假期必刷11 导数的应用-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

快乐假期 0M-= 贯即刻扫码 假期必刷11导数的应用 A1伴学助手 学习微课 了考点复习攻略 思维整合室 3.函数的最大（小）值 1.函数的单调性与导数的关系 (1)函数f(x)在区间[a,b们上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象 条件 恒有 结论 是一条连续不断的曲线，那么它必有最大 f(x)在(a,b)上 f(x)>0 值和最小值， 函数y=f(x) (2)求y=f(x)在区间[a,b]上的最大（小）值 f(x)在(a,b)上 在区间(a, f(x)<0 的步骤 b)上可导 f(x)在(a,b)上 ①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的 f(x)=0 是 ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函 2.函数的极值 数值 比较，其中最大的一个 (1)函数的极小值 是最大值，最小的一个是最小值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比 【《技能提升台 它在点x=a附近其他点的函数值都小， 1.如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则 '(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 f(x)的极小值点的个数为 () ,右侧 则a叫做函数 y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. 3-221 12八 (2)函数的极大值 A.1 B.2 C.3 D.4 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比 2.函数y=f(x)的导函数y=∫(x) 它在点x=b附近其他点的函数值都大， 的图象如图所示，则函数y=f(x) f(b)=0:而且在点x=b附近的左侧 的图象可能是 ,右侧 则b叫做函数y= f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x) A 的极大值. 3.已知函数f(x)=ae-lnx在区间(1,2)上 (3)极小值点、极大值点统称为 ,极小 单调递增，则a的最小值为 值和极大值统称为 A.e B.e C.e D.e-2 22 三0022 高二数垫) 4.若函数f(x)=x一 3sin2x十asin x在 11.(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=e -ax-a'. (一∞，十∞)上单调递增，则a的取值范 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1) 围是 处的切线方程； A.[-1,1] [-1] (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求 a的取值范围. a n[-1.-3 5.当x=2时，函数f(x)=x3十bx2一12x 取得极值，则f(x)在区间[一4,4]上的 最大值为 ) A.8 B.12 C.16 D.32 6.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)= 2x3-3a.x2+1,则 A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线f(x)的对 称轴 12.(2025·南通高二模拟)已知函数f(x) D.存在a,使得点(1，f(1))为曲线y=f(x) e-mlnx+2x,m∈R. 的对称中心 7.（多选)(2025·江西模拟)设函数f(x)= (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直 ln(1-ax)(a≠0)在(-1，f(-1))处的切线 线y=2.x相互垂直，求m的值； 与直线ax十2y一3=0平行，则 (2)若m=2,求函数f(x)的极值. A.a=1 B.函数f(x)存在极大值，不存在极小值 C.当xe(-0,0)时fx)>-72- D.函数g(x)=f(x)+号(x-1)有三个 零点 8.函数f(x)=l1nx一x2的单调递增区间 为 9.函数f(x)=x3一ax2十2x一1有极值，则实 数a的取值范围是 10.设a∈(0,1)，若函数f(x)=a十(1+a) 在(0，十∞)上单调递增，则a的取值范围 是 23三0022 10.BC[由f(x)=x3-3.x+1,得f(x)=3x2-3,设切，点 (2)因为f(x)= 号2lnx,该函教的定义城为(0，十○) 坐标为(t,t3-3t十1)，则广(t)=312-3,则过切点的切 线方程为y=(312-3)(x-t)+13-3t+1,把点(1，-1) f(.x）=x 1=x2-1 x 代入，可得-1=(3一3)(1-t)+t一31+1，整理得 令f广(x)=0,可得x=1,列表如下： -109(+1）=0,中1=1或1=-2当=-号时：初 (0,1) 1 (1,+∞) 线方程为9x十4y-5=0;当1=1时，切线方程 f(x) 0 + 为y=-1.] 减函数极小值 增函数 1.解析：由f)-0,可谷了D=司 f(x) ea (1+a)2 所以，函数f(x)的递减区间为(0,1)，递增区间为(1，十∞)， =a0解得a=l 1 画数f)的权小值为f1)=号-1n1=无极大值， 答案：1 假期必刷11 12.解析：由题知y=(e十x)′=e十1，当x=0时，切线斜 率k=2, 思维整合室 则切线方程为y=2x+1,=[n(x十1)十a]'=十有 1.单调递增单调递减常数函数 2.(1)f(x)<0f(x)>0(2)f(x)>0(x)<0 2,得x=-2y=2×(-2)+1=0,故y=1nx+1D (3)极值点极值 3.(2)①极值②f(a),f(b) 十a与直线的切点为（名0）小 技能提升台 即0=n(-号+1+a,故a=ln2. 1.A[由题意知在x=一1处f(一1)=0，且其两侧导数值 符号为左负右正.] 答案：ln2 2.D[(x)>0的解集对应y=f(x)的增区间，f(x)<0 13.解析：易得切点为(-e,一e), 的解集对应y=f(x)的减区间，验证只有D符合.] f(x)=ln(-x)+1,则f(-e)=2, 所以切线方程为y-(-e)=2(x十e), 3.C[由题意可知了x)=ae->≥0在区间1,2)上恒成 即2x-y+e=0. 立，即a≥ 答案：2x-y十e=0 ()设g=,则在c2上版有 14.解：f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2). e)=6+De>≥0，所以g)m=g1)=e,则（高） )由题意得f0)=b=0, f(0)=-a(a+2)=-3, 即a≥e.] 解得b=0,a=-3或a=1. 4.C[:f(x=x- (2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所 3 sin 2x+asin x, 以关于x的方程f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a十2)=0 所以f(x)=1-号cos2x+ac0sx= 2 .4 3 cos'x+acos x 有两个不相等的实数根， 所以△=4(1-a)2+12a(a+2)>0, 即a2+a十1>0，所以a≠- 由f(x)在R上单调递增，则f(x)≥0在R上恒成立. 令t=cosx,t∈[-1,1]， 所以a的取值范国为(0，一号)儿（立十∞）】 15.解：(1)因为f(x)=a.x2+blnx,该函数的定义域为 则-+a叶0 在t∈[-1,1]上恒成立. (0,+o∞)，f(x)=2a.x+b, x ∴.4t2-3at-5≤0在t∈[-1,1]上恒成立. 对I)=a=2解 令g(t)=4t2-3at-5, (a=2’此时， f(1)=2a+b=0,b=-1, 则/g1)=-3a-1<0, g(-1)=3a-1≤0. 之得长a≤即a的取位 )=-n 范国关号·]门 经检验，a=2b=-1合乎题意， 5.C[因为f(x)=x3+bx2-12x,所以f(x)=3x2+ 1 2bx-12,又f(x)在x=2取极值，所以f(2)=12+4b 因此，a=26=一1. 12=0,所以b=0,所以f(x)=x3-12x,f(x)=3x2 93 飞受味乐假期 0M= 12,x∈[-4,4]，令f(x)>0,得-4≤x<-2或2≤x≤ 10.解析：由函数的解析式可得(x)=alna+(1十a)rln(1十a) 4;令f(x)<0,得-2<x<2;所以f(x)在[-4，-2]和 ≥0在区间(0，十∞)上恒成立， [2,4]上单调递增，在[-2,2]上单调递减，故b=0满足题 则(1+a)rln(1+a)≥-alna, 意，又f(-2)=-8+24=16,f(4)=64-48=16,故 f(x)max=16.] 即（生）广>≥o在区月0，+上楼成2， 6.AD[求导得f(x)=6x(x-a),于是：A正确，当a>1 In a 时，极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1-a3<0,所以必 k(告）”-1≥o而at11.2 有三个零点；B错，a<0时x=0应为极小值点；C错，任 故ln(1+a)>0, 何三次函数不存在对称轴；D正确，当a=2时f(x)= tln(a+l)≥-lna a(a+1)≥1 2(x一1)3-6(x-1)-3,关于(1，-3)中心对称.] 故 即 10a<1 0<a<1 7AC[对于Af)=0故了(-1》品号 故51≤a<1, 2 解得a=1,故A正确：对于B,因为f(x)=ln(1一x)(x<1), )己0， 结合范意可得实数口的取位范国是[5,1】 所以函数f(x)在x∈(-∞，1)上单调递减，不存在极值， 故B错误； 答案[】 对于C令Fr)=+号+=n1-+ 11.解：(1)a=1,f(.x)=e-x-1,切，点为(1，e-2), 十x(x<0), f(x)=ex-1,k=f(1)=e-1 则F'(x)=1 -1十x+1- y↑y= 所以要求的切线方程为y-(e一2)=(e-1)(x一1)， (x-1) ,由x<0,故F(x)<0, 即y=(e-1)x-1. (2)f(x)=e-a,当a≤0时，f(x)>0,f(x)在R上单 故F(x)在（一∞，0）上单调 调递增，此时无极值 递减，所以F(x)>F(0)=0. 02n2- .a>0,令f(x)=0,x=lna 即当x∈(-，0)时，f(x) f(x)在(-o∞，lna)上单调递减，(lna,十∞)上单调 >、x2 一2一x,故C正确： 递增， 对于D,因为fx)=ln(1-x),当x<0时，f(x)>0,当0 .f(x)极小值=f(lna)=a-alna-a3<0, ≤x<1时，f(x)≤0， .1-lna-a2<0 又了(-1)=-2在同一坐标系中作出y=1f()1与 令ga)=-a3-1nat1,go)=-2a-&0 y=一(-1)的图象， g(a)在(0，+oo)上单调递减，而g(1)=0, 如图所示，函数g()=f()1+号(x-1)有且只有1个 .g(a)<0=a>1 ∴.a的取值范围(1，+∞). 零点，故D错误.] 8.解析：由题意可得函数的定义域为(0，十○)， 12.解：1)画教f)-兰-mlnr+2,求子得了() f(x)=In z-22, e(x-1)-m+2,则f(1)=-m+2, f--2z1 由f(x)>0,可得1-2x2>0, 依题意，（一m十2）X2=-1,所以m=号 舒俗0温， (2)当m=2时，函数f(x)=二-2nx十2x的定义战为 x 故西量的单弱婚区同为(0，号》 (0,十o∞)， 求导得(x)=c(r,1D-2+2=(e+2z)(x-D 答案(6 x2 x 当0<x<1时，f(x)<0,当x>1时，f(x)>0, 9.解析：f'(x)=3x2-2ax十2，由题意知f(x)有变号零，点， 因此函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 ∴.A=(2a)2-4X3×2>0,解得a>√6或a<-√6. 递增， 答案：(-∞，-√6)U(W6,十∞) 所以函数f(x)在x=1处取得极小值e十2，无极大值. 94