假期必刷27 双曲线-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三022 假期必刷27 《思维整合室 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F,F2的距离差的绝对 值等于非零常数（小于|FF2)的点的轨迹 叫双曲线.其数学表达式：集合P={M |MF|-|MF2|=2a},|FF2|=2c,其中 a,c为常数且a>0,c>0. (1)若 ,则集合P为双曲线； (2)若a=c,则集合P为 (3)若 ,则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 x2_y2 y2 22 标准方程 a2 b2 =1(a>0,b>0） =1(a>0,b>0） yB. 范围 x≥a或x≤-a,y∈R 对称性 对称轴： ;对称中心： 顶点 A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 质离心率 e= ,e∈(1，十oo) 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度 A1A2=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴， 实虚轴 它的长度|B1B2|=2b:a叫做双曲线的实半 轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c的关系 c2= 3.直线与双曲线的位置关系 (1)将直线1的方程Ax+By+C=0(A、B不 同时为0)代入双曲线方程F(x,y)=0.消 去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方 程ax2+b.x十c=0(或ay2+by十c=0). 富二数半的 贯即刻扫码 双曲线 A1伴学助手 了考点复习攻略 ①当a≠0时，则△>0时，直线l与双曲线 相交；△=0时，直线1与双曲线相切：△<0 时，直线1与双曲线相离. ②当a=0时，即得到一个一次方程，则1 与双曲线相交，且只有一个交点，此时，直 线1与双曲线的渐近线平行 (2)弦及弦中点问题的解决方法与弦长的求解 方法与椭圆类似. 《技能提升台 1已知双曲线-y=1a>0)的离心率是 5,则a= ( 1 A.√6 B.4 C.2 0.2 2.已知双周线的标准方程为二1十产 =1, 则该双曲线的焦距是 A.1 B.3 C.2 D.4 3.(2024·全国甲卷（理）)已知双曲线的两个焦 点分别为F1(0,4),F2(0,一4)，点P(-6,4)在 该双曲线上，则该双曲线的离心率为( A.4 B.3 C.2 D.√2 4.惊艳全世界的南非双 曲线大教堂是由伦敦 著名的建筑事务所 steynstudio完成的，建筑师的设计灵感源 于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人 们在你雄伟的翅膀下庇护”.若将如图所示 的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成 双曲线)-=1(m>0)下支的一部分，且 此双曲线的一条渐近线方程为2x一y=0,则 此双曲线的离心率为 () B.5 C.2 D.3 立空快乐假期 5.(2025·八省联考)双曲线x2-义=1的渐 近线方程为 ( A.y=土x B.y=土2x C.y=±3x D.y=±4x 6(多送)若方程二十，片-1所表示的曲线 为C,则下面四个命题中错误的是( A.若C为椭圆，则1<t<3 B.若C为双曲线，则t>3或t<1 C.曲线C可能是圆 D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t2 7.(多选)已知双曲线C过点(3，√2)且渐近线 为y=士停，则下列结论止确的是( A.C的方程为3-=1 B.C的离心率为3 C.曲线y=e-2-1经过C的一个焦点 D.直线x一√2y一1=0与C有两个公共点 8.(2024·北京卷)若直线y=k(x一3)与双曲 线号一y=1只有一个公共点，则k的一个 取值为 9.已知双曲线C的焦点为（一2,0）和(2,0)，离 心率为√2，则C的方程为 10.若双曲线y-士=1(m>0)的渐近线与圆 m x2+y2一4y十3=0相切，则m= 1.已知双曲线C看-善 =1(a>0,b>0)的 离心率为，点P(4B)在C上. (1)求双曲线C的方程； 56 0M= (2)设过点(1,0)的直线1与双曲线C交于 M,N两点，问在x轴上是否存在定点Q, 使得QM·QN为常数，若存在，求出Q点 坐标及此常数的值；若不存在，请说明 理由. 12.已知等轴双曲线C的焦点在x轴上，焦距 为42 (1)求双曲线的标准方程： (2)斜率为k的直线1过点P(1,0),且直 线1与双曲线C的两支分别交于A、B 两点， ①求k的取值范围； ②若D是B关于x轴的对称点，证明直线 AD过定点，并求出该定点坐标.0M-= 8.解析：焦点在x轴上，且c=√3， 由根与系数的关系得，x1十2=-16m 19 又2a=2(2b),即a=2b, 则有a2-b2=3b2=c2=3,解得a2=4,b2=1, 12=4m212 19 则精国的标准方银为+y2-1。 因为|MN|=√/(1+k2)L(x1+x2)2-4x1x2J 答案+2=1 /5 (256-16m。48）=1230,解得m=士1. 361 19 19 9.解析：由题意知，c=√a2一4. 又∠F1PF2=60°，|F1P|+PF2|=2a, 12.解：1题言的对你性务知P(-2.},P(2） |F1F2=2a2-4, 关于y轴对称，一定都在椭圆上. .|F1F22=(F1P|+PF21)2-21F1P|·PF21 所以P1(2,√3)一定不在椭圆上.所以P2(0,√2)也在椭 2F1P|·|PF2|cos60°=4a2-3|F1P|·|PF2 周上：搭P0,P(2.)R入横周方程，求得精圆 =4a2-16, FP1·PF=16, 6×2 方程为 2 =1. 3 (2)设直线L方程为y=k(x+2)(k≠0)，P(x1,y1), ∴Sar,5=EP·PPr,lsin60 Q(x2y2),PQ的中点为N. =×9×g- 联立6十？=1 ,可得(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6 苦索 y=k(x+2) =0. 10.解析：设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2, 12k2 则x1十x2= 在图2左图中，由椭圆定义可得BF1|十BF2|=2a1, 3k2+712=12k2-6 3k2+1’ ①，由双曲线定义可得|AF2|-AF1=2a2,②，①-② 所以x=十2 6k2 AF+ABI+BFI=2a1-2a2, 2 3k2+1' 所以△ABF1的周长为2a1-2a2, 6k2 2k yN=k 在图2右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反 (厂3+2）厂 射后经过椭圆的另一个焦点， 所以点N坐标为( 6k22k 即直线ED过点F2,所以△EDF1的周长为4a1, 3k2+1'3k2+1 又周为描圆与双曲线焦点湘同，高心率之比为了 1P01=1+k2.2V6/2+1_26(k2+1) 3k2+1 3k2+1 所以a1=3a2,又两次所用时间分别为m,n, 2k 1 6k2 而光速相同，所以m-2a1一2a2-6ag-22=1 PQ垂直平分线方程为y一31-（十32十）： n Aa 12a23 令x=0,求得y= 禁时o01=年气 3k2+1’ 答案：号 2√6(k2+1) 11.解：(1)由条件可得PC+|PF|=|PC+|PB|=|BC 所以68 3k2+1 √6(k2+1) =4>FC=2, 4 2 3k2+1 所以动，点P的轨迹E是以F,C为焦点的椭圆， 设是方瓶为营+芳-1>6>0. -(1+因)户 所以2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=√5， 因光，当=府：即=士1时，品的最小位为6 所以动点P的我蓬E的方框为营+号=1。 假期必刷27 (2)设M(x1y1),N(x2y2), 思维整合室 联片+ =1, 1.(1)a<c(2)两条射线(3)a>c 可得19.x2+16m.x+4m2-12=0, 2.x∈R,y≤-a或y≥a坐标轴原点A1(一a,0),A2(a,0) (y=2x+m, 由△=256m2-76(4m2-12)>0,得m∈(-√19，√19)， y±x2+ 116 三0022 高三数类 技能提升台 &解析：双曲线号-=1的断道线方程为y=士方，立 1.D[由双曲线方程 -y2=1,得62=1， 线y=k(x一3)过定，点(3,0)，.只有当直线y=k(x一3) ∴.c2=a2+1. 与渐近线平行时，该直线与双曲线才只有一个公共点， 5=e2=号-21=1+1 “6的取值为士号（任答一个即可得分）. a2 a2 结合。>0，解得a=2] 答案：（或2）】 9.解析：令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a,b,显然双 2.C[由双曲线方程可知a2=k一4，b2=5一k, 曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c=2, 所以c2=k-4+5-k=1,c=1,2c=2.] 3.C[设F1(0,-4)、F2(0,4)、P(-6,4), 由双曲线C的离心率为2，得C=√2，解得a=2, 则F1F2=2c=8,PF11=√62+(4+4)2=10， 则b=√c2-a2=√2， |PF2|=/62+(4-4)2=6, 所以双曲线C的方程为号 22=1. 则2a=PF-PF,=10-6=4时=名=号=2.] 答案号1 4.B[双曲线y-2=10m>0)a=1,6=√m. 10.解析：双曲线的渐近线方程为x士my=0, 因为双曲线的一条渐近线方程为2x一my=0, 圆x2+y2-4y+3=0的方程可化为x2+(y-2)2=1, 则圆心坐标为(0,2)，半径r=1. 即 双曲线的渐近线与圆相切， 所以2=1，解得m=4, 、圆心到渐近线的距离d=0士2m=1, m√/m /1+m2 所以a=1,b=2,c=5,e=C=5.] 得m= 5m= 3 5(含 3 5C[由方程-苦-1，得a=16=3所以新近线y士 答案 24=士8.] 8AD[劳3，则方载可支形为片二-1.它友示怎 11.解：(1)由题意得，c-5 解得a2=4,b2=1. a 2' 点在y轴上的双曲线；若1<则方程可变形为 a2+b2=c2, 兰，1，它袁示焦点在x勒上的双白线：若2<1<3，则 双曲线C的方程为-=1 (2)假设存在定点Q.设定点Q(t,0), 03--1,故方程三，十片1表示点在y轴上 当直线斜率不为0时，设直线l的方程为x=my十1， 的箭周务113，期0-1-，成方程二十片 联立斤一少=1得(m2-42+2my一3=0. (x=my+1, =1表示焦点在x轴上的椭圆：若1=2，则方程号十 3-t ∴.m2-4≠0，且△=4m2+12(m2-4)>0, 解得m2>3且m2≠4. =1即为2十y21,它表示圆，综上，选项AD箱 设Mx1y1),N(x2y2), 题意.] 心y十2=-2m m2-4'y132=- 3 7AC[双确线C的渐莲战为y=士得设双曲纸C m2-4' 1+x2=m(1+32)+2=二2m2+2= -8 m2-4 m2-4' 的方程为 3y2=(A≠0)，又双曲线C过点(3,2)，得 x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1 A1,就A正确此时C的高心率e=2号，故B错联：自 3m2m2十1=-4n214-4-20 m2-4m2-4 m2-4 m2-41 线y=e-2一1经过C的焦点(2,0)，故C正确：联立直线 QM.QN=(x1-t,y)·(x2-t,y2） 和双曲线C的方程，得△=0，故有一个公共点，所以D =(x1-t)(x2-1)+y1y2=x1x2-t(x1+x2)+t 错误.] +y1y2 117 快乐假期 0M-= 20 =一4 m24十1. 8 3 +t2 技能提升台 7m2-4m2-4 1.D[依题意，动点P到直线x一2=0的距离比它到点 =-4+2+81-23 m2-4 M(一4,0)的距离小2，所以动，点P到直线x一4=0的距 由Q·Q为常数，得81-23=0，即1=29 离和它到点M(一4,0)的距离相等，所以，点P的轨迹是抛 81 物线.门 此时QM.QN=273 64 2.A[抛物线y= 2的标准方程为2=一4，开口向 当直线1斜率为0时，QM.QN=273 64 下，p=2,号=1，故焦点坐标为(0，-1).] 2 :在x轴上存在定点Q(得0）使得Q立Q为数。 3.A[以桥顶为坐标原点，桥形的对 12.解：()设双曲线方程为 称轴为y轴建立直角坐标系xOy, b2 =1(a>0,b>0)由题意 结合题意可知，该抛物线x= (a=b a=2 可得 2c=42 0=2 2p(p>0)经过点（受，-A小则 4 a2+b2=c2 c=2W2 =2hp,解得p= 新就静形对应的抛物我的然点到准线 所以双曲线的标准方程为 441. (2)设直线1：y=k(x-1),A(x1,y),B(x2,y2), 的距离为P册] D(x2,-y2), 4.C[依题意，设点A(x1y1),B(x2y2),C(x3y3), /y=k(x-1), 联立2上1，消去y整理可得 又焦点F(侵0所以十+=3x号-受 (44=1 则所1+1丽1+武=(+)十 (1-k2)x2+2k2x-k2-4=0, 则△=4k4+4(1-k2)(k2+4)=4(4-3k2), (+号)+(+) 又n=是a十= k2+4 2k2 1-k2 =+++=+=3] ①因直线1与双曲线交于两支，所以△>0且x1x2<0, 5.D[因为抛物线C:y2=8.x的焦点F(2,0),准线方程为 4(4-3k2)>0 即 k2+2∠0 →-1<k<1; x=-2,点M在C上， 1-k4 所以M到准线x=一2的距离为|MF|, ②设ADy-士（红-）+， 又M到直线x=-3的距离为5， x1一x2 所以|MF1+1=5,故|MF=4.] 令y=0,则x=四-2X（一十=十12 6.BCD[因为以|FA|为半径的圆 1 y1+y2 y1+y2 =212-（1+x2) 交1于B,D两点，所以|FA|= x1+x2-2 IFB;又|BF|=|FD|=FAI,所 2(-k2-4)+2k2-8 以∠ABD=90°，FA=AB引，可得 -2k2-201-63）--24, △ABF为等边三角形，B正确；过F 所以直线AD过定点(4,0). 作FCLAB交于C,则C为AB的中点，C的横坐标为台 B的横坐标为一公，所以A的横坐标为碧，代入抛物线可 得=3p2,ya=3p,△ABF的面积为9V3,即2(xA 1m=·(学+)5p=9,解得力=3，所 以地物线的方程为)2=6，D正确：焦点坐标为（受，0 假期必刷28 所以焦点到准线的距高为受X2=3,C正确：此时点A的 思维整合室 横坐标为号，所以BF=AF1=AB-号+-6，A 1.(1)相等准线 不正确.] 118