假期必刷33 统计与统计案例-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

快乐假期 假期必刷33 统计与统计案例 壁立千仞，无欲则刚。 完成日期： 月 思维整合室 3.成对数据的统计分析 1.随机抽样 样本相关系数 (1)相关系数r的计算 (1)简单随机抽样 简单随机抽样分为 简单随机抽样 (x,-x)(y,-) i=1 和 简单随机抽样； 常用方法： 和 (2)样本相关系数r的取值范围为 (2)分层随机抽样 当|r越接近1时，成对样本数据的线性相 当总体是由 的几个部分组成时， 关程度越 往往选用分层随机抽样， 当r越接近0时，成对样本数据的线性相 2.用样本的数字特征估计总体 关程度越 (1)总体百分位数的估计 4.一元线性回归模型 (1)经验回归方程与最小二乘法 定义 意义 经验回归方程：y=x十a,其中 组数据的第p百分 反映该组 2(x,-x)(y:-) 位数是这样一个值， =1 b 数中小于 (x,-x) 它使得这组数据中至 i=1 百分 或等于该 少有%的数据小于 la=y-bz. 位数 百分位数 或等于这个值，且至 (2)利用决定系数R刻画回归效果 的分布 少有(100一p)%的数 特点 (y-) R2=1- i=1 据大于或等于这个值 ,R2越 ,即拟合 (y-y)2 =1 (2)常用样本的数字特征 效果越好，R越 ,模型拟合效果越差。 来估计总体总体的集中趋势 5.列联表与独立性检验 (3)总体离散程度的估计 (1)2×2列联表 假设有两个分类变量X和Y,它们的取值 假设一组数据是x1,x2,…,xn,用x表示 分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联 这组数据的平均数，那么这n个数的： 表为 ①标准差 y s=a+,++门： 合计 y=y y=y2 ②方差 x-x a a+b =(x,-)+(-)+…+(x, x-x2 d c+d x)2]. 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 68 三0022 盒二数半 (2)临界值 4.(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面 X- n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a十c)(b+d):对于任 积相等的100块稻田上种植一种新型水稻， 得到各块稻田的亩产量 何小概率值a,可以找到相应的正实数x。, (单位：kg),并部分整理得下表： 使得P(x2≥x。)=a成立.我们称x。为a 亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200) 的临界值 频数 6 12 18 24 10 (3)独立性检验 据表中数据，下列结论正确的是 ( 当x≥x。时，我们就推断H。不成立，即认 为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不 A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg 超过a; B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻 当X<x。时，我们没有充分证据推断H。 田所占比例超过80% 不成立，可以认为X和Y独立 C.100块稻田亩产量的极差介于200kg到 独立性检验中几个常用的小概率值和相应 300kg之间 的临界值 D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 到1000kg之间 5.如图为2021一2024年上海市货物进出口总 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额 《《技能提升台 描述错误的是 ( 1.下列一组数据的第25百分位数是 ( 2021-2024中国进出口总额总计图 万亿 2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4, 40 5.3,5.6 30 7.37 A.3.2 B.3.0 C.4.4 D.2.5 口进口 14.09 14.31 4.29 2.(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最 20 口出口 大的是 ( 10 16.41 17.2 21.7 17.93 2021 2022 2023 2024 年份 A.从2021年开始，2024年的进出口总额增 长率最大 B.从2021年开始，进出口总额逐年增大 C.从2021年开始，进口总额逐年增大 D.从2021年开始，2023年的进出口总额增 长率最小 6.(多选)给出下列命题，其中正确命题为( 3.某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活 A.已知数据x1、x2、x3、…、10,满足：x; 动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行 x,-1=2(2≤i≤10)，若去掉x1、x1。后组 独立性检验，经计算x=7.069,则认为“学 成一组新数据，则新数据的方差为21 生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的 B.随机变量X服从正态分布N(1,o2),P( 概率不超过 ( ) >1.5)=0.34,若P(x<a)=0.34,则a A.0.1%B.1% C.99% D.99.9% =0.5 69 飞受快乐假职 C.一组数据(x,y)(i=1,2,3,4,5,6)的经 9.某学校为了调查学 频率/组距 0.045 验回归方程为y=2x十3，若之，=30，则 生生活方面的日支 8 2=63 出情况，抽出了一个 容量为n的样本，将 0203040506070元 D.对于独立性检验，随机变量x2的值越大， 数据按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50 则推断“两变量有关系”犯错误的概率 越小 60),[60,70]分成5组，制定成如图所示的 7.(多选)(2025·大连模拟)变量x与变量y 频率分布直方图，则a= .要从日 的20对数据记为(xy:),其中i∈N,i≤ 支出在[50,70]的样本中用分层抽样的方法 20品三y六三限粥绿小二乘 抽取10人，则日支出在[60,70]中被抽取的 人数为 法求得线性回归方程是y=i.x+a,变量间 的相关系数为，则下列说法中正确的是 10.若某商品的广告费支出x(单位：万元)与 销售额y(单位：万元)之间有如下表所示 A.利用线性经验回归方程计算所得的y:与 的对应数据： 实际值y:必有误差 2 4 5 6 8 B.线性经验回归直线y=bx十a必过点(x,y) C.若所有的点(x,y:)都在线性经验回归直 20 40 60 70 80 线y=x十a上，则r=1 根据表中数据，利用最小二乘法求得y关 D.若变量x与y正相关，则r>0 于x的经验回归方程为y=x十1.5，根据 8.随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一 预测，当投入10万元时，销售额的估计值 线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机 构用简单随机抽样的方法从不同地区调查 为 万元 了100位育龄妇女，结果如下表. 11.(2024·全国甲卷（理）)某工厂进行生产线 智能化升级改造，升级改造后，从该工厂 城市级别 三孩生育意愿 合计 甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件 非一线 一线 进行检验，数据如下： 愿生 45 20 65 优级品合极品不合格品总计 不愿生 13 22 35 甲车间 26 24 0 50 合计 58 42 100 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 由父= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' (1)填写如下列联表： 得x2 100×(45×22-20×13)≈9.616. 优级品 非优级品 58×42×35×65 甲车间 参照下表： 乙车间 0.1 0.05 0.01 0.001 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品 2.706 3.841 6.635 10.828 的优级品率存在差异？能否有99%的把 根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以 握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在 得到的结论是 差异？ 70 三0022 高三数类逊) (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 (1)从上表中任选2个成对数据，求该样本 p=0.5.设p为升级改造后抽取的n件产品 量为2的样本相关系数r.结合r值分析， 由简单随机抽样得到的成对样本数据的样 的优级品率，如果p>p+1.65 1一卫)，则 本相关系数是否一定能确切地反映变量之 认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽 间的线性相关关系？ 取的150件产品的数据，能否认为生产线智 (2)根据散点图，我们选择两种不同的函数 能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提 模型作为回归曲线，根据一元线性回归模 高了？(/150≈12.247) 型及最小二乘法，得到经验回归方程分别 n(ad-bc)2 为：①y=bx+a,②y=17.8789lnx 附：K2=(a+b)(c+d)(a+c)b+d)' 75.2844.经验回归方程①和②的残差计 P(K≥k) 0.050 0.010 0.001 算公式分别为e:=y-(ix,十a),u:=y, (17.8789lnx,-75.2844),i=1,2,,9 3.841 6.635 10.828 (i)求2e: (ⅱ)经计算得经验回归方程①和②的残差 平方和分别为Q,=∑(e,)2=5.0177,Q。 i- =2(,)2=2.5007,经验回归方程①的决 定系数R=0.9693,求经验回归方程②的 决定系数R. 2(x,-x)(y,一） 附：相关系数r 2(x-x)2(y-y)2 =1 (y-y) 决定系数R=1 i=1 12.混凝土的抗压强度x较容易测定，而抗剪 (y-y) i=1 强度y不易测定，工程中希望建立一种能 2.5007×0.0307≈0.01530. 5.0177 由x推算y的经验公式，下表列出了现有 的9对数据，分别为(x1,y1),(x2,y2),…, (zg,y9). x141152168182 195 204223 254 277 y23.124.227.227.828.731.432.534.836.2 以成对数据的抗压强度x为横坐标，抗剪 强度y为纵坐标作出散点图，如图所示 381 534 30 26 24 22 120140160180200220240260280300 抗压强度x 71三0022-. 假期必刷33 思维整合室 1.(1)放回不放回抽签法随机数法 (2)差异明显 2.(2)中位数众数平均数 3.(2)[-1,1]强弱 0w,- (2)大小 2号-r2 技能提升台 1.A[把该组数据按照由小到大排列，可得：2.1,3.0,3.2， 3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6,由i=10×25%=2.5,不 是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数.门 2.A[观察4幅图可知，A图散，点分布比较集中，且大体接 近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显 的正相关，r值相比于其他3图更接近1.] 3.B[·X2=7.069>6.635=x0.01.认为“学生性别与支 持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过1%.」 4.C[对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50， 所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误； 对于B,亩产量低于1100kg的稻田所占比例为 6+12+18+30×100%=66%,故B不正确： 100 对于C,稻田亩产量的极差最大为1200一900=300，最小 为1150-950=200，故C正确： 对于D,由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100]的频 数为100一(6+12+18+24+10)=30， 平均值为00×(6×925+12×975+18×1025+30×1 075+24×1125+10×1175)=1067,故D错误.] 5.C[显然2024年相对于2023年进出口额增量增加特别 明显，故最后一年的增长率最大，A正确；统计图中的每 一年条形图的高度逐年增加，B正确：2023年相对于2022 年的进口总额是减少的，C错误；显然进出口总额2024年 的增长率最大，而2023年相对于2022年的增量比2022 年相对于2021年的增量小，且计算增长率时前者的分母 还大，故2023年的增长率一定最小，D正确.] 6.ABD[对于A选项，去掉工1，x10后的平均数为 x2十x3+…+xg_8x1十72 -=x1十9， 8 8 方差为2四-9)2+(-x1-92+…+(0-4-92 8 21,故A选项正确； 对于B选项，由于随机变量X服从正态分布N(1,σ)， P(X>1.5)=0.34, 则P(X<a)=P(X>1.5)=0.34,a,1.5关于1对称，则 a=0.5,故B选项正确；对于C选项，因为2，=30，所以 x=5,又因为经验回归方程为y=2x十3，所以y=2X5十 3=13,所以含，=13×6=78，故C选项错误：对于D选 意三教尖垫 项，对于独立性检验，随机变量X的值越大，则两变量有 关系的程度的错误率更低，故X越大，判定“两变量有关 系”的错误率更低，D选项正确.] 7.BCD[对于A,若所有样本点都在线性回归直线上，则 y;与y;相等，故A错误；对于B,线性回归直线y=ix十a 必过样本数据的中心点(x,y),故B正确；对于C,若所有 样本点都在线性回归直线上，则变量间的相关系数为士 1,即r=1,故C正确；对于D,变量x与y正相关，则r >0,故D正确.] 8.生育意愿与城市级别有关 9.解析：(2×a十0.02十0.025十0.045)×10=1， 解得a=0.005, 因为[50,60)内和[60,70]内的样本个数比例为0.020：0.005 =4:1, 根据分层抽样可知，日支出在[60,70]中被抽取的人数 1 为10×1十4-2. 答案：0.0052 10,解折：=号×(2+4+5+6+8)=5，y=号×(20十40+ 60+70+80)=54, .样本中心为(5,54)， 将其代入经验回归方程y=ix+1.5中，有54=5b+ 1.5,解得b=10.5, 所以经验回归方程为y=10.5x十1.5， 当x=10时，y=10.5×10+1.5=106.5. 答案：106.5 11.解：(1)列联表如下： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 K2=150(26×30-24×70)2 =4.6875 96×54×100×50 3.841<4.6875<6.635 ∴.有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品存在差 异，没有99%的把握认为甲乙两车间产品的优级品存在 差异 (2)由(1)知，p=150 96 =0.64,p=0.5, .p+1.65 (1-p) n =0.5+1.65 /0.5×0.5 150 0.5+1.65×0.5≈0.567. 12.247 “p>p+1.65,/DI- 能认为生产智能化升级改造后，该工厂产品的优级品 率提高了 12.解：(1)不妨设选择的成对数据分别为(x1,y1), 2(x:-x)(y:一y) (x2y2),则r= (x-x)2(y-y)2 25 飞烫快乐慑期 √(-)+(2)√(2)'+(”严 金B[由1+i:=a-i得，= (a-i)(1-iD)_a-1 (1+i)(1+i) 2 2 a马，=1 (x1-z2)y1-2 2 又由表格数据得，当x1<x2 21✉-4001-g (号)+（岁）=1，解得a=1或0=-1 时，y1<y2,则r=1. 故“|x=1”是“a=1”的必要不充分条件.] 因为任意两个样本点都在一条直线上，则样本量为2的 7.C[由x(2-i)=(1十i)2,可得x(2-i)=1+2i十2=2i,所以 样本相关系数绝对值都是1（在样本相关系数存在的情 2i 2一二一号+音所以=- 212-i0(2+D 5 5 况下)，显然据此推断两个变量完全线性相关是不合 理的， 专所以复数：的共轭复数：在复平面内对应的点的坐标 样本相关系数可以反映变量之间相关的正负性及线性 相关的程度，但由于样本数据的随机性，样本相关系数 为（一号。一）位于第三象限] 往往不能确切地反映变量之间的相关关系.一般来说， 样本量越大，根据样本相关系数推新变量之间相关的正 8B[因为=行组=-所以乙0，一0，又国为南线 负性及线性相关的程度越可靠，而样本量越小，则越不 |一3引=1表示以A(3,0)为圆心，1为半径的圆，所以 可靠. AZ1|=5,故Z1与Z之间的最小距离为5-1=4.] (2)De,=Ly-6x:+a)]=y-2,)-9a= 221-)=221=1-i,对于A2 9.ABC[&=年(+iD(1-iD 2 9(y-证一a)=0(直线y=ix十a经过数据的中心(x,y). 的虚部为一1，正确；对于B,模长|x=√2，正确；对于C, (0y-)2 (e:) 因为2=(1一i)2=一2i,故2为纯虚数，正确；对于D,x (i)R2=1- 2=1 -2 20-)P 的共轭复数为1十i,错误.] 10.ABC[对于A,若|z1-2=0,则1一2=0,1=2， 2(e;)2 2(y,-)2= 所以之1=2为真； 1-R2 对于B,若1=2，则1和2互为共轭复数， (u:)2 (u:)2 所以之1=2为真： 则R号=1一 -1 (1-R) 2-2 (e;)2 对于C,设刘=a1十bi,z2=a2十b2i,a1,b,a2,b2∈R, =1 2.5007 若|x1=|x2,则a+b所=a+b%, =1-5.0177×1-0.9693)≈0.984， 即a+b娟=a+b呢， R2越大，越接近于1，则模型的拟合效果越好，因此经验 所以x1·1=a好十b=a号十b呢=2·2， 回归方程②的拟合效果更好，为最优模型. 所以1·之1=2·2为真： 假期必刷34 对于D,若1=1,2=i, 思维整合室 则|x1|=|x21,而好=1，场=-1， 1.(1)实部虚部(2)b=0b≠0a=0且b≠0 所以号=号为假.门 (3)a=cb=d (4)a=c,b=-d 1山.CD[含=号+号时满足O2=1,故A锋花 (5)a+bil a2+62 2.Z(a,b) Z1Z2-0Z-0Z=(3,4)-(4,3)=(-1,1),B错误； 技能提升台 设x1=a+bi,2=c十di,a,b,c,d∈R, 若|名1十x2=|1一2， 1.C[由题知之=(1+i)(x-1),=1十 =1一i.故选 则(a+c)2+(b+d)2=(a-c)2+(b-d)2, 择：C.] 化简得：ac十bd=0,故OZ1·OZ2=ac十bd=0, 2.C[|x=√(-1)2+(-1)2=√2.] 所以OZ1⊥OZ2,C正确； 3.C[由题意：2-4i=√22+(-4)2=2√5.] 设1=a+bi,2=c+di,a,b,c,d∈R, OZ+OZz-(a+c.b+d).OZ-OZz-(a-c.b-d). 若(0Z1+0Z2)⊥(OZ1-0Z2), -(+〔+)+(+)=司 则(a十c)(a-c)+(b+d)(b-d)=a2+b-c2-d2=0, 5.A2+i-(2士bm)(-D=b-2i,所以实部为b,虚部为 所以a2+b2=c2+d2,则x11=2,D正确.] i(-i) 12.AB[由根与系数的关系，知x1十x2=一a,A正确；若 -2,故b的值为-2.] x1,x2∈R,则x1+x2=-a,x1x2=b,即Q,b∈R,B正 126