假期必刷24 直线方程与圆的方程-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

飞学快乐假羽 -.-90= AO=√5=OC,.A(2,0,0),P(0,1,1),B(0,2,0), C(7,0)不满足上式，矛盾，所以乙正确.假设丙错误，甲、 C(-2,2,0), 乙、丁正确.由乙、丁得|AC=42+32=5>25,与半径 PA=(2,-1,-1),PB=(0,1,-1),PC=(-2,1,-1), 为5矛盾，所以丙正确.假设丁错误，甲、乙、丙正确，则由 设平面PAB和平面PBC的法向量分别为n1=(x1,y1, 甲、丙可知圆的方程为(x一2)2+(y-1)2=5,A(3,3)满 -1),n2=(x2y2,-1), 足上式，符合题意.综上所述，结论错误的同学是丁.] 则n1,n2夹角的补角0就是二面角A-PB-C的平面角， 6.D[由题意，直线y=-3x+b与直线y=a.x十2关于直 由m·P=21-+1=0, 线y=一x对称，所以直线y=Q.x十2上的，点(0,2)关于直 n1·PB=y1+1=0, 线y=一x的对称点（一2,0）在直线y=-3x十b上，所以 布·P店=%+1=0. (-3)×(-2)+b=0,所以b=-6,所以直线y=-3x-6 上的点(0，一6)关于直线y=一x的对称点(6,0)在直线y n2·P元=-2x2+y2+1=0, 解得=-1和=0， =a十2上，所以6a十2=0，所以a=一号] 1y1=-1,1y2=-1 7.D[整理直线方程得：(x十y-2)十(3x十2y-5)a=0, ∴.n1=(-1,-1,-1),n2=(0,-1,-1), 由工十”—一20，角解得，”P《1·1)·由圆的方程知 13.x+2y-5=0, :.cos 0-- 1·n2=2=-6 n1 n2 √63 圆心C(-2,-1),半径r=1,∴.|MP|mx=1CP|+r 二函商APBC的会孩位为一5 =√(-2-1)2+(-1-1)2+1=√/13+1.] &AC[当支线经选原点时：针率-号8-2 假期必刷24 所求直线方程为y=2x,即2x-y=0. 思维整合室 当直线不经过原点时，设所求直线方程为x士y=k, 1.y=kx+b y-yo=k(x-xo) y-y1=x二 把，点A(1,2)代入可得1-2=k或1十2=k,求得k=一1 y2y1x2一x1 或k=3, 故所求的直线方程为x一y十1=0或x+y一3=0.] 9.ABD[设△ABC的外接圆M的方程为x2+y2+Dx+ 2.(1)k1=k2平行(2)k1·k2=-1垂直 Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 3.定长D2+E2-4F>0 (号) ,1+4-D+2E+F=0, D=-2, 技能提升台 则4+1+2D+E+F=0,解得)E=-6,所以△ABC (9+16+3D+4E+F=0, F=5. 1.B[所求直线的斜率为一2，由所求直线过点(01)， 的外接圆M的方程为x2+y2-2x一6y+5=0, 则直线方程为y=-分x十1，即x十2y-2=0.] 即(x-1)2+(y-3)2=5. 故圆M的圆心坐标为(1,3)，圆M的半径为√5， 2.A[由题意可知，圆心M的横坐标为十4=2，纵坐标为 因为直线x十y=0不经过圆M的圆心(1,3)， 2 所以圆M不关于直线x十y=0对称. 2+4=3,即点M(2,3),图M的半径为MP|= 2 因为(2-1)2+(3-3)2=1<5， √(2-0)2+(3-2)2=5，因此，圆M的标准方程为(x一2)2 故点(2,3)在圆M内.] +(y-3)2=5.] 10.AB[圆C的标准方程为(x十1)2+(y-2)2=5-a, 3.D[直线l:y=k(x-2)十1经过定点P(2,1), 故a<5. 又因为弦AB的中点为M(0,1), 3-1 -1-11 六kpPm-=2-2,kpB--2-22 故M点在圆内， 又直线I:y=k(x一2)十1与线段AB相交， 所以(0+1)2+(1-2)2<5-a,即a<3. -2≤] 综上可知a<3.] 11.解析：直线l1:x十ay=1,l2:a.x+y=1, 4.C[设圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=R2, 当l1∥l2时，a2-1=0,解得a=士1. 经过坐标原，点(0,0)，则R2=2. 当a=1时，l1与l2重合，不满足题意； 所以(x十1)2+(y-1)2=2,即x2+y2+2x-2y=0.] 当a=-1时，l1∥l2, 5.D[设A(3,3),B(2,1),C(7,0).假设甲错误，乙、丙、丁 则l1:x-y-1=0,l2:x-y十1=0， 正确，AB引=W1+22=√5,1BC=√52+1=√26，|AB1≠ 则41与2的距离为d=一1-1川=2. |BC,矛盾，所以甲正确.假设乙错误，甲、丙、丁正确， √12+(-1)2 由甲、丙正确可知圆的方程为(x一2)2+(y-1)2=5, 答案：√2 112 三0022. 二数学， 12.解析：设点M(一3,4)关于直线1：x一y十3=0的对称点 假期必刷25 为M(a,b),则反射光线所在直线过点M,所以 b-4 思维整合室 a-(-3)·1=-1, 解得a=1,b=0. 1.<=> > 8*生+3= .2 2./(m1-x2)2+(y-2)2d>m1+r2dK|n-r2 又反射光线经过点N(2,6), Ir-r2l<d<n+ra d=ln-r2l d=n+re 所以所求直线的方程为二0=一1 技能提升台 6-02-1' 1.C[圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,即圆C:(x-2)2+ 即6.x-y-6=0. 答案：6.x-y-6=0 (y-1)2=4,所以圆C(2,1),半径r=2,因为圆心C(2,1) 13.解析：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+ 到x轴的距离为1，且1<2，所以圆与x轴相交，即与x E2一4F>0), 轴有两个交点，因为圆心C(2,1)到y轴的距离为2，且等 1+9-D-3E+F=0 D=-4 于半径，所以圆与y轴相切于点(0,1)，即与y轴有一个 由条件，得 4+36+2D+6E+F=0 ,解得E=一2， 交点，综上坐标轴与圆C:x2+y2-4x一2y十1=0有3个 +2x(号)-=0 F=-20 交点.] 因此圆的一般方程为x2+y2-4x-2y-20=0, 2.D[圆心到直线的距离为d= 1 =1, 故圆心C(2,1),因此圆心到直线l的距离d= 3 =1 Vcos2a+sinza √m2+12 故r>1.] 解得m=士2√2. 3.B过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一 答案：x2+y2-4x-2y-20=0±2√2 条，.点(3,1)在圆(x-1)2十y2=r2上， 14.解：(1)由题意知，直线AB的斜率k=1,中点坐标为(1,2). 则直线CD的方程为y一2=-(x-1),即x十y-3=0. 连接国心与切点，连钱的纤率为女一}9名： (2)设圆心P(a,b),则由，点P在CD上得a十b-3=0.① 切线的斜率为一2，则圆的切线方程为y一1 又因为直径CD|=4√10，所以PA|=2√10， =-2(x-3), 所以(a+1)2+b2=40.② 03导仔x份5 即2x十y-7=0.] {b=-2. 4.B[如图，切线长d=PC22-1,所 所以圆心P(-3,6)或P(5,-2). 以当PC2|取得最小值时，切线长取得 所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2 最小值.当P,C1,C2共线且点P在 +(y+2)2=40. 15.解：(1)圆C的方程可化为x2十(y-4)2=16, C1C2之间时，|PC2|最小，由于|C2C 所以圆心为C(0,4),半径为4. =√/(-2-3)2+(-10-2)2=13，所 设M(xy),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y). 以PC2min=|C1C2|-2=|C1C2|-|PC1|=11, 由题设知CM·MP=0, 所以dmin=√/112-1=2√30.] 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 5.A[设C(x,y),由O心.PC=0得动点C的轨迹方程为 由于点P在圆C的内部， x2+y2-6x=0,即(x-3)2+y2=9,则动点C的轨迹曲 所以M的轨迹方程是(x一1)2+(y-3)2=2 线为圆，圆心为D(3,0).又点A(1,1)在圆内，所以AD= (2)由(1)可知M的轨迹是以，点N(1,3)为圆心，√2为半 }二}一？，所以最短孩所在直线的饼率为2，所以所求 1-0 径的圆.由于|OP|=|OM, 故O在线段PM的垂直平分线上， 直线方程为y-1=2(x一1)，即y=2x-1.] 点P(2,2)适合圆N的方程， 6.C[圆的方程可化为(x十1)2+(y十2)2=8，圆心(-1，-2) 易知P在圆N上，从而ON⊥PM. 因为ON的斜率为3，所以1的针率为一日 到直线的距离d=一1-2+1山=2，半径是22，结合图 √2 故1的方程为x十3y一8=0. 形（图略）可知有3个符合条件的点.] 又0M=OP=22,0到1的距离为40， 7.C[因为a,b,c成等差数列，所以a-2b+c=0,直线 ax+by+c=0恒过P(1,一2)，当PC⊥AB时，AB|取得 所以PM=4VO 5 最小值，此时PC1=1,AB=2√5-PC2=4.] Samw=}×4iD×4g0- 8.AC[将直线l的方程整理为x十y-4十m(2x十y一7)=0， 5 5 51 故△POM的面积为 16 由口+y-4=0, 2x+y-7=0 解得3， 5 (y=1. 113三-0022 高二教学的 假期必刷24 直线方程与圆的方程 绳锯木断，水滴石穿。 完成日期： 月 思维整合室 《技能提升台 1.直线方程的五种形式 1.过点(0,1)且与直线2x-y+1=0垂直的直 名称 几何条件 方程 适用条件 线方程是 ( 斜截式纵截距、斜率 A.x+2y-1=0 B.x+2y-2=0 与x轴不垂直 C.2x-y-1=0 D.2x-y-2=0 的直线 点斜式过一点、斜率 2.在平面直角坐标系xOy中，已知P,(0,2)、 与两坐标轴均 P2(4,4)两点，若圆M以P1P2为直径，则圆 两点式 过两点 不垂直的直线 M的标准方程为 不过原点且与 A.(x-2)2+(y-3)2=5 截距式 纵、横截距 两坐标轴均不 垂直的直线 B.(x-2)2+(y-3)2=5 Ax十By+C=0 般式 所有直线 C.(x-1)2+(y-4)2=5 (A2+B2≠0) D.(x-1)2+(y-4)2=√5 2.两条直线平行与垂直的判定 3.已知点A(1,3),B(-2,一1).若直线1：y= (1)两条直线平行 k(x一2)十1与线段AB相交，则k的取值 对于两条不重合的直线1，l2,其斜率分别 范围是 ( 为k1,k2,则有11∥12台 特别地， 当直线1，l2的斜率都不存在时，l1与2 A≥号 B.k≤-2 (2)两条直线垂直 C.≥2或≤-2 D.一2≤k≤号 如果两条直线11，l2斜率都存在，设为k, 4.经过坐标原点，且圆心坐标为（一1,1）的圆 k2,则11⊥12台 ,当一条直线 的一般方程是 ) 斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条 A.x2+y2-2x-2y=0 直线 B.x2+y2-2x+2y=0 3.圆的定义和圆的方程 C.x2+y2+2x-2y=0 圆是平面上到定点的距离等于 的点 定义 的集合 D.x2+y2+2x+2y=0 (x-a)2+(y-b)2 圆心C(a,b) 5.在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出 标准 =r2(r>0) 半径为r 了一个结论，甲：该圆的半径为√5；乙：该圆 充要条件 方 经过点(3,3)；丙：该圆的圆心为(2,1)； x2+v2+Dx+ 程 圆心坐标： 般 Ey+F=0 丁：该圆经过点(7,0).如果只有一位同学的 (D2+E2-4F>0) 结论是错误的，那么这位同学是 () 半径r=2 √D2+E-4F A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 49 人壁快乐假期 -.00M2 6.光线沿着直线y=-3.x+b射到直线x十y 14.已知以点P为圆心的圆经过点A(一1,0) =0上，经反射后沿着直线y=ax十2射出， 和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P 则有 ( 于点C和D,且|CD=4√10. A.a=}6=6 B.a=-3,b=1 (1)求直线CD的方程； 6 (2)求圆P的方程. C.a=3,b=- 6 D.a=- 36=-6 7.点M为圆C:(x+2)+(y+1)2=1上任意 一点，直线(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5入过 定点P,则MP的最大值为 A.2√3 B.√/13 C.23+1 D.√13+1 8.(多选)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴 上截距的绝对值相等，则直线1的方程为 ( A.x-y+1=0 B.x十y-3=0 15.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过 C.2x-y=0 D.x-y-1=0 点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线 9.(多选)(2025·潍坊调研)已知△ABC的三 段AB的中点为M,O为坐标原点. 个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(3,4),则下 (1)求M的轨迹方程； 列关于△ABC的外接圆M的说法正确 (2)当OP|=OM|时，求1的方程及 的是 △POM的面积. A.圆M的圆心坐标为(1,3) B.圆M的半径为，√⑤ C.圆M关于直线x+y=0对称 D.点(2,3)在圆M内 10.(多选)已知直线l与圆C:x+y2+2x 4y十a=0相交于A,B两点，弦AB的中点为 M(0,1),则实数a的取值可以为 ( A.1B.2 C.3 D.4 11.已知直线l1:x十ay=1,l2:ax+y=1,若 1∥L2,则L1与2的距离为 12.已知入射光线经过点M(一3,4)，被直线l:x 一y十3=0反射，反射光线经过点V(2,6),则 反射光线所在直线的方程为 13.已知圆C经过两点P(-1,-3),Q(2,6), 且圆心在直线x+十2y一4=0上，则圆C的 一般方程为 ;若直线1的方程x十 m(y-1)+1=0(m∈R),圆心C到直线l 的距离是1，则m的值是 50