假期必刷20 数列的综合问题-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三022 减函数，所以入>f(1)=一6，因此选项B不正确；因为在 (2)数列{an}为“紧密”数列；理由如下： 等比数列{an}中，设公比为q,a2,a10是方程x2-8x十4= 0的两根，所以有a2·a10=4>0,a2十a10=8>0,于是有 数列a,的前项和5，=(2+3n(nEN). a2>0,a10>0,而a6=a2·g>0,所以a6=√a2a10=4= 当n=1时a=S=}×(1+3)=1: 2,因此选项C不正确；因为等差数列{an},{bn}的前n项 (an+as)x5 当n≥2时a,=S.-S。1=子+3m)-专[m-1D2 2 和分别为Sm工，所以由了二13b+b)×7 157 13 +30m-1D]=2+2 2 器-会-器周光送项D层商] 又2+号=1=a1,唧u1=1满足0，=21+ 1 1 8.解析：设{am}的公比为q(q≠0)， 因充e,-+日a∈N) 则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,显然an≠0， 1 则a4=g2,即a193=g2,则a19=1, 所以对任意∈N”+1=之”十十2十2 因为aga10=-8,则a1g3·a1g°=-8， an 1,1 n+1 2n+2 则g15=(g5)3=-8=(-2)3,则g5=-2, 则a?=a1q·g5=1×(-2)=-2. 1+1 Tn+1’ 答案：一2 9.解析：由题设，S偶=S奇一80，S2m=一240. n+72, :S+g54=-240:54=-80. 因此数列{an}为“紧密”数列； (gS奇=S奇-80， (q=2. (3)因为数列{am}是公比为g的等比数列，前n项和 答案：2 为Tm, 10.解析：logat+1=1+-loga(a>0,a≠1)， 当q=1时，有an=a1,Sw=na1, 1=loga+1-loga=loga 所以8a=1<2日≤=-1+日2 an .+1=a,数列{xn}是公比为a的等比数列， 满足题意； x1十x2十…+x100=100, 当g≠1时a,=a1·g-1,S.=a11-g2） 1一q x101十x12十…十x2o0=a100(x1十x2+…十x10) =100a100. 因为a为“紧密”载到，所以号<8。=<2， an 答案：100a100 即2<q<1或1<g≤2 11.解：(1)因为2S,=3an+1一3，所以2Sw+1=3an+2-3,两 式相减可得2am+1=3au+2一3am+1,即3an+2=5ar+1,所 当<g<1时，5。-19>上父=1 Sn 1-q"1-g" 以等比数列a,}的公比4=号，又因为25=3ag-3= 5+1=1-g+1<1-92-1+4)1=g）-=1+q"<2, 5a1-3,即2a1=5a1-3,所以a1=1,所以{am}的通项公 S1-q”1-9” 1-q” 式为a(得）： 所以1 Sn 1-q" -≤2，满足{S}为“紧密”数列； (2)因为25。=3+1-3，所以5。=2(a+1-1D= 当1<q≤2时-号-1+g>2,不满足5，为器 [()- 密”数列； 设数列{Sn}的前n项和为Tm 综上.实数？的取值范国是[2小 假期必刷20 则T,=3× 引-（门】 2 1- 27 技能提升台 1.D[S10=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199) =2×50=100.] 12解，0a-子g-分6-是尝-8<宁 1 2.C Lan =√n十1-√n,所以Sg=(2-1) n+I+√n 所以{an}不是“紧密数列”； +(3-√2)+…+(100-√/99)=√100-1=9.] 105 受快乐假明 --900 =4≠0，故C错误；对D,因为S4m2+3m=S42+4n 3C[由题意知：a1=1,ag=名= 1 2x-1 4十2=6，a3= x+2 (a4n2+4n十a4nr2+4w-1十…十a4n2+3m+1),又a4m'+4n对应点 为(1，一n),所以a4n+4m=0,a4n2+u-1对应点为(n-1,一n), 4,a= 2×(-4-1 2x(8）-1 所以a4n2+m-1=-1,…a4m2+3m+1对应点为(1，-)，所以 a4m2+3m+1=-(n-1),所以S4m2+3m=0-[-1-2-… 4×(-)+2 4×()十2 (m-1D门=(21D,故D正确.] 2 1,…,易知数列{am}是周期为4的数列，S2025=506× 8.解析：依题意2an一Sn=2, (1+日-)+11 当n=1时，a1=2, 4.A[因为a+1-a,=ln”1=1n(n+1D)-1n 由2am-1-Sm-1=2,n≥2， n 两式相减并化简得an=2an-1, 所以a2-a1=ln2-ln1,a3-a2=ln3-ln2, 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， a-as=In 4-In 3, 即an=2”. …… an 2” an-an-1=In n-In(n-1)(n22). (an+1)(a+1+1)(2"+1)(2+1+1) 把以上各式分别相加得am一a1=lnn-ln1, 1 则an=2+lnn(n≥2)，且a1=2也适合， 2m+12+1+1 因此an=2+lnn(n∈N*).] 5.D[正项数列{an}是“幂2数列”， 所以工-（十(）+… 1= (22+）2+1 111 .a2=af,又a2-a1=2, .a好-a1-2=0,解得a1=2或a1=-1(舍去)， :an+1=a7, 所以实数k的取值范固是[行，十○）】 ÷log20+1=210g2a,p1og2a1=2, logzan 又1og2a1=log22=1, 9.解析：Sn=1×21十2×22+…+n×2m, 所以数列{log2am}是首项为1，公比为2的等比数列， 则2Sm=1×22+2X23+…十nX2+1,两式相减得 log2a=2-1, -5。=2+2+…+20-m·2+1=21-20）-m·2+1, .log2Ti0=log2(a1·a2…a1o)=log2a1+log2a2+…+ 1-2 3e0=+21++2-号=108.片以7-21 故Sn=2+(n-1)·2m+1.又an=2”, .Sm-am+1+50=2+(n-1)·2m+1-n·2m+1+50 6.BCD[A选项，当n≥2时，an=S,-Sm-1=-2n+8,又 =52-2”+1,依题意52-2n+1<0, a1=S1=6=-2X1+8,所以a,=-2n+8,因为an+1- 故最小正整数n的值为5. an=-2(n十1)+8十2n-8=-2<0,则{amn}是递减数列， 答案：5 故A错误；B选项，由am=一2n十8，可得a10=-12,故B 10.解析：：数列{an}的后7项成等比数列，am>0, 正确；C选项，令am=-2n十8<0，解得n>4,故C正确； ∴.a7=√a5ag=√12X192=48, D选项，图为y=一2十7江的对称轴为x=子，开口向 ta=4122 下，又n∈N*,所以当n=3或4时，S,取得最大值，故D 09483, 正确.] 2≥2. 公比g=周-√得 7.AD[对A,由题意得，第一圈从a1(1,0)到ag(1,-1)共 .a4=3×2=6, 8个点，由对称性可得a1十a2十…十ag=0,第二圈从 又该数列的前3项成等差数列， ag(2,一1)到a24(2,-2)共16个点，由对称性可得ag十 a10十…十a24=0,根据归纳推理可得第n圈共有8n个 数列(an)的所有项的和为3(a十a3)+6X(25-1) 2 2-1 点，这8n项的和也是0.设a2023在第n圈，则8十16十… +8n=4n(n+1),且4×22×(22+1)=2024，由此可知前 3×(1+3)+378=384. 2 22圈共有2024个点，即S2024=0,且a2024对应点为(20， 答案：48384 -22),所以a2023对应点为(21，-22)，所以a2023=21一 11.解：(1)设{an}的首项为a1,公差为d,由S4=32, 22=-1,故A正确；对B,因为S2024=0,所以S2022= 得4a1+6d=32, S2024-a2024-a2023=0-(22-22)-(21-22)=1,故B 又b1=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3=ag-6=a1+2d-6, 错误；对C,由图可得a32对应点为(1,3)，所以a32=1十3 所以T3=4a1+4d-12=16,即a1+d=7, 106 三0022 由a1+6d=32 解得/a15, 假期必刷21 (a1+d=7, d=2, 思维整合室 所以{an}的通项公式an=2n十3. 1.(1)平行全等平行相似平行且相等一点 (2)证明：由(1)知6，=2m一3，n为寺数， 一点平行四边形三角形(2)垂直一点一点 4n十6，n为偶数. 矩形等腰三角形矩形扇形 当n=2k(k∈N“)时，T,=k(-1D十k(kDX4+14k十 2.2πrl元rlx(r1+r2)l 2 k(k-1D×8=6k2+7k, 3.Sh3sh4R2号R 2 技能提升台 S。=26X5+26(26-D×2=42+8, 2 1.C[由S原图形=22S直观图，得S原因形=2V2X4=8V2.] Tm-Sn=2k2-k=k(2k-1), 2.B[由题意，侧面积相等，则圆锥的母线长是圆柱高的 当1>5即k>2时，k(2k-1)>0, 2倍，即25，故其底面半径为3，所以圆维的体积为号× 所以Tm>Sn: π×32X3=3√3π.故选择：B.] 当n=2k+1(k∈N*)时，T,=(k+1D(-1)+k+1Dk× 2 3.A[由题可知圆锥的底面半径R=1,母线长(=2，高h= 4+14k+bk号1D×8=6k2+11k-1, √-R2=√22-12=5， 2 S=(2k+1D×5+（2+1)2×2=4k2+12k+5, 国缘的体积为V-言R=] 2 4.B[如图，连接AD1,BC1分别延长至 Tm-Sn=2k2-k-6=(2k+3)(k-2), F,G,使得AD=AF,BC=BG,连接 当n>5,即k>2时，(2k+3)(k-2)>0, EG,FG,,四棱柱ABCD-A1B1C1D1 所以Tm>S. 为正四棱柱，∴AB⊥平面ADD1A1,AB 12.解：(1)T=a4+1,T%+1=a, ⊥平面BCC1B,.AB⊥AF,AB⊥BG, 所以T-好1= 又AB=AD=AF, T =+,即a+1=a1, ∴.四边形ABGF为正方形， 两边取常用对数得lga”+1=lga+1, ∴.EG=√BE2+BG2=√BE+BC 得lga+1=(n十1)1ga,所以lg1=lga=.=lg@ =CE, +1 1 D1E十CE的最小值为D1G, =lg3, 又D1G=√D1F2+FG=√9+1=√10， 所以教列g}为常数列，所以lgan=lg3=lg3, n .D1E十CE的最小值为√10. 所以am=3. 5.A[由题意可知，容器中液体分为：下半 部分为圆柱，上半部分为圆台， （②)证明：由（)加a,=3,所以6，=-3二1 am+13"+1 取轴裁面，如图所示，O1,O2,O3分别为 D 2 AB,CD,EF的中点， 13+1 可知：AB∥CD∥EF,且OB1=O2C=2, 则 O102=6,O2P=4,O203=1,O3P=3,可 （-子)=m2(中十+十+中 4-器-是印ar-是所以 容器中液体的体积为π×22×6十 又为中 号x+×()x2x×(色]X1= 1 十…十 6.A[依题意可得圆柱的底面半径r=1,高h=4,将圆柱 22 的侧面（一半）展开后得矩形ABCD,其中AB=π，AD= 4,问题转化为在CD上找一点Q,使AQ十PQ最短，作P 关于CD的对称点E,连接AE,令AE与CD交于点Q(图 略)，则得AQ+PQ的最小值就是AE=√十(4十2)2 √2+36.] 107三0022 高二数学恐 积土而为山，积水而为海。 假期必刷20 数列的综合问题 完成日期： 思维整合室 (2)分组转化法 1.典型的递推数列及处理方法 把数列适当拆分，分为几个等差、等比数 列，先分别求和，然后再合并，形如： 递推式 方法 示例 ①{am士bn},其中{am}是等差数列，{b,}是 等比数列： a1=1, am+1=an十f(n) 累加法 am+1=an十2n ②a=nm=2&-1. g(n),n=2k(k∈N*) a1=1, (3)裂项相消法 an+=anf(n) 累乘法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相 an+1=2”a, 消，剩下首尾若干项. (4)倒序相加法 am+1=pan十q 化为等 a1=1, 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等 (p≠0,1，q≠0) 比数列 am+1=2am+1 差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法 antipan 主要用于一个等差数列与一个等比数列对 十q·p"+1 化为等 a1=1,an+1 应项相乘所得的数列的求和，即等比数列 差数列 =3an十3"+1 (p≠0,1，q≠0) 求和公式的推导过程的推广.形如：{an· Aa, 两边同时 6,一侣}其中a是等差数列.是等 如am+1二 Ba+C 取倒数构 2an 比数列. am+1 (A,B,C为常数) 造新数列 am十2 (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解， (1)an+1=pam十q(p≠0,1,9≠0)的求解方法 则称之为并项求和.形如a,=(-1)”f(n) 是：设aa+1十入=p(an十入)，即an+1=pa,十 类型，可采用两项合并求解.例如，S= 1002-992+982-972+.+22-12=(100 p入一入，与am+1=pan十q比较即可知只要入 +99)+(98+97)+·+(2+1)=5050. p-1 《技能提升台 (2)a+1=pa,十q·p+1(p≠0,1，q≠0)的求解方 1.数列{an}的通项公式是an=(-1)”(2n一1)，则 法是两端同时除以p+1,即得岩一=q, 该数列的前100项之和为 A.-200B.-100C.200D.100 数列}为等差数列. 2.设数列{an}的前n项和为Sn,若an= 1一，则S9= () 2.求数列的前n项和的方法 √n+1+m (1)公式法 A.7 B.8 C.9 D.10 ①等差数列的前n项和公式 3.(2025·广东高二统考)数列{an}满足an+1 s.-naa）-u,+nn,1Dd. 0,+2且4，=1，则数列1a.的前2025 2an-1 2 ②等比数列的前n项和公式 项的和S2025= 253 251 （i)当q=1时，Sn=a1； A.、 6 B.- 8 （i)当g≠1时，5.=a1一9)-a,-a,g 1-q 1-q C.-1765 6 D.-1771 8 39 快乐假期 90M= 4.在数列a,中，a=2,a,+1=a.十1n1+1则 10.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国 n 时期就出现了类似于砝码的用来测量物体 an等于 质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单 A.2+In n B.2+(n-1)In n 位：铢)从小到大构成项数为9的数列 C.2+nln n D.1+n+In n {a,},该数列的前3项成等差数列，后7项 5.(2025·高二全国专题练习)若数列{a,}满 成等比数列，且a=1,a5=12,ag=192,则 足an+1=a(m>1且m∈Z),则称数列{an} a7= ,数列{an}的所有项的和为 为“幂m数列”.已知正项数列{an}是“幂2 数列”且a2一a1=2,设{an}的前n项积为 11.已知{an}为等差数列， Tn,则To= A.1024 B.1023 b= a,一6，n为奇数， 记Sn,T,分别为数 2am,n为偶数， C.21024 D.21023 列{am},{bn}的前n项和，S4=32,T3=16. 6.(多选)数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn (1)求{an}的通项公式； =一n2+7n,则 ( (2)证明：当n>5时，Tm>Sn A.{an}是递增数列 B.a10=-12 C.当n>4时，an<0 D.当n=3或4时，Sn取得最大值 7.(多选)如图所示，将平 y 面直角坐标系中的格 -●12 点（横、纵坐标均为整 -3◆a2a1 数的点)的横、纵坐标 as ao a 0 之和作为标签，例如： a6-4.a-a9 原点处标签为0，记为 ----◆ 12.(2025·怀化高二模拟)已知T,为正项数 ao;点(1,0)处标签为 列{an}的前n项的乘积，且a1=3,T 1,记为a1;点(1,1)处标签为2，记为a2;点(0， =az 1)处标签为1，记为a:点（一1,1）处标签为0， (1)求数列{an}的通项公式； 记为a;…以此类推，格点(i,j)(i,j∈Z)处标 签为+j,记Sn=a十a2十…十an则( ) 2设6-总·数列么的前预和为 A.a2023=-1 B.S2022=-1 Sn,证明：Sn>n-1. C.asn-0 D.S+n=n(n。1D 2 8.(2025·湖北重点中学模拟)已知数列{an》 的前n项和为Sn,且2an一S,n=2,记数列 a (an+1)(a+1+1) 的前n项和为Tn,若对 于任意n∈N,不等式k>Tn恒成立，则实 数k的取值范围为 9.已知数列{nan}的前n项和为Sn,且an=2”, 且使得S,一a+1十50<0的最小正整数n 的值为 40