假期必刷18 等差数列-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三0022. 富三数学恐 因为a+b=√/(a+b)2=√a2+2a·b+b 技能提升台 =√/4b2+2b2+b2=√71b1, 1B[设等差教列a)的公差为d,则S,=8十32= |a-b=√(a-b)2=a2-2a·b+b =√4b2-2b2+b-3b,所以a+h=2L 3+3d=号解得4=a,=1+a-10x号-史.] |a-b3 2.D[由等差数列性质可得a1十a5=2a3,a3十a6十ag= 答案2 3a6,所以3X2a3十2×3a6=18,即a3十a6=3,所以Sg= 13.解析：依题意，以C为坐标原 8(a1十ag)_8(a3十a6）=12.] 2 2 点，分别以AC,BC所在的直 线为x轴，y轴，建立如图所示 3.B[因为S5=S1o,所以a6+a7十ag十ag十a10=0,即 A 的平面直角坐标系， -1oCi234元 5ag=0a8=0,又因为a6=1,所以公差d=-3a1= 1 则B(0,2),D(2,0),所以直线BD的方程为y=-x十2， 因为P点在边AC的中线BD上，所以可设P(t,2一t) a,-a-=子] (0≤1≤2)，所以CP=(t,2-t),BP=(t,-t), 4.A[由题意，2an+1=an十an+2,n∈N",an+1-an= 所以C市.=P-1…2-)=2-2x=2-)号 an+2-an+1,a∈Nt 则数列{an}为等差数列，设公差为d,S3=3a2=6,a3=3, 当1=时，C币，B驴取得最小值- 即a3=3,a2=2,则d=1,则an=a3十d(n-3)=, 答案：司 到8=，将a受=a1十”-8 2 14.解：(1DAi=2+AO=之a+b, 号（常数），则侣}也为等基数别。 所以A0-=a+b 数列}的公为所以受-+a-1Dx 1+",1=1,所以0=2025+1-1013.] 2 2 2025 2 =合×32+号×3×2×c0s60=6,所以A店.Ai=6. 5.A[设bn=an十a+1,由a1=0,a2=1,a3=4,得b1=1, 15.解：(1)f(x)=m·n=3sinx·cosx十cos2x-1 b2=5,则bn=4n-3=an十am+1,故S2o0=(a1十a2)+ -9m2+s2=sin(+ (a3十a4)+…+(a199十a200)=b1十b3+…+b199=1+9 +…+793=100×)+793》=3970.] 令2x+晋∈[2x-吾，2kx+]a∈D. 2 6.AC[由题知a2十a8十a1=a1+d+a1+7d+a1+10d 则x∈[kx-+]水∈， =3a1+18d=3(a1+6d)=3a7,a7是定值， 所以函数f(x)的单调递增区间为 .S13 13(a十a13=13a7是定值.] 2 [kx-kx+晋]∈. 2)fc=sin(2c+若）2=0， 7GD[由1-aa∈N.可得-+1 an+1 an (n∈N+),所以}是公差为1的等差数列，故CD正 sm(2c+)7,又Ce(0,),所以C-号 tan 确：1=1+(1-1)X1=m→a,=,故{an}不是等差数 在△ACD中，CD=25,在△BCE中， an n 3 列，而且{an}为单调递减数列，故AB错误.门 BE=/22+ 3 8.AD[d>0,an+1一an=d>0,所以{an}是递增数列，故 3 2x2x×-四 A正确；nan=na1+(n-1)d]=dn2+(a1-d)n,当n< 假期必刷18 思维整合室 d8时，数列a}不是递增数列，故B不正确；% 2d 1.(1)同一个常数(2)a十b 2.(1)a+(n-1)d(2)a1+nn1)d n(aitan) d+,,当a-d<0时贸}不是说增数列：故C不 2 2 正确；an十3md=4nd十a1一d,因为d>0,所以{am十3nd} 3.(1)(n-m)d (2)ak+ai=am+an (3)md 是递增数列，故D正确.] 103 0M-= 9.解析：设an=a1十(n-1)d,则由条件得2a1十5d=7,4a 假期必刷19 +7d=5,解得a1=-4,d=3, 思维整合室 则S10=5(2a1+9d)=95. 1.(1)同一个 (2)ab 答案：95 10.解析：令数列：1,7,15,27,45,71,107，…为数列{am},于 2.(1)a1g”-1 (2)41-q 是a7=107, 1-9 3.(1)am·am(2)qm(3)g” 依题意，数列{an+1-an}为：6,8,12,18,26,36，，于是 技能提升台 a7-a6=36 1.D[设等比数列{an}的首项为a,公比为q,由题意， 数列{(am+2-am+1)-(a+1-am)}为：2,4,6,8,10，…是 等差数列，(a8-a7)-(a7-a6）=12, 41+a2+a3=168(a1(1+q+g2)=168 ,即 则ag-a7=(a7-a6）+12=36+12=48,因此ag=a7+ (a2-a5=42 a19(1-g3)=42 48=107+48=155, 即01+9+g2)=168 1 所以该数列的第8项为155. (a19(1-q)(1+q+g2)=42 解得g=201=96, 答案：155 所以a6=a1g5=3.] 11.解：(1)选择①：a2-2a1=1×2,则a2=4. 2.C[由题意可得：当n=1时，a2=2a1+2,即a1q=2a1+2,① 2a3-3a2=2×3,则a3=9. 当n=2时，a3=2(a1十a2)+2,即a1q2=2(a十a1q)+2,② 选择②：a2=S2-S1=2×22-1-1=6, 联立①②可得a1=2,q=3,则a4=a1g3=2×33=54.] a3=S3-S2=2×32-1-2×22+1=10. 3.A[设正项等比数列{amn}的公比为q(g>0), (2)选择①：由nam+1-(n十1)am=n(n+1), 由a1=3,且一3a1,a2,a3成等差数列， 则t-a=1, 得2a2=a3-3a1,即2a1q=a1q2-3a1,即2q=q2-3, 'n+1 n 解得q=3或q=-1(舍去)， 所以数列侣}是首项为-1，公差为1的等差数列， n 8-1”23 所以号=na,=2 4.B[设等比数列{bm)的公比为q,由b1=1且T3=3, 当g=1时，则T3=3b1=3,符合题意，则bn=1,又a2十b2 选择②：当n≥2时，an=Sn-Sm-1 =4,所以a2=3, =2n2-1-[2(n-1)2-1]=41-2: 所以Sg=a1十a2十a3=3a2=9; 当n=1时，a1=1,不符合上式， 当g≠1时，则T3-1二g）-3,即1十g十g2=3,解得 故{an}的通项公式为an= (1,n=1 1-9 (4n-2,n≥2，n∈N* q=1(舍去)或q=-2, 12.解：(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积， 所以bn=(-2)”-1,则b2=-2,又a2十b2=4,所以a2 所以≥2时，S.0n-' =6, 所以Sg=a1十a2十a3=3a2=18;综上可得S3=9或18.] 5.B[现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量 基理可得26，-1+1=24，即6-b。1=号n≥2. 是下层的2倍，总共1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构 成一幅优美的图案，从最下层往上“浮雕像”的数量构成 2士1=3=2，所以b1=号， 一个数列{an},则{an}是以2为公比的等比数列，127a1= 1016,解得a1=8,an=8×2m-1(1≤n≤7，n∈N*) 故山，是以为首项，号为公差的等差数列 .a3·a5=25×27=212,log2(a3a5)=log2212=12.] (2)由可知6，=受+号-1="生是. 2 6.ABD[A,B显然是正路的：C中，若a1=1,q=号，则 则+平2=2所以3 n+1 6a,P一$<5-5成C0溪：D中，- 3 当1=1时，a1=S1=2: am=1(g≠0)，∴{bn是等比数列.] an+19 7.AD[因为当an=0时，显然数列{an}不可能是等比数 n+l n n(n+1) 列，但是{an》是公比为2的等比数列一定有am=2am-1 2n=1, (n≥2，n∈N*)成立，因此选项A正确；因为{an}为单调 故an 1 递增数列，所以有am+1>am→2(n十1)2+入(n十1)>2n n(n+1)n≥2. 十n→>-4n-2,因为函数f(n)=-4n-1(n∈N*)是 104三0022 千里之行，始于足下。 假期必刷18等差数列 完成日期： 思维整合室 《《技能提升台 1.等差数列的概念 1.记S,为等差数列{an}的前n项和，若a1=1, (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与 S,= 则数列a,的通项公式a.=《 它的前一项的差都等于 ,那 么这个数列就叫做等差数列. A.n B.n+1 2 数学语言表达式：an+1-an=d(n∈N, C.2n-1 D.3n1 2 d为常数). 2.已知{am}是等差数列，满足3(a1十a)十 (2)等差中项：由三个数a,A,b组成的等差数 2(a3十a6十a)=18,则该数列的前8项 列可以看成是最简单的等差数列，这时A 和为 叫做a与b的等差中项，根据等差数列的 A.36 B.24 C.16 D.12 定义可以知道，2A= 3.(2024·全国甲卷（理）)记Sn为等差数列 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 {an}的前n项和，已知S=S1oa5=1,则a1 (1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则 () 其通项公式为an= A号 D.- 7 (2)前n项和公式：Sn= 三 4.(2025·郴州高二模拟)设数列{an}满足2a 3.等差数列的性质 =a+1十a-1(n≥2且n∈N*),Sn是前n项 (1)通项公式的推广：an=am十 和，且S=6,a,=3,则2g5= 2025 (n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k十l=m十n(k,l, A.1013 B.2025 2 m,n∈N*),则 C.1012 D.1011 (3)若{an}是等差数列，公差为d,则asa+m, 5.(2025·高二下江西期中)若数列{am}相邻 ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 的 两项的和依次构成等差数列，则称{an}是 等差数列 “邻和等差数列”.例如，数列1,2,4,5,7,8， (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列 10为“邻和等差数列”.已知数列{a,}是“邻 Sm,S2m一Sm,S3m一S2m,…也是等差数列. 和等差数列”，S,是其前n项和，且a1=0, (5)若S,为等差数列{an}的前n项和，则数列 a2=1,a3=4,则S2o0= ( A.39700 B.39800 S 也为等差数列」 n C.39900 D.40000 35 飞婴味乐跃翻 0M-= 6.(多选)已知等差数列{a}的公差为d,前n (1)求a2,a3; 项和为Sn,当首项a1和d变化时，a2十ag十 (2)求数列{an}的通项公式. a11是一个定值，则下列各数也为定值的是 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一 个解答计分. A.ar B.as C.S18 D.Sis 7.(多选)已知在数列{an}中，a1=1,a+1= a.,(n∈N),则下列结论正确的是（) an十1 A.{an}是等差数列 B.{an}是递增数列 C.)是等差数列 D日是递蜡数列 8.(多选)下面是关于公差d>0的等差数列 12.设Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列 {an}的四个命题，其中的真命题为() 5的前”项积，已知十司2 A.数列{a}是递增数列 (1)证明：数列{bn}是等差数列； B.数列{nan}是递增数列 (2)求{an}的通项公式. C.数列a}是递增数列 n D.数列{an十3nd}是递增数列 9.（2024·新课标Ⅱ卷)设Sn为等差数列{an} 的前n项和，若a3十a4=7,3a2十a=5,则 S10= 10.(2025·高二下湖南期中)南宋数学家杨 辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中， 提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与 一般等差数列不同，前后两项之差不相等， 但是逐项差数之差或者高次差成等差数 列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之 后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列， 其前7项分别1,7,15,27,45,71,107，则 该数列的第8项为 11.在①mam+1-(n+1)an=n(n+1);②Sn= 22一1这两个条件中任选一个补充在下 面的横线上，并解答， 若数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数 列{an}满足 36