假期必刷16 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三0022 (2)选择①b=7,又a=7,则sinB= -得×7-9 21 因为A-,则B为锐角，则B=子， 此时A十B=π，不合题意，舍弃； 选择②cosB= 是因为B为三角形内角， 则sinB=/1- 则代入2sinB= 得0得2×9-马.解得6=3. 7 sin C-sin(B)-sin-sin osB+cos sin B -9×+(）×3- 1 14 41 选择OsmA=多，则有cX号-55，解得=5。 22 则由正弦定理得sin Asin C,即了、 C 3sin C,解得sinC 5 2 =55 14 则snB=si血(A+C)=sin(+C=smosC+ -9×是+(）×- 则sa=号ucsin B=2×7X5×3_155. 14 4 假期必刷16 思维整合室 1.b+aa+(b十c)|λa相同相反0aa+ nλa+ab 2.不共线向量1e1十入2e2不共线 3.(1)(x1+x2y+y2)(x1-x2y1-y2)(入x1入y1) √x+y(2)(x2-x1y2-y1) √(x2-x1)2+(y2-y1) 4.b=ax1y2-x2y1=0 技能提升台 1.AD[方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相 反的两个非零向量一定共线，故A正确：单位向量的大小 相等，但方向不一定相同，故B错误；两个向量起点相同， 终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有 相同的起点和终点，故C错误；A,B,C,D是不共线的点， AB=DC,即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对 边平行且相等，反之也成立，故D正确.] 富二数类) 2.B[对于A,C,D都有e1∥e2,所以只有B成立.] 3.B[对于A,因为a=√(-1)2+12=√2，|b=√02+22 =2,所以a≠|b,故A不正确；对于B,a一b=(-1,1) -(0,2)=(-1,-1),因为(a-b)·a=(-1,-1)·(-1,1) =(-1)×(-1)十（一1）×1=0，所以(a一b)⊥a,故B正 确，C不正确；对于D,因为a·b=(-1,1)·(0,2)=2≠ -2,故D不正确.] 4.D[B成=A正-A店=号A心-a=善(A店+BD)-a 5 、11 5.C[若a⊥b,则x(x+1)十2x=0, 即x2+3x=0,解得x=0或x=-3, .A错，C对；若a∥b,则2(x+1)-x2=0, 即x2-2x-2=0, 解得x=1土√3，故B、D错.] 6.C[因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB=DC,AD=BC, 因为成=-2D成，所以武=号店。 -E式+C-号A店-2BC-号A店-2Aò. 又因为EF=xAB+yAD, 所以=号y=一召故x叶=日] 7.D[对于A,BD=BC+CD=-a+3b+(a+3b)=6b,与 AB不共线，A不正确；对于B,AB=4a十6b,BC=一a十 3b,则AB与BC不共线，B不正确；对于C,BC=-a十3b, CD=a十3b,则BC与CD不共线，C不正确；对于D,AC AB+BC=4a+6b+(-a+3b)=3a+9b=3CD,即AC∥ CD,又线段AC与CD有公共点C,所以A,C,D三点共 线，D正确.] 8.BC[对于A、D,不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向 量，满足“|a=b”,满足“a与b都是单位向量”，但是 a∥b不成立，故A、D错误；对于B,由零向量与任何向量 平行，可知a=0或b=0时，a∥b.故B正确；对于C, 因为a=-2b,所以a∥b.故C正确.] 9.ACD[若AM=2A店+2AC,则点M 是边BC的中，点，故A正确；若AM=2 AB-AC,即有AM-AB=AB-AC,即B BM=CB,则点M在边CB的延长线上，故B错误；若AM =-BM-CM,即AM+BM+CM=0,则，点M是△ABC 的重心，故C正确：如图，AM=xAB+yAC,且x十y 2,可得2Ai=2xA正+2AC,设A=2Ai.则M为 AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的号，故D 正确.] 受快条假湖 0M= 10.ABD[各选项代入验证，若A,B,C三点不共线即可构 6.C[在图③中，以O为坐标原点建立y 成三角形.因为AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)= 如图所示的平面直角坐标系，OM=2, 1,2),AC=0元-0A=(m+1,m-2)-(1,-3)= oi-=(2os号，2sin号）=1w3. (m,m+1).假设A,B,C三，点共线，则1×(m+1)-2m =0,即m=1.所以只要m≠1，A,B,C三，点就可构成三 M=专，即M市=（告0小： 角形.A、B、D符合题意.] 11.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. P时=日由图形知PN/OM,所以P时-（名，得） 答案：15 12.解析：在△ABC中，∠A=60°，|BC=1,点D为AB的 所以0-成+啦+-(，7) 中，点，点E为CD的中点，AB=a,AC=b, 所以0mi.0示=1×号+5×1g=6] 则A店=2(Ai+AC)=}a店+2AC=a+2 7.A[如图，设BC的中点为D, 答案：a+2b 则B所.BC=2B驼=B心· 13.解析：B,D,C三点共线， BD,所以BA·BC-BC·BDB D EGF +以=1，解得4=是 =BC.(BA-BD)=BC·DA=0,∴AD⊥BC, 则AB=AC 如图，过D分别作AC,AB的平 设d=子店计是AC由于AB=AC,则d-b,则b=d. 行线交AB,AC,于点M,V, 假如a,d,c的起点均为A,运用加法的平行四边形法作图 则A不=}AC.Ai=子AB, 求和，对角线对应的终点E,F,G,如图所示.所以|b|> lel>lal. ,在△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC于D, 8.ACD[根据数量积的分配律可知A正确；B中，左边为c ∴.四边形AMDN是菱形， 的共线向量，右边为α的共线向量，故B错误；根据数量 AB=4, 积的定义可知a·b=al|bcos(a,b)≤a·|b,故C正 ∴.AN=AM=3, 确；a-b2-(a|十|b)=-2a·b-2a|b≤0，故 AD=3√3. |a-b2≤(|a+|b)2,即|a-b|≤|a|+b|,故D 答案：》35 正确.] 9.BD[由a十b=(1,1),a-b=(-3,1),得a=(-1,1), 假期必刷17 b=(2,0),则a=√2,1b|=2,故A不正确；a·c=-1× 1十1×1=0，故B正确；不存在入∈R,使b=c成立，故C 思维整合室 1.(2)allblcos a lallblcos 0 不正o9。:。成2停以0-18 技能提升台 故D正确.] 1.B[B城-M心B成=}B∴B.B成=号所 10.BC[a+b=(-1,3),若(a+b)∥c,则-t-6=0,所以 t=一6，故A错误；若(a十b)⊥c,则-2十3t=0,所以 ·成-号A音-吉×3x3X号-2J (=号故B正确：若1=1，则cosa,e)=a:f。 a·c 2.D因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4十x2-4x 4 4 =0,解得x=2.故选择：D. 5X5亏故C正确：a+e=(3t+2),则1a十c= 3.B[a=(0,1),b=(1,0), √9+(t+2)2≥3，故D错误.] ∴.a-b=(-1,1), 11.解析：由a+b=2a-b,得a2=2a·b: .a(a-b)=0×(-1)+1×1=1.] 由a-bl=3,得a2-2a·b+b2=3,即b=3, 4.B[将条件|a+2b=2平方得1+4a·b+4b2=4, 所以b=√3. 由-20》1b得-ab0所以形b-是] 答案：3 12.解析：由向量a,b的夹角为5，且(a-b)1b, 5.D[由a=(1W3),得a|=2, 得(a-b)·b=a·b-B=号abl-b2=0, 又1b1=1,则|a-2b|=√a2-4a·b+4b2 =√4-4×2X1×cos60°+4=2.] 所以1a=2b1,8-2 102三0022 高二数 假期必刷16 平面向量的概念及线性运算、平面向量 贯即刻扫码 AI伴学助手 基本定理及坐标表示 学习微博 了考点复习攻略 思维整合室 3.平面向量的坐标运算 1.向量的线性运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a=（x1,y1),b=（x2,y2),则a十b 向量 法则（或几 定义 运算律 ,a-b= 运算 何意义) λa= ,al= (1)交换律： (2)向量坐标的求法 a+b= ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标 求两个向量 三角形法则 即为向量的坐标 加法 和的运算 B a (2)结合律： b/a+h ②设A(x1,y),B(x2y2),则AB= (a+b)+c= 0 ,|AB= 平行四边形法则 4.共线向量定理及坐标表示 ①定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件 a-b 求两个向量 a-b 是：存在唯一一个实数入，使 减法 差的运算 a =a+(-b) ②坐标表示：设a=(x1,y1),b=(x2,y2),向 三角形法则 量a,b(b≠0)共线的充要条件是 规定实数入 (1)a= ； 与向量a A() (2)当A>0时，a的 的积是一 【《技能提升台 方向与a的方向 个向量，这 (入十)a 1.（多选)下列命题正确的有 ( 数乘 :当入<0 种运算叫 A.方向相反的两个非零向量一定共线 时，a的方向与a的 做向量的 (a+b) 方向 ；当入 B.单位向量都相等 数乘，记 =0时，a= C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终 作a 点相同 2.平面向量的基本定理 D.“若A,B,C,D是不共线的四点，且AB DC”台“四边形ABCD是平行四边形” e,e2是同一平面内的两个 条件 2.在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表 示出来的是 对于这一平面内的任一向量a,有 A.e1=(0,0),e2=(1,2) 结论 且只有一对实数入1，入2，使a= B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) 若e,e D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) ,我们把{e1,e2} 3.设向量a=(一1,1)，b=(0,2),则( 基底 叫做表示这一平面内所有向量的 A.lal=bl B.(a-b)⊥a 一个基底 C.(a-b)∥a D.a·b=-2 31 90M= 4.如图，在△ABC中，设AB=a,AC=b,BD 8.(多选)以下选项中，能使a∥b成立的条 件有 =2DC,AE=4ED,则BE= A.al=b B.a=0或b=0 C.a=-2b D.a与b都是单位向量 9.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点， 11 8 8 A.5a-15b B 2 3a- 5b 则下列说法正确的是 () 2 a+0 C.- D.-11 是b A.若AM=号A店+号AC.则点M是边BC 的中点 5.(2024·全国甲卷（理）)设向量a=(x+1, B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的 x),b=(x,2),则 延长线上 A.x=一3是a⊥b的必要条件 C.若AM=-BM-CM,则点M是△ABC 的重心 B.x=一3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.若AM-xAB+yAC,且x+y-2,则 D.x=-1+3是a∥b的充分条件 △MBC的面积是△ABC面积的号 6.如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的 10.(多选)已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1), 中点，CE=-2DE,若EF=xAB+yAD, OC=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三 角形，则实数m可以是 () 则x十y= A.-2 B司 C.1D.-1 11.(2024·上海卷)已知a=(2,5),b=(6, k),a∥b,则k的值为 A.1 B.6 C. 6 D. 12.在△ABC中，∠A=60°，|BC1=1,点D为 线段AB的中点，点E为线段CD的中点， 7.（2025·绵阳高二质检)已知平面向量a,b 若设AB=a,AC=b,则AE可用a,b表示 不共线，AB=4a十6b,BC=-a十3b,CD= 为 a+3b,则 ( 13.在△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 于点D,若AB=4,且AD=AC+AAB(A∈ C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 R),则入= ,AD的长为 32