魔童闹海》电影，则有 120