假期必刷25 直线、圆的位置关系-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三0022 高二教学的 假期必刷25直线、圆的位置关系 精诚所至，金石为开。 完成日期： 月 思维整合室 2.(2025·江淮十校联考)已知直线l:xcos a 1.直线与圆的位置关系 +ysin a=1(a∈R)与圆C:x2+y2=r2(r> 设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax 0)相交，则r的取值范围是 +By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离为 A.0<r≤1 B.0<r<1 (x-a)2+(y-b)2=r2 C.r≥1 D.r>1 d,由 ,消去y(或x),得 Ax+By+C=0 3.过点(3,1)作圆(x一1)2+y2=r2的切线有 到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式 且只有一条，则该切线的方程为() 为△， A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0 位置关系 相离 相切 相交 C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0 4.已知点P是圆C:(x+2)2+(y十10)2=4上 图形 的一点，过点P作圆C2:(x一3)2+(y一2) 方程观点 40 0 0 =1的切线，则切线长的最小值为 ( 量化 几何观点 d r A.2√/30-1 B.2√30 2.圆与圆的位置关系 C.2√30+1 D.230+2 已知两圆C1:(x-x)2+(y-y1)2=r, 5.已知点P(6,0),点A(1,1),动点C满足OC C2:(x-x2)2+(y-y2)2=r2, ·PC=0(O为坐标原点)，过A点的直线被 则圆心距d=|CC2|= 动点C的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦 则两圆C1,C2有以下位置关系： 所在的直线方程为 ( 位置 外离 内含 相交 内切 外切 A.y=2x-1 B.y=-2.x+1 关系 圆心距 C克-1 Dy=-2+1 与半径 的关系 6.圆x2+2x十y2+4y-3=0上到直线x十y 图示 十1=0的距离为√2的点共有 公切线 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 条数 7.(2024·全国甲卷（理）)已知b是a,c的等 《技能提升台 差中项，直线ax十by十c=0与圆x2+y2十 1.坐标轴与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的 4y一1=0交于A,B两点，则|AB|的最小 交点个数为 () 值为 A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.4 D.25 51 飞婴味乐跃翻 90= 8.（多选)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25, 14.在①圆经过C(3,4),②圆心在直线x+y 直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0. 2=0上，③圆截y轴所得弦长为8；这三 则以下几个命题正确的有 个条件中任选一个，补充在下面的问题中， A.直线l恒过定点(3,1) 进行求解. B.直线l与圆C相切 已知圆E经过点A(一1,2)，B(6,3), C.直线1与圆C恒相交 且 ； D.直线l与圆C相离 (1)求圆E的方程； 9.（多选)已知圆A:x2十y2一2x一3=0，则下 (2)已知直线l经过点（一2,2），直线1与圆 列说法正确的是 E相交所得的弦长为8，求直线1的方程. A.圆A的半径为2 B.圆A截y轴所得的弦长为2√3 C.圆A上的点到直线3x一4y十12=0的最 小距离为1 D.圆A与圆B:x+y2-8x一8y十23=0相离 10.(多选)(2025·福州质检)已知O为坐标 原点，圆2：(x-cos0)2+(y-sin0)2=1, 则下列结论正确的是 ( 15.设O为坐标原点，曲线x2十y+2x-6y十1 A.圆2恒过原点O =0上有两点P,Q,满足关于直线x十my B.圆2与圆x2+y2=4内切 +4=0对称，且OP·OQ=0. C.直线x一y-32被圆口所被得弦长的 (1)求m的值； (2)求直线PQ的方程. 最大值为③ D.直线xcos a+ysin a=0与圆2相离 11.已知直线1与圆x2+y2一2x=0相交于 A,B两点，线段AB中点为(3，-)则 ABI= 12.若圆C1:x2+y2=1和C2:x2+y2-23ax -2ay-5a=0>2)有且仅有一条公切 线，则a= ;此公切线的方程 为 13.(2025·宜昌高二模拟)已知圆C的圆心为 直线x+y=0与x一y十2=0的交点，半 径为/2-m,且圆C截直线x十y+2=0所 得弦的长度为4，则实数m= 52三0022. 二数学， 12.解析：设点M(一3,4)关于直线1：x一y十3=0的对称点 假期必刷25 为M(a,b),则反射光线所在直线过点M,所以 b-4 思维整合室 a-(-3)·1=-1, 解得a=1,b=0. 1.<=> > 8*生+3= .2 2./(m1-x2)2+(y-2)2d>m1+r2dK|n-r2 又反射光线经过点N(2,6), Ir-r2l<d<n+ra d=ln-r2l d=n+re 所以所求直线的方程为二0=一1 技能提升台 6-02-1' 1.C[圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,即圆C:(x-2)2+ 即6.x-y-6=0. 答案：6.x-y-6=0 (y-1)2=4,所以圆C(2,1),半径r=2,因为圆心C(2,1) 13.解析：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+ 到x轴的距离为1，且1<2，所以圆与x轴相交，即与x E2一4F>0), 轴有两个交点，因为圆心C(2,1)到y轴的距离为2，且等 1+9-D-3E+F=0 D=-4 于半径，所以圆与y轴相切于点(0,1)，即与y轴有一个 由条件，得 4+36+2D+6E+F=0 ,解得E=一2， 交点，综上坐标轴与圆C:x2+y2-4x一2y十1=0有3个 +2x(号)-=0 F=-20 交点.] 因此圆的一般方程为x2+y2-4x-2y-20=0, 2.D[圆心到直线的距离为d= 1 =1, 故圆心C(2,1),因此圆心到直线l的距离d= 3 =1 Vcos2a+sinza √m2+12 故r>1.] 解得m=士2√2. 3.B过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一 答案：x2+y2-4x-2y-20=0±2√2 条，.点(3,1)在圆(x-1)2十y2=r2上， 14.解：(1)由题意知，直线AB的斜率k=1,中点坐标为(1,2). 则直线CD的方程为y一2=-(x-1),即x十y-3=0. 连接国心与切点，连钱的纤率为女一}9名： (2)设圆心P(a,b),则由，点P在CD上得a十b-3=0.① 切线的斜率为一2，则圆的切线方程为y一1 又因为直径CD|=4√10，所以PA|=2√10， =-2(x-3), 所以(a+1)2+b2=40.② 03导仔x份5 即2x十y-7=0.] {b=-2. 4.B[如图，切线长d=PC22-1,所 所以圆心P(-3,6)或P(5,-2). 以当PC2|取得最小值时，切线长取得 所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2 最小值.当P,C1,C2共线且点P在 +(y+2)2=40. 15.解：(1)圆C的方程可化为x2十(y-4)2=16, C1C2之间时，|PC2|最小，由于|C2C 所以圆心为C(0,4),半径为4. =√/(-2-3)2+(-10-2)2=13，所 设M(xy),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y). 以PC2min=|C1C2|-2=|C1C2|-|PC1|=11, 由题设知CM·MP=0, 所以dmin=√/112-1=2√30.] 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 5.A[设C(x,y),由O心.PC=0得动点C的轨迹方程为 由于点P在圆C的内部， x2+y2-6x=0,即(x-3)2+y2=9,则动点C的轨迹曲 所以M的轨迹方程是(x一1)2+(y-3)2=2 线为圆，圆心为D(3,0).又点A(1,1)在圆内，所以AD= (2)由(1)可知M的轨迹是以，点N(1,3)为圆心，√2为半 }二}一？，所以最短孩所在直线的饼率为2，所以所求 1-0 径的圆.由于|OP|=|OM, 故O在线段PM的垂直平分线上， 直线方程为y-1=2(x一1)，即y=2x-1.] 点P(2,2)适合圆N的方程， 6.C[圆的方程可化为(x十1)2+(y十2)2=8，圆心(-1，-2) 易知P在圆N上，从而ON⊥PM. 因为ON的斜率为3，所以1的针率为一日 到直线的距离d=一1-2+1山=2，半径是22，结合图 √2 故1的方程为x十3y一8=0. 形（图略）可知有3个符合条件的点.] 又0M=OP=22,0到1的距离为40， 7.C[因为a,b,c成等差数列，所以a-2b+c=0,直线 ax+by+c=0恒过P(1,一2)，当PC⊥AB时，AB|取得 所以PM=4VO 5 最小值，此时PC1=1,AB=2√5-PC2=4.] Samw=}×4iD×4g0- 8.AC[将直线l的方程整理为x十y-4十m(2x十y一7)=0， 5 5 51 故△POM的面积为 16 由口+y-4=0, 2x+y-7=0 解得3， 5 (y=1. 113 蜜快条假湖 00M= 则无论m为何值，直线1过定点(3,1)，定点(3,1)在圆 (x-1)2+(y一2)2=25内，故直线1与圆C恒相交， 所以切点的坐标为 海》 故AC正确.] 9.ABC[把圆A的方程x2十y2-2x-3=0化成标准方程 所家公切线的方程为y号=-(+ 为(x一1)2+y2=4,所以圆A的圆心坐标为(1,0)，半径 即J3x+y+2=0. 为2，A正确；圆A裁y轴所得的弦长为2×√4-1=2 答案：1W3x+y+2=0 √3，B正确：圆心(1,0)到直线3x-4y+12=0的距离为 3,故圆A上的点到直线3x-4y+12=0的最小距离为 13.解析：联立+y=0, 解得=1， (x-y+2=0,特{y=1, 3-2=1,C正确；圆B:x2+y2-8x-8y十23=0的圆心 ∴.圆C的圆心坐标为（一1,1）. 为B(4,4),半径为3，则点A与点B之间的距离为 √(4-1)2+42-5，圆A与圆B相切，D错误.] 圆心C到直线x十y十2=0的距离d=-1+1+2 √2 10.ABC[对于A,将O(0,0)代入圆2的方程， =2, 得cos20十sin0=1恒成立，所以圆2恒过原点O,A 且圆C的半径r=√2-m,圆C截直线x十y十2=0所 正确： 得弦的长度为4. 对于B,圆2的圆心为A(cos0,sin0), 半径为1，圆x2十y2=4的圆心为B(0,0),半径为2，所 由4=2√（√2-m)2-(W2)2,解得m=-4. 以AB=1=2-1, 答案：一4 所以圆2与圆x2+y2=4内切，B正确； 14.解：(1)选条件①：设圆的方程为x2十y2十Dx十Ey十F=0 对于C,点A(c0s0.sin8)到直线x十y=3y2的距高为 5-D+2E+F=0 (D2+E2-4F>0),依题意有45+6D+3E+F=0, cos 0+sin 032 25+3D+4E+F=0 2 2 sm0叶）多 D=-6 解得E=2, 号-0+）所以直线z十y3孩周n所发符 (F=-15 2 .圆E的方程为x2十y2-6x十2y-15=0, 孩长为21-[层-m(+)月≤21-(-】 即圆E的标准方程为(x-3)2+(y十1)2=25. 选条件②：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey十F=0(D =√5，C正确； 对于D,点A(cos0,sin0)到直线xcos a-+ysin a=0的距 十区-4F>0),周国心坐标为（号.号）： I cos Ocos a+sin Osin a [5-D+2E+F=0 离为 =cos(0-a)|≤1，所以 D=-6 √cos2a+sin2a 45+6D+3E+F=0,解得E=2· 直线xcos a十ysin a-=0与圆2相交或相切，D错误.] 号-2=0 (F=-15 11.解析：圆的圆心为(1,0)，半径为1，则圆心与线段中，点的 ∴.E圆的方程为x2+y2-6xr十2y-15=0, 更房d=盟所以AB=2V不=2号=2 即圆E的标准方程为(x一3)2十(y十1)2=25. 答案：√2 选择条件③：设圆的方程为x2+y2十Dx十Ey十F= 12.解析：如图， Y 0D+-F>0,则国坐标（号号）辛径为 由题意得C1与C2相内切，又C2: 5-D+2E+F=0 (x-3a)2+(y-a)2=4a2+ a(e>） 号D+-F可得 45+6D+3E+F=0 D2 +16=D2+E-4F 所以CC2|=√3a2+a2=√4a2+5a D=一6 -1 解得E=2 所以2a+1=√4a2+5a,解得a=1, （F=-15 1_3 所以C2(W3,1),kcc,=33 .圆E的方程为x2十y2-6x+2y-15=0, 即圆E的标准方程为(x-3)2+(y十1)2=25. (2)设圆心到直线的距离为d, 1x2+y2=1 联立 解得 2 则弦长L=2√r2-d2=8, (x-√3)2+(y-1)2=9 2 即/25-d2=4,得d=3. 114 三0022. 当直线1的斜率不存在时，d=5≠3，直线1的斜率存 4.A[设P点坐标为(x',y),中点M坐标为(x,y),则 在，设其方程为y一2=k(x十2)，即kx-y十2k十2=0， x'=x,y=2y,代入圆的方程为x2+4y2=16,化为标准 由d=13k+1+2k+2=3. √k2+1 方程为需+苦-10>0] 解得k=0或k=-15 8 5.B[设∠F1PF3=20,0<0<, .所求直线1的方程为y=2或15x+8y十14=0. 所以S△F,E=1an∠FPE=1an. 15.解：(1)x2+y2+2x-6y+1=0的标准方程为(x+1)2 2 十(y一3)2=9，所以曲线是以（一1,3）为圆心，3为半径 由cos∠FPf2=cos20=os20-sim20_1-tan203 cos20+sin20 1+tan20 5 的圆 由已知得直线过圆心，所以一1十3m十4=0，解得m= 解得1m0=含 -1. 由椭圆方程可知，a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3, (2)设直线PQ的方程为y=-x十b, 联立2+y+2x-6y+1=0. 所以Sam无=×161X ly=-x+b, 2×23x15p=6×,解得6=3， 得2x2+2(4-b).x十b2-6b+1=0(*). 设P(x1y),Q(x2y2), 即=9×(-)号， 则有x1十x2=6-4,x122-6+1 2 因光10P=+场+=] 又OP·OQ=0,所以x1x2十y1y2=0,即2x12-b(x1十 6.BCD[依题意，当A为上顶点，F为右焦点时，B为左顶 2)+62=0,将1十2=b-4,12=2-6+1代入上 点，则|AF1=a=3,a十c=5,c=2, 2 又a2=b2+c2,b2=5, 式得b2一2b+1=0,所以b=1,此时(*)中△>0，所以直线 PQ的方程为y=一x十1. 光时精国方银为写+号-1，B正确： 假期必刷26 当A为右顶点，F为右焦点，B为左顶点时|BF=a十c=5, 思维整合室 |AF|=a-c=3, 1.椭圆(1)a>c(2)a=c(3)a<c .a=4,c=1,b=√15， 2.2a2b2c(0,1)a2-b2 技能提升台 北时特国方红为后+若=1，故C正病： 当B为上顶点，F为右焦点，A为右顶点时， 1.D[把圆方程16r2+42=1化为标准方程可得 BFI=a=5,AFI=a-c=3, 16 ∴c=2,b=√a2-c2=√21， 兰-1，所以a-6-}0-9则长长2a=1,然距 4 此时箱周标准方程为元+芳-1，D正.] 7.ABC[对于A,根据椭圆的 2=受短轴长26=日 对称性可知，OF1|=OF2|, OA=OB,故四边形 2.A[由题意易得，e1=a-1,e 1 a 2’ AF1BF2为平行四边形，故A 解得a=2y5] 正确；对于B,根据椭圆的性 3 质，当P在上下顶，点时，OP 3.D[依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的 =b=√2=C.此时∠F1PF2=90°.由题意可知P不可能在 直径及椭圆的长轴围成底角为30°的等腰三角形，腰长为 上下顶，点，故∠F1PF290°，故B正确；对于C,如图，不 伞面圆的直径4√3，椭圆长轴长2a为底边长，则2a=2× 4√3·cos30°=12，即a=6,而椭圆的短轴长2b=43,即 妨设B在第一象限，则直线BE的斜率为BD=BD TEDT 2OD 6=2,所以箱周的高心牵：=，- a =26:故C正痛：对于D.S表，=25△四 =|FF2|·|BD=2w2IBD. 又0<BD<2,故Sg边形A,脚，∈(0,4).故D错误.] 115