假期必刷3 基本不等式-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三0022 假期必刷3基本不等式 学然后知不足，教然后知困。 完成日期： 月 思维整合室 4.若a>0,b>0,lga+lgb=lg(a+b),则a十b的 ( 1.基本不等式a< 最小值为 A.8 B.6 C.4 D.2 (1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0. 5.要制作一个容积为4m,高为1m的无盖 (2)等号成立的条件：当且仅当 时取 长方体容器.已知该容器的底面造价是每平 等号 方米20元，侧面造价是每平方米10元，则 (3)其中 叫做正数a,b的算术平均 该容器的最低总造价是 () 数， 叫做正数a,b的几何平均数. A.80元 B.120元 2.两个重要的不等式 C.160元 D.240元 (1)a2+b≥ (a,b∈R),当且仅当a=b 6.(2025·绍兴质检)已知x>0,y>0,满足x 时取等号 十2xy一2=0，则2x十y的最小值是() a+b)2 (2)ab≤“2 (a,b∈R),当且仅当a=b时 号 B.√6 ao D.3 取等号 7.已知x>0,y>0,且x+2y=1,若不等式 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数，如果积xy等于定值 2+1≥m+7m恒成立，则实数m的取值 P,那么当x=y时，和x十y有最 范围是 ( 小值 A.-8≤m≤1 B.m≤-8或m≥1 (2)已知x,y都是正数，如果和x+y等于定 C.-1≤m≤8 D.m≤-1或m≥8 值S,那么当x=y时，积xy有最 8.(多选)(2025·滨州市模拟)已知a>0,b> 大值 0,ab=2,则 《技能提升台 A.log,a·log.6的最大值为号 1.下列等式中最小值为4的是 B.2十4的最小值为8 A.y=2+4 B.y=2t+1 C.a3+b的最小值为4√2 C.y=4+>0) D.y=+ D名+会的最小值为号 2.已知a>0,且b>0,若2a十b=4,则ab的最 9.(多选)(2025·肇庆二中高二期末)已知 大值为 ( x2十y2=1,且xy≠0，则 ( A号 B.4 c D.2 A.|x+y≤2 3.设>0，则y=3-3x-的最大值为( Bw>号 C.log2|x|+log2ly≤-1 A.3 B.3-32 C.3-2√3 D.-1 D+2 5 飞婴味乐跃翻 900-= 10.(2023·高考上海卷)已知正实数a,b满足 15.由中国发起成立的全球能源互联网发展合 a+4b=1,则ab的最大值为 作组织在京举办研讨会.会议发布了中国 11.已知x>0,则2-3一4的最大值是 2030年前碳达峰、2060年前碳中和、2030 年能源电力发展规划及2060年展望等 研究成果，在国内首次提出通过建设中 12.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地， 国能源互联网实现碳减排目标的系统方 则矩形场地的最大面积是 m2. 案.为积极响应国家节能减排的号召，某 3.已知x>0,y>0,+4=1,若x+3y 企业计划引进新能源汽车生产设备，通 y 4m2一3m≥0恒成立，则实数m的取值范 过市场调查分析，全年需投入固定成本 围是 2500万元，每生产x(百辆)新能源汽 14.已知a十b十c=3,且a,b,c都是正数. 车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)= 10x2+800x,0<x<40 求证6十6十十a≥： 1501x+2500-1240.7≥40由市场 (2)是否存在实数m,使得关于x的不等式 -x2+m.x+2≤a+b2+c2恒成立？如果 调研知，每辆车售价15万元，且生产的车 存在，求出m的取值范围；如果不存在，请 辆当年能全部销售完， 说明理由. (1)请写出利润L(x)(万元)关于年产量x(百 辆)的函数关系式；（利润=收入一成本）》 (2)当年产量为多少百辆时，该企业所获利 润最大？并求出最大利润. 6飞安陕乐假期 90M-= 19.解析：因为a+b=c十d,所以a=c十d-b,因为a十d<b +c,所以c十d-b+d<b+c,即2d<2b,于是有d<b,所 =8(当=子，即x=2y=2时取等号）：不等式2 x y 以c<d<b,因为a十b=c十d,b>d,所以a<c,所以a<c< 1≥m2+7m恒成立，m2+7m≤8，解得-8≤m≤1.] d-b. 8.BCD[因为a>0,b>0,ab=2, 答案：a<c<d<b 假期必刷3 对于A:log2a·log2b≤ 2 思维整合室 },当且仅当a=6=2时等号成立，故A错误 12a=6()生 √ab 对于B:2“+40=2a+22b≥2√24·225=2√2a25≥ 2.(1)2ab 2/22V2=8,当且仅当a=2,b=1时等号成立，故B正确； 3.12vP(2)s 对于C:a3+b=(a十b)(a2-ab+2)=(a+b)(a2-2+b2), 又a+b≥2√ab=2√2，a2+b2≥2ab=4,a2+b2-ab≥ab 技能提升台 =2, 1.C[运用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，A, 所以a3十b≥4√2，当且仅当a=b=√2时等号成立，故C B,D均不满足“一正”条件.] 2.D[4=2a+b≥2√2ab, 正瑞时于D+总--梦-（层+） 即2≥√2ab,两边平方得4≥2ab, 夜0)=号+6>0).湖r1-是+20-2 .ab≤2，当且仅当a=1,b=2时，等号成立， =2(6-10(62+b+1) .∴.ab的最大值为2.] 62 3.C[c>0,y=3-3x-1≤3-2/3· 所以当0<b<1时，f(b)<0,则f(b)单调递减， x 当b>1时，(b)>0,则f(b)单调递增， 2,当8=}中x 3时，等号成立.] 所以f(b)≥f(1)=3, 4.C[依题意ab=a十b, 所以+名的装小位为号，当且仅音0=1a=2时取等 (2）,即a+ba+b)2 a+b=ab≤(ob)2 号，故D正确.] 4 9.AC[对于A,因为2xy≤x2+y2, .a十b≥4，当且仅当a=b时取等号， 所以x2十y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=2, .a十b的最小值为4.] 5.C[由题意知，体积V=4m3,高h=1m,所以底面积S 即十<2，所以1+川≤区，当具仅当==号我 =4m2,设底面矩形的一条边长是xm,则另一条边长是 x=y=- 盟时取等号，故A正； m,又设总造价是y元，则y=20×4+10× x 对于B.因为1=2+≥2引xy小，所以1y≤7 (2z+）≥0+202z·豆-160，当且仅当2x=2。 即x=2时取得等号.] 当且仅台一-号时取等寸，故B正， 6.B[由2+2xy-2=0,可得y=222 对于C.由B知，y<分，所以1oger+1gly 因为>00.可得0， =1ag:y≤oe名-1，当且仅省d=-号时取 等号，故C正确； 解得0<x<√2， 州2v-2+2景-法 对于D由B知y<号所以y9。 2.x 所以1>≥2，所以1十1≥21≥22 =(3x+2)户2×2…2-5， Vlzyl 当且仅当3=子，即时，等号成立， 3 当且仅雪1==号时取等号，故D错溪] 所以2x十y的最小值为√6.] 10.解析：正实数a,6满足a十4b=1,则ab=a·46}× 7.A[:x>0,y>0,x+2y=1,.2+1=(x+2y)· a+4b1 (2+）+兰+>4+2 答案：言 84 三0022 1.解折：2-3x-兰=2-(3x+) (2)当0<x<40时，L(x)=-10(x-35)2+9750,开口向 下，对称轴为x=35, <2-23xx=2-45, 当x=35时，L(35)=9750; 当且仅当3=，即-2时等号成立 当x≥40时，L(x)=9900- x+2500) 3 答案：2一43 9900-2/x· 2500 x =9800: 12.解析：设矩形的一边为xm,面积为ym2, 则另一边为2×(20-2x)=（10-x0(m, 当且仅当x 2500,即x=50时，等号成立. x 其中0<x<10, 因9800>9750，所以当x=50时，即年生产50百辆时， 所以y=10-0≤[+09门=5， 该企业所获利润最大，且最大利润为9800万元. 假期必刷4 当且仅当x=10-x,即x=5时，等号成立， 所以ymax=25, 思维整合室 即矩形场地的最大面积是25m 1.实数集任意一个数x唯一x 1a.解折十3y-m2-3m=(x+3)(侵十号）厂m2- 2.解析法 3.(2)并集 3m=3+华++12-m-m≥15+2停· 技能提升台 4m2-3m=27-4m2-3m当且仅当4红-9义，即x=9,y 1B[西资y=(@)和通数m=号与y=x的定义成不 =6时等号成立，所以27-4m2-3m≥0，解得-3≤m≤ 同，则不是同一个函数，函数y=√2=x与y=x的解 号印实数m的取值范国足{如一3m≤程} 析式不同，也不是同一个函数，故选B.] 2.C[:f(x)的定义域为[-8,1]， 答案{m-3≤m<号} 1-8≤2x+1≤1， 14.解：(1)证明：因为a十b十c=3,且a,b,c都是正数， x+2≠0， 解得-号<0，且≠-2 所以中b+d 1+1 gx)的定义战为[号、-2]U(-2.0.] =[a++6时c+c+a](b+e+十a） 8B[设12=则≥01，所以=1+1 2 -[+(牛+8)+(+)+（但中）】 -1=2（--2+3)=- +1D2+2.周为≥0，所以 ≥号×3+2+2+2)=号，当且仅当a=6=6=1时取 等号， y≤多所以面数y=1十无-厂2的值城 所以6+。得运 为(，1门 (2)因为a十b+c=3, 所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2a 4.D[号∈(-∞，1f(2)-1,则10f(2)=10, ≤3(a2+b2+c2), 因此a2+b2+c2≥3（当且仅当a=b=c=1时取等号）， ∴f(0f(合)月-f0.又10∈[2，+∞)， 所以(a2+b2十c2)mim=3, .f(10)=3.] 由题意得-x2十m.x十2≤3恒成立， 即得x2-m.x十1≥0恒成立， 5.C[由于f0-2x)=1二（≠0，当x=时，（合） 因此△=m2-4≤0→-2≤m≤2. 1 故存在实数m∈[-2,2]，使得不等式-x2+mx+2≤ 16-15.] a2十b2+c2恒成立. 1 16 15.解：(1)当0<x<40时，L(x)=15×100.x-10.x2-800x -2500=-10x2+700x-2500; 6.C[因为g(x)=f(2x-1)+1,且g(x)的定义域为 当x≥40时，L(x)=15X100z-1501x-2500+12400 (1,4],值域为(3，+∞)， x 所以f(2x-1)的定义域为(1,4]，值域为[2，十∞). -2500=9900-(x+2500) 由1<x≤4得1<2x-1≤7， x 10x2+700x-2500,0<x<40 所以f(x)的定义域为(1,7]，值域为[2，十∞)， 所以L(x) 则A=(1,7],B=[2,十∞)， 9900- (x+2500 ,x≥40 所以A∩B=[2,7].] 85