假期必刷28 抛物线-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

快乐假期 0M-= 20 =一4 m24十1. 8 3 +t2 技能提升台 7m2-4m2-4 1.D[依题意，动点P到直线x一2=0的距离比它到点 =-4+2+81-23 m2-4 M(一4,0)的距离小2，所以动，点P到直线x一4=0的距 由Q·Q为常数，得81-23=0，即1=29 离和它到点M(一4,0)的距离相等，所以，点P的轨迹是抛 81 物线.门 此时QM.QN=273 64 2.A[抛物线y= 2的标准方程为2=一4，开口向 当直线1斜率为0时，QM.QN=273 64 下，p=2,号=1，故焦点坐标为(0，-1).] 2 :在x轴上存在定点Q(得0）使得Q立Q为数。 3.A[以桥顶为坐标原点，桥形的对 12.解：()设双曲线方程为 称轴为y轴建立直角坐标系xOy, b2 =1(a>0,b>0)由题意 结合题意可知，该抛物线x= (a=b a=2 可得 2c=42 0=2 2p(p>0)经过点（受，-A小则 4 a2+b2=c2 c=2W2 =2hp,解得p= 新就静形对应的抛物我的然点到准线 所以双曲线的标准方程为 441. (2)设直线1：y=k(x-1),A(x1,y),B(x2,y2), 的距离为P册] D(x2,-y2), 4.C[依题意，设点A(x1y1),B(x2y2),C(x3y3), /y=k(x-1), 联立2上1，消去y整理可得 又焦点F(侵0所以十+=3x号-受 (44=1 则所1+1丽1+武=(+)十 (1-k2)x2+2k2x-k2-4=0, 则△=4k4+4(1-k2)(k2+4)=4(4-3k2), (+号)+(+) 又n=是a十= k2+4 2k2 1-k2 =+++=+=3] ①因直线1与双曲线交于两支，所以△>0且x1x2<0, 5.D[因为抛物线C:y2=8.x的焦点F(2,0),准线方程为 4(4-3k2)>0 即 k2+2∠0 →-1<k<1; x=-2,点M在C上， 1-k4 所以M到准线x=一2的距离为|MF|, ②设ADy-士（红-）+， 又M到直线x=-3的距离为5， x1一x2 所以|MF1+1=5,故|MF=4.] 令y=0,则x=四-2X（一十=十12 6.BCD[因为以|FA|为半径的圆 1 y1+y2 y1+y2 =212-（1+x2) 交1于B,D两点，所以|FA|= x1+x2-2 IFB;又|BF|=|FD|=FAI,所 2(-k2-4)+2k2-8 以∠ABD=90°，FA=AB引，可得 -2k2-201-63）--24, △ABF为等边三角形，B正确；过F 所以直线AD过定点(4,0). 作FCLAB交于C,则C为AB的中点，C的横坐标为台 B的横坐标为一公，所以A的横坐标为碧，代入抛物线可 得=3p2,ya=3p,△ABF的面积为9V3,即2(xA 1m=·(学+)5p=9,解得力=3，所 以地物线的方程为)2=6，D正确：焦点坐标为（受，0 假期必刷28 所以焦点到准线的距高为受X2=3,C正确：此时点A的 思维整合室 横坐标为号，所以BF=AF1=AB-号+-6，A 1.(1)相等准线 不正确.] 118 三0002 二教都 7.ABC[因为F(2,0)是抛物线C:y2 (2)由AP=3PB,可得y1=-3y2 2px的焦点，所以多=2，即得p=4,A 3 由y=x+ 可得y2-2y十2t=0, 选项正确； y2=3x, 设M(x0%)在y2=8x上，所以x0≥0， 其中△=4-8t>0, 所以MF=0+专>≥号=0F, 所以y1十y2=2,从而-3y2十y2=2, B选项正确； 故y1=3,y2=-1. 因为以M为圆心且过F的圆半径为|MF|=xo十2等于 M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C 代入C的方程得1=3日 的准线相切，C选项正确； 当∠OFM=120°时，x0>2, 所以A3.8B(兮-故AB-4 0-2=tan60°=5，且听=8x0w>0, 12.解：(1)抛物线y2=4x的焦点F(1,0), 显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：x=my十1， 所以5听-80-163=0%=4或0=-4y5含 3 由=my+1, y2=4x, 所以△OFM的面积为S△0FM=2OFX%=4B,D 消去x并整理得方程为y2-4my-4=0, 选项错误.门 设点A(x1y1),B(x2y2), 8.解析：设A(m,n),由抛物线的方程可知p=2, 则y1十y2=4m,y1y2=-4, 则由抛物线的定义可得AF=m十多=3， 矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为S1=x1y1= 所以m=2. 答案：2 = 9.解析：由题意抛物线的标准方程为y2=2px,则p=8,所 所以S5,=.11-1-=4 以其焦点坐标为(4,0). 44 16 答案：(4,0) (2)由(1)得M(x1,0),N(0,y1),C(.x2,0),D(0,y2), 10.解析：由题知圆(x十2)2十y2=3和曲线y2=2px关于x 于是得直线MN的方程为y=一兰x+I, 轴对称，不妨设切线方程为y=k.x,k>0, 所以2=5，解得=5， 直线CD的方程为y=-兰x+十y2, W1+k2 由v=x I- 2p 解得=0 3 y1x十1 或 y2=2px (y=0' 2√3p 3 y= 2x十y 以o)+(- 3 消去y并整理得丛-业 x=y1-y2 1 2 解得p=6.当k=一√3时，同理可得。 而义-业=”-2_4一) a1 t2 yi y y1y2 =y1一y2 答案：6 4 4 3 11.解：设直线1的方程为y=2x十t,A0M),B(x22) 因此x=1, ①南题说得F(学o）长AP+B=++ 即直线MN与直线CD交点在直线x=1上，所以MWN 与直线CD交点在定直线x=1上. 又AF十BF=,所以看十- 假期必刷29 3 由=2+”可得92+121-1D十2=0. 思维整合室 (y2=3.x, 1.(1)m十n(2)m×n2.(1)一定的顺序(2)n(n-1)(n 其中△=144(1-21)>0， n! 则西十x2=-12(1-D -2)(n-m+1)ml7-m1!C+C听-1 9 3.(1)Can+Can-1b+…+Can-b+…+Cb"Cha”- 从而-12-名得1=-号（满足4>0 b5k十1 9 所以底线的方程为y=子司 (2)CW=CW-m递增递减 (3)2m2-1 119三0022 假期必刷28抛物线 修身、齐家、治国、平天下 完成日期： 思维整合室 (2)弦及弦中点问题的解决方法和弦长的求解 1.抛物线的定义 方法与椭圆类似， (1)平面内与一个定点F和一条定直线(1不 (3)与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 经过点F)的距离 的点的轨迹叫 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F 做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线1 的弦，若A(x1y1),B(x2,y2),Q为弦AB 叫做抛物线的 的倾斜角，则： (2)其数学表达式：{MIMF|=d}(d为点M 到准线1的距离). ①x2=2y1y=-p； 2.抛物线的标准方程与几何性质 2饣 图形 米米华 ③弦长|AB引=x,十x2十= sin a 1 12 y2=-2Px x2=2py x2=-2py ④AF+IBFp 标准方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) ⑤以弦AB为直径的圆与准线相切. p的几何意义：焦点F到准线1的距离 【《技能提升台 顶点 O(0,0) 1.动点P到直线x一2=0的距离比它到点 对称轴 0 M(一4,0)的距离小2，则点P的轨迹是 焦点 r()F(-0)F(o.) F(o.-) ( 离心率 e= 性 A.直线 B.椭圆 质 准线 y-- 方程 =号 号 C.双曲线 D.抛物线 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 2.抛物线y= 的焦点坐标是 开口 向右 向左 向上 向下 方向 A.(0,-1) B.(0,1) C.(1,0) D.(-1,0) 3.直线与抛物线的位置关系 3.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图 (1)将直线L的方程Ax+By十C=0(A、B不 同时为0)代入抛物线方程F(x,y)=0.消 所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似 去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方 地看成抛物线，该桥的高度为h,跨径为a, 程a.x2+bx十c=0(或ay2+by+c=0). 则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距 ①当a≠0时，则△>0，直线1与曲线C相 离为 交；△=0时，直线1与曲线C相切；△<0 时，直线1与曲线C相离。 ②当a=0时，即得到一个一次方程，则l 与C相交，且只有一个交点，此时，直线 与抛物线的对称轴平行或重合. A.gh D.h 57 飞堡快乐假翻 -90M= 4.设F为抛物线y2=2x的焦点，A,B,C为抛物 11.已知抛物线C:y=3x的焦点为F,斜率为 线上三点，若F为△ABC的重心，则FA十 的直线1与C的交点为A,B,与x轴的 FB+|FC的值为 ( 交点为P. A.1 B.2 C.3 D.4 (1)若AF+BF=4,求直线1的方程； 5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在 (2)若AP=3PB,求|AB. C上，若M到直线x=一3的距离为5，则 |MF|= ( A.7 B.6 C.5 D.4 6.（多选)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点 为F,准线为，A为C上一点，以F为圆 心，FA为半径的圆交1于B,D两点.若 △ABF的面积为9√3，则 () A.BF=3 12.(2025·合肥模拟)如图，过y4 B.△ABF是等边三角形 抛物线y2=4x焦点F的直 C.点F到准线的距离为3 线与抛物线交于A,B两 D.抛物线C的方程为y2=6x 点，AM,AN,BC,BD分别 7.(多选)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛 垂直于坐标轴，垂足依次为 物线C:y2=2px(p>0)的焦点，M是C上 M,N,C,D. 的点，O为坐标原点，则 () (1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分 A.p=4 别为S1,S2,求S1·S2的值； B.MF|≥OF (2)求证：直线MN和直线CD交点在定直 C.以M为圆心且过F的圆与C的准线 线上 相切 D.当∠OFM=120°时，△OFM的面积为 23 8.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A为 抛物线C上一点，若|AF=3,则点A的横 坐标为 9.(2024·北京卷)已知抛物线y2=16x,则焦 点坐标为 10.过原点O的一条直线与圆C:(x+2)2+y =3相切，交曲线y2=2px(p>0)于点P, 若OP=8,则p的值为 58