假期必刷13 14 三角恒等变换 三角函数的图象与性质-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

快乐假期 锲而不舍，金石可镂。 假期必刷13三角恒等变换 完成日期： 月 《思维整合室 6.(2025·肇庆高二模拟)若5cos2a-sin2a 1 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 tan22a,则tana= ( cos2a sin(a±3)= B.-1 cos(a±B)= A号 tan(a士B)= C.1 D.-1或号 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 7.(2025·石家庄高一模拟)已知sin(a一B)= sin 2a= cos 2a= 2cosa+B》,lan(a-B)=2则1ana-ian9 ( ) tan 2a- c. 3.函数f(a)=asin a十bcos a(a,b为常数)，可以化 b或 为fa)一a+sma十其中tamg 8.（多选)下列各式中，值为2的是 ( A. tan22.5° fa)=/层+6·osa-其中amg-8) -tan222.5 B.tan15°cos215 《技能提升台 C 3c0s2 3 12 1.sin45°cos15°+cos225°sin165°=( 1-c0s609 A.1 B专 c. D号 D. 2 2.在△ABC中，cos Acos B>sin Asin B,则 9.(多选)已知cosa= 3 +√2co 2a- △ABC的形状是 () 则 sna+ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 c 2 3.(2023·新高考I卷)已知sin(a-)=} 5 10.(多选)下列说法正确的是 1+cos 2a cos asin 6则c0s(2a+2p)=（ ) A.cos2a= 2 02 A号 B司 C.-g n-号 B.1-sin a= sin 2 cos 2 4.(2024·新课标I卷)已知cos(a+B)=m, C号n 2 cos a=sina+ 6 tan atan B=2,cos(a-B)= ( A.-3mB一号 C.3 1-tan15°=3 D.3m D.1+tan153 11.(2024·新课标Ⅱ卷)已知a为第一象限 5.若a∈0,}tam2a= cosa,则tana= 2-sin a 角，B为第三象限角，tana十tanB=4, ( tan atan B-√2+l,则sin(a+3) 12.c0s20°·c0s40°·c0s100°= A①5 15 B.5 C.5 3 D.15 3 18若ama=-号则n2a+月 26 三0022 高二数半) 假期必刷14三角函数的图象与性质 天行健，君子以自强不息。 完成日期： 月 思维整合室 3.函数y=sinx的图象经变换得到y= Asin(wx十p)的图象的两种途径 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中，五 画出=sinx的图象 画出)=sinx的图象 向左（右）平移91个单位长度 横坐标变为 原来的。倍 个关键点是：00，(1，x,0 得到=sin(c+p)的图象 得到=sin x的图象☐ 向左（右）平移 |品引个单位长度 (2π，0) 横坐标变为原来的。倍 罗 得到y=sin(wx+p)的图象 得到y=sin(ox+p)的图象 (2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中， 纵坐标变为】原来的A倍 纵坐标变为原来的A倍 得到)=Asin(wx+p)的图象 得到)=Asin(wx+P)的图象 五个关键点是：0.1).（径0 《技能提升台 2,. 1.(2025·八省联考)函数fx)=cosx+)的 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中 最小正周期是 ( k∈Z) A平 B.2 C.π D.2π 函数 y=sinr y=cos r y=tan x 2.(2024·北京卷)设函数f(.x)=sin wx(w>0), 已知fx)=-1,f(x2)=1,且|x1-x2的最 y 图象 小值为5，则w ) A.1 B.2 C.3 D.4 定义域 R 3.函数y=3an2x+)的定义域是（） A{≠x+∈z 值域 R k∈z 最小正 周期 奇偶性 奇函数 D.x≠台，k∈Z 4.(2024·新课标I卷)当x∈[0,2π]时，曲线 递增 y=sinx与y=2sin 3x- 的交点个数为 区间 ) 递减 A.3 B.4 C.6 D.8 无 区间 5.已知函数f（x)=sin(wx十p)在区间 （石，)单调递增，直线一石和=为 63 对称 中心 (臣 函数y=f(x)的图像的两条相邻对称轴， 5π 则) ) 对称轴 方程 3 A.- c 27 婴味乐跃翻 6.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩 11.(多选)已知函数f(x)= 短到原来的)倍，纵坐标不变，再把所得曲 2sin(wx+o) >0p< 线向右平移个单位长度，得到函数y 的部分图象，则 A.w=2 sinx-置)的图象则x) 成p-晋 A.sin2 7元 12 C.点（否0是f(x)图象的一个对称中心 C.sin2-1 π D.sin D.f代x)的图象向左平移登个单位后所对 7.已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x 应的函数为偶函数 =2,f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析 12.设函数f(x)=Asin(wx+p)(A,w,p是常数， 式可能为 ( ) A.f)=sim登 B.f(x)=cos 2 A>0>0.若(x)在区间5，]上具有 D.f()-cos 单调性，且()==-则 C.f(x)=sin f(x)的最小正周期是 8.已知f(x)为函数y=co 2x+否)向左平移 13.已知函数f(x)=sin (r十9)，如图，A,B 吾个单位所得函数，则y=f)与y= 是直线)一号与曲线 的交点个数为 ( y=f(x)的两个交 A.1 B.2 C.3 D.4 点，若AB1=否则fx)- 9.（多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x) =in2r和g(x)=sin(2x一下列说法 14.设函数f(x)=sin2x-十2cosx 正确的有 1)当x∈[0，时，求函数)的值域： A.f(x)与g(x)有相同的零点 (2)△ABC的内角A,B,C所对的边分别 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 为a6c,且fA)=多2a=3b.c=1+ D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 3,求△ABC的面积. 10.(多选)(2025·福建泉州第五中学高二模拟) 已知函数f)=s2r十o时2+）则 ( A函数)的图象关于点〔经0对称 B将函数f()的图象向左平移个单位 长度后所得到的图象关于y轴对称 C.函数f(x)在区间[0，π]上有2个零点 D.函数)在区间[，]上单调递增 28快乐假期 0M-= 所以sima=m=2m=m 假期必刷13 4221 思维整合室 所以r=√3十m2=2√2， l.sin acos B±cos asin3 cos acos3千sin asin B 即3+m2=8,解得m=土√5. tana±tan3 当m=5时，c0sa=一3=- l千tan atan3 2√2 4,tana=-15 3 2.2sin acos a cos2a-sin2a 2cos2a-1 1-2sin2a 当m=-5时，cosa=-3=- 2√2 4,tan a=v15 2tan a 3 1-tan2a 苔案：9一或 技能提升台 3 1.B[sin45°cos15°+cos225°sin165°=sin45°·cos15°+ 12.解析：由题意可得sina= -1 √5 √22+(-1)2 5 (-cos45)sin15=simc45°-159）=sin302=2.] 所以cos2a=1-2sin2a=1-2=3 2.C[依题意可知cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)> 55 0,所以-cosC>0,所以cosC<0,所以C为钝角.] 答案： 3.B[因为sin(a-B)=sin acos-cos asin B=3, 1 13.解析：根据条件可知圆周长为2π， c0 asin-=日，则sin e0s= 1 :AB=8=是×2x,故可得圆旋转了是圆周，A位置 2 4 如图： 故sma+0=in cos叶=+名号 即om(2+8》-1-2a+》-1-2x(号）广-号-】 M. 4.A[由tan atan B=2,得sin asin B=2 cos acos B,cos(a十B) B =cos acos B-sin asin B=-cos acos B=m,cos acos B 则∠A'M'B=90°，则△A'M'B是等腰直角三角形， =-m,所以cos(a-B)=cos acos B+sin asin3= 周M到B以的死高-号-号 3 cos acos B-=-3m.故选择：A.] 5.A[因为tan2a=sin2e_2 sin acos a 答案号 cos 2a 1-2sin2a 且tan2a-2-sina cos a I4.解：I)由sina=sna得sina<0,由lg(cosa)有意 1 义，可知cosa>0,所以a是第四象限角. 所以。=”品。解得m。= 1-2sin2a (2月为QN=1,所以(}了+m2-1,解得m=士台 因为a∈(0，受）小所以cosa=正， 4 又&为第四象限角，故m<0,从而m=一 sina= tana=sina-√1s.] cos a 5 4 6.A[由5cos2a-sin2a= -tan22a,可得5(cos2a OM 1 5 cos22a 15.解：存在，由sin(3x一a）=2cos(径)得sna=2sn sin2a)-2sin acos a= 1 sin22a-1=sin'a+cos'a cos22a cos22a B,① (cos2a≠0)，整理得3sin2a十sin acos a--2cos2a=0, 由√3cos(-a)=-√2cos(π十3)，得V3cosa=2cosB,② 两边同时除以2cos2a并整理可得：3tana十tana-2=0, .'sin2a+3cos2a=2(sin2B+cos2B)=2,..1+2cos2a=2, 解得：tan&子或tan&三一1y 当tana=-1时，sina=一cos&,cos2a=0,不符合题意， 或一 所议1m0=导.J 7.Csin(a-B)=2cos(a+B),sin acos B-cos asin B 又月c(0,x),B=音：当a=-牙时，由①知sinB -2(cos acos B-sin asin B), 日与E0,x)矛盾，合去存在a=吾日=吾，符 两边同除cos acos B,得到tana-tanB=2-2tana·tanB, 合题意. 即tana·tang=l-tana_tanE 2 96 三0022 tan(a-B)= tan a-tan B tan a-tan B 1 1+tan a.tan B 1+1 tana tan8 -21 2 in40°·cos40°·cos80 2 sin20° ana-iang=告] 4sin80°·cos80 1 8AD[时于A器2写-n5=分： 1 sin20° 对于B,tan15cos215°=sin15°cos15 8sin160° 8 sin 20 1 sin 20 sin20°= 8 =7m30= 答案：月 对子c得时最-m是-音-： 1解折：sn(2a+）一号(sm2a十cos2a 对于D, o60=sn30=2A.CD转合题意.门 2 2sin acosacos"a-sin a 2 sin2a++cos2a CD[由msa=子得ma= 1+w2os(a-） 4 5 sin(a+2) 2 tanza1 2 1+(cos2acos子+sin2asin） cos a =-72 26 1+cos 2a+sin 2a2coa+2sin acos a-2(sin a+cosa). cos a cos a 答案：-72 26 所以当sina= 假期必刷14 原式= 思维整合室 10.ABD [cos 2a=2cos2a-1.cos2a=1+cos 2a (2)(π，-1) 2 1.(经- 故A正确：1-sina=sin2号十cos2号-2in受c0s号 2.{xx∈R,且x≠kx+}[-1,1][-1,1]2x2元 =(im-cos受)故B正sma+ 2cos a π奇函数偶函数 [2x-,2x+受] e+）c维是 [2kπ-π，2kπ] tan45°-tan15° [2x+，2x+ 1十tan45.tanF=tan(45°-16)=tan30°= 3 故D正确.] [2kπ，2kπ十π](kx,0) (k红+受，0）x=kx+受 l1.解析：sin(a十B)=sin acos B十cos asin3 x=k元 =cos acos B(tan a+tan B) 技能提升台 -4 =4cos acos B- √/1+tan2av√1+tan3 1.D[依题意，f()的最小正周期T=2=2元] -4 2.B[由题意可知：x1为f(x)的最小值，x2为f(x)的最大 (tan a+tan B)2+(tan atan B-1)2 值点， 2N2 √42+2 3 则一m=号-申T= 答案：-22 3 且w>0,所以w=2年=2.] T 12.解析：cos20°·cos40°·cos100 =-c0s20°·c0s40°·c0s80 3.C[要候面鼓有意义，则2x十≠x十贺，k∈Z即x≠ 2 =-sin20°·c0s20°·c0s40°·c0s80 sin 20 十晋长五.所以函数的定义域为{口子受x+晋∈Z,门 97 快乐假期 90-= 4.C[由题意可得：y=2m(3x-石)可知最小正周期T= 8.C[因为y=c0s(2x十）向左平移石个单位所得函数 =2cos3.x,画出y=sinx和 为y=co[(+5)十若]-o(2+)-m2, y=2cos3x在[0,2π]上的函数图象，观察即可得到6个 所以f(x)=-sin2x, 交点 而y=-显然过(0，-)与1.0)两点 y=2sin(3x-) 作出y=f)与y2一2的部分大致图象如下， y=sinx 2π f(x) 故选择：C.] 考虑2x= 3π 3π .D[因为f)=sn(ax+p)在区间（答餐）上单钢 2x=经2=7甲x= 2 =华处)与y=的大小关系， 递增， 2一2， 当=时川）m）-1” 当=否时，八)取得最小值， 8 当x=时，f(）=sm=1y=×8-号 则2X若+g=2kx-受，k∈Z. 3-4<1： 8 则9=2x-k∈Z。 当x=孕时(）m-1w=子× 不6取友=0，则x)=sim(2x-晋）， 7。4>1 8 则()m(）] 所以由国可知，y=f()与y=号x-号的文点个数 1 6B[依题意，将y=m(-)的图象向左平移受个单 为3.] 9.BC[A错，代x=0便知；B显然对，两者值域相同；C显 位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2 然对，两者最小正同期都为xD错，前者对称轴为x=日 倍，得到f(x)的图象， 向左平移弩个单位长度 十经后者是=+经kE2.] 8 2 所以y=m(红-)的图象 10.ACD [f(x)=cos 2x+ 20s2x-8 1 y=sin(+是)的图象 所有，点的横坐标扩大到原来的2倍 m2x=s(2x+）】 f)=im(受+)的图象.] 时于A,当=时，2+-要 3r=0,故A正 7.B[A选项中T=2红=4，B滤项中T-2红-=4， 确：对于B,将)向左平移径个单位后可得，g（) C选项中T=2红=8，D选项中T=2红=8，排除选项CD: co[2(+)十]=o(2x+)=sim2x为寺画 4 数，关于原点对称，故B错；对于C,当0≤x≤π时，≤1 对于A选项，当x=2时，画数值sim(受×2)=0， =2x+晋<，因y=0s1在[肾，]上仅有2个零 故(2,0)是函数的一个对称中心，排除选项A； 点，故f(x)在[0，π]上也仅有2个零点，故C正确：对于 对于B选项，当x=2时，画数值c0(受×2)=-1，故 D,当号<≤吾时，因y=c0s1在[，2x]上单调跪指。 =2是函数的一条对称轴.] 故)在[导]上单羽运增，故D正确] 98 三0022 高二教类逊) 1.ACD[A选项，由图象可得2T=晋（一)=受故 (2:fA)=sin(2A+吾)+1= 函数的最小正周期T=,因为w>0,所以红=，解得0= m(a+看）安 2,A正确：B选项，将（登2）代入解折式得 0<A<x<2A+<182A+- 2sm(2×登+y)=2,因为p<受，解得p=- ，B错 即A=否 误：C选项，f(x)=2sim(2x-号)故f() 2a=3b, 2sin(骨-骨）=0，故点（后，0）是f)图象的-个对 nA=原nB=in B--号 21 称中心，C正确：D造项，fx)的园象向左平移晋个单位 0<B<经B=年 后得到g(x)=2sin(2+答-晋)=2sin(2x+受) ·sinC=sin(A+B)=6+V2 4 2cos2x.因为g(x)=2cos2x的定义域为R,且g(-x) 4 b =2cos(-2x)=2cos2.x=g(x),故g(x)=2cos2.x为偶 “ic龙snB6=2 函数，D正确.] 21 12.解析：由于f代)在区间[臣·]上具有单润性，则至 :SohsinA 假期必刷15 是≤号工，所以T≥吾，由（餐）=()可知高数 技能提升台 1.D[由余弦定理得AC=AB2+BC2-2AB·BCcos B, )的-条对称轴为4+。 2 39 得BC2+2BC-15=0,解得BC=3或BC=-5(舍去).] 又()-() 2D[根搭题意，得a6=2,则号×2XmC=号解得C= 则✉有对称中心（后0）小从而T=4(得一看) 45°或C=135°.] 3.C[设AB=x,根据余弦定理BC2 答案： =AC2+AB2-2AC·AB· cos∠BAC, 13.解析：设A(,号）B(号）则a1十g=百十9 已知BC=8,AC=10,cos∠BAC= -否又一1=晋，所以仙=4，由南线y=f)过 号代入可得： (0所以4×暂+g=2x,即9=要 3 82=102+x2-2X10Xx×3 所以f)=sin(）)=sim(x-) 即x2-12x十36=0，解得x=6, 由于BC2+AB2=64十36=100=AC2,则△ABC为直角 三角形， 答案；9 则5=2×6×8=24.] 14.解：1)f)=sim(2x-）十2cos2z 4.D[设△DEM的外接圆半径为R1,△DMF的外接圆半 径为R2, 1 sin 2x+2 cos 2+1 由是杏 =入，点M在直线EF上从左到右运动（点 -i如(2x+看)t1, M不与E,F重合)， ze[]2+音[后5] 对于M的每一个位置，由正孩定理可得：R,=号× “2<sm(2x+6）+12, 限ER-专×nP DE 画数)的值城为[合2] 又DE=DF,sin∠DME=sin∠DMF, 可得R1=R2,可得入=1.] 99