假期必刷17 平面向量的数量积及其应用-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三0022 平面向量的数量积及其应用 有志者，事竟成。 假期必刷17 完成日期： 月 思维整合室 《技能提升台 1.平面向量数量积的有关概念 1.在边长为3的等边三角形ABC中，BM= (1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b,O 是平面上的任意一点，作OA=a,OB=b, C,则Bi·B 则∠AOB=(0≤≤π)叫做向量a与b的 哥 R号 c D 夹角、 2.(2024·新课标I卷)已知向量a=(0,1), (2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b, b=(2,x),若b⊥(b一4a),则x= ( 它们的夹角为0，我们把数量 A.-2 B.-1 C.1 D.2 叫做向量a与b的数量积（或内积），记作 3.(2025·八省联考)已知向量a=(0,1),b= a·b,即a·b= 规定：零向 (1,0),则a·(a-b)= 量与任一向量的数量积为0，即0·a=0. A.2 B.1 C.0 D.-1 (3)投影向量 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足a 如图，在平面内任取一点O,作 =1,a十2b=2,且(b-2a)⊥b,则|b= OM=a,ON=b,过点M作直 Ob M N ( 线ON的垂线，垂足为M, 则OM就是向量a在向量b上的投影向量. A c号 D.1 设与b方向相同的单位向量为e,a与b的 5.(2025·广西柳州模拟预测)已知向量a与 夹角为0，则OM1与e,a,0之间的关系为 b的夹角为60°，且a=(1,3),b=1,则 OM,=lal cos 0e. a-2b= ( ) 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 A.7 B.√5 C.4 D.2 设向量a=（x1,y1),b=(x2,y2),0为向量 6.在北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目 a,b的夹角。 开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中 (1)数量积：a·b=a|bcos0=x1x2+y1y2 央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以 (2)模：a=√a·a=x+y 无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”， x1x2十yMy2 又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在 3)夹角：cos9=abx+7.,/2 1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花 (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b=0台 曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开 x1x2十y1y2=0. 始，把每条边分成三等份，然后以各边的中 3.平面向量数量积的运算律 间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉 (1)a·b=b·a(交换律) 底边，重复进行这一过程.已知图①中正三 (2)a·b=入(a·b)=a·(b)(结合律). 角形的边长为3，则图③中OM·ON的值为 (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 33 快乐假期 00= 14.在△ABC中，BC的中点为D,设向量AB =a,AC=b. ① ② ③ ④ (1)用a,b表示向量AD; A.33 B.63 C.6 D.6√2 (2)若向量a,b满足a=3,b=2,(a,b》 7.(2025·广东省广州市天河区模拟)在 =60°，求AB·AD的值. △ABC中，BA.BC-号BC,若a=}A店 十号花，6=是A店+}AC.e=号A店+ Ad则 () A.b>c>a B.b>a c C.a>c>b D.c>a>b 8.（多选)下列关于向量a,b,c的运算，一定成 立的是 () A.(a+b)·c=a·c+b·c B.(a·b)·c=a·(b·c) 15.已知向量m=(√3sinx,cosx一1)，n= C.a·b≤a·|b (cosx,cosx+1),若f(x)=m·n. D.a-b≤|a+|b (1)求函数f(x)的单调递增区间； 9.(多选)已知向量a+b=(1,1),a-b= (2)在Rt△ABC中，角A,B,C的对边分 (一3,1)，c=(1,1),设a,b的夹角为0，则 别为a,b,c,若∠A=90°，f(C)=0,c=3, () CD为∠BCA的角平分线，E为CD的中 A.al=b B.a⊥c 点，求BE的长. C.b∥c D.0=135° 10.(多选)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,1), c=(2,t),下列说法正确的是 () A.若(a十b)∥c,则t=6 B若a+blc则i=号 C若4=1.则cosa,e= D.a+c<3 11.已知向量a,b满足a一b=√3，a十b|= 2a一b,则|b1= 12.已知向量a,b的夹角为，(a-b)Lb,则 a a+bl 'a-b 13.在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=2,CA=4,P 在边AC的中线BD上，则CP·BP的最小值 为 34蜜快条假湖 0M-= 10.ABD[各选项代入验证，若A,B,C三点不共线即可构 6.C[在图③中，以O为坐标原点建立y 成三角形.因为AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)= 如图所示的平面直角坐标系，OM=2, (1,2),AC=0元-0A=(m+1,m-2)-(1,-3)= oi-=(2os号，2sim）=1w3. (m,m+1).假设A,B,C三，点共线，则1×(m+1)-2m =0,即m=1.所以只要m≠1，A,B,C三，点就可构成三 M=专，即M=(停0小 角形.A、B、D符合题意.] 11.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. P-日由图形知PN/OM,所以P时-（名，得） 答案：15 12.解析：在△ABC中，∠A=60°，BC1=1,点D为AB的 所以0-成+啦+-(，7) 中，点，点E为CD的中点，AB=a,AC=b, 所以0mi.0示=1x2+5×1g=6] 则A店=2(Ai+AC)=a8+2AC=a+2 7.A[如图，设BC的中点为D, 答案：a+b 则B所.BC=2B心=B元· 13.解析：，B,D,C三点共线， BD,所以BA·BC-BC.BDB1 D EGF +以=1，解得及=是 =BC.(BA-BD)=BC·DA=0,∴.AD⊥BC, 则AB=AC 如图，过D分别作AC,AB的平 设d=子店计是AC由于AB=AC,则d-b,则b=d. 行线交AB,AC,于点M,V, 假如a,d,c的起点均为A,运用加法的平行四边形法作图 则A不=}AC,Ai=A, 求和，对角线对应的终点E,F,G,如图所示.所以|b|> lel>lal. ,在△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC于D, 8.ACD[根据数量积的分配律可知A正确；B中，左边为c ∴.四边形AMDN是菱形， 的共线向量，右边为α的共线向量，故B错误；根据数量 AB=4, 积的定义可知a·b=al|bcos(a,b)≤a·|b,故C正 ∴.AN=AM=3, 确；a-b2-(a|十|b)2=-2a·b-2ab≤0，故 .AD=3√3. |a-b2≤(|a+b1)2,即|a-b|≤|a+b|,故D 答案：》35 正确.] 9.BD[由a+b=(1,1),a-b=(-3,1),得a=(-1,1), 假期必刷17 b=(2,0),则a=√2,1b|=2,故A不正确；a·c=-1× 1十1×1=0，故B正确；不存在入∈R,使b=c成立，故C 思维整合室 1.(2)allblcos a lallblcos 0 不正o9。:。2停以0-18 技能提升台 故D正确.] 1.B[B成-M心成-}B武∴B.B成=号刷 10.BC[a十b=(-1,3),若(a+b)∥c,则-t-6=0,所以 t=一6，故A错误；若(a十b)⊥c,则-2十3t=0,所以 ·成-号音-吉×3x3X号-2J (=号故B正确：若1=1，则osa,e)=a:f。 a·c 2.D因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4十x2-4x 44 =0,解得x=2.故选择：D. 5X后行，故C正确：a十c=(3,t+2),则a十c 3.B[a=(0,1),b=(1,0), √9+(t+2)2≥3，故D错误.] .a-b=(-1,1), 11.解析：由a+b=2a-b,得a2=2a·b .a(a-b)=0×(-1)+1×1=1.] 由a-bl=3,得a2-2a·b+b2=3,即b=3, 4.B[将条件a+2b=2平方得1+4a·b+4b2=4, 所以|b=√3. 由一20)1b得-ab0所以形名b-是] 答案：3 12.解析：由向量a,b的夹角为5，且(a一b)1b, 5.D[由a=(1W3),得a=2, 得(a-b)·b=a·b-B=号abl-b2=0, 又|b1=1,则|a-2b=√a2-4a·b+4b2 =√4-4×2×1×cos60°+4=2.] 所以1a=2b1,8-2 102 三0022. 富三数学恐 因为a+b=√/(a+b)2=√a2+2a·b+b 技能提升台 =√/4b2+2b2+b2=√71b1, 1B[设等差教列a)的公差为d,则S,=8十32= |a-b=√(a-b)2=a2-2a·b+b =√4b2-2b2+b-3b,所以a+h=2L 3+3d=号解得4=a,=1+a-10x号-史.] |a-b3 2.D[由等差数列性质可得a1十a5=2a3,a3十a6十ag= 答案2 3a6,所以3X2a3十2×3a6=18,即a3十a6=3,所以Sg= 13.解析：依题意，以C为坐标原 8(a1十ag)_8(a3十a6）=12.] 2 2 点，分别以AC,BC所在的直 线为x轴，y轴，建立如图所示 3.B[因为S5=S1o,所以a6+a7十ag十ag十a10=0,即 A 的平面直角坐标系， -1oCi234元 5ag=0a8=0,又因为a6=1,所以公差d=-3a1= 1 则B(0,2),D(2,0),所以直线BD的方程为y=-x十2， 因为P点在边AC的中线BD上，所以可设P(t,2一t) a,-a-=子] (0≤1≤2)，所以CP=(t,2-t),BP=(t,-t), 4.A[由题意，2an+1=an十an+2,n∈N",an+1-an= 所以C市.=P-1…2-)=2-2x=2-)号 an+2-an+1,a∈Nt 则数列{an}为等差数列，设公差为d,S3=3a2=6,a3=3, 当1=时，C币，B驴取得最小值- 即a3=3,a2=2,则d=1,则an=a3十d(n-3)=, 答案：司 到8=，将a受=a1十”-8 2 14.解：(1DAi=2+AO=之a+b, 号（常数），则侣}也为等基数别。 所以A0-=a+b 数列}的公为所以受-+a-1Dx 1+",1=1,所以0=2025+1-1013.] 2 2 2025 2 =合×32+号×3×2×c0s60=6,所以A店.Ai=6. 5.A[设bn=an十a+1,由a1=0,a2=1,a3=4,得b1=1, 15.解：(1)f(x)=m·n=3sinx·cosx十cos2x-1 b2=5,则bn=4n-3=an十am+1,故S2o0=(a1十a2)+ -9m2+s2=sin(+ (a3十a4)+…+(a199十a200)=b1十b3+…+b199=1+9 +…+793=100×)+793》=3970.] 令2x+晋∈[2x-吾，2kx+]a∈D. 2 6.AC[由题知a2十a8十a1=a1+d+a1+7d+a1+10d 则x∈[kx-+]水∈， =3a1+18d=3(a1+6d)=3a7,a7是定值， 所以函数f(x)的单调递增区间为 .S13 13(a十a13=13a7是定值.] 2 [kx-kx+晋]∈. 2)fc=sin(2c+若）2=0， 7GD[由1-aa∈N.可得-+1 an+1 an (n∈N+),所以}是公差为1的等差数列，故CD正 sm(2c+)7,又Ce(0,),所以C-号 tan 确：1=1+(1-1)X1=m→a,=,故{an}不是等差数 在△ACD中，CD=25,在△BCE中， an n 3 列，而且{an}为单调递减数列，故AB错误.门 BE=/22+ 3 8.AD[d>0,an+1一an=d>0,所以{an}是递增数列，故 3 2x2x×-四 A正确；nan=na1+(n-1)d]=dn2+(a1-d)n,当n< 假期必刷18 思维整合室 d8时，数列a}不是递增数列，故B不正确；% 2d 1.(1)同一个常数(2)a十b 2.(1)a+(n-1)d(2)a1+nn1)d n(aitan) d+,,当a-d<0时贸}不是说增数列：故C不 2 2 正确；an十3md=4nd十a1一d,因为d>0,所以{am十3nd} 3.(1)(n-m)d (2)ak+ai=am+an (3)md 是递增数列，故D正确.] 103