假期必刷9 函数模型及其应用-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三0022 所以(x3-3)(z4-3)=x3x4-3(3十x4）十9=(18-x3） 5.C[经过x天后，“进步”与“落后”的比2 ≥10000，所 -45=-x3+18x3-45, 0.8 因为y=-x号+18.x3-45在(3,6)上单调递增， 以（侵）≥100，两边取以10为底的对教得x…g号> 所以0<y<27, 4,又1g2≈0.301，lg3≈0.477，所以x·(1g3-lg2)= 即(x3-3)(x4-3)的取值范围是(0,27). 4 答案：1(0,27) x(0.477-0.301)=0.176x≥4，解得x≥0.176≈2.73， 14.解：(1)2,3为方程x2十bx十c=0的两根， 所以大约经过23天后，“进步”是“落后”的10000倍.] 厂6=2+3Jb=-5, 6.BD[在A中，甲在公国休息的时间是l0min, “c=2×3.{c=6. 所以只走了50min,A错误； (2)由(1)知f(x)=x2-5x+6, 由题中图象知，B正确： 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时 所以g(x)=x2+(m-5)x十6， g(1)>0, 间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到 依题意 21S0.解得m<0. 乙同学家的速度慢，C错误； g(4)>0, 当0区r≤30时，设y=z≠0)，则2=30k,解得质=言 故实教m的取位范因是（一号，0） D正确.] 7.ACD[由题意可知：Lp,∈[60,90]，Lp,∈[50,60]， 15.解：(1)利用解析式直接求解得 Lp,=40, g[f(1)]=g(-3)=-3+1 =-2. 对于选项A:可得LA-L=20X1分-20X1g号 (2)令f(x)=t,则原方程化为 011 g(1)=a,易知方程f(x)=l在yg =20×1s% t∈(-∞，1)上有2个不同 国为Ln≥气别L-L=20X1e8>0,即g分0. 的解， 则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a 所以≥1且p1,p2>0,可得p1≥2，故A正确： 的图象有2个不同的交点，作出函数y=g(t)(1<1)的图 象，如国，由图象可知，当1<a<号时，函教y=g01<D 对于造项B:可得Lg-Ls=20X1新-20X1 与y=a有2个不同的交点，即所求实数a的取值范围 =20Xs号 是[)月 因为LA-Lp,=Lp-40>10,则20X1g2>≥10， 假期必刷9 思维整合室 1.递增递增y轴x轴 所以P2≥√10且p2p>0,可得p2≥√10pg, P3 技能提升台 当且仅当L2,=50时，等号成立，故B错误： 1.B[因为小曾同学用水量为16m3,则不超过12m3的部 对于选项C:因为Lp=20×1g=40,即1g=2, 分的水费为12×3=36（元），显然没有超过18m3,则超过 Po 12m3不超过18m3的部分的水费为(16-12)×6= 可得-100，即p3=100p0,故C正确； Po 24(元)，所以应交水费为36十24=60（元）.] 2.C[由题意得x=(1+5%)y=1.005',化为对数函数得 对于选项D:由选项A可知：L-Lp,=20X1g y=l0g1.005x.] 3.B[由题中表格可知函数在(0，十∞)上是增函数，且y 且Ln-Lp≤90-50=40，则20X1g≤40. 的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 即1g≤2，可得≤100，且p1,p2>0,所以p1≤ 符合.] p2 4.B[,第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满 100p2,故D正确.] 足y=klog3(x+1), 8.解析：令t=√A(t≥0)，则A=t2, 且当x=2时，y=1000, D==)+, ∴.1000=log33,解得k=1000, 1 .当x=5时，y=1000×1og6=1000×(1og33+10g32) 三当1=之4即A=}2时，D取得最大值 -100×+h号)≈16s.] 答案： 91 火快乐假期 00M= e7a+6=216 9.解析：由题意得： ,①÷②得e21u=27, 假期必刷10 e28a+b=8② 故a=-12则es+=2166=h3十3n2. 思维整合室 1,会导数瞬时变化率f) 故y=e号十4n3+3n2,故当x=14时，y=e2h3+3n2 f(x0+△x)-f(xo) =72. y'x=, 一会 lim △x 答案：72 2.斜率y-f(xo)=f(xo)(x-xo) 10.解析：L(Q)=40Q 20Q-10Q-2000=-2Q2+30Q 3.0 ax"-1 cos sr -sin a'ln a e -200=-0(Q-30)2+250,当Q=30时，L(Q) 4.f(x)+g'(x)f(x)g (x)+f(x)g'(x) 的最大值为2500万元. f(x)g(x)-f(x)g'(x) [g(x]2 答案：2500 5.yn'·ux 11.解：(1)按30元销售，可获利50%， 技能提升台 ∴.a(1+50%)=30,解得a=20. (2),销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系 1.C[由导数的定义可知，f(x)=1imfx+△)-f( △x y=-10x+800, =x2.] 则每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)满足 W=(-10.x+800)(x-20) 2,B[由位移：与时同1之间的关系为s)=子十1：极据 =-10x2+1000x-16000 平均变化率的计算公式，可得在1≤1≤4这段时间内，该 =-10(x-50)2+9000, 故当x=50时，W取最大值9000， 物体的平均速度为U=4)一s(1D一 4-1 4m/s.] 即每件销售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利 3.A[由题意知f(x)=-2sin2x十2e2x,] 润是9000元. 4.D[(cosx)'=-sinx,故A错误；(2r+x2)'=2rln2+ 12.解：(1)当x=128,即甲城市投资128万元时，乙城市投 资112万元， 2,故B错误：(sinx-cos子}=cos,故C错误： 所以f123)=4XvV2X12蹈-6+号×12+2=8（万元. （ogy=2b竖，故D玉商. 因此，此时公司的总收益为88万元. 5.B[函数f(x)的导数f(x)=2x+2f(1),令x=1,得 (2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240一x) f(1)=2+2f(1),即f(1)=-2,故f(x)=x2-4x+3 万元， =(x-2)2-1,所以f(0)=f(4)=3.] 依题意得≥80， 6.B[由题意知f(1)+f(1)=2×1-1+2=3.] 1240-x≥80. 解之得80≤x≤160， .B[因为y=1nx,所以y-立，又因为切线的斜率为1， 当80≤x<120,即120<240-x≤160时， 所以y'=1=1,解得x=1,y=0,所以切线方程为y=1 f(x)=4W2x-6+32 -1,因为y=(x十a)2,所以y'=2x十2a=1,解得x= =4√2x+26<26+16√/15： 当120≤x≤160，即80≤240-x≤120时， 号-@，代入切线方程得y=一令-a, f)=4V2-6+2(240-)+2 再格(}-a,-号-口代入y=(x十ar,解得a=一子.] 4x+4V/2.x+56. 8.ABD[(3r)'=31n3,A正确：(x21nx)/=(x2)1nx+ x2(lnx)'=2.xlnx+x,B正确；(sin xcos x)'=(sinx)' 令t=,则t∈[2√30,4√10， cosx+sinx(cosx)'=cos2x-sin2x=cos2x,D正确；因 所以y=-2+4@+56=-4-82)2+8, 为(0}=-or,C错误.] 当t=8V2,即x=128时，y取最大值88. 9.BCD[由图知f(2)>f(3)>0,故A错误，B正确. 因为88-(26+16√15)=2×(31-8√15)>0， 故f(x)的最大值为88. 设A(2,f(2),B(3,f(3),则f(3)-f(2)=f3)-2) 3-2 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时， =kAB,由图知∫(3)<kAB<(2),即(3)<f(3) 总收益最大，且最大收益为88万元. f(2)<f(2),故C,D正确. 92三-022 学而不厌，诲人不倦。 假期必刷9函数模型及其应用 完成日期： 月 《思维整合室 《技能提升台 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 1.厦门市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表 函数 y=ar y=logax y=rh 所示 性质 (a>1) (a>1) (n>0) 不超过12m3的部分 3元/m 在(0，十∞) 单调 单调 单调递增 上的增减性 超过12m3不超过18m3的部分 6元/m3 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 超过18m3的部分 9元/m3 随x的增大 随n值变 图象 随x的增大 若小曾同学用水量为16m,则应交水费 逐渐表现为 逐渐表现为 化而各有 的变化 与平行 与平行 不同 (单位：元) A.48 B.60 C.72 D.80 存在一个xo,当x>x0时，有logx<x” 值的比较 2.“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如 a 你今天的数学水平是1，以后每天比前一天 2.几种常见的函数模型 增加千分之五，则经过y天之后，你的数学 函数模型 函数解析式 水平x与y之间的函数关系式是() ·次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常 数，a≠0) A.y=l0go.95x B.y=logo.995x C.y=log1.005x D.y=log1.05 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b;c 3.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了 为常数，a≠0) 下列一组实验数据，现准备用下列四个函数 中的一个近似地表示这些数据的规律，其中 与指数函数相 f(x)=ba+c(a,b,c为常 关的模型 数，a>0且a≠1，b≠0) 最接近的一个是 1.992 3 4 5.15 6.126 f(x)=blogax+c(a,b,c 与对数函数相 y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 关的模型 为常数，a>0且a≠1， b≠0) A.y=2x-2 且=-D 与幂函数相关 f(x)=ax”+b(a,b,n为 C.y=log2x D.y=2 的模型 常数，a≠0) 4.据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量 3.解函数应用题的一般步骤 根据收集到的数据的特点，建立函数模型， y(只)近似满足y=klog3(x十1)，观测发现 解决实际问题.基本过程：收集数据画散 第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有 点图→选择函数模型>求函数模型>检 越冬白鹭(1n2≈0.7,1n3≈1.1) 验→符合实际，用函数模型解释实际问题； 不符合实际，则重新选择函数模型，直到符 A.1530只 B.1636只 合实际为止 C.1830只 D.1930只 飞曼快乐假翻 90M= 5.著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他 阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声 曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所 压级： 长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 今天，我们可以用数学观点来对这句话重新 诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的 燃油汽车 10 60~90 “进步率”都是1%，一年后是1.01365；而把 混合动力汽车 10 50~60 “不见其损”量化为每天的“落后率”都是 电动汽车 10 40 1%,一年后是0.99365.可以计算得到，一年 后的进步“是常后”的：8吗器≈1481倍 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动 汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2, 那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是 p3,则 () 20%,要使“进步”是“落后”的10000倍，大 A.p1≥p2 B.p2>10p3 约需要经过(1g2≈0.301,1g3≈0.477) C.p3=100p D.p1≤100p2 ( 8.(2025·广州市天河区联考)“好酒也怕巷子 A.17天B.19天C.23天D.25天 深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消 6.（多选)(2025·郴 y/km 费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收 州高二模拟)甲同 入R与广告费A之间满足关系R=aA(a 学家到乙同学家 的途中有一座公0102030405060xmin 为常数)，广告效应为D=a√A-A.那么精 园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公 明的商人为了取得最大的广告效应，投入的 园的距离都是2km.如图所示表示甲同学 广告费应为 (用常数a表示). 从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与 9.已知某种果蔬的有效保鲜时间y(单位：小 时间x(min)的关系，下列结论正确的是 时)与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关 () 系y=e“+(a,b为常数，e为自然对数底 A.甲同学从家出发到乙同学家走了60min 数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小 B.甲同学从家到公园的时间是30min 时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么 C.甲同学从家到公园的速度比从公园到乙 在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为 同学家的速度快 小时. D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y= 10.某工厂生产某种产品的固定成本为2000 1 x 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 7.(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声 10万元.又知总收人K是单位产品数Q 压级来度量声音的强弱，定义声压级L。= 的函数，K(Q)=40Q- 0Q,则总利润 20×1g卫，其中常数p,(p。>0)是听觉下限 力。 L(Q)的最大值是 万元. 18 三0002 高三教类) 11.某公司试销某种“北京冬奥会”纪念品，每 12.(2025·广东江门高二质检)近年来，“共享 件按30元销售，可获利50%，设每件纪念 单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大 品的成本为a元. 的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城 (1)试求a的值； 市共投资240万元.根据行业规定，每个城市 (2)公司在试销过程中进行了市场调查，发 至少要投资80万元，由前期市场调研可知： 现销售量y(件)与每件销售价x(元)满足 甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P= 关系y=一10x+800.设每天销售利润为 4√2a一6，乙城市收益Q与投入a(单位：万 W(元)，求每天销售利润W(元)与每件销 售价x(元)之间的函数解析式；当每件售 元)满足Q= 4a+2,80≤a≤120， 设甲城市 价为多少时，每天获得的利润最大？最大 32,120a≤≤160， 利润是多少？ 的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收 益为f(x)(单位：万元). (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司 的总收益： (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资， 才能使公司总收益最大？ 19