第八章 整式的乘法（知识清单）数学新教材冀教版七年级下册

第八章 整式的乘法 知识点01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点02 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点03 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点04 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点05 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 知识点06 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点07 单项式乘法 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 知识点08 多项式乘法 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 知识点09 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点10 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 知识点11 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 知识点12 平方差公式的几何意义 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 一、幂的运算 1.同底数幂的乘法 错误：易混淆底数不同强行运算，漏看指数为 1，误把指数相乘而非相加。 注意：先统一底数再运算，底数不变指数相加，单独字母指数默认为 1。 1．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分别计算各部分的符号和指数，再应用同底数幂相乘法则． 【详解】解：∵， ∴原式， 故答案为：． 2.幂的乘方 错误：混淆同底数幂乘除、幂乘方法则，符号易错，忽略指数为 1 与零指数限制。 注意：分清运算法则底数指数变化，先定符号，牢记零指数负指数取值条件。 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查逆用同底数的幂的乘法，逆用幂的乘方；利用同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 3.积的乘方 错误：漏给其中因式乘方，混淆同底数幂法则，负数乘方符号判断出错。 注意：每个因式分别乘方，再相乘；先判符号，严格套用公式不混用法则。 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，掌握知识点是解题的关键． 先将化为，再利用积的乘方的逆运算，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4同底数幂的除法. 错误：易误把指数相除，忽略底数不为 0，负指数、零指数意义易混淆出错。 注意：底数相同才可相除，底数不变指数相减，底数不能为零牢记限制。 4．（24-25八年级上·河北邢台·月考）已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据，得到，再计算，即可解答． 本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 【详解】，， ． ． ． 故答案为：． 二、整式乘法 1.多项式乘法的化简求值 错误：去括号漏变号、漏乘项，合并同类项出错，代值时符号与括号遗漏。 注意：先展开化简再代值，括号规范带入，细心合并同类项、核对符号。 5．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）先化简，再求值．，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 2.已知多项式乘积不含某项求字母的值 错误：展开合并同类项不彻底，看错项的系数，忽略系数为 0 列式求解出错。 注意：完整展开合并，令不含项系数为 0，解方程求参，记得检验结果。 6．（24-25八年级上·河北承德·期末）已知关于x的多项式与的乘积的展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0． 根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项是系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为， ∴， 解得． 故答案为：． 3.多项式乘多项式与图形面积关系 错误：图形边长看错拆分错位，面积列式漏项，混淆整体与局部对应关系。 注意：用割补法对应长宽列式，面积相等建立等式，准确匹配多项式。 7．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于_______张． 【答案】19 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，得出长方形面积为，再用多项式乘多项式运算法则进行计算，得出长方形面积为，即可得出答案． 【详解】解：∵需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形， ∴长方形的面积为： ， ∴所准备的C种卡片的张数不能少于19张． 故答案为：19． 三、乘法公式 1.乘法公式运算 错误：混淆平方差与完全平方公式，漏中间项、符号弄错，乱套公式结构。 注意：先认准公式结构，找准首尾项符号，套用公式后再化简运算。 8．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）若是一个完全平方式，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式，将给定的式子与公式对比，确定的值． 【详解】解：因为是一个完全平方式，而． 根据完全平方公式，这里， 所以中间项， 则，所以． 故答案为：． 2.乘法公式与几何图形 错误：不会对应图形边长与公式，割补面积算错，混淆平方差和完全平方图形。 注意：用正方形、长方形面积构图，数形对应边长，利用割补推导乘法公式。 9．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：______． (2)若图1中a，b满足，，求的值； (3)如图2，C是线段上一点，以，为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系． （2）由（1）得到的等量关系：，代入数值求解即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，，可求得及，根据（1），求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为a，b的小正方形的面积之和， 即，也可表示为边长是的大正方形的面积减去两个长、宽分别为a，b的小长方形的面积，即． ∴等量关系为； （2）解， ，， ∴； （3）解∶设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，， ∵， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 3.乘法公式的变形求值 错误：公式变形记混结构，正负符号易错，代入数值时漏括号、代错数据。 注意：熟记常见恒等变形，先整体代换，认准符号，分步计算不跳步出错。 10．（25-26八年级上·河南许昌·期末）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：由（1）得 ∴ ． 四、科学记数法 1.科学记数法表示绝对值小于1 的数 错误：搞错负指数绝对值，小数点移动位数数错，前面有效数字书写不规范。 注意：写成a×10-n形式，1≤|a|＜10，n等于小数点右移位数。 11．（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知1米纳米，某种病毒的直径是234纳米，“234纳米”用科学记数法表示为______米． 【答案】 【分析】根据科学记数法的一般形式（其中，为正整数），先将纳米单位换算为米，再转化为符合要求的科学记数法形式即可解答． 【详解】解：因为1米纳米，所以1纳米米， 则234纳米米米． 1．（2026·河北保定·二模）某快递中心每小时能分拣件包裹，为提升效率，在优化流程后每小时分拣量为原来的倍．若将优化后每小时的分拣量用科学记数法表示为，则a的值是（    ） A．8 B．4.375 C．3.5 D．35 【答案】C 【分析】先计算的倍，再确定a的值即可． 【详解】解：． 故． 2．（2026·河北保定·一模）若，则a的值为（    ） A．5 B．5或6 C．6 D．1或6 【答案】D 【分析】运用同底数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或． 3．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算和整式加法运算，将等式左右两边化简为同底数幂的形式，利用同底数幂相等则指数相等的性质推导a与b的关系即可． 【详解】解：∵ 又∵ 由题可知等式左右两边相等， ∴ ， 可得 ， 整理得 ． 4．（2026·河北唐山·一模）若，则p的值为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】利用同底数幂相乘底数不变指数相加的性质，列出关于p的一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）已知 则 的值为（    ） A．1515 B．1516 C．1517 D．1518 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 利用完全平方公式展开已知等式，通过相加直接求解． 【详解】∵， ， 将两式相加，得： ， 即， ∴． 故选A． 6．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，现有4张型正方形卡片，张型长方形卡片，8张型正方形卡片，嘉嘉想拼成正方形，则下列设计的边长不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意求出正方形的面积得出所需卡片是本题的关键．运用完全平方公式求出各选项可能拼成的正方形所需的卡片数即可得解． 【详解】解：A、，需要4张型正方形卡片，4张型长方形卡片，1张型正方形卡片，故A不符合题意； B、，需要4张型正方形卡片，8张型长方形卡片，4张型正方形卡片，故B不符合题意； C、，需要1张型正方形卡片，4张型长方形卡片，4张型正方形卡片，故C不符合题意； D、，需要4张型正方形卡片，张型长方形卡片，9张型正方形卡片，故D符合题意； 故选：D． 7．（25-26八年级上·山东日照·月考）计算的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过将小数转化为分数形式，并利用幂的运算性质简化表达式，注意负数的偶次幂为正，然后即可求解 【详解】解：∵， ∴原式=， ∵指数为偶数， ∴， ∴原式=， ∵ ， ∴原式， 故选：A 8．（23-24八年级上·广西南宁·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题 【详解】解：由题意可得展开式中含项为第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，根据杨辉三角形展开式中，第二项的系数为， 的展开式中含项的系数是2023， 故选：C． 9．（25-26八年级上·福建福州·期中）计算的结果不含项，那么m的值为（　　） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算是关键．先合并多项式中的同类项，再求出展开后结果含的项，令项的系数为零，求出m的值即可． 【详解】解：， 展开后结果含的项为和， 根据题意，结果不含项，故， ． 故选：B． 10．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）若是完全平方式，则的值为（   ） A．7或 B．或5 C．11或 D．或13 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方式，解决问题的关键是根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解． 依据完全平方公式，这里首末两项分别是和3的平方，那么中间项为加上或减去和3的乘积的2倍． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴ 解得或． 故选D． 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知，，则________． 【答案】9 【分析】把变形为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 12．（25-26七年级下·河北衡水·期中）若，则_______． 【答案】 【分析】本题利用幂的乘方和同底数幂的除法运算法则，将所求式子变形为含已知条件的形式，再代入数值计算即可． 【详解】解： 将代入得 原式 13．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图），若要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片16块，还需取丙纸片______块． 【答案】8 【分析】此题考查了解决完全平方式几何背景问题的能力，关键是能结合图形构造完全平方式． 根据完全平方式进行配方可得此题结果． 【详解】解：∵， ∴还需取丙纸片8块， 故答案为：8． 14．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在线段上取一点，分别以为边向上作正方形和正方形，点是线段上一点，且满足，连接和，，，且，，则图中阴影部分的面积为 ______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，由正方形的性质得出，，则有，又图中阴影部分的面积为，通过完全平方公式的变形可求出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若是一个完全平方式，则m的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要查了完全平方公式．根据完全平方公式的特征解答即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式，且二次项系数为1， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有______项，含项的系数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知的展开式有项，的展开式中从左往右第二项的系数为，令，则的展开式中从左往右第二项的系数为，据此可得答案． 【详解】解：，展开式有2项， ，展开式有3项， ，展开式有4项， ，展开式有5项， ……， 以此类推可知，的展开式有项， ∴展开式中，共有项； ，展开式中从左往右第二项的系数为1， ，展开式中从左往右第二项的系数为2， ，展开式中从左往右第二项的系数为3， ，展开式中从左往右第二项的系数为4， ……， 以此类推可知，的展开式中从左往右第二项的系数为， 令，则的展开式中从左往右第二项的系数为， ∴的展开式中，含项的系数是， 故答案为：；． 17．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图1所示，将一张长为，宽为n（m>n）的长方形纸片沿虚线剪成4个直角三角形，拼成如图2的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙），若正方形的面积为45，中间空白处的正方形的面积为9， （1）原长方形的面积是______； （2）______． 【答案】 36 9 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）用大正方形的面积减去小正方形的面积，进行计算即可； （2）根据长方形的面积为，小正方形的面积为，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由题意和图可知：原长方形的面积； 故答案为：； （2）由（1）可知：，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：9． 18．（24-25七年级下·河北邢台·月考）我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图2的面积表示．嘉淇选取了如图1所示的2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为______．    【答案】/ 【分析】本题考查了整式的乘法和整式加减的应用．根据题意得，再画出图形，根据长方形的周长公式列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， 画出图形如下，    长方形的周长为 ， 故答案为：． 19．（25-26七年级下·河北衡水·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 20．（25-26七年级下·河北衡水·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式 = 当时，原式= 21．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）若（且，m，n是正整数），则．请利用上面的结论解决下面的问题． (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法逆运算法则把变形为即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ， 解得：； （2）解： ． 22．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①_________，图②_________ (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________（用字母a、b表示）； 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为_________； ②计算：； 【拓展】 (4)用（2）得到的乘法公式计算： 【答案】(1)图①：；图②： (2) (3)①12；② (4) 【分析】（1）观察图形，图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，图②阴影部分是长为、宽为的矩形，据此求解即可； （2）由于图②是由图①的阴影部分剪拼而成的，则在拼接过程中面积没有发生变化，根据图①和图②的阴影面积相等，列出乘法公式即可； （3）利用乘法公式计算； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即； 图②阴影部分是长为、宽为的矩形，其面积为； （2）解：由于图②是由图①的阴影部分剪拼而成的， 则在拼接过程中面积没有发生变化，这意味着图①和图②的阴影面积相等， 因此，可以得到乘法公式：； （3）解：①； ②； （4）解： ． 23．（25-26八年级下·河北张家口·月考）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图甲），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图乙）． (1)上述操作能验证的等式是________（选填序号）； ①；②； ③． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)② (2)①；② 【分析】（1）观察图甲与图乙，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可； （2）①已知第一个等式利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果． 【详解】（1）解：由图可得，， ∴题目操作能验证的等式是②； （2）解：①由（1）得，， ∵， ∴， ∴； ②由题意得， ． 24．（21-22七年级下·贵州贵阳·期中）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积________；________； (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：________（用字母表示）； 【应用】 (3)请应用这个公式完成计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分别用分割法以及长方形的面积公式进行计算即可； （2）根据面积相等，得到乘法公式即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为； 图②阴影部分的面积为； （2）解：由（1）可知：； （3）解： ． 25．（25-26七年级下·河北张家口·月考）两个边长分别为和的正方形如图放置（图1），其阴影部分的面积为．若再在图1中大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2），其阴影部分的面积为． (1)________、_________．（用含有、的代数式表示） (2)若，求的值； (3)当时，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)48 (3)10 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含的代数式分别表示； （2）根据，将代入进行计算即可； （3）根据，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：， ， ． （3）解：由图可得，， ， ． 26．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； (3)的值为或． 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的法则，零指数幂的定义等，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行运算，得到，再根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； （3）先分类讨论：（）当且时，求出的值并判断；（）当时，整理，得：，再根据题意进行的分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或； （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或． 27．（24-25七年级下·河北保定·月考）数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：图1：_____；图2：_____； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式之间的等量关系_____ 【解决问题】 （3）如图4，长方形周长为，，求长方形的面积． 【知识迁移】 （4）若，求 【答案】（1），（2），验证见详解（3）（4） 【分析】本题主要考查了完全平方公式和图形相结合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并掌握数形结合的数学思想． （1）结合图形的面积即可得出乘法公式； （2）结合图形的面积即可得出，之间的等量关系，然后利用完全平方公式进行验证即可； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得出，，依据进行求解即可； （4）先得出，再利用完全平方公式进行整理计算即可． 【详解】解：（1）根据图形1得，， 根据图形2得，； 故答案为：，； （2）根据图形3得，，验证如下： ， ， ∴； 故答案为：． （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意得， ，， ∴， ∴， ∴长方形的面积为； （4）∵，， ∴ ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 整式的乘法 知识点01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述： ． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点02 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述： ． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点03 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述： ． 知识点04 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述： ． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点05 零指数幂与负整数指数幂 ：a0=1 (a≠0) ：当n 是正整数时，（，n是正整数） 知识点06 科学记数法 ：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫 ． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点07 单项式乘法 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 知识点08 多项式乘法 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另外一个多项式的 ，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 知识点09 完全平方公式 1.完全平方公式： . 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点10 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 知识点11 平方差公式 1.平方差公式： ，即 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 知识点12 平方差公式的几何意义 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 一、幂的运算 1.同底数幂的乘法 错误：易混淆底数不同强行运算，漏看指数为 1，误把指数相乘而非相加。 注意：先统一底数再运算，底数不变指数相加，单独字母指数默认为 1。 1．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）________． 2.幂的乘方 错误：混淆同底数幂乘除、幂乘方法则，符号易错，忽略指数为 1 与零指数限制。 注意：分清运算法则底数指数变化，先定符号，牢记零指数负指数取值条件。 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）若，，则______． 3.积的乘方 错误：漏给其中因式乘方，混淆同底数幂法则，负数乘方符号判断出错。 注意：每个因式分别乘方，再相乘；先判符号，严格套用公式不混用法则。 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）计算：______． 4同底数幂的除法. 错误：易误把指数相除，忽略底数不为 0，负指数、零指数意义易混淆出错。 注意：底数相同才可相除，底数不变指数相减，底数不能为零牢记限制。 4．（24-25八年级上·河北邢台·月考）已知，则的值为_______． 二、整式乘法 1.多项式乘法的化简求值 错误：去括号漏变号、漏乘项，合并同类项出错，代值时符号与括号遗漏。 注意：先展开化简再代值，括号规范带入，细心合并同类项、核对符号。 5．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）先化简，再求值．，其中，． 2.已知多项式乘积不含某项求字母的值 错误：展开合并同类项不彻底，看错项的系数，忽略系数为 0 列式求解出错。 注意：完整展开合并，令不含项系数为 0，解方程求参，记得检验结果。 6．（24-25八年级上·河北承德·期末）已知关于x的多项式与的乘积的展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则a的值为______． 3.多项式乘多项式与图形面积关系 错误：图形边长看错拆分错位，面积列式漏项，混淆整体与局部对应关系。 注意：用割补法对应长宽列式，面积相等建立等式，准确匹配多项式。 7．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于_______张． 三、乘法公式 1.乘法公式运算 错误：混淆平方差与完全平方公式，漏中间项、符号弄错，乱套公式结构。 注意：先认准公式结构，找准首尾项符号，套用公式后再化简运算。 8．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）若是一个完全平方式，则m的值为________． 2.乘法公式与几何图形 错误：不会对应图形边长与公式，割补面积算错，混淆平方差和完全平方图形。 注意：用正方形、长方形面积构图，数形对应边长，利用割补推导乘法公式。 9．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：______． (2)若图1中a，b满足，，求的值； (3)如图2，C是线段上一点，以，为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积． 3.乘法公式的变形求值 错误：公式变形记混结构，正负符号易错，代入数值时漏括号、代错数据。 注意：熟记常见恒等变形，先整体代换，认准符号，分步计算不跳步出错。 10．（25-26八年级上·河南许昌·期末）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 四、科学记数法 1.科学记数法表示绝对值小于1 的数 错误：搞错负指数绝对值，小数点移动位数数错，前面有效数字书写不规范。 注意：写成a×10-n形式，1≤|a|＜10，n等于小数点右移位数。 11．（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知1米纳米，某种病毒的直径是234纳米，“234纳米”用科学记数法表示为______米． 1．（2026·河北保定·二模）某快递中心每小时能分拣件包裹，为提升效率，在优化流程后每小时分拣量为原来的倍．若将优化后每小时的分拣量用科学记数法表示为，则a的值是（    ） A．8 B．4.375 C．3.5 D．35 2．（2026·河北保定·一模）若，则a的值为（    ） A．5 B．5或6 C．6 D．1或6 3．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北唐山·一模）若，则p的值为（   ） A． B．3 C． D．9 5．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）已知 则 的值为（    ） A．1515 B．1516 C．1517 D．1518 6．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，现有4张型正方形卡片，张型长方形卡片，8张型正方形卡片，嘉嘉想拼成正方形，则下列设计的边长不可能是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·山东日照·月考）计算的结果是（    ） A． B． C．1 D． 8．（23-24八年级上·广西南宁·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 9．（25-26八年级上·福建福州·期中）计算的结果不含项，那么m的值为（　　） A． B． C．4 D．12 10．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）若是完全平方式，则的值为（   ） A．7或 B．或5 C．11或 D．或13 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知，，则________． 12．（25-26七年级下·河北衡水·期中）若，则_______． 13．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图），若要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片16块，还需取丙纸片______块． 14．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在线段上取一点，分别以为边向上作正方形和正方形，点是线段上一点，且满足，连接和，，，且，，则图中阴影部分的面积为 ______． 15．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若是一个完全平方式，则m的值为_______． 16．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有______项，含项的系数是______． 17．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图1所示，将一张长为，宽为n（m>n）的长方形纸片沿虚线剪成4个直角三角形，拼成如图2的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙），若正方形的面积为45，中间空白处的正方形的面积为9， （1）原长方形的面积是______； （2）______． 18．（24-25七年级下·河北邢台·月考）我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图2的面积表示．嘉淇选取了如图1所示的2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为______．    19．（25-26七年级下·河北衡水·期中）计算： (1) (2) 20．（25-26七年级下·河北衡水·期中）先化简，再求值：，其中． 21．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）若（且，m，n是正整数），则．请利用上面的结论解决下面的问题． (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 22．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①_________，图②_________ (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________（用字母a、b表示）； 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为_________； ②计算：； 【拓展】 (4)用（2）得到的乘法公式计算： 23．（25-26八年级下·河北张家口·月考）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图甲），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图乙）． (1)上述操作能验证的等式是________（选填序号）； ①；②； ③． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 24．（21-22七年级下·贵州贵阳·期中）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积________；________； (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：________（用字母表示）； 【应用】 (3)请应用这个公式完成计算：． 25．（25-26七年级下·河北张家口·月考）两个边长分别为和的正方形如图放置（图1），其阴影部分的面积为．若再在图1中大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2），其阴影部分的面积为． (1)________、_________．（用含有、的代数式表示） (2)若，求的值； (3)当时，求图3中阴影部分的面积． 26．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 27．（24-25七年级下·河北保定·月考）数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：图1：_____；图2：_____； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式之间的等量关系_____ 【解决问题】 （3）如图4，长方形周长为，，求长方形的面积． 【知识迁移】 （4）若，求 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $