第八章 整式的乘法（复习讲义）数学新教材冀教版七年级下册

第八章 整式的乘法（复习讲义） 1.掌握同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方四条法则，能准确进行符号与指数的运算。 2.熟练进行单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算，准确合并同类项。 3.熟记平方差公式与完全平方公式，能正用、逆用及变形使用公式简化计算。 重点01 同底数幂的乘法 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 重点02 幂的乘方与积的乘方 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 积的乘方 ． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 重点03 同底数幂的除法 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 重点04 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 重点05 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 重点06 整式乘法 单项式乘法 要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 单项式乘多项式 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 多项式乘法 运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 重点07 乘法公式 完全平方公式 应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 平方差公式 平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 平方差公式的几何意义 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 题型一 同底数幂的乘法 1．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则m的值为____． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 4．计算： (1) (2) 题型二 科学记数法 5．2026春节期间央媒省媒高频聚焦临沂，中央和省级主流媒体刊发重点稿件350多篇，同比增长30%，总点击量350000000，数据“350000000”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 6．随着人们对环境的重视，新能源材料在环境治理方面的潜能仍需开发．石墨烯是目前世界上最薄的纳米材料，厚度约为0.000 000 000 34 m．数据0.000 000 000 34用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 7．在AI智能芯片的果蝇行为轨迹分析实验中，设备记录到一次微型神经电信号的时长为0.00000084秒将0.00000084用科学记数法表示为__________秒． 8．已知的氢气质量约为． (1)用科学记数法表示的氢气质量； (2)的氢气质量为多少？（结果用科学记数法表示） 题型三 幂的乘方运算 9．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则的值是________． 11．若（且，m，n是正整数），则．请利用上面的结论解决下面的问题． (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 12．比较底数大于1的幂的大小时，通常有两种方法；一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．例如： ①比较和的大小 解：因为，， 所以． ②比较和的大小 解：因为，，， 所以． 根据上述材料，解决下列问题： (1)比较和的大小； (2)已知，，，试比较，，的大小． 题型四 积的乘方运算 13．已知 ，那么之间满足的等量关系是（　　） A． B． C． D． 14．计算的结果是______． 15．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 16．【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． (1)计算： ①； ②； (2)如果，求的值． 题型五 同底数幂的除法 17．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 18．若，则的值为__________． 19．【中档】若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y，则 ． 20．计算下列各题： (1)； (2)． 题型六 零指数幂和负整数指数幂 21．若，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 22．如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 23．若，则的值为_______． 24．计算：． 题型七 单项式乘法 25．计算：． 26．计算： (1)； (2)． 27．计算： (1) (2) 28．计算： (1) (2) 题型八 多项式乘法 29．若化简后为，则的值为（    ） A． B． C． D． 30．计算题： (1) (2) 31．计算： (1)； (2)． 32．回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 题型九 多项式乘法与图形面积 33．在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖，互相垂直且宽度均为米的通道． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)剩余草坪的面积是多少平方米？ 34．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 35．如图，初一某班级的同学们在一块长为米，宽为米的长方形花圃里种植花朵，在阴影部分的区域内种植郁金香，在中间边长为米的正方形区域内种植芍药． (1)求种植郁金香区域的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示）； (2)当时，种植郁金香区域的面积为多少平方米？ 36．【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合来理解掌握运算方法．如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：． (1)【类比应用】任务一：观察图2，完成填空： ． (2)【综合应用】任务二： ①由图3，可以得到等式： ． ②若实数满足：，，求的值． 题型十 已知多项式乘积不含某项求字母的值 37．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 38．已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，则的值是（    ） A． B．1 C． D．5 39．已知的展开式中不含有和的项，那么________． 40．已知展开后，不含有项和常数项． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 题型十一 多项式乘法化简求值 41．先化简，再求值：，其中，． 42．先化简，再求值：，其中，． 43．先化简，再求值：，其中． 44．先化简，再求值：，其中 题型十二 整式乘法混合运算 45．计算： (1)； (2)． 46．计算： 47．计算： (1)； (2)． 48．计算： (1)； (2)； (3)． 题型十三 乘法公式 49．化简：，其中，． 50．先化简，再求值，其中，． 51．先化简，再求值：，其中．小明的解法如下： 原式（第一步） （第二步） ，（第三步） 当时， 原式．（第四步） (1)小明的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是（    ） A．平方差公式运用错误    B．去括号时符号错误    C．合并同类项错误 (2)请你借鉴小明的解题方法，写出此题的正确解答过程． 52．先化简，后求值：，其中． 题型十四 乘法公式与几何图形 53．现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠、无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，．      (1)用含的代数式分别表示，，当时，求的值 (2)比较与的大小，并说明理由 (3)若，求的值． 54．数学活动课上，刘老师准备了若干张如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形． (1)观察图②，请写出下列三个代数式：，，之间的等量关系__________； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片______张； (3)根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ① 已知，，求的值： ② 已知 ．求的值． 55．【公式探究】 (1)如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 56．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知， ，求的值． (3)有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律： … 则：________． (4)利用你发现的规律：计算：________． 题型十五 通过对完全平方公式变形求值 57．若，则（   ） A． B．2 C． D． 58．若，，则________． 59．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值； (3)若，求的值． 60．如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长等于_____； (2)观察图②，代数式，与之间的等量关系为_____； (3)思维迁移： （i）若，求的值． （ii）若，求的值． 题型十六 求完全平方式中的字母系数 61．已知多项式是完全平方式，则m的值为（　　） A．9 B．9或 C． D．9或 62．如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值为_______． 63．【教材呈现】 （1）分解因式： ①______；②______；③______；④______． 【归纳总结】 （2）观察以上四个多项式的系数： ，，，． 于是玉玉猜测：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：______； 【解决问题】 （3）若多项式是一个完全平方式，求实数t的值． 64．已知整式，整式． (1)若是完全平方式，求的值． (2)若可以因式分解为，求的值． 题型十七 多项式乘法中的规律性问题 65．探索题： (1)观察以上各式并猜想： ①__________； ②__________； (2)请利用上面的猜想解答下面的问题： 计算： 66．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 67．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)填出展开式中共有___________项，第三项的系数（字母部分是）___________． (2)已知，则___________； (3)若，求的值． 68．1261年，我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书—《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)根据上面的规律，则的展开式___________ (2)的展开式共有___________项，系数和为___________． (3)运用：今天是星期一，经过天后是星期___________． (4)直接写出的展开式中第三项的系数___________． (5)若，求的值． 题型十八 乘法公式的新定义问题 69．对于任意有理数，，现用“”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 70．对于任意有理数 a、b 现用“☆”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为_________． 71．（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是______________． 72．爱思考的可可同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义： 对于三个多项式（按顺序排列）：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据“平衡多项式”的定义，试判断： ①，，______（是或不是）平衡多项式；②，，______（是或不是）平衡多项式； (2)已知，，是平衡多项式，求平衡因子． 基础巩固通关测 1．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）若，则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·河北石家庄·一模）已知，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）若，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2026·河北廊坊·一模）下面是小明用科学记数法表示0.000002的过程，则下列判断正确的是（   ） A．△代表100000 B．△代表1000000 C．□代表 D．□代表5 6．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）已知（为正整数），则______． 7．（2026·河北保定·二模）“燕几”（宴几）是世界上最早的一套组合桌，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面可以排列组合，按需设席．如图，给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面组合方式，若长桌的宽为x，则一张小桌的面积为______． 8．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）计算的结果是_________. 9．（25-26七年级下·河北保定·月考）若，则__________． 10．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）若的展开式中不含的一次项，则实数的值为______． 11．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中． 12．（（25-26七年级下·河北邢台·期中）按要求解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值； 13．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，求： (1)； (2)的值 14．（25-26七年级下·河北保定·月考）在一次单元测验中，嘉嘉在计算一道整式乘法式子时，由于抄错了第一个多项式中常数项的符号，实际计算了，得到的计算结果是． 根据以上信息，解决下面的问题． (1)求出整式乘法式子中b的值． (2)计算出这道整式乘法式子的正确结果． 15．（25-26九年级下·河北沧州·月考）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2所示的大正方形的面积． 方法1：______； 方法2：______； (2)观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系：______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值． 能力提升进阶练 16．（25-26七年级下·河北保定·期中）下面是小张同学完成的作业，每道题20分，请计算小张的得分是（    ） ① ② ③如图，直线，相交于点，若，则30° ④ ⑤若，则 A．80 B．60 C．40 D．20 17．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 18．（25-26七年级下·河北保定·月考）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级下·河北衡水·期中）某村计划修建中心广场，其平面图是一个长，宽为的长方形，地面要用如图所示的甲、乙、丙三种型号的地砖进行铺设，若所有地砖没有浪费，则甲、乙、丙型号的地砖各需要（    ）块？ A．90，90，180 B．91，91，218 C．92，92，184 D．93，93，196 20．（24-25七年级下·浙江金华·期中）若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 21．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）已知，，，则的大小关系是_________（用“<”连接）． 22．（25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 23．（24-25七年级下·四川达州·期中）如果等式，则a的值为_____． 24．（25-26八年级上·河北唐山·月考）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． （1）图2中的阴影正方形边长为_____（用含的式子表示） （2）由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是_____． 25．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在线段上取一点，分别以为边向上作正方形和正方形，点是线段上一点，且满足，连接和，，，且，，则图中阴影部分的面积为 ______． 26．（2026·河北保定·二模）一道习题及其错误的解答过程如下： 化简：． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 (1)以上化简过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)请写出正确的化简过程． 27．（24-25七年级下·贵州·期中）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解：原式………第一步 ………第二步 ．………第三步 (1)小丽的化简过程从第_____步开始出现错误； (2)请对原整式进行化简，并求当，时原整式的值． 28．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）【方法】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 【操作】 (1)如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为： ，图2中阴影部分面积可表示为 ，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式： ． 【拓展】 (2)图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式 ； 【迁移】 (3)若，，求与的值． 29．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①_________，图②_________ (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________（用字母a、b表示）； 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为_________； ②计算：； 【拓展】 (4)用（2）得到的乘法公式计算： 30．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 31．（25-26八年级上·重庆·期末）数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： (1)通过计算图2中阴影部分的面积可以得到的数学等式是___________； (2)利用（1）中结论，解决下面问题，若，则___________． (3)如图3，四边形，，是正方形，四边形和是长方形，其中长方形的面积是，求图中阴影部分的面积． 32．（25-26八年级上·河北邢台·期末）【材料阅读】我们把多项式及叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对这个多项式做如下变形：先添加一个适当的项，使这个多项式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解题方法，不仅可以将一个看似不能因式分解的多项式分解，还能求代数式的最值． 【实例分析】 例1：分解因式： 解：原式 例2：求代数式的最小值． 解：原式 当时，有最小值，最小值是． 即代数式的最小值是． 【拓展应用】 (1)分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值； (3)，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 整式的乘法（复习讲义） 1.掌握同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方四条法则，能准确进行符号与指数的运算。 2.熟练进行单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算，准确合并同类项。 3.熟记平方差公式与完全平方公式，能正用、逆用及变形使用公式简化计算。 重点01 同底数幂的乘法 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 重点02 幂的乘方与积的乘方 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 积的乘方 ． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 重点03 同底数幂的除法 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 重点04 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 重点05 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 重点06 整式乘法 单项式乘法 要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 单项式乘多项式 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 多项式乘法 运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 重点07 乘法公式 完全平方公式 应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 平方差公式 平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 平方差公式的几何意义 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 题型一 同底数幂的乘法 1．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算各选项即可判断． 【详解】解：∵同底数幂乘法法则为 ， 对选项A：，计算正确； 对选项B：，计算错误； 对选项C：，计算错误； 对选项D：，计算错误． 2．若，则m的值为____． 【答案】4 【分析】根据同底数幂相乘的法则得到，则可得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二 科学记数法 5．2026春节期间央媒省媒高频聚焦临沂，中央和省级主流媒体刊发重点稿件350多篇，同比增长30%，总点击量350000000，数据“350000000”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 6．随着人们对环境的重视，新能源材料在环境治理方面的潜能仍需开发．石墨烯是目前世界上最薄的纳米材料，厚度约为0.000 000 000 34 m．数据0.000 000 000 34用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，需满足，对于小于1的正数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】∵原数左起第一个非零数字前共有个零，且取满足， ∴ 因此正确选项为C． 7．在AI智能芯片的果蝇行为轨迹分析实验中，设备记录到一次微型神经电信号的时长为0.00000084秒将0.00000084用科学记数法表示为__________秒． 【答案】 【分析】根据科学记数法的表示形式：，确定和的值即可，其中，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：对于，左起第一个非零数字为，可得，第一个非零数字前共有个零，即， 因此． 8．已知的氢气质量约为． (1)用科学记数法表示的氢气质量； (2)的氢气质量为多少？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：， 答：的氢气质量为． 题型三 幂的乘方运算 9．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：. 10．已知，则的值是________． 【答案】8 【分析】将等式左侧各数化为以为底的幂，利用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则化简左侧，再根据等式两边底数相同的幂相等则指数相等列方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 11．若（且，m，n是正整数），则．请利用上面的结论解决下面的问题． (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法逆运算法则把变形为即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ， 解得：； （2）解： ． 12．比较底数大于1的幂的大小时，通常有两种方法；一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．例如： ①比较和的大小 解：因为，， 所以． ②比较和的大小 解：因为，，， 所以． 根据上述材料，解决下列问题： (1)比较和的大小； (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将和化成底数为2的数，然后再比较即可； （2）将，，化成指数为13的数，然后再比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，，， ∴． 题型四 积的乘方运算 13．已知 ，那么之间满足的等量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 14．计算的结果是______． 【答案】 【分析】先利用积的乘方法则、幂的乘方法则计算第一项，利用同底数幂的乘法法则计算第二项，最后合并同类项得到结果． 【详解】解： ． 15．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用积的乘方法则的逆运算解答即可； （2）将指数化为相同的形式，再利用积的乘方法则的逆运算解答即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： = = = =． 16．【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． (1)计算： ①； ②； (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将拆为，逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算；②将化为，逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算； （2）先逆用积的乘方公式将左边化为，再根据同底数幂相等则指数相等列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型五 同底数幂的除法 17．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的除法运算：即同底数幂相除，底数不变，指数相减，计算时注意保留原式的负号即可． 【详解】解：． 18．若，则的值为__________． 【答案】64 【分析】由得，再根据同底数幂除法法则计算． 【详解】解：， ， ． 19．【中档】若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方逆运算可得：，即可得出，再根据已知，由此可得：，得出，解方程即可得出x的值； （2）将变形为：，即，即可得出，即可得出答案； （3）由，可得，把代入y即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：已知， ∵ ， ∴， 故答案为：． 20．计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）原式； （2）． 题型六 零指数幂和负整数指数幂 21．若，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方法则、负整数指数幂及零指数幂法则，分别计算出a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 22．如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴． 23．若，则的值为_______． 【答案】1或2或4 【分析】根据题意可得，且；再分三种情况：，，，分别求出对应情况下的值，看是否符合题意即可． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴； 当，即时，，则，符合题意； 当，即时，，则，符合题意； 当，即时，，则，符合题意； 综上所述，t的值为1或2或4． 24．计算：． 【答案】0 【详解】解：原式 ． 题型七 单项式乘法 25．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 26．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算积的乘方和单项式乘以单项式，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式与单项式乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据积的乘方，单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型八 多项式乘法 29．若化简后为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式运算，解题思路为展开左边多项式，根据对应系数相等求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： 又化简后结果为 对应系数相等，可得，，即 将代入计算： 30．计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 31．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2） 32．回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 【答案】(1)①；②； ③； (2)； (3)①；② (4)7或或5或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）通过多项式乘多项式法则计算三个式子； （2）根据（1）的计算结果总结出的展开公式； （3）利用（2）总结的公式直接计算； （4）根据公式，结合且、为整数，求出的可能值，即的可能值． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； ③ ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：① ； ② ； （4）解：因为， 所以，． 因为，均为整数，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 所以的所有可能值为7或或5或． 题型九 多项式乘法与图形面积 33．在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖，互相垂直且宽度均为米的通道． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)剩余草坪的面积是多少平方米？ 【答案】(1)通道的面积是平方米 (2)剩余草坪的面积是平方米 【分析】（1）通道面积为长为米，宽为米的长方形面积加上长为米，宽为米的长方形面积，再减去一个边长为米的正方形面积，据此列式求解即可； （2）用最大的长方形面积减去通道面积即为剩余草坪的面积，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：通道的面积共有： 平方米， 答：通道的面积是平方米； （2）解：剩余草坪的面积为： 平方米， 答：剩余草坪的面积是平方米． 34．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】（1）根据大长方形面积的不同计算方法可得等式； （2）画一个长为，宽为的长方形，然后用两种不同的计算方法进行列式，即可得出答案； （3）先计算，再根据题意得出，，先求出p，然后可得m的值． 【详解】（1）解：把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 可得对应的等式为：； （2）解：如图： 把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 所以； （3）解：， ∵式子无论x为多少时恒成立， ∴，， ∴， ∴． 35．如图，初一某班级的同学们在一块长为米，宽为米的长方形花圃里种植花朵，在阴影部分的区域内种植郁金香，在中间边长为米的正方形区域内种植芍药． (1)求种植郁金香区域的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示）； (2)当时，种植郁金香区域的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)61（平方米） 【详解】（1）解：由题意得，郁金香种植面积长方形面积正方形面积， 即郁金香种植面积． （2）解：当时，（平方米）． 36．【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合来理解掌握运算方法．如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：． (1)【类比应用】任务一：观察图2，完成填空： ． (2)【综合应用】任务二： ①由图3，可以得到等式： ． ②若实数满足：，，求的值． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）数形结合求解即可； （2）①数形结合求解即可；②由①中得到的等式，代入计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： 表示长方形面积，等于四部分面积和为， 则或； （2）解：①如图所示： ； ②∵，，， ∴， ∴． 题型十 已知多项式乘积不含某项求字母的值 37．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式与多项式相乘的法则化简，令项系数为0即可计算的值． 【详解】解： 不含项， ， ， 故选：D ． 38．已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，则的值是（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】根据展开式不含一次项、常数项为求出和的值，再计算即可． 【详解】解：先展开原式并合并同类项：， 展开式中不含的一次项，且常数项为， ， 解得， ． 39．已知的展开式中不含有和的项，那么________． 【答案】42 【分析】利用多项式乘以多项式进行展开，然后问题可求解． 【详解】解： = =； ∵展开式中不含有和的项， ∴， 解得：， ∴． 40．已知展开后，不含有项和常数项． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再由不含有项和常数项，联立方程组求解即可； （2）将（1）的结果代入计算即可． 【详解】（1）解： ∵展开后，不含有项和常数项， ∴，解得； （2）解：由（1）得， ． 题型十一 多项式乘法化简求值 41．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时， 原式． 42．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 43．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据完全平方公式、多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式 ． 44．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】根据多项式的乘法法则化简原式后代入的值． 【详解】解：原式 当时，原式． 题型十二 整式乘法混合运算 45．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 46．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据积的乘方、单项式乘单项式以及合并同类项的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 47．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘以多项式，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 48．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)500000 (2) (3) 【分析】本题主要考查幂的运算、单项式乘多项式以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）利用积的乘方逆运算化简计算； （2）通过单项式乘多项式、积的乘方及合并同类项求解； （3）借助多项式乘多项式与合并同类项得出结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型十三 乘法公式 49．化简：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 50．先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】先计算乘法公式，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 51．先化简，再求值：，其中．小明的解法如下： 原式（第一步） （第二步） ，（第三步） 当时， 原式．（第四步） (1)小明的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是（    ） A．平方差公式运用错误    B．去括号时符号错误    C．合并同类项错误 (2)请你借鉴小明的解题方法，写出此题的正确解答过程． 【答案】(1)二；B (2)见解析 【分析】（1）直接利用整式的混合运算法则判断即可； （2）直接利用整式的混合运算法则计算，进而将已知代入求出答案． 【详解】（1）解：小明的解题过程从第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时，没有变号，即错误原因为选项B； （2）解：原式 ， 当时， 原式． 52．先化简，后求值：，其中． 【答案】，1 【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式法则以及完全平方公式对原式进行化简，再将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 题型十四 乘法公式与几何图形 53．现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠、无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，．      (1)用含的代数式分别表示，，当时，求的值 (2)比较与的大小，并说明理由 (3)若，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据图形中甲、乙、丙三种矩形卡片的数量求面积即可； （2）计算，再判断即可； （3）由得到，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由图2可得， 由图3可得， （2）解：， ∵， ∴， ∴； （3）解：， ∴， ∴， ∴． 54．数学活动课上，刘老师准备了若干张如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形． (1)观察图②，请写出下列三个代数式：，，之间的等量关系__________； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片______张； (3)根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ① 已知，，求的值： ② 已知 ．求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)①5；②1 【分析】（1）根据图②大正方形的面积，从整体和部分两种角度表示，从而得出三个代数式之间的等量关系． （2）先将展开，根据展开式中各项的系数确定种纸片的数量，再画出草图． （3）①将两边平方，再结合，利用（1）中的等量关系求出的值．②设，将转化为关于的式子，再利用（1）中的等量关系求解． 【详解】（1）解：∵图②大正方形的边长为 ∴其面积为 又∵大正方形由个边长为的正方形、个边长为的正方形和个长为、宽为的长方形组成 ∴其面积也为， ∴． （2）解：∵， 又∵种纸片对应，种纸片对应，种纸片对应， ∴需要种纸片3张． （3）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； ②设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 55．【公式探究】 (1)如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 【答案】(1) (2)①8；② (3) 【分析】（1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）逆用公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图2可知，阴影部分的面积为； 由图1可知，阴影部分的面积为； 故可得：； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：原式 ； （3）解：原式 ． 56．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知， ，求的值． (3)有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律： … 则：________． (4)利用你发现的规律：计算：________． 【答案】(1)C (2)4 (3) (4) 【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论； （2）由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得； （3）观察等式的规律，可得等式的右边为，即可求解； （4）根据（3）的规律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：左图中，阴影部分为大正方形面积减去小正方形的面积，阴影部分面积为：， 右图阴影是拼成的长方形，长是：，宽是：， 所以右图阴影部分面积为：， 由于左右两图阴影部分面积相等， 所以有：； （2）解：由（1）中规律，利用平方差公式可得： ， ∵ ； （3）解：∵， ， ， ∴； （4）解：． 题型十五 通过对完全平方公式变形求值 57．若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将两个已知等式按完全平方公式展开，两式相减消去无关项，即可计算出的值． 【详解】解：∵，， ∴①，②， ①②得：， ∴， ∴． 58．若，，则________． 【答案】12 【分析】利用完全平方和公式变形，将已知条件代入计算即可求出的值. 【详解】解：∵， 又，， ， ∴， ∴. 59．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （2）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （3）根据多项式乘多项式求得，再将原式利用完全平方公式展开，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：，， ，即， ； （2）解：，， ，即， ， ， ， ，即， ； （3）解：， ， ， ． 60．如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长等于_____； (2)观察图②，代数式，与之间的等量关系为_____； (3)思维迁移： （i）若，求的值． （ii）若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)（i）；（ii）5 【分析】（1）根据图形之间的关系即可得到答案； （2）图②中画有阴影的小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积，又等于其边长的平方，据此分别表示出图②中画有阴影的小正方形的面积即可得到答案； （3）（i）根据（2）的结论代入求值即可；（ii）根据（2）的结论可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图②中画有阴影的小正方形的边长等于； （2）解：图②中画有阴影的小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积，即其面积为， ∵图②中画有阴影的小正方形的面积为， ∴； （3）解：（i）由（2）可得， ∵， ∴； （ii）∵，， ∴， ∴． 题型十六 求完全平方式中的字母系数 61．已知多项式是完全平方式，则m的值为（　　） A．9 B．9或 C． D．9或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方式的形式列出关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】∵多项式是完全平方式，完全平方公式为 ∴对应公式可得，，，中间项满足 整理得 分两种情况计算： 当时，，解得 当时，，解得 ∴的值为或． 62．如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值为_______． 【答案】10或 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，掌握完全平方公式的形式是解题关键，根据完全平方公式的结构，对比多项式系数即可求解m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴中间项系数满足，即或， 解得或． 63．【教材呈现】 （1）分解因式： ①______；②______；③______；④______． 【归纳总结】 （2）观察以上四个多项式的系数： ，，，． 于是玉玉猜测：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：______； 【解决问题】 （3）若多项式是一个完全平方式，求实数t的值． 【答案】（1）① ② ③ ④ ；（2）（3）或 【分析】本题考查因式分解，数字类规律探究，熟练掌握完全平方公式法因式分解是解题的关键： （1）利用完全平方公式法进行因式分解即可； （2）根据给出的等式，即可得出结果； （3）根据（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）①；②；③；④； （2）由题意可知：； （3）由（2）可知：，解得或． 64．已知整式，整式． (1)若是完全平方式，求的值． (2)若可以因式分解为，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． （1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得值即可； （2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出值即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵为完全平方式， ∴， ∴或． （2）解： ∵可以因式分解为，， ∴， ∴． 题型十七 多项式乘法中的规律性问题 65．探索题： (1)观察以上各式并猜想： ①__________； ②__________； (2)请利用上面的猜想解答下面的问题： 计算： 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】（1）①根据已有等式进行类比即可解答；②根据已有等式进行类比、归纳即可解答； （2）先将原式写成，然后利用（1）的规律解答即可． 【详解】（1）解：①由， ， ， ， 则； 故答案为：． ②由， ， ， ， ， …… ． 故答案为：． （2）解： ． 66．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析． 【详解】解：（1）． （2）第个等式：； 证明：左边，右边， 左边右边，等式成立． 67．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)填出展开式中共有___________项，第三项的系数（字母部分是）___________． (2)已知，则___________； (3)若，求的值． 【答案】(1)6，10 (2) (3) 【分析】（1）根据给出的等式，得出规律，故的展开式共有项，观察规律可知，的展开式共有6项，第三项的系数是10； （2）由题意知，据此求解即可得出答案； （3）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得展开式中共有项， 第三项的系数（字母部分是）是10； （2）解：∵，， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴． 68．1261年，我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书—《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)根据上面的规律，则的展开式___________ (2)的展开式共有___________项，系数和为___________． (3)运用：今天是星期一，经过天后是星期___________． (4)直接写出的展开式中第三项的系数___________． (5)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)二 (4)420 (5)0 【分析】（1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）根据给出的等式，得出规律进行作答即可； （3）利用7天为一个周期，的最后一项是1，则的余数是1，即可得出答案； （4）求出的第三项为，令，进行求解即可； （5）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 ∴； （2）解：观察可知：的展开式有2项， 的展开式有3项， 的展开式有4项， 的展开式有5项， 依此类推， 共有项， 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 依此类推，的展开式的系数和为； （3）解：∵，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； （4）解：的展开式的第三项为， 的展开式的第三项为； 的展开式的第三项为； ∴的展开式的第三项为， ∴的展开式的第三项为 ∴的展开式的第三项的系数为； （5）解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴． 题型十八 乘法公式的新定义问题 69．对于任意有理数，，现用“”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是定义新运算，解题的关键是准确理解并运用题目中给出的新运算规则．根据定义可知，只需将代数式中的替换为、替换为，再结合完全平方公式展开并合并同类项，即可完成化简． 【详解】解：新运算定义为， ， 展开并合并同类项得． 故选：． 70．对于任意有理数 a、b 现用“☆”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为_________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，涉及完全平方公式，整式的加减运算，正确理解新定义，掌握运算法则是解题的关键． 由新定义得到，再化简计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 71．（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是______________． 【答案】65 【分析】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， m，n为正整数， ∴， ， 当时，由产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，…… 当时，由产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，…… 当时，由产生的智慧优数为：48，60，72，84，…… 当时，由产生的智慧优数为：63，77，91，…… 当时，由产生的智慧优数为：80，96，…… 综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，…… ∴第27个智慧优数是65， 故答案为：65． 72．爱思考的可可同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义： 对于三个多项式（按顺序排列）：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据“平衡多项式”的定义，试判断： ①，，______（是或不是）平衡多项式；②，，______（是或不是）平衡多项式； (2)已知，，是平衡多项式，求平衡因子． 【答案】(1)①是；②不是 (2)． 【分析】（1）①根据平衡多项式定义，计算即可判断； ②根据平衡多项式定义，计算即可判断； （2）根据平衡多项式定义计算即可． 【详解】（1）解：①∵ ， ∴由定义可知，，，是平衡多项式； ②∵ ， ∴由定义可知，不是平衡多项式； （2）解：∵，，是平衡多项式， ∴， 整理得， ∴， 因为结果是常数，所以含x的项系数为0： ∴， ∴， ∴， ∴平衡因子． 基础巩固通关测 1．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式逐项验证即可． 【详解】解：A：，选项计算正确； B：，选项计算错误； C：，选项计算错误； D：，选项计算错误． 2．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）若，则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】展开等式左边，合并同类项后对比右侧多项式对应项系数，即可求出和的值． 【详解】解：∵左边， 又， 对比等式两边对应项系数，可得，． 3．（2026·河北石家庄·一模）已知，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握幂的运算法则是解题关键． 【详解】解：左式，右式， ∴， 故． 4．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）若，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将左边的式子展开，再对比右边的式子的对应项的系数相同即可． 【详解】 ∵ ∴，． 5．（2026·河北廊坊·一模）下面是小明用科学记数法表示0.000002的过程，则下列判断正确的是（   ） A．△代表100000 B．△代表1000000 C．□代表 D．□代表5 【答案】B 【分析】根据题目给出的变形过程，计算出和的值，再对比选项判断即可． 【详解】解：根据题意得 又 对比选项可知，只有B选项正确． 6．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）已知（为正整数），则______． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方运算和同底数幂的除法运算，先将原式的底数统一为，再利用幂的相关运算法则化简，最后代入已知条件计算结果． 【详解】解：， ， ． 7．（2026·河北保定·二模）“燕几”（宴几）是世界上最早的一套组合桌，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面可以排列组合，按需设席．如图，给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面组合方式，若长桌的宽为x，则一张小桌的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵长桌的宽为x，每张桌面的宽都相等， ∴小桌的宽为x， 由题图可得小桌的长为2x， ∴一张小桌的面积为． 8．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）计算的结果是_________. 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算，将原式拆分变形，再根据有理数乘方的运算法则计算结果． 【详解】解：． 9．（25-26七年级下·河北保定·月考）若，则__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）若的展开式中不含的一次项，则实数的值为______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项， ∴， ∴， ∴实数的值为． 故答案为：． 11．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开原式，合并同类项化简后，代入的值计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ； 将代入得，原式． 12．（（25-26七年级下·河北邢台·期中）按要求解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值； 【答案】(1)72 (2) 【分析】（1）根据幂的乘方，同底数幂相乘，同底数幂的乘法的逆运算，即可求解； （2）利用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， 整理得，， ∴． 13．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，求： (1)； (2)的值 【答案】(1)13 (2)1 【分析】（1）化为，代值计算即可； （2）化为，代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（25-26七年级下·河北保定·月考）在一次单元测验中，嘉嘉在计算一道整式乘法式子时，由于抄错了第一个多项式中常数项的符号，实际计算了，得到的计算结果是． 根据以上信息，解决下面的问题． (1)求出整式乘法式子中b的值． (2)计算出这道整式乘法式子的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再根据计算结果是作答即可； （2）写出正确的式子，计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵计算结果是， ∴， 解得：； （2）解： ． 15．（25-26九年级下·河北沧州·月考）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2所示的大正方形的面积． 方法1：______； 方法2：______； (2)观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系：______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）方法1：根据正方形的面积边长的平方进行计算，即可解答；方法2：根据正方形的面积两个正方形的面积两个长方形的面积进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论，即可解答； （3）利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：方法1：；方法2；． （2）解：根据（1）问可知：； （3）解：∵，，， ∴． 能力提升进阶练 16．（25-26七年级下·河北保定·期中）下面是小张同学完成的作业，每道题20分，请计算小张的得分是（    ） ① ② ③如图，直线，相交于点，若，则30° ④ ⑤若，则 A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了实数运算，分别判断每个式子的正确性，再计算正确式子的得分即可． 【详解】解：①，故①正确； ②和不能合并，故②错误； ③是对顶角，，故③正确； ④，故④正确； ⑤，则，故⑤错误； 每道题20分，故得分为：（分）． 17．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可判断③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，②不符合题意； ③图1的面积可表示为，图2的面积可表示为， 图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，③符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 18．（25-26七年级下·河北保定·月考）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，然后运用整式乘法法则和平方差公式化简代数式，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ． 19．（25-26七年级下·河北衡水·期中）某村计划修建中心广场，其平面图是一个长，宽为的长方形，地面要用如图所示的甲、乙、丙三种型号的地砖进行铺设，若所有地砖没有浪费，则甲、乙、丙型号的地砖各需要（    ）块？ A．90，90，180 B．91，91，218 C．92，92，184 D．93，93，196 【答案】B 【分析】利用多项式乘以多项式进行解答即可． 【详解】解： ， 即甲、乙、丙型号的地砖各需要块，块，块． 20．（24-25七年级下·浙江金华·期中）若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】形如：的式子叫做完全平方式，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或． 21．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）已知，，，则的大小关系是_________（用“<”连接）． 【答案】 【分析】均为的乘方，根据幂的乘方将的底数全部转化为，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴． 22．（25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【答案】2 【分析】先把原式进行化简，再根据结果与x的取值无关列方程并解方程即可． 【详解】解： ∵多项式的结果与的取值无关， ∴含项的系数为0， 即， 解得：． 23．（24-25七年级下·四川达州·期中）如果等式，则a的值为_____． 【答案】或或 【分析】根据零指数幂，，，分类讨论即可求解． 【详解】解：当时，， 等式左边，等式成立； 当时，， 等式左边，等式成立； 当时，， 等式左边，等式成立； 综上，a的值为或或． 24．（25-26八年级上·河北唐山·月考）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． （1）图2中的阴影正方形边长为_____（用含的式子表示） （2）由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形结合完全平方公式得到对应的结论，并能进行相关的应用． （1）由题意可得此题结果是； （2）由图2面积的不同表示方法可得； 【详解】解：（1）由图2可得，阴影正方形边长为， （2）由图2面积的不同表示可得：， 故答案为：；； 25．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在线段上取一点，分别以为边向上作正方形和正方形，点是线段上一点，且满足，连接和，，，且，，则图中阴影部分的面积为 ______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，由正方形的性质得出，，则有，又图中阴影部分的面积为，通过完全平方公式的变形可求出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 26．（2026·河北保定·二模）一道习题及其错误的解答过程如下： 化简：． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 (1)以上化简过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)请写出正确的化简过程． 【答案】(1)一，完全平方公式运用错误 (2)见解析 【分析】（1）根据完全平方公式即可判断； （2）先根据单项式乘以多项式的运算法则和完全平方公式计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵， ∴第一步开始出现错误，错误原因是完全平方公式运用错误； （2）解：正确化简过程如下： 原式 ． 27．（24-25七年级下·贵州·期中）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解：原式………第一步 ………第二步 ．………第三步 (1)小丽的化简过程从第_____步开始出现错误； (2)请对原整式进行化简，并求当，时原整式的值． 【答案】(1)一 (2)， 【分析】（1）根据整式的混合运算法则判断即可； （2）首先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后再去括号合并同类项，化简后得出最简结果，再代入、的值计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴小丽的化简过程从第一步开始出现错误． （2）解： ； 当，时，原式． 28．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）【方法】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 【操作】 (1)如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为： ，图2中阴影部分面积可表示为 ，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式： ． 【拓展】 (2)图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式 ； 【迁移】 (3)若，，求与的值． 【答案】(1)；； (2) (3)； 【分析】（1）用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可，再根据面积相等列式即可； （2）用两种方法分别用代数式表示图4中阴影部分的面积列式即可； （3）根据（2）所得结论将已知代数式代入计算即可得到，再根据完全平方公式变形求解． 【详解】（1）解：图1中阴影部分面积可表示为：， 图2中阴影部分面积可表示为：， 两个图中的阴影部分面积是相同的， 可得到等式：； （2）解：图4中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图4中阴影部分的面积也可以看作大正方形与个空白长方形的面积差，即， 可得到等式：； （3）解：，， ； ． 29．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①_________，图②_________ (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________（用字母a、b表示）； 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为_________； ②计算：； 【拓展】 (4)用（2）得到的乘法公式计算： 【答案】(1)图①：；图②： (2) (3)①12；② (4) 【分析】（1）观察图形，图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，图②阴影部分是长为、宽为的矩形，据此求解即可； （2）由于图②是由图①的阴影部分剪拼而成的，则在拼接过程中面积没有发生变化，根据图①和图②的阴影面积相等，列出乘法公式即可； （3）利用乘法公式计算； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即； 图②阴影部分是长为、宽为的矩形，其面积为； （2）解：由于图②是由图①的阴影部分剪拼而成的， 则在拼接过程中面积没有发生变化，这意味着图①和图②的阴影面积相等， 因此，可以得到乘法公式：； （3）解：①； ②； （4）解： ． 30．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； (3)的值为或． 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的法则，零指数幂的定义等，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行运算，得到，再根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； （3）先分类讨论：（）当且时，求出的值并判断；（）当时，整理，得：，再根据题意进行的分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或； （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或． 31．（25-26八年级上·重庆·期末）数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： (1)通过计算图2中阴影部分的面积可以得到的数学等式是___________； (2)利用（1）中结论，解决下面问题，若，则___________． (3)如图3，四边形，，是正方形，四边形和是长方形，其中长方形的面积是，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积为500． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形的面积，代数式求值，熟练运用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式直接计算得出面积，或者用大正方形的面积减去周围小图形的面积，列等式即可； （2）根据（1）中结论，整体代入计算即可； （3）设阴影部分的面积为S，，则，，然后根据长方形面积公式可得，得到，根据计算即可． 【详解】（1）解：根据图形得， 故答案为：； （2）解：由（1）知， 则 ； 故答案为：30； （3）解：∵四边形是正方形， ∴设阴影部分的面积为S，， ∵， ∴，， ∵长方形的面积是， ∴， ∴， ∴， ∵四边形，是正方形， ∴，， ∴，， ∴ ． 答：阴影部分的面积为500． 32．（25-26八年级上·河北邢台·期末）【材料阅读】我们把多项式及叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对这个多项式做如下变形：先添加一个适当的项，使这个多项式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解题方法，不仅可以将一个看似不能因式分解的多项式分解，还能求代数式的最值． 【实例分析】 例1：分解因式： 解：原式 例2：求代数式的最小值． 解：原式 当时，有最小值，最小值是． 即代数式的最小值是． 【拓展应用】 (1)分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值； (3)，求的值． 【答案】(1) (2)当时，代数式有最大值，最大值是18 (3) 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式变形求值． （1）仿照例1因式分解即可； （2）仿照例2，将原式化为，根据作答即可； （3）将原式化为，根据平方的非负性求出x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ， ， ∴， 当时，有最大值，最大值是18， 即当时，代数式有最大值，最大值是18； （3）解：由题意，得， ， ， ， ∵， ， ，， 解得，， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $