假期必刷2 不等式及其解法-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三0022 高二数 假期必刷2不等式及其解法 学而时习之，不亦说乎。 完成日期： 思维整合室 (2)分式不等式的解法 1.不等式的性质 ①fx)>0(<0)曰f(x)·g()>0(<0): g(x) (1)对称性：a>b台b<a. 0(0 ②f) 1f(x)·g(x)≥0（≤0）， (2)传递性：a>b,b>c→a>c. g(x)≠0. (3)可加性：a>b台a+c>b+c;a>b,c>d→ 记结论 a+c b+d. 有关分式的性质 (4)可乘性：a>b,c>0→ ;a>b,c<0 (1)若a>b>0,m>0,则b<b+m,b a十m’a →ac bc;a>b>0c>d>0ac>bd. (5)可乘方性：a>b>0→a">b"(n∈N,n≥2). b-m(b-m>0); a-m 2.不等式的解法 (2)若ab>0,且a>b=1<} (1)二次函数与一元二次方程、不等式的解的 《技能提升台 对应关系 判别式 1.若a<0b<0,则力么+8与g=a+6的 a △>0 △=0 △<0 △=62-4ac 大小关系为 A.pq B.p≤g y=ax2+ C.pq D.p≥q bx+c(a> 2.下列命题中，正确的是 0)的图象 A.若ac>bc,则a>b 有两个不 B.若a>b,c>d,则a-c>b-d ax2+bx+ 有两个相等 相等的实 C.若a>b,c>d,则ac>bd c=0(a> 的实数根x 没有实数根 数根x1,x2 D.若a<√b,则a<b 0)的根 =x2= (x1x2) 2a 3.设a,b∈R,则“a>1且b>1”是“ab>1”的 ax2+bx+c A.充分不必要条件 >0(a>0) {≠品 R B.必要不充分条件 的解集 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ax2+bx+ 4.已知-1≤x十y≤1,1≤x-y≤5，则3.x-2y的 (xlx<x c<0(a> 取值范围是 x2】 0)的解集 A.[2,13] B.[3,13] C.[2,10] D.[5,10] 飞曼快乐假朝 90-= 5.不等式一x2+3x+10>0的解集为() 12.(多选)(2025·枣庄调研)已知关于x的不 A.(-2,5) 等式(x+2)(x-4)+a<0(a<0)的解集 B.(-∞，-2)U(5,+∞) 是(1，x2)(x1<x2),则 C.(-5,2) A.x1+x2=2 B.x1x2<-8 D.(-∞，-5)U(2,+∞) C.-2<x1<x2<4 D.x2-x1>6 6.关于x的不等式x2十x一2<0的解集是 13.设a,b是实数，定义：a⊙b=ab+ma2-9a (q,1),则p+q的值为 () 一9b+1(m∈R).则满足不等式1⊙(2 A.-2B.-1 C.1D.2 ⊙(…(2022⊙2023)…))≤1的实数m的 7.已知关于x的不等式kx2一6kx十k十8≥0 取值范围是 ( 对任意x∈R恒成立，则及的取值范围是 A.m≥1 A.[0,1] B.m≤203-2 3 B.(0,1] C.(-∞，0)U(1,+∞) Cme器 D.(-∞，0]U[1,+∞) D.1≤m≤329+4323 8.若c>b>a>0,且a,b,c均不为1，则下列结 361 论正确的是 14.(2024·上海卷)不等式x2-2x-3<0的 A.(c-b)4<(b-a) B.log b<log c 解集为 15.(2025·江苏高二期中)知3<a<8,4< C.a"bcb Datfsote a a+b+c=12 b<9,则分的取值范围是 9.若正数a,b,c满足 ab+bc+ca=45 16.已知函数f(x)=-一x2+bx一c的最大值为0， 则a,b,c中最大的数的最小值为 ( 关于x的不等式一x十bx一c>m的解集为 A.3 B.4 C.5 D.6 (t-1,t+2),则-4c= ,m的值为 10.(多选)对于实数a,b,c,下列命题是真命题 的为 ( 17.已知不等式x2-a.x+1<0的解集为{xx A.若a>b,则ac<bc <x<x2},且(x1-1)2+(x2-1)2=3, B.若ac2>bc2,则a>b 则a= C.若a<b<0,则a2>ab>b D.若a>0>b,则|a|<b 18.(2025·安徽师大附中测试)不等式 x-1 11.（多选)已知x>y>之，x十y十x=0,则下列 >2的解集为 不等式不成立的是 19.实数a,b,c,d满足下列三个条件：①d>c, A.xyyz B.xy>xz ②a十b=c+d,③a十d<b+c,则a,b,c,d C.xzyz D.xly>lyla 按照从小到大的次序排列为快乐假期 0M-= 参考答案 假期必刷1 10.ACD[对于A,因为|x|>1,所以x>1或x<-1,所 以当“x>1”时，“|x>1”成立，反之不成立，故“x>1”是 思维整合室 “|x>1”的充分不必要条件，正确；对于B,“a∈P∩Q” 1.(1)正整数集整数集有理数集(2)x∈BB二A 一定有“a∈p”成立，反之不成立，故“a∈P∩Q”是“a∈ 任何非空(3){xx∈A,或x∈B}{xlx∈A,且x∈B} P”的充分不必要条件，错误；对于C,命题“Hx∈R,有 {xx∈U,且x年A} x2十x十1≥0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 2.(1)充分必要充分不必要必要不充分充要 即“]x∈R,使x2+x十1<0”，正确；对于D,当a十b十c= 既不充分也不必要(2)Hx∈M,p(x)Hx∈M,p(x) 0时，1为方程a.x2十bx十c=0的一个根，故充分性成立； 技能提升台 当方程a.x2+bx+c=0有一个根为1时，代入得a+b+c 1.A[由题意可知集合B中，只有一1,0满足集合A,所以 =0,故必要性成立，正确.门 11.解析：命题为存在量词命题，则命题的否定为Hx∈(1，+ A∩B={-1,0).故选择：A. ∞)，x2十x>2. 2.D[因为A={1,2,3,4,5,9},B={xV元∈A}={1,4,9, 答案：Hx∈(1，+∞)，x2+x>2 16,25,81},所以C4(A∩B)={2,3,5.] 12.解析：根据补集的定义可得CuA={1,3,5) 3.B[由x=0不成立知p假，x=1时成立知q真，所以 答案：{1,3,5}》 选B.] 13.解析：由题意可得a=0,b=1,或a=0,b=2,或a=1,b=2, 4.C[根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3→a=b 当a=0,b=1时，2(a①⊕b)+a⑧b=-1; →3=30,34=30→a=b→a3=b3,所以二者互为充要 当a=0,b=2时，2(a⊕b)十a☒b=-2; 条件.] 当a=1,b=2时，2(a①b)+a☒b=6. 5.B[对于A,当a=4,b=0.5时，满足ab>1,但不满足a 所以A={-2,-1,6}. 答案：{-2，-1,6》 >1,b>1,故“a>1,b>1”不是“ab>1”的必要条件，故错 误；对于B,根据指数函数的性质可得，对于Hx>0, 假期必刷2 思维整合室 ()>1,即e>2,故正确：对于C,当x=3时，2*< 1.(3)>(4)ac>bc x2,故错误；对于D,当a=b=0时，满足a+b=0,但4 2.(1){xx<x1,或x>x2} b 技能提升台 一1不成立，故错误.] 6.C[1,2EN2N,故N不是数城，A选项错误，同理B 1B-9-g+号-a6 --c+2,-w-2)…(日-6) a b 选项错误：任意a,b∈Q,都有a十b,a-b,ab,号∈Q(除数 (b2-a2)(b-a)_(b-a)2(b+a) b≠0)，故Q是一个数域，C选项正确；对于集合A={xx ab ab 因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0. ≠0，x∈R},1∈A,1-1=0任A,故{xx≠0，x∈R},不是 数域，D选项错误.] 若a=b,则p一q=0,故p=q: 若a≠b,则p-q<0,故p<g. 7.A[记条件p:“没有共产党”，结论q:“没有新中国”，由 综上，p≤q.] 歌词知，p可推出q,故“没有共产党”是“没有新中国”的 2.D[c<0时，不成立，A错误；a=3,b=2,c=4,d=0时， 充分条件.] 不成立，B错误；a=3,b=2,c=-1,d=-2时，不成立，C 8.AB[因为命题p:3x∈R,x2+bx+1≤0是假命题，所 错误：两边平方可知，结论成立，D正确.] 以命题：Hx∈R,x2+bx十1>0是真命题，也即对Hx∈ 3.A[a>1且b>1→ab>1;但ab>1,则a>1且b>1不 R,x2+bx十1>0恒成立，则有△=b2-4<0,解得-2<b 一定成立，如a=-2,b=-2时，ab=4>1.] <2,根据选项的值，可判断选项AB符合题意.] 4.A[设3x-2y=m(x+y)-n(.x-y)=(m-n)x+(m+n)y, 9.ABD[A={x|x2-7x+12=0}=(3,4},A∩B=B, 1 m2 ∴.B二A,当B=,即a=0时，满足B二A.当B≠☑， 所以m一n=3 m十n=一2解得 n=- 5 即a0时，B=w-1=0={日}由于BeA. 2 则日=3或日=4，即a=}或u=子综上a=0a= 故3x一2y=2(x+0)+ 1 2(x-y), 或 a 因为-1≤x+y≤1,1≤x-y≤5， a=J 所以3r-2y=2+0+5（x-0e[2.13]. 82 三0002 高二数学) 5.A[由-x2+3x十10>0，得x2-3x-10<0,解得-2< x1x2=a-8<-8,故B正确； x<5.] x2-x1=√(2十x1)2-4x2=2√9-a>6,故D正确； 6.B[依题意得q,1是方程x2+px-2=0两根， 由x2-x1>6,x1十x2=2,可得x1<-2,x2>4, .g+1=-p,即p十g=-1.] 故一2<x1<x2<4是错误的，故C错误.] 7.A[当k=0时，不等式kx2-6kx十k十8≥0可化为8≥ 13.C[a⊙b=a2b+ma2-9a-9b+1(m∈R),设4⊙(5 0,其恒成立： ⊙(…(2022⊙2023)…)=x,则3⊙x=9.x+9m-27- 当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2一6kx十k十8≥0 9.x+1=9m-26,2⊙(9m-26)=4(9m-26)+4m-18 对任意x∈R恒成立， -9(9m-26)+1=113-41m,1⊙(113-41m)=(113 只需>0， 解得0<k≤1. 41m)+m-9-9(113-41m)+1=329m-912≤1，解得 △=36k2-4k(k十8)≤0， 综上，k的取值范围是[0,1].] w 8.D[对于A,取c=4,6=1 5,a=3,则c-b= 4 14.解析：将不等式分解因式得(x一3)(x十1)0，解得一1 x<3. 答案：(-1,3) 1 则有(c-b)>(-Q),故A错误；对于B,取c=2b 15.解析：4<9，日古<宁又3<8。 a-日则1ogb-l6g-2.logc-lg7-写所 1 g×3<8<×8,即<8<2 以1ogb>1ogc,故B错误；对于C,取c=4,b=2,a=2, 1 答案：（信2） 则%=（侵）广21=4，%=42·2=162，则有0 16.解析：，函数f(x)=一x2+bx一c的最大值为0，.△= b2-4c=0,:不等式-x2+bx-c>n的解集为(t-1,t <b,故C错误；对于D,因为c>b>a>0,所以1<1 +2),.不等式x2-bx十c+m<0的解集为(t-1,t+ 、ba 2),t-1和t十2是方程x2-bx十c十m=0的两个根， 一后<名，由不等式的同向相加性质可知a十合<b+ b b 设x1=1一1，x2=t十2，则|x1一x2=3,由韦达定理 后故D正疏 得西十-b (x1x2=c十m 9.C[不妨设a=maxa,b,c,则3a≥a+b十c=12,可得 .(x1+x2)2-4x1x2=9,.b2-4(c十m)=9,即b2-4c a≥4，因为(a-b)(a-c)≥0，即a2-ac-ba+bc≥0， -4m-9=0,又62-4c=0,.-4m-9=0,m= 所以a2-a(b+c)+bc=a2-a(12-a)+bc 、9 =2a2-12a+bc≥0，所以bc≥12a-2a2, 4· 又因为45=ab+bc+ca=bc+a(b+c) 答案0-号 =bc+a(12-a)≥12a-2a2+12a-a2=24a-3a2, 可得a2-8a十15≥0，解得a≤3（舍）或a≥5. 17.解析：不等式x2-a.x十1<0的解集为{xx1<x<x2, 当且仅当=5或小= 4=a2-4>0 时，等号成立， 1c=21c= 所以x1十x2=a, 故a、b、c中最大的数的最小值为5.] x1x2=1 10.BC[当c>0时，ac>bc,A错误；当a=3,b=-1时，a 所以(x1-1)2+(x2-1)2=x1+x3-2(x1十x2)十2 >b,D错误；根据不等式的基本性质，B,C正确.] =(x1+x2)2-2x1x2-2(x1+.x2)+2=a2-2-2a+2 11.ACD[因为x>y>,x+y+之=0， =3, 所以x>0,心<0，y的符号无法确定。 解得a=3或a=-1(△<0，舍去)，所以a=3. 对于A,由题意得x>z,若y<0, 答案：3 则xy<0<y2,故A错误 18.解析：原不等式可化为+2-2>0， 对于B,因为y>之，x>0,所以xy>x之，故B正确； x一1 对于C,因为x>y,<0,所以xx<yz,故C错误； 即x+2)-2(x-1D>0, x-1 对于D,当|y=0时，xy=|y2,故D错误.] 12.ABD[因为关于x的不等式(x十2)·(x-4)十a<0 即号0，即0，即-1一40<0 (a<0)的解集是(x1,x2)(x1<x2), 解得1<r<4, 所以1，x2是一元二次方程x2-2.x一8十a=0的两个 .原不等式的解集为{x1<x<4. 根，所以x1十x2=2,故A正确； 答案：{x1<x<4} 83 飞安陕乐假期 90M-= 19.解析：因为a+b=c十d,所以a=c十d-b,因为a十d<b +c,所以c十d-b+d<b+c,即2d<2b,于是有d<b,所 =8(当=子，即x=2y=2时取等号）：不等式2 x y 以c<d<b,因为a十b=c十d,b>d,所以a<c,所以a<c< 1≥m2+7m恒成立，m2+7m≤8，解得-8≤m≤1.] d-b. 8.BCD[因为a>0,b>0,ab=2, 答案：a<c<d<b 假期必刷3 对于A:log2a·log2b≤ 2 思维整合室 },当且仅当a=6=2时等号成立，故A错误 12a=6()生 √ab 对于B:2“+40=2a+22b≥2√24·225=2√2a25≥ 2.(1)2ab 2/22V2=8,当且仅当a=2,b=1时等号成立，故B正确； 3.12vP(2)s 对于C:a3+b=(a十b)(a2-ab+2)=(a+b)(a2-2+b2), 又a+b≥2√ab=2√2，a2+b2≥2ab=4,a2+b2-ab≥ab 技能提升台 =2, 1.C[运用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，A, 所以a3十b≥4√2，当且仅当a=b=√2时等号成立，故C B,D均不满足“一正”条件.] 2.D[4=2a+b≥2√2ab, 正瑞时于D+总--梦-（层+） 即2≥√2ab,两边平方得4≥2ab, 夜0)=号+6>0).湖r1-是+20-2 .ab≤2，当且仅当a=1,b=2时，等号成立， =2(6-10(62+b+1) .∴.ab的最大值为2.] 62 3.C[c>0,y=3-3x-1≤3-2/3· 所以当0<b<1时，f(b)<0,则f(b)单调递减， x 当b>1时，(b)>0,则f(b)单调递增， 2,当8=}中x 3时，等号成立.] 所以f(b)≥f(1)=3, 4.C[依题意ab=a十b, 所以+名的装小位为号，当且仅音0=1a=2时取等 (2）,即a+ba+b)2 a+b=ab≤(ob)2 号，故D正确.] 4 9.AC[对于A,因为2xy≤x2+y2, .a十b≥4，当且仅当a=b时取等号， 所以x2十y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=2, .a十b的最小值为4.] 5.C[由题意知，体积V=4m3,高h=1m,所以底面积S 即十<2，所以1+川≤区，当具仅当==号我 =4m2,设底面矩形的一条边长是xm,则另一条边长是 x=y=- 盟时取等号，故A正； m,又设总造价是y元，则y=20×4+10× x 对于B.因为1=2+≥2引xy小，所以1y≤7 (2z+）≥0+202z·豆-160，当且仅当2x=2。 即x=2时取得等号.] 当且仅台一-号时取等寸，故B正， 6.B[由2+2xy-2=0,可得y=222 对于C.由B知，y<分，所以1oger+1gly 因为>00.可得0， =1ag:y≤oe名-1，当且仅省d=-号时取 等号，故C正确； 解得0<x<√2， 州2v-2+2景-法 对于D由B知y<号所以y9。 2.x 所以1>≥2，所以1十1≥21≥22 =(3x+2)户2×2…2-5， Vlzyl 当且仅当3=子，即时，等号成立， 3 当且仅雪1==号时取等号，故D错溪] 所以2x十y的最小值为√6.] 10.解析：正实数a,6满足a十4b=1,则ab=a·46}× 7.A[:x>0,y>0,x+2y=1,.2+1=(x+2y)· a+4b1 (2+）+兰+>4+2 答案：言 84