假期必刷12 三角函数的概念，同角三角函数的基本关系及诱导公式-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

快乐假期 00M= 假期必刷12三角函数的概念、同角三角函 非学无以广才，非志无以成学。 数的基本关系及诱导公式 完成日期： 月 《思维整合室 3.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为 1.任意角的三角函数 1cm)的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点 (1)定义 A(1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以 设α是一个任意角，以它的顶点为原点，以 至rad/s的速度爬行，展蚂蚁以受rad/s的速 它的始边为x轴的非负半轴，建立平面直角 度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线 坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x,y), 距离为 那么sina= cos a- tan a= x A.1 B.√2-3 c. D. (x≠0). (2)定义的推广 4.(2025·湖北九师联盟质检)若tan(a-π)=2， 设P(x,y)是角α终边上异于原点的任一 密 ( 点，它到原点的距离为r(r>0),那么sina coS a= tan a= A.一3 B.-3 (x≠0). 2.同角三角函数的基本关系 c D.3 (1)平方关系： 5.已知sin acos a-= d3日ra<”,则cosa (2)商数关系：n&=-tan aa-≠5+k,k∈乙 cos a sina的值为 3.三角函数的诱导公式 A吉 B.士 2 公式 二 三 c. D. 1 2kx+ 角 r十a -a n-a -a 吾+a a(k∈Z) 6.下列化简正确的是 正弦 sin a A.tan(π+1)=-tan1 余弦 cos a 正切 tan a B. sin(-a) tan(360°-a) -cos a 口诀 奇变偶不变，符号看象限 C.sin(r-a) =tan a 《技能提升台 cos(π+a) 1.a是一个任意角，则a的终边与3π一a的 D.cos(xa)tan(-xa)-1 sin(2x-a) 终边 7.已知sina十cosa=-√2，则tana十 1 A.关于坐标原点对称 tan a B.关于x轴对称 等于 ( C.关于y轴对称 A.2 D.关于直线y=x对称 B司 C-2D.-2 2.(2025·北京东城区高二调研)若sin0·cos0 8.(多选)钟表在我们的生活中随处可见，高一 <0,tan00,则角日是 某班的同学们在学习了“任意角和弧度制” sin ( 后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展 A.第一象限角 B.第二象限角 开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条 C.第三象限角 D.第四象限角 线段，则下列说法正确的是 () 24 三0022 高三数地) A.小赵同学说：“经过了5h,时针转了 13.如图，半径为1的圆M与直线1相切于点 _5π” A,圆M沿着直线L滚动.当圆M滚动到 6· 圆M'时，圆M与直线I相切于点B,点A B.小钱同学说：“经过了40min,分针转了 运动到点A',线段AB的长度为，则点 6· M到直线BA'的距离为 C.小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12：35 时，时针与分针所夹的钝角为x” 721 B D.小李同学说：“时钟的时针与分针一天之 内会重合22次.” 14.已知sna=sna且lg(cos)有意义. 9.(多选)(2025·山东济宁高二联考)下面说 (1)试判断角α所在的象限； 法正确的有 ( (2)若角a的终边上一点M号m,且OM= A.角5与角一π终边相同 5 1(O为坐标原点)，求m的值及sina的值. B.终边在直线y=一x上的角a的取值集合 可表示为{aa=k·360°-45°，k∈Z C.若角a的终边在直线y=一3x上，则cosa 的取值为0 10 D.6730'化成弧度是 8 10.(多选)(2025·广州高二质检)定义：角0 与9都是任意角，若满足0十9=乏，则称0 15.是否存在a∈(-受，9(0,0，使等式 与g广义互余”.已知m(x+a)=子，下 sin(3x-a)-/(-a)- 列角3中，可能与角α“广义互余”的是 一√2cos(π十)同时成立？若存在，求出a, ( 3的值；若不存在，请说明理由。 A.sin B=15 4 B.cos( C.tan3=/15 D.tang=⑤ 5 11.已知角a的终边上一点P(一√3，m)(m≠0)， 且sina= 2m,则cosa= 4 tan a= 12.已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴的非负半轴重合，点(2，一1)在终边 上，则c0s2a= 25三022- 假期必刷12 7.A[由已知得1十2 sin acos a=2, 思维整合室 'sin acos a=2' 1.yx(2)￥号￥ x ,∴.tana+ 1 sin a cos asin'a+cos'a1-2.] tan a cos a sin a sin acos a 1 2.(1)sin2a十cos2a=1 P 8.ACD[经过了5h,时针转过的角度对应的孤度数为-5 3.-sin a -sin a sin a cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a -tan a -tan a ×智=一否故A正确：经过了40mi,分针转过的角度 12 技能提升台 1.C[因为π一a的终边与3π一a的终边相同，而元一a的 对应的孤度数为-8×管=一智，故B储误：时钟显示的 12 终边与a的终边关于y轴对称，所以a的终边与3π一a的 时刻为12：35，该时刻的时针与分针所夫的钝角为5×冠 终边关于y轴对称.] 2D[动需g0,将g>0,所以m>0,所以0可为 十了×=67π，故C正确：分针比时针多走一图便会重 +12×12=72 第一、四象限角 合一次，设分针走了1mim,第n次和时针重合，则 0 又sin0·cos0<0,所以sin0<0, 2π 11 1一12×60·1=2n,得n=7202(0≤1≤1440)，故nmax 所以日为第四象限角.] 3.A[如图所示，红蝎蚁以车rad/s 20×1440=22,故D正确.□ B 的连度爬行，黑妈蚁以ad/s的 1 AD[角号与角-号x湘差2，终边相同，故A正确： 终边在直线y=一x上的角α的取值集合可表示为 速度爬行，则2秒钟后，红蚂蚁绕 0 {aa=k·180°-45°，k∈Z},故B错误； 国的角度为受，到达B处，黑蚂蚁 若角a的终边在直线y=一3x上， 绕圆的角度为石，到达C处，此时∠BOC=罗- 则c0sa的取值为士D,故C错误： 6=3 10 2 即△BOC为正三角形，故BC=OB=1.] 6730'化成弧度是誓故D正确.] 4.A[由题意得tana=2, 10.AC ['sin(r+a)--sina 22 sma=}osa=士， 4 cos'a-sin'a,cos a-sin atan a (sin a+cos a)2 cos a+sin a 1+tan a 若a+月=受，则月=受-a 3 5.D [sin acos ag (cos a-sin a)2-cosa- sinB=sin(径-a=cosa可能成立，角B可能与角a“广 2sin acs a sina1-2sin acosa 义互余”，故A符合条件： 若B符合，则cOs(π十B)=一( (径--ma=-冬， 与0s(x十0=矛盾，故B不特合条件， ,∴.cosa<sin&,即cosa-sina<0,∴.cosa-sina= 对于C,tan3=√/15，即sinB=√/15cos3, 6.B[对于A,由诱导公式得，tan(π+1)=tan1,故A错 误：时于Ban2 -sin a sina=cosa,故B 又sin2g+co9'g=1,故sing=士压，即C符合条件： 4 -tan a sin a cos a 对于D.m=,印ss 正确：对于C,》-na=一1ana,故C错误： cOs(π十a) 一COSa 又sin2g+cosg=1,故sing=士5，故D不符合条件.] 对于D,cos(πa)tan(-元-a)_(-cosa)(-tana) 4 sin(2π-a) -sin a 11.解析：设P(x,y).由题设知x=一√3，y=m, cos a.sin a 所以2=OP2=(-3)2十m2(0为原点)， osc=一1，故D错误.] sin a 即r=√3+n2, 95 快乐假期 0M-= 所以sima=m=2m=m 假期必刷13 4221 思维整合室 所以r=√3十m2=2√2， l.sin acos B±cos asin3 cos acos3千sin asin B 即3+m2=8,解得m=土√5. tana±tan3 当m=5时，c0sa=一3=- l千tan atan3 2√2 4,tana=-15 3 2.2sin acos a cos2a-sin2a 2cos2a-1 1-2sin2a 当m=-5时，cosa=-3=- 2√2 4,tan a=v15 2tan a 3 1-tan2a 苔案：9一或 技能提升台 3 1.B[sin45°cos15°+cos225°sin165°=sin45°·cos15°+ 12.解析：由题意可得sina= -1 √5 √22+(-1)2 5 (-cos45)sin15=simc45°-159）=sin302=2.] 所以cos2a=1-2sin2a=1-2=3 2.C[依题意可知cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)> 55 0,所以-cosC>0,所以cosC<0,所以C为钝角.] 答案： 3.B[因为sin(a-B)=sin acos-cos asin B=3, 1 13.解析：根据条件可知圆周长为2π， c0 asin-=日，则sin e0s= 1 :AB=8=是×2x,故可得圆旋转了是圆周，A位置 2 4 如图： 故sma+0=in cos叶=+名号 即om(2+8》-1-2a+》-1-2x(号）广-号-】 M. 4.A[由tan atan B=2,得sin asin B=2 cos acos B,cos(a十B) B =cos acos B-sin asin B=-cos acos B=m,cos acos B 则∠A'M'B=90°，则△A'M'B是等腰直角三角形， =-m,所以cos(a-B)=cos acos B+sin asin3= 周M到B以的死高-号-号 3 cos acos B-=-3m.故选择：A.] 5.A[因为tan2a=sin2e_2 sin acos a 答案号 cos 2a 1-2sin2a 且tan2a-2-sina cos a I4.解：I)由sina=sna得sina<0,由lg(cosa)有意 1 义，可知cosa>0,所以a是第四象限角. 所以。=”品。解得m。= 1-2sin2a (2月为QN=1,所以(}了+m2-1,解得m=士台 因为a∈(0，受）小所以cosa=正， 4 又&为第四象限角，故m<0,从而m=一 sina= tana=sina-√1s.] cos a 5 4 6.A[由5cos2a-sin2a= -tan22a,可得5(cos2a OM 1 5 cos22a 15.解：存在，由sin(3x一a）=2cos(径)得sna=2sn sin2a)-2sin acos a= 1 sin22a-1=sin'a+cos'a cos22a cos22a B,① (cos2a≠0)，整理得3sin2a十sin acos a--2cos2a=0, 由√3cos(-a)=-√2cos(π十3)，得V3cosa=2cosB,② 两边同时除以2cos2a并整理可得：3tana十tana-2=0, .'sin2a+3cos2a=2(sin2B+cos2B)=2,..1+2cos2a=2, 解得：tan&子或tan&三一1y 当tana=-1时，sina=一cos&,cos2a=0,不符合题意， 或一 所议1m0=导.J 7.Csin(a-B)=2cos(a+B),sin acos B-cos asin B 又月c(0,x),B=音：当a=-牙时，由①知sinB -2(cos acos B-sin asin B), 日与E0,x)矛盾，合去存在a=吾日=吾，符 两边同除cos acos B,得到tana-tanB=2-2tana·tanB, 合题意. 即tana·tang=l-tana_tanE 2 96