专题8 平行四边形中的计算与证明&专题9 矩形、菱形与正方形中的计算与证明-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（华东师大版·新教材 河南专版）

河洛芸熙·期末考试必刷卷 而将苍腿 政专题 专题8 平行四边形中的计算与证明 满分：30分得分：」 紧扣课程标准根据最新教材编写 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.（10分)如图，在口ABCD中，连结BD. (1)尺规作图：作对角线BD的垂直平分线，分别交AD、BD、BC于点M、O、N;(不要求写作 法，保留作图痕迹) (2)连结BM、DN,求证：△DOM≌△BON; (3)若DM=10,MW=12,求BD的长. 2.[深圳市](10分)如图，在☐ABCD中，点G、H分别是AB、CD中点，点E、F在对角线AC上 (1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件 ,使得四边形EGFH是平 行四边形，并说明理由； (2)连结BD交AC于点O,若BD=10,OE=OF,AE+CF=EF,求EG的长 A D 3.(10分)如图，在口ABCD中，AB=5cm,BC=9cm,动点P从点A出发，以每秒2cm的速度 沿口ABCD的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒3cm的速度沿口ABCD的 边顺时针匀速运动，设点P的运动时间为：秒(0<1<) (1)当点P在BC上运动时，BP= cm;(用含t的代数式表示) (2)当t= 秒时，P、Q两点相遇； (3)是否存在t的值，使得以点A、C、P、Q为顶，点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由 30 兴·八年级·数学·下册 而溶艺腿 政专题 专题9矩形、菱形与正方形中的计算与证明 满分：50分得分： 紧扣课程标准根据最新教材编写 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.[成都市](9分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CD的中点为E,连结OE 并延长至点F,使得EF=OE,连结CF、DF. (1)求证：四边形OCFD是矩形； (2)若EF=5,BD=16,求菱形ABCD的面积 2.(9分)如图，矩形ABCD绕点B旋转，使点C落到AD上的点E处，AB=AE,连结AF、AG. (1)求证：△AGB≌△AFE; (2)求∠GAF的度数. 3.（10分)如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点(AE>CE),连结BE、DE. (1)尺规作图：过点E作EF⊥AC交BC于点F,延长BC至点G,使得CG=BF,连结DG、EG; (2)求证：BE=GE; (3)若BE=√2，求DG的长 31 河洛芸熙·期末考试必刷卷 而将苍腿 4.(11分)在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时 出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10. (1)若G、H分别是AD、BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E、F相遇时除外)？ 答： ;(直接填空) (2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值： (3)在(1)条件下，若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出 发.若四边形EGFH为菱形，直接写出t的值 5.⑨新考法综合与实践(11分)【问题情境】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边 BC、CD上，且AE⊥BF,垂足为M.那么AE与BF相等吗？ (1)请直接判断：AE BF;(填“=”或“≠”) 在【问题情境】的基础上，小明继续探索以下问题： 【问题探究】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD、DA上，且GE⊥BF,垂足为M.那 么GE与BF相等吗？证明你的结论； 【问题拓展】 (3)如图3，在(2)的条件下，当点M在正方形ABCD的对角线AC上时，连结BG,将△BMG 沿着BG翻折，点M落在点M'处.那么四边形BMGM'是正方形吗？并说明理由 D 图 图2 图3 32河游芳侧 解得a=40. (3分) 经检验，a=40是原方程的解，且符合题意 ∴.a+10=40+10=50. 答：每盒肉粽的进价为50元，每盒豆沙粽的进价为40元， (4分) (2)①由题意，得y1=40×0.8x=32x(x>0且x为整数) 当0<x≤25且x为整数时，y2=40x. 当x>25且x为整数时，y2=25×40+0.7(x-25)×40= 28x+300. (6分) 「40x(0<x≤25且x为整数) y2= (7分) L28x+300(x>25且x为整数) ②当x>25且x为整数，少=y时， 32x=28x+300,解得x=75. (8分) 由图象可知，购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算： 购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家和B厂家购买一样划 算；购买粽子礼盒多于75盒，去B厂家购买划算.(9分) 6.解：(1)y2关于x的函数图象如图所示. (1分) ↑y/g 30 25 20 15 10 5 0 51015202530x/cm (2)①由题图，可知y1是x的反比例函数. 设1=女（k≠0)，把(30,10)代入.得6=30 经检验，其余各个点的坐标均满足y,=300 与1=300 (3分)》 ②观察题表，可知y2+5是x的反比例函数 设y2+5=m(m≠0)，把(30,5)代入，得m=300. (4分)》 经检验，其余各个点的坐标均满足2+5=300， ÷为-300-5. (5分) ③减小减小下 (8分) (3)当2=19时，19=0-5，解得-空 当2=45时，45-30-5，解得x=6.6≤≤7(10分) .25 专题8平行四边形中的计算与证明 1.解：(1)如图，MN即为所求 (2分) (2)证明：MN垂直平分BD,,OB=OD.四边形ABCD 为平行四边形，.AD∥BC. ∴.∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO. (4分) 在△DOM和△BON中，.·MDO=∠NBO,∠DMO= ∠BN0,OD=OB,∴.△DOM≌△BON(AAS). (6分) (3):△D0M≌△B0N,OM=ON=2MN= 2×12=6. (7分) 在Rt△MOD中，∠MOD=90°，OM=6,DM=10, .由勾股定理，得0D=√DM-0M=√102-62=8. ∴.BD=20D=16. (10分) 2.解：(1)AE=CF(答案不唯一) (1分) 理由如下：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD 兴·八年级·数学·下册 .∴.∠GAE=∠HCF. :点G、H分别是AB、CD的中点， ∴.AG=CH. .·AE=CF .△AGE≌△CHF(SAS) (3分) .GE=HF,∠AEG=∠CFH ∴.∠GEF+∠AEG=180°，∠HFE+∠CFH=180° ∴.∠GEF=∠HFE. .GE∥HF .·GE=HF ∴.四边形EGFH是平行四边形. (5分) (2)如图，连结BD交AC于点O D G .·四边形ABCD是平行四边形 .OA=OC.OB=OD. .BD=10.OB=OD=5. ··OE=OF,0A=OC, .AE =CF. (7分) .·AE+CF=EF, ∴.2AE=EF=2OE .AE =OE. ,·点G是AB的中点， ∴，EG是△ABO的中位线， EG=20B=2.5 (10分)》 3.解：(1)(2t-5) (2分) 22号 (4分) (3)存在1的值，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平 行四边形 (5分) 分两种情况：①如图1，当APCQ为平行四边形时，由题意， 得PC=(14-2t)cm,AQ=3tcm..∴.14-2t=3t...5t=14. (7分) ②如图2，当AQCP为平行四边形时，由题意，得AQ=(28 3t)cm,PC=(2t-14)cm.∴.28-3t=2t-14..∴.5t=42 -号 综上所述4的值为或号 (10分)》 1 D Q 图1 图2 专题9矩形、菱形与正方形中的计算与证明 1.解：(1)证明：.CD的中点为E,∴.DE=CE EF=OE,∴.四边形OCFD是平行四边形. (2分) :四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD..∠COD=90°. ∴.四边形OCFD是矩形. (4分) (2).·OE=EF=5,BD=16, 0F=2EF=10,OD=0B=2BD=8. ∴.CD=OF=10. (6分) .0C=√CD2-0D2=√102-82=6. .·.AC=20C=12. 1 S形BCw=2AC·BD=2×I2×16=96. (9分) 2.解：(1)证明：.·AB=AE,.∠ABE=∠AEB. .·四边形ABCD是矩形，·.∠ABC=∠C=90°，AB=CD.(2分) 由旋转的性质，得∠GBE=∠ABC=∠C=∠FEB=90°， BG=AB=CD=EF」 ● 6 河洛芸熙·期末考试必刷卷 ∴.∠ABG=∠AEF.∴.△AGB≌△AFE(SAS) (4分) (2).AB=AE,∠BAE=90°， ∴.∠ABE=∠AEB=45°..∠ABG=∠AEF=45. 由旋转的性质，得AB=BG=CD=EF=AE, ∠BAG=∠EAF=7×(180°-45)=67.5 (7分) .∴.∠GAF=360°-∠BAE-∠BAG-∠EAF=360°-90°- 67.5°-67.5°=135°. (9分) 3.解：(1)作图如图所示.（作法不唯一 (2分) B CG (2)证明：：四边形ABCD是正方形，EF⊥AC, ∴.∠ACB=45°，∠FEC=90°..·.∠EFC=45 .EF=EC,∠EFB=∠ECG=135° (4分) 在△BEF和△GEC中，：BF=GC,∠EFB=∠ECG,EF=EC, .△BEF≌△GEC(SAS)...BE=GE. (6分) (3).:在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAC=∠DAC 4E=AE,∴.△ABE≌△ADE(SAS) ∴.BE=DE.由(2)可得BE=GE,∠BEF=∠GEC ∴.DE=GE. (8分) ∠AEB+∠BEF=90°，∴.∠AED+∠GEC=90 ∴.∠DEG=90°..DE2+EG2=DG2 BE=2,..2+2=DG2..DG=2 (10分)》 4.解：(1)四边形EGFH是平行四边形 (2分) 解析》由题意得AE=CF=t.四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,AD=BC .∠GAE=∠HCF.:G、H分别是AD、BC的中点，∴.AG= AD,CH=2BCAG=CHs△ABG≌△CFH(SAS). 1 ∴.EG=FH,∠AEG=∠CFH,∴.∠FEG=∠EFH .EG∥FH..四边形EGFH是平行四边形 (2)在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,则由勾股定理，得AC= /AB2+BC2=/62+82=10. 连结GH.由题可得AG=BH,AG∥BH,∠B=90°，，∴，四边形 ABHG是矩形，·.GH=AB=6. 分两种情况：①如图1，当四边形EGFH是矩形时，EF=GH =6. AE=CF=t,∴.EF=10-2t=6.∴.t=2. (6分)】 图1 图2 ②如图2，当四边形EGFH是矩形时，EF=GH=6.AE= CF=t, ∴.EF=t+t-10=2t-10=6..t=8. 综上所述，当四边形EGFH为矩形时，1=2或t=8.(8分) (3)加的值为} (11分) 解析》如图3，连结AH、CG、GH, D AC与GH交于点0. 四边形EGFH为菱形，.GH⊥EF, OG=OH,OE=OF.∴.0A=0C..∴.四 0 边形AGCH为菱形.AG=CG.设 AG=CG=x,则DG=8-x.在 N Rt△CDG中，由勾股定理，得CD+ 图3 DG=CG,即62+(8-x)2=x2.解 得x=2 t=2 2-4 9 (s) 河派苦婴 、9 :当四边形EGFH为菱形时，1的值为4 5.解：(1)= (2分) (2)CE=BF (3分) 证明：如图①，作AH∥EG,交BC于点H. B H E 图① EG⊥BF,∴.AH⊥BF (4分) .四边形ABCD是正方形，.AD∥BC .四边形AHEG是平行四边形. ∴.GE=AH.由(1)知AH=BF..GE=BF (6分) (3)四边形BMGM'是正方形. (7分) 理由如下：如图②，连结DM. A G D M' 图② 由(2)的结论可知GE=BF. .四边形ABCD是正方形 .∴.∠BAM=∠DAM=45°. 在△BAM和△DAM中，'.AB=AD,∠BAM=∠DAM,AM= AM. .△BAM≌△DAM(SAS) (9分) .:.∠ABM=∠ADM,BM=DM. 由折叠的性质，得GM=GM',BM=BM' ∠BAG+∠BMG=180°，.∠ABM+∠AGM=180. .·∠DGM+∠AGM=180°，∴.∠DGM=∠ABM. ∴.∠DGM=∠GDM..∴.GM=DM. .GM BM..GM GM'BM BM' ,四边形BMGM为菱形. :∠GMB=90°，.四边形BMGM'为正方形. (11分) 试卷1鹤壁市 一、选择题 题号12345678910 答案CB CDD DC BBA 10.A解析》由题意，得点A到x轴、y轴的距离和为1，即 x+y=1,x、y≥0， |x+yl=1.去绝对值后，得 -+y1,x<0y≥0，将 x-y=1,x≥0，y<0, 4-x-y=1,x、y<0 “和一点”的函数表示在直角坐标系中如图中实线所示的正 方形.一次函数y=x+b(k≠0)的 YA m 图象1经过点E(2,2),且图象1上存 3 n 在“和一点”，·.一次函数y=x+b 2 E 与“和一点”构成的图象至少有1个 交点.由图象可得当k最小时，一次 32-1923元 函数图象过点(-2,0)，由题意，得 -2 +名2。解得大怎2即k的最小值为当最大时。 b=1, -次函数的图象过点(0.-2)，由题意，得(+62解得 低22.即的最大值为2分≤2板选