假期必刷15 解三角形-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三0022 高二数学) 假期必刷15解三角形 学而不思则罔，思而不学则殆。 完成日期： 月 思维整合室 《技能提升台 1.正、余弦定理 1.在△ABC中，已知B=120°，AC=/19,AB 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是 =2,则BC= () a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则 A.1 B.√2 C.5 D.3 定理 正弦定理 余弦定理 2.在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c, a2=62+c2-2bccos A; 若a,b是方程x2-3x+2=0的两个实数 公式sinA= sin B= sin C b2=c2+a2-2cacos B; =2R c2=a2+62-2abcos C 根，且△ABC的面积为，则C的大小是 (1)a 2Rsin A,b= 2Rsin B,c=2Rsin C; A.45 B.60° 2R'sin B= (2)sin A=a cos A=62te2-a2 C.60°或120° D.45°或135° 常 2bc smC-录： b 3.(2025·八省联考)在△ABC中，BC=8,AC 见 cos B=c2+a?-2 2ac =10,cos∠BAC= ，则△ABC的面积为 3 变 (3)a:b c=sin A: 形 sin B:sin C; cos C=a2+62-c2 2ab ( (4)asin B=bsin A,bsin A.6 B.8 C.24 D.48 C=csin B,asin C=csin 4.(2025·重庆市期中)在△ABC中，有正弦 a b 2.S△ABC= 2absin C=1 1 2bcsin A=1 2acsin B= 定理：Asin B-sin C=定值，这个定 值就是△ABC的外接圆的直径.如图所示， 4R 一2(a十b十c)·(r是三角形内切圆的 △DEF中，已知DE=DF,点M在直线EF 半径)，并可由此计算R,r 上从左到右运动（点M不与E,F重合），对 3.在△ABC中，已知a,b和A时，解的情况 于M的每一个位置，记△DEM的外接圆面 如下 积与△DMF的外接圆面积的比值为入， 那么 A为钝角 A为锐角 或直角 图形 a b b下 A B--B A.入先变小再变大 B B.仅当M为线段EF的中点时，入取得最 bsin A< 关系式 a=bsin A a≥b a-b asb a<b 大值 解的 C.λ先变大再变小 一解 两解 解 无解 个数 D.入是一个定值 29 飞婴快乐假期 0M= 5.(2024·全国甲卷（理）)记△ABC的内角 11.(2024·新课标I卷)记△ABC的内角A, A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°， B,C的对边分别为a,b,c.已知sinC=√2 62=9 ac,则sinA+sinC= cos B,a2+62-c2=2ab. (1)求B; 2√39 A.13 B39 13 (2)若△ABC的面积为3十√3，求c. cg D.33 13 6.(多选)(2025·张家口质检)下列命题中正 确的是 () A.在△ABC中，A>B,则sinA>sinB B.在锐角△ABC中，sinA>cosB恒成立 C.在△ABC中，若acos A=bcos B,则 12.(2024·北京卷)在△ABC中，内角A,B,C △ABC必是等腰直角三角形 的对边分别为a,b,c,∠A为钝角，a=7, D.在△ABC中，若B=60°，b2=ac,则 sin eos B. △ABC必是等边三角形 (1)求∠A: 7.(多选)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条 别为a,b,c.若asin A=4 bsin B,ac=√5(a2-b 件中选择一个作为已知，使得△ABC存 在，求△ABC的面积. 一)，则下列选项正确的是 () A.a=2b 条件①：6-7：条件@：60sB-是 B.cosA=5 条件③：snA-多8. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别 C.sin B5 5 解答，按第一个解答计分 D.△ABC为钝角三角形 8.已知△ABC中，角A,B,C所对的边a=4, b=5,c=6,则sinA= 9.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c, 已知A=60°，b+c=6,且△ABC的面积为√3， 则△ABC的内切圆的半径为 10.已知△ABC中，∠BAC=60°，AB=2,BC =√6，∠BAC的角平分线交BC于点D,则 AD- 30三0022 高二教类逊) 1.ACD[A选项，由图象可得2T=晋（一)=受故 (2:fA)=sin(2A+吾)+1= 函数的最小正周期T=,因为w>0,所以红=，解得0= m(a+看）安 2,A正确：B选项，将（登2）代入解折式得 0<A<x<2A+<182A+- 2sm(2×登+y)=2,因为p<受，解得p=- ，B错 即A=否 误：C选项，f(x)=2sim(2x-号)故f() 2a=3b, 2sin(骨-骨）=0，故点（后，0）是f)图象的-个对 nA=原nB=in B--号 21 称中心，C正确：D造项，fx)的园象向左平移晋个单位 0<B<经B=年 后得到g(x)=2sin(2+答-晋)=2sin(2x+受) ·sinC=sin(A+B)=6+V2 4 2cos2x.因为g(x)=2cos2x的定义域为R,且g(-x) 4 b =2cos(-2x)=2cos2.x=g(x),故g(x)=2cos2.x为偶 “ic龙snB6=2 函数，D正确.] 21 12.解析：由于f代)在区间[臣·]上具有单润性，则至 :SohsinA 假期必刷15 是≤号工，所以T≥吾，由（餐）=()可知高数 技能提升台 1.D[由余弦定理得AC=AB2+BC2-2AB·BCcos B, )的-条对称轴为4+。 2 39 得BC2+2BC-15=0,解得BC=3或BC=-5(舍去).] 又()-() 2D[根搭题意，得a6=2,则号×2XmC=号解得C= 则✉有对称中心（后0）小从而T=4(得一看) 45°或C=135°.] 3.C[设AB=x,根据余弦定理BC2 答案： =AC2+AB2-2AC·AB· cos∠BAC, 13.解析：设A(,号）B(号）则a1十g=百十9 已知BC=8,AC=10,cos∠BAC= -否又一1=晋，所以仙=4，由南线y=f)过 号代入可得： (0所以4×暂+g=2x,即9=要 3 82=102+x2-2X10Xx×3 所以f)=sin(）)=sim(x-) 即x2-12x十36=0，解得x=6, 由于BC2+AB2=64十36=100=AC2,则△ABC为直角 三角形， 答案；9 则5=2×6×8=24.] 14.解：1)f)=sim(2x-）十2cos2z 4.D[设△DEM的外接圆半径为R1,△DMF的外接圆半 径为R2, 1 sin 2x+2 cos 2+1 由是杏 =入，点M在直线EF上从左到右运动（点 -i如(2x+看)t1, M不与E,F重合)， ze[]2+音[后5] 对于M的每一个位置，由正孩定理可得：R,=号× “2<sm(2x+6）+12, 限ER-专×nP DE 画数)的值城为[合2] 又DE=DF,sin∠DME=sin∠DMF, 可得R1=R2,可得入=1.] 99 壁快乐翻 M-= 5.C【因为B=吾b-ac,所以simB=号sin AsinC. 9.解析：由题意得△ABC的面积S= smAC-×-号由余孩定理可得-+ 故bc=4.因为A=60°，b十c=6,由余弦定理得，a2=b2+ c2-bc=(b+c)2-3bc=24,所以a=2√6，△ABC的周长 ar=号ac.中a2+-csmA+nrC-是in Asin C 为6+26，设△ABC的内切圆的半径为n,则号(a十b+c)r 13+ 1所以(mA十血02=rA+nC+2nAnC- =2×6+26m=5,解得-5-E 导-子mA+nC=竖 2_7 答案：√3-√2 10.解析：如图所示：记AB=c, 6.ABD[对于A,由A>B,可得a>b, AC=6,BC=a, 利用正弦定理可得sinA>sinB,正确； 22+b2-2X2Xb×c0s60°=6， 对于B,在锐角△ABC中A,B∈(0,2) 因为b>0,解得b=1十√3， :A+B>∴>A-B>0. 由S△ABC=S△ABD十S△ACD可得， 名×2x6Xm60 ∴sinA>sim(5-B）-cosB, 2×2 XADXsin30+号XADX6Xim30, ∴.sinA>cosB恒成立，正确； 2 对于C,由acos A=bcos B, 解得AD=3%=2v51+3=2. 利用正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B, 1+号 3+√3 .'sin 2A=sin 2B, 答案：2 .2A=2B或2A=π-2B, 11.解：1由余孩定理可得osC-+一2_ 2ab 29 A=B成A+B=受 △ABC是等腰或直角三角形，错误； 因为C∈(0，x,所以C=至，所以cosB=-sinC=号， 对于D,由于B=60°，b=ac, 即cosB=1」 2, 由余弦定理可得b2=ac=a2十c2-ac, 可得(a-c)2=0,解得a=c, 因为B∈(0，m),所以B=号 可得A=C=B=60°，正确.] 7.ACD[因为asin A=4 bsin B,所以a2=4b2,所以a=2b, (②)由ID可得A=-B-C=是x,设△ABC外接圆的 半径为R, 故A正确；因为ac=√5(a2-b2-c2)=√5·(-2 bccos A), C 且a=2b,所以2bc=-25bcc0sA,所以c0sA=-5,故 由正孩定理可得：sin A sin Bsin Ci=2R, 5 所以b=√3R,c=√2R,sinA=sin(B+C) B错误；因为A∈(0，π)，所以sinA>0,所以sinA= 厂有=25又因为4=26，所以mA=2mB.所 -sin Beos C+cos Bsin C 41 所以S△ABC= 以nB5,故C正确；由cosA=一5之0可知 beinA=子5R·ER.62 4 3+√3，解得R=2, A∈（受x小所以△ABC为钝角三角形，故D正确.】 所以c=22. 8.解析：a=4,b=5,c=6,由余弦定理得， 12.解：)由题意得2 sin Be0sB=停esB,.因为A为 cos A=62+c2-a2 2bc 钝角， ∠25t3616=8,又：A∈(0，x,÷smA>0, 则cosB≠0，则2sinB= 2×5×6 smA=1-osA=1-(任)-7 则6 5 sin A sin A:解得sinA=5, 2 a sin B 2 7 答案7 因为A为纯角，则A=2 31 100 三022 盒二数学) (2)选择①b=7,又a=7,则simB= 2.B[对于A,C,D都有e1∥e2,所以只有B成立.] 21 3.B[对于A,因为a=√-1)2+1Z=2,|bl=√02+22 因为A-红，则B为锐角则B=否， =2,所以a≠|b,故A不正确；对于B,a-b=(-1,1) -(0,2)=(-1,-1),因为(a-b)·a=(-1,-1)·(-1,1) 此时A十B=x,不合题意，舍弃； =(-1)×(-1)+(-1)X1=0,所以(a-b)⊥a,故B正 选择②cosB= 是因为B为三角形内角， 确，C不正确；对于D,因为a·b=(-1,1)·(0,2)=2≠ 一2，故D不正确.] 则sinB/1 4.D[B成=A正-A店=考A心-a=善(A店+B心)-a 则代入2sinB= 释2×马.解得6-3 snC=sm(A+B)=sm(+B）-sm行cosB+os 、11 sin B 5.C[若a⊥b,则x(x+1)十2x=0, -9×+(）×3- 即x2+3x=0,解得x=0或x=-3, .A错，C对；若a∥b,则2(.x+1)-x2=0, 则SAABC= 即x2-2x-2=0, 14 41 解得x=1±3，故B、D错.] 选择③csnA=55,则有c×5=55,解得c=5。 21 22 6.C[因为四边形ABCD是平行四边形， 则由正弦定理得A一inC,即一一5 所以AB=DC,AD=BC, C 3sin C,解得sinC 因为花=-2D成，所以武=号成， =5v3 成-武+-号A成-心-=号A感-号Aò. 14 又因为E示=xAB+yAD, 所以=号y=日故叶y=日】 sin B=sin(A+C)-sinc)-sin cos C+ 7.D[对于A,BD=BC+Ci=-a+3b+(a+3b)=6b,与 AB不共线，A不正确；对于B,AB=4a十6b,BC=-a十 3b,则AB与BC不共线，B不正确；对于C,BC=一a十3b, -9×+(）×晋- 14 CD=a十3b,则BC与CD不共线，C不正确；对于D,AC 则5a=7s血B=号×7X5x215 AB+BC-4a+6b+(-a+3b)=3a+9b=3CD,即AC∥ 14 4 CD,又线段AC与CD有公共点C,所以A,C,D三点共 假期必刷16 线，D正确.] 思维整合室 8.BC[对于A、D,不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向 1.b+aa+(b+c)1aa相同相反0aa+ 量，满足“a=b”,满足“a与b都是单位向量”，但是 aa十b a∥b不成立.故A、D错误；对于B,由零向量与任何向量 2.不共线向量1e1十入2e2不共线 平行，可知a=0或b=0时，a∥b.故B正确；对于C, 因为a=-2b,所以a∥b.故C正确.] 3.(1)(x1+x2y+y2)(x1-x2y1-y2)(入x1,y1) √+y3(2)(x2-x1y2-y1) 9.ACD[若A=A店+2A元，剥点M √x2-x1)2+(y2-y1) 是边BC的中点，故A正确；若AM=2 4.b=ax1y2-x2y1=0 AB-AC,即有AM-AB=AB-AC,即 B 技能提升台 BM=CB,则，点M在边CB的延长线上，故B错误；若AM 1.AD[方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相 反的两个非零向量一定共线，故A正确：单位向量的大小 =-BM-CM,即AM+BM+CM=0,则，点M是△ABC 相等，但方向不一定相同，故B错误；两个向量起点相同， 的重心，故C正确：如图，AM=xAB+yAC,且x十y 终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有 日，可得2Ai=2xA店+2yAC,设A=2Ai.则M为 相同的起点和终点，故C错误；A,B,C,D是不共线的点， AB-DC,即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对 AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的2，故D 边平行且相等，反之也成立，故D正确.] 正确.] 101