假期必刷19 等比数列-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

0M-= 9.解析：设an=a1十(n-1)d,则由条件得2a1十5d=7,4a 假期必刷19 +7d=5,解得a1=-4,d=3, 思维整合室 则S10=5(2a1+9d)=95. 1.(1)同一个 (2)ab 答案：95 10.解析：令数列：1,7,15,27,45,71,107，…为数列{am},于 2.(1)a1g”-1 (2)41-q 是a7=107, 1-9 3.(1)am·am(2)qm(3)g” 依题意，数列{an+1-an}为：6,8,12,18,26,36，，于是 技能提升台 a7-a6=36 1.D[设等比数列{an}的首项为a,公比为q,由题意， 数列{(am+2-am+1)-(a+1-am)}为：2,4,6,8,10，…是 等差数列，(a8-a7)-(a7-a6）=12, 41+a2+a3=168(a1(1+q+g2)=168 ,即 则ag-a7=(a7-a6）+12=36+12=48,因此ag=a7+ (a2-a5=42 a19(1-g3)=42 48=107+48=155, 即01+9+g2)=168 1 所以该数列的第8项为155. (a19(1-q)(1+q+g2)=42 解得g=201=96, 答案：155 所以a6=a1g5=3.] 11.解：(1)选择①：a2-2a1=1×2,则a2=4. 2.C[由题意可得：当n=1时，a2=2a1+2,即a1q=2a1+2,① 2a3-3a2=2×3,则a3=9. 当n=2时，a3=2(a1十a2)+2,即a1q2=2(a十a1q)+2,② 选择②：a2=S2-S1=2×22-1-1=6, 联立①②可得a1=2,q=3,则a4=a1g3=2×33=54.] a3=S3-S2=2×32-1-2×22+1=10. 3.A[设正项等比数列{amn}的公比为q(g>0), (2)选择①：由nam+1-(n十1)am=n(n+1), 由a1=3,且一3a1,a2,a3成等差数列， 则t-a=1, 得2a2=a3-3a1,即2a1q=a1q2-3a1,即2q=q2-3, 'n+1 n 解得q=3或q=-1(舍去)， 所以数列侣}是首项为-1，公差为1的等差数列， n 8-1”23 所以号=na,=2 4.B[设等比数列{bm)的公比为q,由b1=1且T3=3, 当g=1时，则T3=3b1=3,符合题意，则bn=1,又a2十b2 选择②：当n≥2时，an=Sn-Sm-1 =4,所以a2=3, =2n2-1-[2(n-1)2-1]=41-2: 所以Sg=a1十a2十a3=3a2=9; 当n=1时，a1=1,不符合上式， 当g≠1时，则T3-1二g）-3,即1十g十g2=3,解得 故{an}的通项公式为an= (1,n=1 1-9 (4n-2,n≥2，n∈N* q=1(舍去)或q=-2, 12.解：(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积， 所以bn=(-2)”-1,则b2=-2,又a2十b2=4,所以a2 所以≥2时，S.0n-' =6, 所以Sg=a1十a2十a3=3a2=18;综上可得S3=9或18.] 5.B[现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量 基理可得26，-1+1=24，即6-b。1=号n≥2. 是下层的2倍，总共1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构 成一幅优美的图案，从最下层往上“浮雕像”的数量构成 2士1=3=2，所以b1=号， 一个数列{an},则{an}是以2为公比的等比数列，127a1= 1016,解得a1=8,an=8×2m-1(1≤n≤7，n∈N*) 故山，是以为首项，号为公差的等差数列 .a3·a5=25×27=212,log2(a3a5)=log2212=12.] (2)由可知6，=受+号-1="生是. 2 6.ABD[A,B显然是正路的：C中，若a1=1,q=号，则 则+平2=2所以3 n+1 6a,P一$<5-5成C0溪：D中，- 3 当1=1时，a1=S1=2: am=1(g≠0)，∴{bn是等比数列.] an+19 7.AD[因为当an=0时，显然数列{an}不可能是等比数 n+l n n(n+1) 列，但是{an》是公比为2的等比数列一定有am=2am-1 2n=1, (n≥2，n∈N*)成立，因此选项A正确；因为{an}为单调 故an 1 递增数列，所以有am+1>am→2(n十1)2+入(n十1)>2n n(n+1)n≥2. 十n→>-4n-2,因为函数f(n)=-4n-1(n∈N*)是 104 三022 减函数，所以入>f(1)=一6，因此选项B不正确；因为在 (2)数列{an}为“紧密”数列；理由如下： 等比数列{an}中，设公比为q,a2,a10是方程x2-8x十4= 0的两根，所以有a2·a10=4>0,a2十a10=8>0,于是有 数列a,的前项和5，=(2+3n(nEN). a2>0,a10>0,而a6=a2·g>0,所以a6=√a2a10=4= 当n=1时a=S=}×(1+3)=1: 2,因此选项C不正确；因为等差数列{an},{bn}的前n项 (an+as)x5 当n≥2时a,=S.-S。1=子+3m)-专[m-1D2 2 和分别为Sm工，所以由了二13b+b)×7 157 13 +30m-1D]=2+2 2 器-会-器周光送项D层商] 又2+号=1=a1,唧u1=1满足0，=21+ 1 1 8.解析：设{am}的公比为q(q≠0)， 因充e,-+日a∈N) 则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,显然an≠0， 1 则a4=g2,即a193=g2,则a19=1, 所以对任意∈N”+1=之”十十2十2 因为aga10=-8,则a1g3·a1g°=-8， an 1,1 n+1 2n+2 则g15=(g5)3=-8=(-2)3,则g5=-2, 则a?=a1q·g5=1×(-2)=-2. 1+1 Tn+1’ 答案：一2 9.解析：由题设，S偶=S奇一80，S2m=一240. n+72, :S+g54=-240:54=-80. 因此数列{an}为“紧密”数列； (gS奇=S奇-80， (q=2. (3)因为数列{am}是公比为g的等比数列，前n项和 答案：2 为Tm, 10.解析：logat+1=1+-loga(a>0,a≠1)， 当q=1时，有an=a1,Sw=na1, 1=loga+1-loga=loga 所以8a=1<2日≤=-1+日2 an .+1=a,数列{xn}是公比为a的等比数列， 满足题意； x1十x2十…+x100=100, 当g≠1时a,=a1·g-1,S.=a11-g2） 1一q x101十x12十…十x2o0=a100(x1十x2+…十x10) =100a100. 因为a为“紧密”载到，所以号<8。=<2， an 答案：100a100 即2<q<1或1<g≤2 11.解：(1)因为2S,=3an+1一3，所以2Sw+1=3an+2-3,两 式相减可得2am+1=3au+2一3am+1,即3an+2=5ar+1,所 当<g<1时，5。-19>上父=1 Sn 1-q"1-g" 以等比数列a,}的公比4=号，又因为25=3ag-3= 5+1=1-g+1<1-92-1+4)1=g）-=1+q"<2, 5a1-3,即2a1=5a1-3,所以a1=1,所以{am}的通项公 S1-q”1-9” 1-q” 式为a(得）： 所以1 Sn 1-q" -≤2，满足{S}为“紧密”数列； (2)因为25。=3+1-3，所以5。=2(a+1-1D= 当1<q≤2时-号-1+g>2,不满足5，为器 [()- 密”数列； 设数列{Sn}的前n项和为Tm 综上.实数？的取值范国是[2小 假期必刷20 则T,=3× 引-（门】 2 1- 27 技能提升台 1.D[S10=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199) =2×50=100.] 12解，0a-子g-分6-是尝-8<宁 1 2.C Lan =√n十1-√n,所以Sg=(2-1) n+I+√n 所以{an}不是“紧密数列”； +(3-√2)+…+(100-√/99)=√100-1=9.] 105三0022 高二数学恐 工欲善其事，必先利其器。 假期必刷19 等比数列 完成日期： 月 思维整合室 《技能提升台 1.等比数列的概念 1.已知等比数列{am}的前3项和为168，a2 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与 a5=42,则a6= ( A.14 B.12 C.6 D.3 它的前一项的比都等于 常数，那 2.已知{a,}为等比数列，S,为数列{am}的前n 么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做 项和，an+1=2Sn+2,则a4的值为（) 等比数列的公比，公比通常用字母q表示 A.3 B.18 C.54 D.152 (显然q≠0). 3.(2025·湖南模拟)已知正项等比数列{am 数学语言衣达式。”-90W2日为非零 满足a1=3,且一3a1,a2,a3成等差数列，则 数列{an}的前n项和为 ( 常数) A.31-3 B.3”3 2 2 (2)等比中项：如果在a与b中间插人一个数 G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与 C.3+1+3 D.3+1-1 4 4 b的等比中项.此时G= 4.(2025·山东菏泽高二模拟预测)已知{am, 2.等比数列的通项公式及前项和公式 {bn}分别是等差数列和等比数列，其前n项 (1)若等比数列{a,}的首项为a1,公比是g,则 和分别是Sn和Tn,且a1=b=1,a2十b2=4, T3=3,则S3= () 其通项公式为an= A.9 B.9或18 通项公式的推广：an=ang”m. C.13 D.13或37 (2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，S 5.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库 =na1；当q≠1时，Sn= 之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高 aa,q 窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石 1-q 窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每 3.等比数列的性质 上层的数量是下层的2倍，总共有1016个 已知{an}是等比数列，S,是数列{am}的前n “浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图 案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一 项和. 个数列{an,则log2(aa)的值为( (1)若k+1=m十n(k,l,m,n∈N*),则有 A.16 B.12 C.10D.8 a6·a,= 6.(多选)若{an)是公比为q(g≠0)的等比数 (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数 列，记S,为{an}的前n项和，则下列说法正 列，即a4,a+ma+2m,…仍是等比数列，公 确的是 ( 比为 A.若a1>0,0<q<1,则{an}为递减数列 B.若a1<0,0<g<1,则{an}为递增数列 (3)当q≠一1，或q=一1且n为奇数时，Sn, C.若q>0,则S4十S6>2S S2m一Sn,Sm一S2m,…仍成等比数列，其公 比为 D.若b,=1,则{6，}是等比数列 a 37 蜜快条假湖 900= 7.(多选)下列命题中，正确的有 () 12.(2025·广东汕头高二期未)设数列{an}的 A.数列{an}中，“an=2am-1(n≥2，n∈N*)” 是“{an}是公比为2的等比数列”的必要 前n项和为S,若含≤a≤2∈N: 不充分条件 则称{an}是“紧密数列” B.数列{an}的通项为an=2n十n,若{an》 1)若4，=十2，判断{a,}是否是“紧密 为单调递增数列，则λ>一4 4" C.等比数列{an}中，a2,a1o是方程x2-8x十 数列”，并说明理由； 4=0的两根，则a6=士2 (2)若数列{a,前n项和为S,-}(r+ D.等差数列{an},{bn的前n项和分别为 3m),判断{an}是否是“紧密数列”，并说明 是哈甜 b13 理由； 8.已知{an}为等比数列，a2a4a,=aa6,aao= (3)设数列{an}是公比为q的等比数列.若 一8，则a7= 数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的 9.已知等比数列{am}共有2n项，其和为 取值范围. 一240，且奇数项的和比偶数项的和大80， 则公比q= 10.设数列{xn}满足log.+1=1十log(a>0, a≠1)，若x1十x2十…十x1o0=100,则x1o1十 x102十…十x200= 11.(2024·全国甲卷（文）)已知等比数列{an) 的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1-3. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{Sn}的前n项和. 38