考点01 数据的分析（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

考点01 数据的分析 考点一：算术平均数 定义：一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，则这n个数的平均数为，记作“”，读作“x拔”. 求法： 考点二：加权平均数 权的概念：一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则叫做这个数的加权平均数. 权的作用：权能反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重越大；权越小，该数据所占的比重越小. 权常见的表现形式：①用频数表示，即用出现的次数表示；②百分数的形式；③连比的形式. 考点三： 中位数 定义：一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数叫做这组数据的中位数.如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 求法： 考点四：众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 考点五：平均数、众数、中位数的联系与区别 考点六：方差 定义：设有n个数据，，…，，各个数据与平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数，即用来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作. 方差的作用：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 考点七：数据的四分位数 定义：将一组从小到大排列的数据平均分成四等份，处于三个分点位置的数称为四分位数： · 下四分位数（Q₁）：排在第 25% 位置的数，也叫第一四分位数； · 中位数（Q₂）：排在第 50% 位置的数，即第二四分位数（就是之前学过的中位数）； · 上四分位数（Q₃）：排在第 75% 位置的数，也叫第三四分位数； 这三个数将数据分成四个部分，每部分包含 25% 的数据。 示例 1,3,5,7,9,11,13 2,4,6,8,10,12 从小到大排序后 1,3,5,7,9,11,13 2,4,6,8,10,12 中位数（Q₂） 7 7 下四分位数（Q₁） 3 4 上四分位数（Q₃） 11 10 考点八：箱线图 定义：箱线图是用一组数据的最小值、Q₁、Q₂、Q₃、最大值所绘制的统计图，能将数据的分布特征浓缩在一条线段和一个矩形中，无需展示所有数据点，特别适合多组数据的横向比较。 核心元素： 构成元素 对应统计量 意义 最左侧端点 最小值（Min） 数据中的最小数 箱子左边界 下四分位数（Q₁） 第 25% 位置的数，前 25% 数据的终点 箱子中间的竖线 中位数（Q₂） 第 50% 位置的数，数据的中心位置 箱子右边界 上四分位数（Q₃） 第 75% 位置的数，后 25% 数据的起点 最右侧端点 最大值（Max） 数据中的最大数 补充：1）箱子部分：包含中间 50% 的数据，是数据最集中的区域. 2）左右两条 “须”：分别连接最小值到 Q₁、Q₃到最大值，代表两端各 25% 的数据. 示例：某班 10 名学生的数学成绩：72, 75, 78, 80, 82, 85, 88, 90, 92, 95 1）排序：将数据从小到大排列：72, 75, 78, 80, 82, 85, 88, 90, 92, 95 2）计算五数概括： · 最小值 = 72，最大值 = 95 · 中位数 Q₂=(82+85)/2=83.5 · 前半部分（小于 Q₂）：72,75,78,80,82 → Q₁=78 · 后半部分（大于 Q₂）：85,88,90,92,95 → Q₃=90 3）画数轴：根据数据范围画出合适的数轴 4）画箱子：在数轴上对应 Q₁=78 和 Q₃=90 的位置画矩形，在 Q₂=83.5 的位置画竖线 5）画须：从箱子左端点向左画线段到最小值 72，从箱子右端点向右画线段到最大值 95 题型一：求算术平均数 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某班举行的“3V3篮球挑战赛”中，小明5场比赛的得分分别为：9，7，8，10，7．这五次得分的平均数是__________分． 【答案】8.2 【详解】解：根据题意，计算五次得分的总和：， 由平均数计算公式：平均数等于所有数据的和除以数据的个数，得：． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）求一组数据方差的算式为：，则该组数据的平均数为________． 【答案】13 【分析】根据方差的计算公式，得到这组数据，根据平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，平均数为：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 【答案】20 【分析】根据平均数的定义，计算即可． 【详解】解：，，，，的平均数是5， ， ． 4．（2026·湖南株洲·一模）一组数据6，8，9，10，x的平均数是9，则x的值为________． 【答案】12 【分析】根据算术平均数的定义列方程求解即可． 【详解】解： 一组数据，，，，的平均数是， ， 解得 ． 题型二：求加权平均数 5．（2026·四川成都·二模）某学校美术课期末综合成绩由平时作业成绩、上课表现成绩以及期末测评成绩组成，分别占比，其中平时作业80分，上课表现90分，期末测评95分，最终期末综合成绩为______分． 【答案】 【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可． 【详解】解：最终期末综合成绩为：（分） 6．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数，设小安数学得分为分，根据加权平均数的计算公式可得，解之即可求解，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：设小安数学得分为分， 则， 解得， ∴小安数学得分是分， 故答案为：． 7．（2025·山西·模拟预测）截至2025年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8 B型 9 9 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是______型（填“A”或“B”）． 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的应用．根据加权平均数的计算公式分别计算A、B两种型号无人机的综合得分，再通过比较得分大小确定应选择的型号． 【详解】解：根据加权平均数的计算公式： A型无人机的综合得分：（分） B型无人机的综合得分：（分） ∵，且评分越高影响程度越小， ∴平台应选择B型无人机． 故答案为：B． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）二中为了招聘一批优秀教师，对入选的三名候选人进行技能与专业知识两项考核，最终李老师、于老师、王老师三人的考核成绩统计如下：如果视教学技能与专业知识水平同等重要，那么候选人_______将被录取；如果视教学技能水平比专业知识水平重要，并且赋予它们6和4的权重，则________将被录取． 候选人 百分制 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 李老师 85 92 于老师 91 85 王老师 80 90 【答案】 李老师 于老师 【分析】此题考查平均数和加权平均数的计算．当两项考核同等重要时，计算算术平均数；当赋予不同权重时，计算加权平均数，再比较大小以决定录取． 【详解】解：当视教学技能与专业知识水平同等重要时，计算各候选人的算术平均数： 李老师： 于老师： 王老师： 比较得 ，故李老师将被录取． 当视教学技能水平比专业知识水平重要，并赋予它们6和4的权重时，计算各候选人的加权平均数： 李老师： 于老师： 王老师： 比较得 ，故于老师将被录取． 题型三：求中位数 9．（2026·辽宁葫芦岛·一模）某校机器人编程团队参加创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数是______． 【答案】95 【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，再根据数据个数确定中位数即可． 【详解】解：将位评委给出的分数从小到大排列为：， 数据个数为奇数，中位数为排列后位于中间位置的数， 因此中位数为． 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若一组数据3，4，4，x，5，5，7，8的平均数是5，则这组数据的中位数为_________． 【答案】4.5 【分析】根据这组数据的平均数为5可求出的值，进而根据中位数的概念可以求解． 【详解】解： 一组数据3，4，4，x，5，5，7，8的平均数是5， ， 解得， 这组数据从小到大排列为3，4，4，4， 5，5，7，8， 这组数据的中位数为． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）在数据2，0，，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】分三种情况讨论：；；，根据中位数的定义求解即可. 【详解】把这组数据按从小到大排列得：，0，2，4，6， 插入一个数x后，数据变为6个，中位数为排序后第3、4位数的平均数． 设排序后的新数据为，，，，，， 若，则，，，， 此时中位数为，符合题意； 若，此时， ∴，解得，即； 若，则中位数，不符合题意，舍去， 综上，x的取值范围是． 题型四：求众数 12．（2026·云南红河·一模）去年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024－2035年）》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表： 时间/ 12 13 14 15 16 人数 12 20 10 5 3 则这些学生的综合体育活动时间的众数是_____． 【答案】13 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据． 【详解】解：由表格可知，综合体育活动时间为的学生人数最多，为人． 因此这些学生的综合体育活动时间的众数是． 13．（25-26九年级下·河南安阳·期中）某校开展“烹饪小能手”评比活动，在全校名学生中随机抽取了名，统计这些学生在寒假期间学会炒的菜品数量，并绘制成如图所示的扇形统计图．这名学生会炒的菜品数量的众数为________． 【答案】 【分析】根据扇形统计图求出各部分所占的百分比，占比最大的数据即为众数． 【详解】解：由图可知，学会炒道菜品的人数所占比例为：； 学会炒道菜品的人数所占比例为：； 学会炒道菜品的人数所占比例为； 学会炒4道菜品的人数所占比例为：； ∵， ∴学会炒道菜品的人数最多， ∴这名学生会炒的菜品数量的众数为． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一组数据的众数是，则的值为______． 【答案】 【详解】解：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数， 在数据中，每个数据均只出现次， ∵这组数据的众数是， ∴根据众数的定义可确定的值为． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）五名学生投篮球，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的平均数是5，中位数是6，唯一众数是7，则五个学生投中的次数可能是________________（写出一组情况即可，并按从小到大的顺序排列）． 【答案】2，3，6，7，7（答案不唯一） 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数的概念，解题关键是结合各统计量的定义，通过总和约束推导符合条件的数据． 根据平均数、中位数、众数的定义，先确定数据的个数、中间数及出现次数最多的数，再结合平均数计算总和，推导符合条件的数据． 【详解】解：已知五个数据的平均数是，因此五个数据的总和为． 中位数是，说明将数据从小到大排列后，第三个数是； 唯一众数是，说明出现的次数至少为，且没有其他数出现次数与它相同． 设五个数据从小到大排列为，则，即． 由于，可取，． 因此一组可能的数据为：． 故答案为：（答案不唯一）． 题型五：求方差 16．（2026·上海浦东新·二模）第67届国际奥林匹克数学竞赛（）将于2026年7月在上海举行．在上届比赛中，中国队发挥出色，获得团体总分第一名，也是当届比赛中唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用以下公式来计算：． 根据以上信息，下列叙述中不正确的是（    ） A．中国队共有6名同学参赛 B．众数是36 C．中位数是38 D．平均数是38.5 【答案】B 【分析】本题考查方差公式的意义，以及众数、中位数、平均数的计算，根据方差公式确定所有数据后，依次根据定义判断各选项即可。 【详解】解：A、∵方差公式中共有6个数据项，∴中国队共有6名同学参赛，A选项正确，不符合题意； B、∵36和42都出现2次，均为出现次数最多的数，∴众数是36和42，B选项错误，符合题意； C、∵6个数据的中位数是第3个和第4个数据的平均数，即 ，∴中位数是38，C选项正确，不符合题意； D、∵平均数 ，∴平均数是38.5，D选项正确，不符合题意． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的方差为________． 【答案】207.49 【详解】解：； ． 18．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）数据，，，，，，，，，的离差平方和是________，方差是________． 【答案】 【详解】数据，，，，，，，，，的平均数是， 离差平方和是； 方差是． 19．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据的方差为， 则 的方差为___________． 【答案】12 【分析】先设这组数据，，，，的平均数为，方差，则另一组新数据，，，…，的平均数为，方差为，代入公式计算即可． 【详解】解：∵数据，，，…，的方差为3， 设这组数据，，，…的平均数为，则另一组新数据，，，…，的平均数为， ∵， ∴另一组数据的方差为 ． 题型六：求离差平方和 20．（25-26八年级下·浙江·期中）某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（   ） A．70 B．75 C．150 D．350 【答案】D 【分析】先求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方的和即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数为：， 则这组数据的离差平方和为： ． 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）某班级将学生按性别分为两组，计算数学成绩的组间离差平方和．若组间离差平方和为，说明（    ） A．两组学生的数学成绩完全相同 B．两组学生的数学平均成绩相同 C．每组内部学生的成绩没有差异 D．男生成绩都高于女生成绩 【答案】B 【分析】本题考查组间离差平方和的统计意义，核心是明确该统计量与两组平均成绩的关联． 【详解】解：∵组间离差平方和为， ∴两组学生的数学平均成绩相同，故B选项正确，符合题意， A选项中“成绩完全相同”表述绝对，个体成绩可以不同，但均值相同，说法错误， C选项是组内离差平方和为的含义，不是组间离差平方和为的含义，说法错误，不符合题意， D选项与组间离差平方和无关联，不符合题意． 22．（25-26八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【答案】A 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算各选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组即为符合要求的分组 【详解】解：选项A、∵组{7，9}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{11，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项B、∵ 组{7，11}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项C、∵组{7，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，11，13}的平均数为11， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项D、∵ 组{11，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{7，9，13}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小，符合组内离差平方和最小原则 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【答案】D 【分析】先根据“一般水平大体相当”筛选出平均成绩相近的选项，再结合样本容量相同时，离差平方和越小数据越稳定的性质，选出符合甲成绩更稳定的选项即可． 【详解】解：∵两人成绩的“一般水平”大体相当， ∴甲、乙的平均成绩应相近， ∴排除平均成绩差距较大的B、C选项， 又∵甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，且两人射击次数相同，离差平方和越小，成绩波动越小、越稳定， ∴甲的离差平方和应小于乙的离差平方和， ∴A选项中，不符合要求；D选项中，符合要求． 题型七：求四分位数 24．（25-26八年级下·浙江台州·期中）数学兴趣小组对圆周率小数点后90位数字进行统计，结果如下表： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数依次为（    ） A．8，3 B．9，2 C．7，3 D．8，2 【答案】D 【分析】根据四分位数的计算规则，先计算上下四分位数的位置，再通过累计频数确定对应位置的数字即可得到结果． 【详解】∵总数据量，将所有数字从小到大排列， 下四分位数位置为 ，故下四分位数取第22、23个数据的平均数， 上四分位数位置为 ，故上四分位数取第67、68个数据的平均数， 计算从小到大的累计频数： 数字0累计频数为7，数字1累计频数为，数字2累计频数为，数字3累计频数为34，数字4累计频数为42，数字5累计频数为49，数字6累计频数为58，数字7累计频数为，数字8累计频数为 ， ∴第22、23个数据均为2，故下四分位数为， 第67、68个数据均为8，故上四分位数为， 故选：D． 25．（25-26八年级下·河南新乡·月考）祖冲之把圆周率精确到小数点后位，领先世界约年．数学活动课上，小红对圆周率的小数点后位数字进行了统计：则圆周率的小数点后位数字的第一四分位数、第三四分位数为（　　） 数字 频数 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据四分位数的定义计算对应位置，再通过累计频数确定位置对应的数字即可求解． 【详解】解：将个数字按从小到大排列，总共有个数据， 计算四分位数位置：第一四分位数位置为，取第、个数的平均数，第三四分位数位置为，取第、个数的平均数， 计算累计频数： ∵数字累计频数为，数字累计频数为，数字累计频数为， ∴第个数都是，可得第一四分位数为， 继续计算累计频数到数字，可得累计频数为，数字累计频数为， ∴第个数都是，可得第三四分位数为， 因此第一四分位数、第三四分位数为，． 26．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 【答案】A 【分析】根据箱线图中间箱体的下底对应的数值即是这组数据的下四分位数（分位数）解答即可． 【详解】解：箱线图的箱体下底的对应值为102，所以这组数据的下四分位数是102． 【点睛】解题的关键是掌握箱线图相关的定义． 27．（25-26八年级下·江苏·期中）为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：）如下：8，8，9，9，10，11，12，12，13，14．则这组数据的________，________，________． 【答案】 9 12 【分析】分别计算下四分位数、中位数和上四分位数即可． 【详解】解：由数据排序得：，，，，，，，，，， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即； 下四分位数为前个数据的中位数，即第个数据； 上四分位数为后个数据的中位数，即原数据中的第个数据． 题型八：画箱线图 28．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是根据甲、乙组跳绳成绩（单位：次／分）在同一幅图中画出两组数据的箱线图．下面有四个结论：①甲组的中位数比乙组的大；②甲组最小数据和乙组相差不多；③乙组最大数据比甲组的明显大；④乙组数据的波动明显比甲组的大．其中正确的是______．（填四个结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了箱线图，根据甲、乙组的箱线图，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①甲组的中位数比乙组的大，故①正确； ②甲组最小数据和乙组相差不多，故②正确； ③乙组最大数据比甲组的明显大，故③正确； ④乙组数据的波动范围比甲组大，故④正确． 故答案为：①②③④． 29．（25-26八年级上·广东佛山·期末）学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 【答案】②④ 【分析】本题考查箱线图的统计意义，掌握箱线图各部分对应的统计量含义是解决问题的关键．根据箱线图各部分含义，逐个判断结论对错即可． 【详解】解：结论①：箱线图中，上四分位数对应箱的右边界，B地的箱右边界为，则上四分位数是，故①错误； 结论②：中位数对应箱内的线，B地的中位数（箱内线）低于A地的中位数，故②正确； 结论③：A地的最高气温高于B地的最高气温，并非“每天都高于”，故③错误； 结论④：A地的箱线图中，数据的中位数（箱体中间线）是，且中间线左右两侧的箱体大小相同，因此有超过一半的天数最高气温是不低于，故结论④正确． 综上所述，正确的结论是②④． 故答案为：②④． 30．（25-26八年级下·浙江台州·期中）某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 【答案】(1)，， (2)通过箱线图可知，A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 【分析】（1）根据四分位数和中位数的计算公式进行计算即可； （2）从箱线图获取信息作答即可． 【详解】（1）解：将A公司的数据排序：2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，3.98，4.10，4.11，4.77，4.88，4.89， ∵第6个和第7个数据分别为3.85，3.98， ∴； B公司的数据排序：3.18，3.40、3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44， ∵第3个和第4个数据为3.60和3.67，第9个和第10个数据为4.10和4.15， ∴； （2）解：由图可知：A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 31．（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是．绘制箱线图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【详解】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． 绘制箱线图如图． （2）解：从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 题型九：根据要求旋转核实的统计量 32．（2026·江苏无锡·一模）小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下： 汽车流量（辆） 天数（天） 如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】A 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，要估算3月份该时段的总汽车流量，需要先得到平均每天的汽车流量，结合各统计量的作用判断即可． 【详解】解：∵ 估算3月份总流量，需要先得到该时段平均每天通过路口的汽车流量，再乘以3月份天数得到总流量． 平均数反映一组数据的平均水平，中位数反映数据的中间水平，众数是一组数据中出现次数最多的数据，方差反映数据的波动大小． ∴ 只有平均数可用于得到平均日流量，估算总流量，因此选A． 33．（24-25八年级上·北京·期末）专卖店统计了一周中不同号码滑冰鞋的销售量，数据如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量（双） 2 4 5 5 12 6 3 2 1 你认为该专卖店最关注的销售数据是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】专卖店关注销售数据通常是为了了解最畅销的鞋号，以便进货或营销. 众数表示出现次数最多的值，即销售量最大的鞋号，符合实际需求. 本题考查了中位数，众数，平均数，方差，熟练掌握意义是解题的关键. 【详解】解：∵ 销售量数据中，鞋号39的销售量12双为最高， ∴ 众数为39号，表示最受欢迎的鞋号， ∴ 专卖店最关注众数， 故选：C. 34．（24-25七年级下·广西玉林·期末）为积极适应智能时代发展趋势，响应国家“人工智能”行动战略部署，某校开展了以“人工智能在教育场景中的融合应用”为主题的比赛，比赛结果出来后，张老师说：“有一半选手的得分是90分以上．”张老师描述的角度是（   ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【分析】本题考查了统计量的基本概念，理解“有一半选手的得分是 90分以上”这一表述的含义是解题的关键．解题时，根据题干描述判断对应的统计量类型即可． 【详解】解：A．平均数，反映数据的整体平均水平，无法直接说明“一半”的分布情况，故不符合题意； B．众数，表示出现次数最多的数值，与数据分布的集中点相关，但不涉及数据的中点位置，故不符合题意； C．方差，衡量数据的离散程度，与数据的波动范围有关，而非中间位置，故不符合题意； D．中位数，将数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．当数据个数为偶数时，中位数为中间两数的平均值，中位数的定义天然对应“一半数据不超过它，另一半不低于它”的特性，与原题干描述匹配，故符合题意． 故选：D． 35．（2026·湖南长沙·一模）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击次，成绩的平均数（单位：环）和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 /环 根据表中数据，你认为应该推荐运动员________去参赛，更有把握赢得比赛． 【答案】 甲 【分析】本题考查平均数与方差的意义，先比较四名运动员的平均数，选择平均数较大的，再在平均数相同的运动员中比较方差，方差越小成绩越稳定，据此选出参赛人选． 【详解】解：由表格数据可知，甲和乙的平均数均为环，大于丙和丁的平均数，说明甲和乙的平均成绩更高， 甲的方差为，小于乙的方差，说明甲的成绩比乙更稳定， 综合平均成绩和发挥稳定性，应该推荐运动员甲去参赛． 题型十：利用核实的统计量做决策 36．（2026·江苏南京·一模）某汽车评测机构对我国市场上五款标称续航里程为520km的新能源汽车A，B，C，D，E进行了续航测试，数据如下表（单位：km）： A B C D E 夏季续航里程 450 480 420 500 450 冬季续航里程 370 420 350 390 400 (1)这五款汽车夏季续航里程的平均数是_______km，冬季续航里程的中位数是______km； (2)你认为哪一款车在续航方面表现最好？说明理由． (3)推测我国新能源汽车用户占比较多的省份主要位于______地区．（填“南方”或“北方”） 【答案】(1) 460，390 (2)B，理由见解析 (3) 南方 【分析】（1）根据平均数、中位数的定义求解即可； （2）根据夏、冬季续航里程数判断即可； （3）根据各款汽车的夏季续航里程数均大于冬季续航里程数判断即可. 【详解】（1）解：这五款汽车夏季续航里程的平均数是， 冬季续航里程数从小到大排序为：350，370，390，400，420， 则中位数是； （2）解：B款车续航方面最好， 理由：B款汽车夏季续航里程数在五款汽车中居第二位，冬季续航里程数在五款汽车中居第一位， 故B款车续航方面最好（答案不唯一，理由合理即可）； （3）解：由表格数据可知，各款汽车的冬季续航里程均明显低于夏季续航里程，这说明低温环境对新能源汽车的续航能力影响较大。因为我国北方地区冬季寒冷，南方地区相对温暖，可以推测新能源汽车在南方地区的使用体验更好，因此用户占比较多的省份主要位于南方地区. 37．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由． 【答案】(1)乙班 (2)丙班中位数最大，跳的次数最多的同学在甲班 (3)乙班同学表现最出色（答案不唯一），理由见解析 【分析】由箱线图根据中位数，最大值，最小值，以及上、下四分位数进行分析即可． 【详解】（1）解：这四个班学生中，乙班的成绩最稳定， 因为乙班的数据最集中，且最大值与最小值的差值最小，说明数据波动小，故成绩最稳定； （2）解：由箱线图可得，丙班的中位数最大，由箱线图可得甲班的最大值最大，因此跳的次数最多的同学在甲班； （3）解：乙班同学表现最出色，理由如下： 因为乙班成绩最稳定，且中位数不低，学生成绩整体均衡，无明显两极分化等． 38．（2026·重庆铜梁·二模）2026年央视春晚中，铜梁龙舞（国家级非物质文化遗产）再次惊艳亮相．为了解某校学生对铜梁非遗的了解程度，学校组织了“铜梁非遗知识测试”（满分100分），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，分成四组：A．，B．．，D．），部分信息如下： 七年级10名学生的成绩：81，83，87，88，91，95，95，97，99，100． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，92． 七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)学校计划从成绩更好的年级中选拔学生参加“铜梁非遗宣讲团”，请判断应选择哪个年级，并说明理由． (3)已知该校七、八年级共有500名学生参加了本次测试，估计本次测试中成绩为优秀（）的学生总人数． 【答案】(1)；； (2)选择八年级，理由见解析 (3)本次测试中成绩为优秀的学生总人数约为人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算出和，求出八年级C组的占比，进而求出所占的圆心角，得出的值； （2）从平均数、中位数、众数和方差的角度评价两个年级的成绩即可； （3）先计算出八年级成绩优秀的人数，再计算出两个年级成绩优秀的学生的占比，最后乘以七八年级的学生总数即可． 【详解】（1）解：∵七年级的10名学生的成绩中，第5个数为，第6个数为， ∴七年级的中位数为（分），即， ∵七年级的10名学生的成绩中，95出现2次，出现的次数最多， ∴七年级的众数为分，即， 八年级10名学生的成绩中，C组的占比为， ∴所占圆心角，即； （2）解：选择八年级，理由如下： 从平均数上看，两个年级的成绩一样，但从众数上看，八年级学生的成绩均优于七年级，且八年级的方差小于七年级，说明八年级学生的成绩更加集中和稳定．（言之有理即可） （3）解：八年级的C、D两组的人数为（人） ∴七、八年级抽取的学生中，成绩优秀的人数为（人），在样本中的占比为， （人）． 答：本次测试中成绩为优秀的学生总人数约为人． 39．（2026·广西钦州·一模）当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一．某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 分析数据，得到下列表格： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 91.5 a 8.2 人工 89 b 100 108.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______；______； (2)若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作800次，优秀次数为多少？ (3)根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点（写一条即可）． 【答案】(1)95；90 (2)560次 (3)机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定（不唯一，合理即可） 【分析】（1）分别根据众数以及中位数的定义解答即可； （2）先计算出优秀所占的比例，再乘800即可； （3）根据统计表数据解答即可． 【详解】（1）解：在机器人数据中，95出现的次数最多，故众数； 人工数据按从小到大的顺序排列为：71，75，82，83，87，93，99，100，100，100， 其中，最中间的两个数据为87，93， 所以，中位数； （2）解：（次）， 答：估计机器人操作800次，优秀次数约为560次； （3）解：机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定（不唯一，合理即可）． 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）为深入贯彻落实“以体树人”教育理念，促进学生德智体美劳全面发展，某校积极推进“阳光体育”活动，开设篮球、足球、排球、乒乓球等多项体育课程．学校对八年级学生进行了一分钟跳绳测试，随机抽取甲、乙两班各10名学生进行测试，成绩如下（单位：个）： 甲班10名学生成绩：158，152，175，165，175，172，178，175，188，192 乙班10名学生成绩：155，176，162，158，170，176，174，188，180，192 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别求出甲、乙两班比赛成绩的中位数和众数． (2)经计算，甲班成绩的平均数为173，方差为150.44；乙班成绩的平均数为173.1，方差为148.1．请根据以上统计数据，分析哪个班级的跳绳水平更高，并说明理由． (3)该校八年级共有300名学生，若将跳绳成绩达到170个及以上视为“优秀”，试估计该校八年级学生中达到“优秀”等级的人数． 【答案】(1)甲班中位数个，众数为个；乙班中位数个，众数为个 (2)乙班跳绳水平更高．理由见解析 (3)人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义确定即可； （2）根据平均数、方差的意义做出正确的决策； （3）用总人数乘以样本中“跳绳成绩达到170个及以上”的人数占比即可． 【详解】（1）解：将甲班10名学生成绩按从小到大排列：152，158，165，172，175，175，175，178，188，192， 位于第5位和第6位的数据为175，175， 甲班中位数为（个）； 175出现3次，次数最多， 甲班众数为175个； 将乙班10名学生成绩按从小到大排列：155，158，162，170，174，176，176，180，188，192， 位于第5位和第6位的数据为174，176， 乙班中位数为（个）； 176出现2次，次数最多， 乙班众数为176个； （2）解：乙班跳绳水平更高． 理由：乙班平均数略高于甲班，说明乙班整体平均成绩更好； 乙班方差小于甲班，方差越小代表成绩越稳定、波动更小； 综上，乙班平均成绩更高且发挥更稳定，跳绳水平更高． （3）解：样本中成绩达到170个及以上的学生： 甲班有：172，175，175，175，178，188，192，共7人； 乙班有：170，174，176，176，180，188，192，共7人； 估计该校八年级达到“优秀”等级的人数为：（人）． 2．（2026·吉林长春·一模）为保障劳动者的基本生活和合法权益，某市调整了最低工资标准．该市政府从甲、乙两个企业各随机抽取了相同数量的员工，对其月平均工资（单位：千元）情况进行了调查，已知甲企业的调查结果整理成如图所示的条形图，乙企业的调查数据如下：5，4，9，12，4，4，5，9，4，4． (1)分别求出本次调查甲、乙两个企业被抽取员工的月平均工资的平均数、中位数和众数． (2)小星说：“我的月平均工资为6千元，比我们企业大部分人的工资都高．”请你判断小星是哪个企业的员工，并说明理由． (3)当企业员工的薪资差距较大时，平均工资是否还能代表企业整体薪资？对此你有什么评价？ 【答案】(1)甲企业：平均数6，中位数为6，众数为6；乙企业：平均数6，中位数4.5，众数4 (2)小星是乙企业的员工，理由见解析 (3)当薪资差距较大时，平均工资不能代表企业整体薪资，评价见解析 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的概念求解即可； （2）根据中位数即可判断； （3）根据平均数的概念即可判断． 【详解】（1）解：甲企业：提取数据：由条形图可知，工资分布为： 4千元（1人），5千元（2人），6千元（4人），7千元（2人），8千元（1人）， 平均数：（千元）； 中位数：将10个数据从小到大排列，中间第5、6个数据均为6，故中位数为6； 众数：数据6出现次数最多（4次），故众数为6； 乙企业：整理数据：给出的数据为[5，4，9，12，4，4，5，9，4，4]， 排序后为[4，4，4，4，4，5，5，9，9，12]， 平均数：（千元）， 中位数：中间第5、6个数据为4和5，故中位数为4.5， 众数：数据4出现次数最多（5次），故众数为4； （2）结论：小星是乙企业的员工． 理由：甲企业中位数为6，意味着6千元是企业薪资的中间水平，并不高于大部分人工资， 乙企业中位数为4.5，说明有超过一半的员工工资低于4.5千元，6千元远高于多数员工的收入水平， 因此，小星所在的企业是乙企业； （3）结论：当薪资差距较大时，平均工资不能代表企业整体薪资， 评价：平均数容易受到极端值（如乙企业的12千元高薪）的影响，从而拉高整体均值． 这种情况下，平均数会偏离大多数员工的实际收入水平，无法反映多数人的薪资情况． 此时，使用中位数或众数来代表企业整体薪资会更合适、更客观． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演．为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时（单位：秒）进行统计，抽取10台型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据：，，，，，，，型号机器人的耗时数据如箱线图所示．（注：表示下四分位数，表示中位数，表示上四分位数） (1)求型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数； (2)根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由． 【答案】(1)型号机器人耗时数据的下四分位数为1.22（秒），中位数为1.245（秒），上四分位数为1.28（秒）； (2)型号机器人的动作耗时更稳定，理由见解析. 【分析】本题考查了四分位数、中位数，正确理解题意是解题的关键． （1）先把G1型号数据从小到大排序，再根据下四分位数、中位数和上四分位数的定义求解即可；（2）对比两种型号数据的集中趋势、离散程度，根据方差的意义判断稳定性即可． 【详解】（1）解：第一步：将型号数据从小到大排序： 1.18，1.19，1.22，1.23，1.24，1.25，1.26，1.28，1.30，1.31 中位数：共10个数据，取第5，6个数的平均值（秒）， 下四分位数：取前5个数的中位数，即第3个数为1.22（秒）， 上四分位数：取后5个数的中位数，即第8个数为1.28（秒）； （2）解：①集中趋势对比： 型号中位数为1.245秒，型号中位数为1.24秒，两者数值非常接近，说明两款机器人完成动作的平均耗时水平相当． ②离散程度对比： 型号：上四分位数与下四分位数的差（箱体的高度）＝1.28－1.22＝0.06秒，极差， 型号：上四分位数与下四分位数的差（箱体的高度）＝1.27－1.21＝0.06秒，极差， 两款机器人的上四分位数与下四分位数的差相同，说明中间数据的波动程度一致；但型号的极差更小，说明整体数据的离散程度更低，型号机器人的动作耗时更稳定． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期中）学校开展“校园体育打卡”活动，学生需完成三项打卡：跳绳、仰卧起坐、立定跳远，三项成绩均为百分制，综合评分达到86分及以上可获得“体育打卡小能手”称号．现有两名同学小泽和小航的部分打卡成绩如下表： 姓名 跳绳 仰卧起坐 立定跳远 小泽 93 84 81 小航 83 91 (1)若综合评分是三项成绩的算术平均数，计算小泽的综合评分，并判断他是否能获得“体育打卡小能手”称号； (2)若将跳绳、仰卧起坐、立定跳远的成绩按的权重计算综合评分，小航想要获得该称号，求他的立定跳远成绩至少需要多少分（成绩为整数）． 【答案】(1)小泽的综合评分为86分，能获得“体育打卡小能手”称号 (2)小航的立定跳远成绩至少需要85分 【分析】（1）根据算术平均数的计算公式计算小泽的综合评分，再与86分比较即可得出结论； （2）根据加权平均数的计算规则，结合获奖要求列出不等式，求解后取符合条件的最小整数即可． 【详解】（1）解：已知小泽三项成绩分别为93，84，81， 计算算术平均数得 （分）， ∵， ∴小泽能获得“体育打卡小能手”称号； （2）解：已知三项成绩权重比为，总权重为， 小航想要获得该称号，综合评分需要达到86分及以上， ∴， 解得， ∵成绩为整数， ∴的最小整数值为85． 答：小航的立定跳远成绩至少需要85分． 5．（2026·河南·二模）某中学生物社团在学校两块面积相等的试验田中分别种植了“美豫168”和“豫单888”两个品种的玉米，两块试验田的播种数量与田间管理保持一致．播种40天后，同学们在两块玉米田中各随机选取了30株玉米测量、记录高度，并对这些数据进行整理、分析，绘制了两个品种玉米高度统计表和“美豫168”高度扇形统计图（如下）．（玉米高度用表示，共分为四组：；D．） 两个品种植株高度统计表 平均数 中位数 众数 方差 D组所占百分比 美豫168 110.7 113 105 66.7 豫单888 111.1 112 116 49.4 请根据以上信息解决问题： (1)若两种品种C组的频数均为6，则___________； (2)每块试验田均播种6000粒种子，若全部种子都出芽且40天内没有植株死亡，请估计两块试验田中高度不低于的植株共有多少株； (3)如果要选一种品种进行推广，应该选择哪一种？请说明理由． 【答案】(1)10 (2)两块试验田中高度不低于的植株共约有7620株 (3)豫单888，理由见解析 【分析】（1）先求得C组的占比，再求解即可； （2）利用样本估计总体求解即可； （3）根据“方差”的意义判断即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：（株）． 答：两块试验田中高度不低于的植株共约有7620株． （3）解：豫单888， 理由如下：它的平均数略高，方差较低，说明此品种长势较好且更稳定． 45．（2026·山西·三模）学校辩论社团招新，对甲、乙两个面试者从“逻辑表达”“临场反应”“团队适配”三个维度综合评分（满分为分，评分均为整数）．规定：评分大于等于分为“通过面试”，评分大于等于分为“优先录取”．统计评分后得到如下统计图表． ．甲、乙得分折线统计图 ．甲、乙得分统计如下表： 平均数分 中位数分 方差 通过率 优先录取率 甲 （） 乙 根据以上信息，回答下列问题。 (1)填空：______，______，______． (2)根据折线统计图判断，______（填“”“”或“”），通过计算得出______． (3)甲认为自己的平均分、优先录取率更高，因此表现更优，但乙不认同．请写出两条支持乙观点的理由． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)见解析． 【分析】（）根据中位数，平均数定义即可求出，的值，然后利用即可求出的值； （）根据折线统计图判断甲乙的方差大小，然后通过方差的计算公式即可求出乙的方差； （）通过得分的方差和通过率即可求解． 【详解】（1）解：甲位评委的得分按从小到大排序为：，共个数据，中位数为第个数的平均数， ∴， 乙位评委的得分依次为：， ∴平均分， ∵乙得分中大于等于分的只有个， ∴优先录取率， 故答案为：，，； （2）解：根据折线统计图判断，， ∵乙的平均分为分， ∴ ， 故答案为：，； （3）解：第一条：乙得分的方差为，低于甲得分的方差，因此评委对乙的评分更稳定，乙的表现更优； 第二条：乙得分的通过率为，高于甲得分的通过率，因此乙的表现更优． 6．（2026·广东茂名·二模）统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力．现有三个小组，每组20人．一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如下： 根据以上信息，得到统计数据如下： 平均数 众数 中位数 方差（保留两位小数） 第一组 4 3 1.99 第二组 2 2 1.3 第三组 2.85 4 1.61 (1)求a，b，c的值； (2)观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子”的高度总是1，2，3，6，8．因“柱子”排列顺序不同，导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化．重新排列这些“柱子”，在图1中画出使得平均数最大的“柱子”排列方式，在图2中画出使得方差最小的一种“柱子”排列方式． 【答案】(1)；； (2)图见解析 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的计算方法进行求解即可； （2）要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分；要使方差最小，即应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上． 【详解】（1）解：； 第二组中分的人数最多，有人，故； 根据第三组数据，中位数在第和人处，两个数据均为3，故； 则；；； （2）解：要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分， 即将人对应分，人对应分，人对应分，人对应分，人对应分； 要使方差最小，应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 数据的分析 考点一：算术平均数 定义：一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，则这n个数的平均数为，记作“”，读作“x拔”. 求法： 考点二：加权平均数 权的概念：一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则叫做这个数的加权平均数. 权的作用：权能反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重越大；权越小，该数据所占的比重越小. 权常见的表现形式：①用频数表示，即用出现的次数表示；②百分数的形式；③连比的形式. 考点三： 中位数 定义：一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数叫做这组数据的中位数.如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 求法： 考点四：众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 考点五：平均数、众数、中位数的联系与区别 考点六：方差 定义：设有n个数据，，…，，各个数据与平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数，即用来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作. 方差的作用：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 考点七：数据的四分位数 定义：将一组从小到大排列的数据平均分成四等份，处于三个分点位置的数称为四分位数： · 下四分位数（Q₁）：排在第 25% 位置的数，也叫第一四分位数； · 中位数（Q₂）：排在第 50% 位置的数，即第二四分位数（就是之前学过的中位数）； · 上四分位数（Q₃）：排在第 75% 位置的数，也叫第三四分位数； 这三个数将数据分成四个部分，每部分包含 25% 的数据。 示例 1,3,5,7,9,11,13 2,4,6,8,10,12 从小到大排序后 1,3,5,7,9,11,13 2,4,6,8,10,12 中位数（Q₂） 7 7 下四分位数（Q₁） 3 4 上四分位数（Q₃） 11 10 考点八：箱线图 定义：箱线图是用一组数据的最小值、Q₁、Q₂、Q₃、最大值所绘制的统计图，能将数据的分布特征浓缩在一条线段和一个矩形中，无需展示所有数据点，特别适合多组数据的横向比较。 核心元素： 构成元素 对应统计量 意义 最左侧端点 最小值（Min） 数据中的最小数 箱子左边界 下四分位数（Q₁） 第 25% 位置的数，前 25% 数据的终点 箱子中间的竖线 中位数（Q₂） 第 50% 位置的数，数据的中心位置 箱子右边界 上四分位数（Q₃） 第 75% 位置的数，后 25% 数据的起点 最右侧端点 最大值（Max） 数据中的最大数 补充：1）箱子部分：包含中间 50% 的数据，是数据最集中的区域. 2）左右两条 “须”：分别连接最小值到 Q₁、Q₃到最大值，代表两端各 25% 的数据. 示例：某班 10 名学生的数学成绩：72, 75, 78, 80, 82, 85, 88, 90, 92, 95 1）排序：将数据从小到大排列：72, 75, 78, 80, 82, 85, 88, 90, 92, 95 2）计算五数概括： · 最小值 = 72，最大值 = 95 · 中位数 Q₂=(82+85)/2=83.5 · 前半部分（小于 Q₂）：72,75,78,80,82 → Q₁=78 · 后半部分（大于 Q₂）：85,88,90,92,95 → Q₃=90 3）画数轴：根据数据范围画出合适的数轴 4）画箱子：在数轴上对应 Q₁=78 和 Q₃=90 的位置画矩形，在 Q₂=83.5 的位置画竖线 5）画须：从箱子左端点向左画线段到最小值 72，从箱子右端点向右画线段到最大值 95 题型一：求算术平均数 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某班举行的“3V3篮球挑战赛”中，小明5场比赛的得分分别为：9，7，8，10，7．这五次得分的平均数是__________分． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）求一组数据方差的算式为：，则该组数据的平均数为________． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 4．（2026·湖南株洲·一模）一组数据6，8，9，10，x的平均数是9，则x的值为________． 题型二：求加权平均数 5．（2026·四川成都·二模）某学校美术课期末综合成绩由平时作业成绩、上课表现成绩以及期末测评成绩组成，分别占比，其中平时作业80分，上课表现90分，期末测评95分，最终期末综合成绩为______分． 6．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 7．（2025·山西·模拟预测）截至2025年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8 B型 9 9 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是______型（填“A”或“B”）． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）二中为了招聘一批优秀教师，对入选的三名候选人进行技能与专业知识两项考核，最终李老师、于老师、王老师三人的考核成绩统计如下：如果视教学技能与专业知识水平同等重要，那么候选人_______将被录取；如果视教学技能水平比专业知识水平重要，并且赋予它们6和4的权重，则________将被录取． 候选人 百分制 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 李老师 85 92 于老师 91 85 王老师 80 90 题型三：求中位数 9．（2026·辽宁葫芦岛·一模）某校机器人编程团队参加创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数是______． 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若一组数据3，4，4，x，5，5，7，8的平均数是5，则这组数据的中位数为_________． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）在数据2，0，，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的取值范围是________． 题型四：求众数 12．（2026·云南红河·一模）去年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024－2035年）》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表： 时间/ 12 13 14 15 16 人数 12 20 10 5 3 则这些学生的综合体育活动时间的众数是_____． 13．（25-26九年级下·河南安阳·期中）某校开展“烹饪小能手”评比活动，在全校名学生中随机抽取了名，统计这些学生在寒假期间学会炒的菜品数量，并绘制成如图所示的扇形统计图．这名学生会炒的菜品数量的众数为________． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一组数据的众数是，则的值为______． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）五名学生投篮球，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的平均数是5，中位数是6，唯一众数是7，则五个学生投中的次数可能是________________（写出一组情况即可，并按从小到大的顺序排列）． 题型五：求方差 16．（2026·上海浦东新·二模）第67届国际奥林匹克数学竞赛（）将于2026年7月在上海举行．在上届比赛中，中国队发挥出色，获得团体总分第一名，也是当届比赛中唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用以下公式来计算：． 根据以上信息，下列叙述中不正确的是（    ） A．中国队共有6名同学参赛 B．众数是36 C．中位数是38 D．平均数是38.5 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的方差为________． 18．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）数据，，，，，，，，，的离差平方和是________，方差是________． 19．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据的方差为， 则 的方差为___________． 题型六：求离差平方和 20．（25-26八年级下·浙江·期中）某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（   ） A．70 B．75 C．150 D．350 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）某班级将学生按性别分为两组，计算数学成绩的组间离差平方和．若组间离差平方和为，说明（    ） A．两组学生的数学成绩完全相同 B．两组学生的数学平均成绩相同 C．每组内部学生的成绩没有差异 D．男生成绩都高于女生成绩 22．（25-26八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 题型七：求四分位数 24．（25-26八年级下·浙江台州·期中）数学兴趣小组对圆周率小数点后90位数字进行统计，结果如下表： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数依次为（    ） A．8，3 B．9，2 C．7，3 D．8，2 25．（25-26八年级下·河南新乡·月考）祖冲之把圆周率精确到小数点后位，领先世界约年．数学活动课上，小红对圆周率的小数点后位数字进行了统计：则圆周率的小数点后位数字的第一四分位数、第三四分位数为（　　） 数字 频数 A．， B．， C．， D．， 26．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 27．（25-26八年级下·江苏·期中）为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：）如下：8，8，9，9，10，11，12，12，13，14．则这组数据的________，________，________． 题型八：画箱线图 28．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是根据甲、乙组跳绳成绩（单位：次／分）在同一幅图中画出两组数据的箱线图．下面有四个结论：①甲组的中位数比乙组的大；②甲组最小数据和乙组相差不多；③乙组最大数据比甲组的明显大；④乙组数据的波动明显比甲组的大．其中正确的是______．（填四个结论的序号） 29．（25-26八年级上·广东佛山·期末）学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 30．（25-26八年级下·浙江台州·期中）某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 31．（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 题型九：根据要求旋转核实的统计量 32．（2026·江苏无锡·一模）小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下： 汽车流量（辆） 天数（天） 如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 33．（24-25八年级上·北京·期末）专卖店统计了一周中不同号码滑冰鞋的销售量，数据如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量（双） 2 4 5 5 12 6 3 2 1 你认为该专卖店最关注的销售数据是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 34．（24-25七年级下·广西玉林·期末）为积极适应智能时代发展趋势，响应国家“人工智能”行动战略部署，某校开展了以“人工智能在教育场景中的融合应用”为主题的比赛，比赛结果出来后，张老师说：“有一半选手的得分是90分以上．”张老师描述的角度是（   ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 35．（2026·湖南长沙·一模）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击次，成绩的平均数（单位：环）和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 /环 根据表中数据，你认为应该推荐运动员________去参赛，更有把握赢得比赛． 题型十：利用核实的统计量做决策 36．（2026·江苏南京·一模）某汽车评测机构对我国市场上五款标称续航里程为520km的新能源汽车A，B，C，D，E进行了续航测试，数据如下表（单位：km）： A B C D E 夏季续航里程 450 480 420 500 450 冬季续航里程 370 420 350 390 400 (1)这五款汽车夏季续航里程的平均数是_______km，冬季续航里程的中位数是______km； (2)你认为哪一款车在续航方面表现最好？说明理由． (3)推测我国新能源汽车用户占比较多的省份主要位于______地区．（填“南方”或“北方”） 37．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由． 38．（2026·重庆铜梁·二模）2026年央视春晚中，铜梁龙舞（国家级非物质文化遗产）再次惊艳亮相．为了解某校学生对铜梁非遗的了解程度，学校组织了“铜梁非遗知识测试”（满分100分），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，分成四组：A．，B．．，D．），部分信息如下： 七年级10名学生的成绩：81，83，87，88，91，95，95，97，99，100． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，92． 七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)学校计划从成绩更好的年级中选拔学生参加“铜梁非遗宣讲团”，请判断应选择哪个年级，并说明理由． (3)已知该校七、八年级共有500名学生参加了本次测试，估计本次测试中成绩为优秀（）的学生总人数． 39．（2026·广西钦州·一模）当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一．某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 分析数据，得到下列表格： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 91.5 a 8.2 人工 89 b 100 108.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______；______； (2)若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作800次，优秀次数为多少？ (3)根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点（写一条即可）． 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）为深入贯彻落实“以体树人”教育理念，促进学生德智体美劳全面发展，某校积极推进“阳光体育”活动，开设篮球、足球、排球、乒乓球等多项体育课程．学校对八年级学生进行了一分钟跳绳测试，随机抽取甲、乙两班各10名学生进行测试，成绩如下（单位：个）： 甲班10名学生成绩：158，152，175，165，175，172，178，175，188，192 乙班10名学生成绩：155，176，162，158，170，176，174，188，180，192 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别求出甲、乙两班比赛成绩的中位数和众数． (2)经计算，甲班成绩的平均数为173，方差为150.44；乙班成绩的平均数为173.1，方差为148.1．请根据以上统计数据，分析哪个班级的跳绳水平更高，并说明理由． (3)该校八年级共有300名学生，若将跳绳成绩达到170个及以上视为“优秀”，试估计该校八年级学生中达到“优秀”等级的人数． 2．（2026·吉林长春·一模）为保障劳动者的基本生活和合法权益，某市调整了最低工资标准．该市政府从甲、乙两个企业各随机抽取了相同数量的员工，对其月平均工资（单位：千元）情况进行了调查，已知甲企业的调查结果整理成如图所示的条形图，乙企业的调查数据如下：5，4，9，12，4，4，5，9，4，4． (1)分别求出本次调查甲、乙两个企业被抽取员工的月平均工资的平均数、中位数和众数． (2)小星说：“我的月平均工资为6千元，比我们企业大部分人的工资都高．”请你判断小星是哪个企业的员工，并说明理由． (3)当企业员工的薪资差距较大时，平均工资是否还能代表企业整体薪资？对此你有什么评价？ 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演．为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时（单位：秒）进行统计，抽取10台型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据：，，，，，，，型号机器人的耗时数据如箱线图所示．（注：表示下四分位数，表示中位数，表示上四分位数） (1)求型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数； (2)根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期中）学校开展“校园体育打卡”活动，学生需完成三项打卡：跳绳、仰卧起坐、立定跳远，三项成绩均为百分制，综合评分达到86分及以上可获得“体育打卡小能手”称号．现有两名同学小泽和小航的部分打卡成绩如下表： 姓名 跳绳 仰卧起坐 立定跳远 小泽 93 84 81 小航 83 91 (1)若综合评分是三项成绩的算术平均数，计算小泽的综合评分，并判断他是否能获得“体育打卡小能手”称号； (2)若将跳绳、仰卧起坐、立定跳远的成绩按的权重计算综合评分，小航想要获得该称号，求他的立定跳远成绩至少需要多少分（成绩为整数）． 5．（2026·河南·二模）某中学生物社团在学校两块面积相等的试验田中分别种植了“美豫168”和“豫单888”两个品种的玉米，两块试验田的播种数量与田间管理保持一致．播种40天后，同学们在两块玉米田中各随机选取了30株玉米测量、记录高度，并对这些数据进行整理、分析，绘制了两个品种玉米高度统计表和“美豫168”高度扇形统计图（如下）．（玉米高度用表示，共分为四组：；D．） 两个品种植株高度统计表 平均数 中位数 众数 方差 D组所占百分比 美豫168 110.7 113 105 66.7 豫单888 111.1 112 116 49.4 请根据以上信息解决问题： (1)若两种品种C组的频数均为6，则___________； (2)每块试验田均播种6000粒种子，若全部种子都出芽且40天内没有植株死亡，请估计两块试验田中高度不低于的植株共有多少株； (3)如果要选一种品种进行推广，应该选择哪一种？请说明理由． 6．（2026·山西·三模）学校辩论社团招新，对甲、乙两个面试者从“逻辑表达”“临场反应”“团队适配”三个维度综合评分（满分为分，评分均为整数）．规定：评分大于等于分为“通过面试”，评分大于等于分为“优先录取”．统计评分后得到如下统计图表． ．甲、乙得分折线统计图 ．甲、乙得分统计如下表： 平均数分 中位数分 方差 通过率 优先录取率 甲 （） 乙 根据以上信息，回答下列问题。 (1)填空：______，______，______． (2)根据折线统计图判断，______（填“”“”或“”），通过计算得出______． (3)甲认为自己的平均分、优先录取率更高，因此表现更优，但乙不认同．请写出两条支持乙观点的理由． 7．（2026·广东茂名·二模）统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力．现有三个小组，每组20人．一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如下： 根据以上信息，得到统计数据如下： 平均数 众数 中位数 方差（保留两位小数） 第一组 4 3 1.99 第二组 2 2 1.3 第三组 2.85 4 1.61 (1)求a，b，c的值； (2)观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子”的高度总是1，2，3，6，8．因“柱子”排列顺序不同，导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化．重新排列这些“柱子”，在图1中画出使得平均数最大的“柱子”排列方式，在图2中画出使得方差最小的一种“柱子”排列方式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $