假期必刷21 空间几何体的结构特征、表面积和体积-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三0022 由a1+6d=32 解得/a15, 假期必刷21 (a1+d=7, d=2, 思维整合室 所以{an}的通项公式an=2n十3. 1.(1)平行全等平行相似平行且相等一点 (2)证明：由(1)知6，=2m一3，n为寺数， 一点平行四边形三角形(2)垂直一点一点 4n十6，n为偶数. 矩形等腰三角形矩形扇形 当n=2k(k∈N“)时，T,=k(-1D十k(kDX4+14k十 2.2πrl元rlx(r1+r2)l 2 k(k-1D×8=6k2+7k, 3.Sh3sh4R2号R 2 技能提升台 S。=26X5+26(26-D×2=42+8, 2 1.C[由S原图形=22S直观图，得S原因形=2V2X4=8V2.] Tm-Sn=2k2-k=k(2k-1), 2.B[由题意，侧面积相等，则圆锥的母线长是圆柱高的 当1>5即k>2时，k(2k-1)>0, 2倍，即25，故其底面半径为3，所以圆维的体积为号× 所以Tm>Sn: π×32X3=3√3π.故选择：B.] 当n=2k+1(k∈N*)时，T,=(k+1D(-1)+k+1Dk× 2 3.A[由题可知圆锥的底面半径R=1,母线长(=2，高h= 4+14k+bk号1D×8=6k2+11k-1, √-R2=√22-12=5， 2 S=(2k+1D×5+（2+1)2×2=4k2+12k+5, 国缘的体积为V-言R=] 2 4.B[如图，连接AD1,BC1分别延长至 Tm-Sn=2k2-k-6=(2k+3)(k-2), F,G,使得AD=AF,BC=BG,连接 当n>5,即k>2时，(2k+3)(k-2)>0, EG,FG,,四棱柱ABCD-A1B1C1D1 所以Tm>S. 为正四棱柱，∴AB⊥平面ADD1A1,AB 12.解：(1)T=a4+1,T%+1=a, ⊥平面BCC1B,.AB⊥AF,AB⊥BG, 所以T-好1= 又AB=AD=AF, T =+,即a+1=a1, ∴.四边形ABGF为正方形， 两边取常用对数得lga”+1=lga+1, ∴.EG=√BE2+BG2=√BE+BC 得lga+1=(n十1)1ga,所以lg1=lga=.=lg@ =CE, +1 1 D1E十CE的最小值为D1G, =lg3, 又D1G=√D1F2+FG=√9+1=√10， 所以教列g}为常数列，所以lgan=lg3=lg3, n .D1E十CE的最小值为√10. 所以am=3. 5.A[由题意可知，容器中液体分为：下半 部分为圆柱，上半部分为圆台， （②)证明：由（)加a,=3,所以6，=-3二1 am+13"+1 取轴裁面，如图所示，O1,O2,O3分别为 D 2 AB,CD,EF的中点， 13+1 可知：AB∥CD∥EF,且OB1=O2C=2, 则 O102=6,O2P=4,O203=1,O3P=3,可 （-子)=m2(中十+十+中 4-器-是印ar-是所以 容器中液体的体积为π×22×6十 又为中 号x+×()x2x×(色]X1= 1 十…十 6.A[依题意可得圆柱的底面半径r=1,高h=4,将圆柱 22 的侧面（一半）展开后得矩形ABCD,其中AB=π，AD= 4,问题转化为在CD上找一点Q,使AQ十PQ最短，作P 关于CD的对称点E,连接AE,令AE与CD交于点Q(图 略)，则得AQ+PQ的最小值就是AE=√十(4十2)2 √2+36.] 107 00M= 7.D[设该正六棱柱的底面边长为a,高为h,其外接球的 1 所以SH⊥平面ABC,所以Vs-ABC=3·S△ABc·SH 半径为R易知号成=20期R=52十0. 4 =号×号×5xx=, 且2,6h=6y5@,联立①@，因为h∈Z.解得a=h, 则外接球的球心在SH上，设球心为O,连接OC, h=4, CH=·AB=2×E·SM=E, 所以正六棱柱的表面积S=5a2·12+6ah=3月+24.] 4 国为SH=号X5A=E, 8.BC[对于A,如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是 所以O与H重合，所以R=CH=SH=√2， 三棱锥，故错误；对于B,球面上任意两点与球心共线时， 所以四面体的外接球的表面积S=4xR=8元 可以作球的无数个大圆，与球心不共线时，可以作球的一 个大圆，故正确；对于C,一条侧棱垂直于底面直角三角形 答案，30 8x 6 的一个锐角顶点的三棱锥满足题意，故正确：对于D,作直 假期必刷22 观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段 长度减半，故错误.] 思维整合室 9.ABD[将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面 1.一条直线交线相交直线 相交交线两条相交直 为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形 线平行垂线I二3交线1二3 面，但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面.] 2.2(0,受]3.1)射影90°(2[0，] 10.AC[如图，由∠APB 4.(1)两个半平面(2)∠AOB =120°，AP=2可知，底 技能提升台 面直径AB=25,高PO 1.C[如图，连接BE,因为AB∥CD, =1,故该圆锥的体积为A: B 所以异面直线AE与CD所成的角等 A π，故A对：该圆锥的侧面 于相交直线AE与AB所成的角，即 积为23π，故B错；连接CB,取AC中点为Q,连接QO, 为∠EAB.不妨设正方体的棱长为2， D PQ,易证二面角P一AC一O的平面角为∠PQO=45°， 则CE=1,BC=2,由勾股定理得BE A 所以QO=PO=1,PQ=V2,所以BC=2,所以AC= =5.又由AB⊥平面BCC1B1,可得AB⊥BE, 2E,故C对：S△PC=)AC·PQ=2,故D错.] 所以1an∠EAB-器-号] 11.解析：由题意易求正四棱锥的高为6，V被台=V大四棱维 2.C[对于A,B,若m∥a,n∥a,则m与n可能平行、相交 Va0=号×4X4X6-号×2X2X3 或异面，故A,B错误；对于C,D,若m∥a,n⊥a,则m⊥， 且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误.] =28. 3.A[对于①，若m∥n,则n∥a或n∥3，正确；对于②，若 答案：28 m⊥n,当nCa或nCB时，结论不一定成立，错误；对于 12.解析：由题意知h里=②-平=昼.V里-甲 ③，若n∥a且n∥B,根据线面平行的性质知，m∥n,正确， hz√32-122'Vzhz 对于④，若n与a,B所成的角相等，m与n不一定垂直， 3(n1-r2)=6 错误.门 22(m1-r2)4 4.D[如图，取BC的中点O,连接 D 答案： OE,OF,F是B1C的中点，∴.OF∥ BB,FOL平面ABCD, 13.解析：四面体的体积最大时即平 ∴∠FEO是EF与平面ABCD所成的角， 面SAB⊥平面ABC, 设正方体的棱长为2， SA=SB=2,且SA⊥SB, 则FO=1,EO=√2， BC=5,AC=3, 所以∠ACB=90°， “EF与平西ACD所成的角的三切值为是.] 取AB的中点H, 5.B[对于A,当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交 连接CH,SH, 直线：对于B,根据异面直线的定义知，BP与AC是异面 SH⊥AB,平面SAB∩平面ABC=AB,SH在平面SAB 直线；对于C,当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直 线；对于D,当点P与C1重合时，BP与B1C是相交 内，而SH=}×2SA=E 直线.] 108三-0022 高二数半 假期必刷21空间几何体的结构特 恢弘志士之气，不宜妄自菲薄。 征、表面积和体积 完成日期： 月 思维整合室 3.柱、锥、台、球的表面积和体积 1.空间几何体的结构特征 名称 表面积 体积 (1)多面体的结构特征 几何体 名称 棱柱 棱锥 棱台 柱体（棱柱和圆柱） S表面积=S俐十2S底 V= 锥体（棱锥和圆锥） S表面积=S侧十S底 V- 图形 S表面积一 3(SE+Sp 台体（棱台和圆台） B S侧+S上+S下 +√/S上S下)h 底面 互相 且 多边形 互相 且 球 S= V- 相交于 延长线交 侧棱 但不一定相等 于 《技能提升台 侧面 y 梯形 1.如图，一个水平放置的平 形状 面图形的直观图是一个 (2)旋转体的结构特征 45 底角为45°的等腰梯形， /0 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 已知直观图OAB'C的面积为4，则该平面图 0 0 形的面积为 () 图形 .0 0、 A.2 B.42 C.82 D.22 互相平行 2.(2024·新课标I卷)已知圆柱和圆锥的底 且相等， 延长线 母线 相交于 面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 交于 底面 √3，则圆锥的体积为 ( ) 轴截面 等腰梯形 圆面 A.23π B.3√3π 侧面展 C.63π D.93π 扇环 开图 3.(2025·八省联考)底面直径和母线长均为 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积 2的圆锥的体积为 () 公式 B.元 C.2π D.3π 圆柱 圆锥 圆台 4.如图，在正四棱柱ABCD一 D A1B1C1D1中，AB=1,AA1= B 侧面展 27r 22 开图 D-0 1.O) .oy 3,点E为AB上的动点，则 D,E+CE的最小值为( 侧面积 S圆柱侧一 S圆锥侧一 S网台侧= A.2√2 B./10 公式 C.W5+1 D.2+√2 41 人壁快乐假期 900 5.(2025·天津北辰模拟)中国载人 8.（多选)下列说法中正确的是 航天技术发展日新月异.目前，世 A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 界上只有3个国家能够独立开展 B.过球面上任意两点可作球的一个大圆或 载人航天活动.从神话“嫦娥奔 无数个大圆 月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月” C.三棱锥的四个面都可以是直角三角形 到壁画“仕女飞天”…千百年来，中国人以 D.梯形的直观图可以是平行四边形 不同的方式表达着对未知领域的探索与创 9.（多选)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定 新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容 体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜 器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱 放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出 的几何形状可能是 () 组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径 A.圆面 均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其 B.矩形面 内部注入液体，已知液面高度为7，则该容 C.梯形面 器中液体的体积为 ( D.椭圆面或部分椭圆面 A.325x 12 B.76x 3 10.（多选)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为 C.215r D.325x O,AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2, 9 16 点C在底面圆周上，且二面角P一AC一O 6.如图，一个矩形边长为1和4， 为45°，则 绕它的长为4的边旋转一周 A.该圆锥的体积为π 后所得如图所示的一开口容 B.该圆锥的侧面积为43π 器（下表面密封），P是BC中点，现有一只 C.AC=2/2 蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若 D.△PAC的面积为3 这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取 11.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的 得米粒，则它所需经过的最短路程为() 平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的 A.π2+36 B.元2+16 正四棱锥，所得棱台的体积为 C.√4x2+36 D./4x2+1 12.(2024·全国甲卷（理）)已知圆台甲、乙的 7.(2025·青海海南高一模拟)已知某正六棱 上底面半径均为r,下底面半径均为r2,圆 台的母线长分别为2(r2-r1),3(r2一r1), 柱的体积为63，其外接球体积为205灭 3 则圆台甲与乙的体积之比为 若该六棱柱的高为整数，则其表面积为 13.(2025·湖南岳阳校考)在四面体S-ABC 中，SA=SB=2,且SA⊥SB,BC=5,AC A.63+18 B.33+18 3,则该四面体体积的最大值为 C.63+24 D.33+24 该四面体外接球的表面积为 42