假期必刷22 空间中的平行与垂直-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三022 假期必刷22空间中的平行与垂直 思维整合室 文字语言 1.空间中的平行与垂直 性质定理④ 两个平面平行， 判定定理① 判定定理③ 线线平行性质定理② 线面平行 面面平行 性质 如果另一个平 性质定理⑥ 定 面与这两个平 判定定理⑤ 判定定理⑦ (④ 面 ,那么两 线线垂直 线面垂直 面面垂直 性质 性质定理⑧ 条 平行 文字语言 图形表示 符号表示 如果一条直线 与一个平面内 判 如果平面外一 定的 定 条直线与此平 垂直，那么该 定面内的 a a史a,bCa,a∥b ⑤ 直线与此平面 理 平行，那么该 b →a∥a 垂直 直线与此平面 平行 垂直于同一个 质 平面的两条直 理 线 一条直线和一 个平面平行，如 如果一个平面 质 果过该直线的 判 B a∥a,aCB,a∩3 定 过另一个平面 理平面与此平面 =b→a∥b 理 的 ,那么这 相交，那么该直 两个平面垂直 线与平行 两个平面垂直， 如果一个平面 如果一个平面 内的两条 内有一直线垂 判 aCB,bCB,a∩b 质 与另一个 直于这两个平 定 史 =P,a∥a,b∥a 平面平行，那么 a ⑧面的 ,那么 ③ →a∥B 这两个平面 这条直线与另 平行 ·个平面垂直 43 富二数为) 黑即刻扫码 AI伴学助手 了考点复习攻略 图形表示 符号表示 a∥B,any=a, 3ny=b→a∥b l⊥a 1⊥b /a0 la b a∩b=O →l⊥a aCa →a∥b bLa】 →a⊥3 a⊥3 a∩B=a →lLa lLa 飞曼快乐假期 2.异面直线所成的角 (1)定义：已知a,b是两条异面直线，经过空间 任意一点O作直线a'∥a,b∥b,把a'与b 所成的角叫做异面直线a与b所成的角 (或夹角). (2)范围： 3.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角叫做这条直线和这个 平面所成的角，一条直线垂直于平面，则 它们所成的角是 ;一条直线和平 面平行或在平面内，则它们所成的角 是0° (2)范围： 4.二面角 (1)定义：从一条直线出发的 所 组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角 若有①O∈l;②OACa,OBC3;③OA⊥l, OB⊥1，则二面角α一l一B的平面角是 (3)二面角的平面角a的范围：0°≤a≤≤180° 《技能提升台 1.在正方体ABCD一AB1C,D1中，E为棱 CC,的中点，则异面直线AE与CD所成角 的正切值为 A号 c 00M= 2.(2024·天津卷)若m,n为两条直线，a为一 个平面，则下列结论中正确的是() A.若m∥a,n∥a,则m⊥n B.若m∥a,n∥a,则m∥n C.若m∥a,n⊥a,则m⊥n D.若m∥a,n⊥a,则m与n相交 3.(2024·全国甲卷（理）)设a,3为两个平面， m,n为两条直线，且α∩3=m.下述四个 命题： ①若m∥n,则n∥a或n∥B;②若m⊥n,则 n⊥a或n⊥3；③若n∥a且n∥3，则m∥n; ④若n与a,3所成的角相等，则m⊥n.其中 所有真命题的编号是 () A.①③B.②④C.①②③D.①③④ 4.在正方体ABCD-A,B,CD1中，E,F分别 为AB,B,C的中点，则EF与平面ABCD 所成角的正切值为 A.2 B.√2 c n号 5.如图所示，在正方体ABCD-A1BCD 中，点P为边AC,上的动点，则下列直线 中，始终与直线BP异面的是 ( C A.DD,B.AC C.AD D.B C 三0022 6.我国古代数学名著《九章A, C 算术》中，将底面是直角 B 三角形的直三棱柱称为 “堑堵”.在如图所示的 “堑堵”中，AC=CB=CC,则二面角C, AB-C的正切值为 ( A.1 B.2 c号 D.√2 7.（2023·高考北京卷) 坡屋顶是我国传统建 筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装 灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美」 如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两 个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等 腰三角形.若AB=25m,BC=AD=10m, 且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的 平面与平面ABCD的夹角的正切值均为 ,则该五面体的所有校长之和为（) A.102mB.112mC.117mD.125m 8.（多选)如图，在正方体AB D CD-ABCD1中，M,N, P分别是C1D1,BC,AD1 的中点，下列结论正确的是 ( A.AP与CM是异面直线 B.AP,CM,DD,相交于一点 C.MN∥BD, D.MN∥平面BB,D1D 9.(多选)如图，在长方体ABCD一 ABC1D中，AA1=AB=4, BC=2,M,N分别为棱CD,,CC 的中点，则 ( 富二数半恐 A.A,M,N,B四点共面 B.平面ADM⊥平面CDDC C.直线BN与B,M所成的角为60 D.BN∥平面ADM 10.（多选)已知正方体ABCD一ABC,D1,则 A.直线BC,与DA,所成的角为90° B.直线BC,与CA,所成的角为90° C.直线BC1与平面BB1D,D所成的角 为45° D.直线BC,与平面ABCD所成的角 为45 11.如图是长方体被一平面所截得的几何体， 四边形EFGH为截面，则四边形EFGH 的形状为 12.在正方体ABCD一A,B,C,D1中，E,F分 别为AB,CD1的中点，以EF为直径的球 面与该正方体的棱共有 个公 共点 13.在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中 的射影为点O. (1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的 心 (2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点 O是△ABC的 心.飞学快乐保阴 7.D[设该正六棱柱的底面边长为a,高为h,其外接球的 半径为尺，号知音R=205,则R=52十昏0. 且。26·h=63@,联立①@，因为h∈乙.解得a=k: h=4, 所以正六棱柱的表面积S一3.2·12+6ah=33+24.] 8.BC[对于A,如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是 三棱锥，故错误；对于B,球面上任意两点与球心共线时， 可以作球的无数个大圆，与球心不共线时，可以作球的一 个大圆，故正确：对于C,一条侧棱垂直于底面直角三角形 的一个锐角顶点的三棱锥满足题意，故正确：对于D,作直 观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段 长度减半，故错误.] 9.ABD[将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面 为椭圆面或部分椭圆面：将圆柱桶水平放置，水面为矩形 面，但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面.] 10.AC[如图，由∠APB =120°，AP=2可知，底 面直径AB=25,高PO =1,故该圆锥的体积为A 0 π，故A对；该圆锥的侧面 积为23π，故B错；连接CB,取AC中点为Q,连接QO, PQ,易证二面角P一AC一O的平面角为∠PQO=45°， 所以QO=PO=1,PQ=√2，所以BC=2,所以AC= 2E,故C对：SAmG=号AC·PQ=2,故D错.] 11.解析：由题意易求正四棱锥的高为6，V被台=V大四棱维 Va段维=写×4X4X6-号×2X2X3 =28. 答案：28 12.解析：由题意知h里=2-卫=昼.V2-甲 ht 32-1 22'Veht 3(r1-r2)_6 2W2(n1-r2)4 答案： 13.解析：四面体的体积最大时即平 面SAB⊥平面ABC, SA=SB=2,且SA⊥SB, BC=√5，AC=N3, 所以∠ACB=90°， 取AB的中点H, 连接CH,SH, SH⊥AB,平面SAB∩平面ABC=AB,SH在平面SAB 内，而sH=号×E·SA=厄， 00M= 1 所以SH⊥平面ABC,所以VS-ABC=S·S△ABC·SH =号×号×5x5xi=, 则外接球的球心在SH上，设球心为O,连接OC, CH=·AB=2×2,sA=E, 因为5H=2×25A=E, 所以O与H重合，所以R=CH=SH=√2， 所以四面体的外接球的表面积S=4πR=8元 答案： 8 假期必刷22 思维整合室 1.一条直线交线相交直线相交交线两条相交直 线平行垂线lCB交线1Cβ 2.2(0,受]3.1)射影90°(2[0，受] 4.(1)两个半平面(2)∠AOB 技能提升台 1.C[如图，连接BE,因为AB∥CD, D 所以异面直线AE与CD所成的角等 A 于相交直线AE与AB所成的角，即 为∠EAB.不妨设正方体的棱长为2， D' 则CE=1,BC=2,由勾股定理得BE A =√5.又由AB⊥平面BCC1B1,可得AB⊥BE, 所以1n∠EAB=器-汽] 2.C[对于A,B,若m∥a,n∥a,则m与n可能平行、相交 或异面，故A,B错误；对于C,D,若m∥a,n⊥a,则m⊥， 且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误.] 3.A[对于①，若m∥n,则n∥a或n∥3，正确；对于②，若 m⊥n,当nCa或nCB时，结论不一定成立，错误；对于 ③，若n∥a且n∥B,根据线面平行的性质知，m∥n,正确， 对于④，若n与a,3所成的角相等，m与n不一定垂直， 错误.] 4.D[如图，取BC的中点O,连接 D OE,OF,F是B1C的中点，∴.OF∥ B1B,.FO⊥平面ABCD, ∴.∠FEO是EF与平面ABCD所成的角， 设正方体的棱长为2， 则FO=1,EO=√2， :EF与卡百ACD所成的角的三切值为9] 5.B[对于A,当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交 直线；对于B,根据异面直线的定义知，BP与AC是异面 直线；对于C,当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直 线；对于D,当点P与C1重合时，BP与B1C是相交 直线.] 8 三0022. 6.D[由AC=CB知，AC⊥CB,取A AB的中，点M,连接C1M,CM, 可知∠CMC即为二面角C1 AB-C的平面角，设AC=CB= CC=a,则CM=2」 24, M B CCI an∠CMC-C-E.] 7.C[如图，过E作EO⊥平面ABCD,垂足为O,过E分别 作EG⊥BC,EM⊥AB,垂足分别为G,M,连接OG,OM, 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底 面夹角分别为∠EMO和∠EGO, 所以tan∠EMO=tan∠EGO=I4 5 因为EO⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以EOLBC, 因为EG⊥BC,EO,EGC平面EOG,EO∩EG=E, 所以BC⊥平面EOG,因为OGC平面EOG, 所以BC⊥OG. 同理OM⊥BM,又BM⊥BG,故四边形OMBG是矩形， 所以由BC=10,得OM=5,所以EO=√/14，所以OG=5, 所以在直角三角形EOG中，EG=√EOP+OG平 =/(14)2+52=√39， 在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=√EG+BG =/(/39)2+52=8, 又因为EF=AB-5-5=25-5-5=15, 所有棱长之和为2×25+2×10+15+4×8=117m.] 8.BD[连接MP,AC(图略)，因为MP∥AC,MP≠AC, 所以AP与CM是相交直线， 又平面A1ADD1∩平面C1CDD1=DD1, 所以AP,CM,DD1相交于一点，则A不正确，B正确. 令AC∩BD=O,连接OD1,ON. 因为M,N分别是C1D1,BC的中点， 所以ON∥DM/∥CD,ON=DM=2CD, 则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1, 因为MN庄平面BD1D,OD1C平面BD1D, 所以MN∥平面BD1D,C不正确，D正确.] 9.BC[如图所示，对于A中，直线AM,BN 是异面直线，故A,M,N,B四点不共面， 故A错误；对于B中，在长方体ABCD- A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1, 所以平面ADM⊥平面CDD,C1,故B正 确；对于C中，取CD的中点O,连接BO, ON,则B1M∥BO,所以直线BN与B,M所成的角为 富二数学 ∠NBO.易知三角形BON为等边三角形，所以∠NBO= 60°，故C正确；对于D中，因为BN∥平面AA1D1D,显然 BN与平面ADM不平行，故D错误.] 10.ABD[如图，在正方体ABCD A1B1CD1中，因为BC1⊥B1C, BC1⊥A1B1,B1C∩A1B1=B1, B1C,A1B1C平面A1B1CD,所以 BC1⊥平面A1B1CD,所以BC1⊥ DA1BC1⊥CA1,故选项A,B均 正确；设A1C1∩B1D1=O,因为 A1C1⊥平面BB1D1D,所以直线BC1与平面BB1D1D所 CO 成的角为∠CBO,在直角△C1BO中，sin∠C1BO BC1 号故∠CB0=0,故选项C错误：直线BC与年面 ABCD所成的角为∠C1BC=45°，故选项D正确.] 11.解析：，平面ABFE∥平面DCGH, 又平面EFGH∩平面ABFE=EF, 平面EFGH∩平面DCGH=HG, .EF∥HG.同理EH∥FG, ∴.四边形EFGH是平行四边形」 答案：平行四边形 12.解析：设正方体的棱长为1，则EF= ,取的年径为号而球心到每条校 的距离均为号，因北球与每条校新 有且只有1个交点，一共有12条 B 棱，故共有12个交点： 答案：12 13.解析：(1)如图1，连接OA,OB, OC,OP, 因为在Rt△POA,Rt△POB和 Rt△POC中，PA=PB=PC,所 A 以OA=OB=OC, 即O为△ABC的外心 (2)如图2，延长AO,BO,CO分别 图1 交BC,AC,AB于H,D,G.因为 PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PBC平面PAB, 所以PC⊥平面PAB. 又ABC平面PAB,所以PC⊥ AB.因为PO⊥AB,PO∩PC= P,PO,PCC平面PGC,所以AB ⊥平面PGC,又CBC平面PGC,A 所以AB⊥CG,即CG为△ABC 0 边AB上的高.同理可证BD,AH 分别为△ABC边AC,BC上 图2 的高， 即O为△ABC的垂心. 答案：(1)外(2)垂 09