19.2 数据的离散程度+19.3 借助箱线图描述数据的分布（题型专练）（基础达标4大题型+能力提升4大题型+拓展培优）数学新教材华东师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦数据离散程度与分布描述，通过基础概念辨析、综合计算应用分层设计，构建从单一知识点到跨情境分析的巩固路径，培养数据意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念|离差平方和、方差、四分位数的定义与计算|以选择填空为主，如离差平方和无关性判断、方差性质辨析，夯实概念理解| |综合计算|多知识点结合的数值运算|如分组数据离差平方和最小化、方差与箱线图数据转换，强化运算能力| |应用分析|跨情境数据解读与决策|结合射击成绩、气温分布等实际情境，通过箱线图比较波动、综合统计量分析稳定性，发展数据应用意识|

19.2数据的离散程度+19.3借助箱线图描述数据的分布 题型一 离差平方和 1.小明同学对数据6，6，9，1■，15进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是（   ） A．平均数 B．离差平方和 C．中位数 D．众数 2.青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3.（25-26八年级下·全国·周测）已知一组数据7，9，11，13，若将其分为两组，使得每组数据的离差平方和之和最小，则分组方式为 ，此时最小的离差平方和之和为 ． 4.在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式为，则该样本的离差平方和是____________． 5.现有两组数据： A组：2，4，6．B组：8，10，12． 请计算这两组数据的组间离差平方和． 题型二 方差 1.甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如表所示： 甲 9.7 9.7 9.6 9.7 9.8 乙 9.9 9.8 10 9.4 9.3 丙 10 9.8 9.6 9.5 9.5 则三名运动员中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 2.已知一组数据：，把这组数据中的每个数据都加上后得到一组新数据，新数据与原数据相比，统计量不会发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 3.有甲、乙两支舞蹈队，两队都是5人，队员身高数据（单位：如下表所示： 甲 167 168 168 168 169 乙 167 167 168 168 170 甲、乙两队身高数据的方差分别为，，则 （填“>”“<”或“＝”）． 4.小明5次射击环数：．已知这组数据的方差为0，则 ． 5.某中学八年级甲、乙两班分别选名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图所示． 演讲比赛成绩条形统计图 (1)根据图中数据填写下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 ①___   ②___   乙班 ③___   (2)根据上表数据你认为哪班的成绩较好？请说明你的理由． 题型三 箱线图 1.在某场女排决赛中，队战胜队获得冠军．如图反映了两队队员拦网高度情况，下列说法错误的是（   ） A．队拦网高度的整体水平比队高 B．队拦网高度的中位数更低 C．队拦网高度的波动相对较小，队拦网高度相对分散 D．队上四分位数更高 2.（25-26八年级上·山东济南·期中）在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7~8月每天的最高温度数据进行分析．下图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（   ） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（25-26八年级上·四川雅安·期中）一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的分位数是 ． 4.随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某学校课外活动小组随机采访了该小区的10位居民，将采访数据绘制成如下箱线图，则这组数据的上四分位数为 ． 5.（2025八年级上·全国·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 题型四 四分位数 1.一组数据的下四分位数表示（    ） A．数据中的数小于等于 B．数据中的数小于等于 C．数据中的数小于等于 D．数据的平均值 2.已知八年级班和班的人数相等，在一次“消防安全”知识测试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．班成绩的下四分位数是分 B．班同学的成绩有低于分的 C．班成绩比班成绩的中位数大 D．班成绩比班成绩集中 3.将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为_______ ． 4.数据组2，4，6，8，10，12的中位数是 ，下四分位数是 ，上四分位数是 ． 5.（25-26八年级上·全国·单元测试）甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 题型一 与离差平方和有关的计算与应用 1.若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（   ） A． B． C． D． 2.小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（   ） A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5 3.组内离差平方和的计算依据是（   ） A．数据与最大值的差的平方和 B．数据与最小值的差的平方和 C．数据与平均数的差的平方和 D．数据与中位数的差的平方和 4.已知一组数据，，…，的方差是3，则这组数据的离差平方和是 ． 5.在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”．多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和．现在有10个苹果的直径分别是65，75，76，69，80，70，76，81，78，80．按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这10个苹果按直径大小分成两组． 题型二 与方差有关的计算与应用 1.已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（    ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40 2.已知甲、乙两组各名同学进行跳绳比赛，统计结果：两组的平均数相同，但甲组同学跳绳成绩的方差为，乙组同学跳绳成绩的方差为，则（   ） A．甲组成绩比乙组成绩更稳定 B．乙组成绩比甲组成绩更稳定 C．甲组比乙组跳的多 D．甲、乙两组的成绩稳定性不能比较 3.已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为 ． 4.某城市准备选购一千株高度大约为的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）、采购小组分别从四个苗圃中任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 方差 甲苗圃 1.8 0.2 乙苗圃 1.8 0.6 丙苗圃 2.0 0.5 丁苗圃 2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购 苗圃的树苗． 5.为弘扬中华优秀传统文化，学校从八、九年级各抽取10名学生开展优秀传统文化知识竞赛（为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分），成绩如表格所示（单位：分）．经计算，八、九年级学生的平均成绩都是8分． 学生编号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 八年级 7 8 9 8 10 6 8 a 8 7 九年级 9 7 8 10 8 7 7 7 8 9 (1)表格中的值为 (2)求八年级学生成绩的中位数； (3)唐老师先正确计算出了九年级学生成绩的方差为1分2，请帮唐老师计算八年级学生成绩的方差，并判断八、九两个年级哪个年级学生的成绩更稳定？ 题型三 与箱线图和四分位数有关的计算与应用 1.我国幅员辽阔，不同地方的气温差异较大，甲、乙两市2025年8月1~20日的最高气温箱线图如图所示，关于①、②，下列判断正确的是（    ） ①该段时间内甲市最高气温的下四分位数和中位数均与乙市的相等 ②该段时间内甲市最高气温的波动比乙市大 A．只有①对 B．只有②对 C．①、②都对 D．①、②都不对 2.关于箱线图的说法错误的是（    ） A．箱线图可以反映数据的分布情况 B．箱线图最左侧的竖直线段表示这组数据的最小值 C．“箱子”部分包含了样本的数据 D．“箱子”左右两侧的每条水平线段包含了样本的数据 3.【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，________（填或）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① 9 9.5 10 8 8 9 ② 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填________环，②处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手的整体成绩较高，选手________（填或）的射击成绩波动大； 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 题型四 数据的分析综合应用 1.（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）某校在4月12日“世界航天日．”期间举办了航天主题知识竞赛．为了了解学生的竞赛成绩，现从七年级和八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行分析（满分为100分，得分用表示）．共分为四组：．下面给出了部分信息． 七年级20名同学竞赛成绩数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 七、八年级竞赛成绩得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 86 85 96.6 八年级 86 86.5 88 69.8 八年级竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)求七年级20名同学竞赛成绩的中位数； (2)哪个年级的竞赛成绩更稳定？请说明理由； (3)本次竞赛七年级有500名同学参加，八年级有480名同学参加，成绩为的同学获得一等奖．请估计本次竞赛七、八年级共有多少名同学获得一等奖． 2.某校七、八年级进行了数学期末检测，并从七、八年级中分别随机抽取了10名学生的检测成绩，整理如下： 七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，92； 八年级10名学生的成绩：94，90，93，88，98，91，89，100，87，100； 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 b 23.6 八年级 92 100 21.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中____________；____________；____________； (2)这次检测中，____________年级的成绩更稳定； (3)我校八年级共有800人参加了此次数学检测，估计八年级学生参加此次检测成绩为优秀（）的有多少人？ 3.为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，小学、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成小学代表队和初中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下图所示． 根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)将表格补充完整； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 小学部 85 初中部 85 100 (2)已知初中部决赛成绩的方差为，请你计算出小学部决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 1.下表是某公司25位员工收入的资料： 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（    ） A．平均数和众数 B．平均数和中位数 C．平均数和方差 D．中位数和众数 2.已知数据的平均数是2，方差是，则数据的平均数和方差是（    ） A．2， B．4，4 C．6， D．6，4 3.利用计算器求一组数据的平均数．其按键顺序如下： ，则输出的结果为（  ） A． B． C． D． 4.如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图（单位：岁），则这组数据的上四分位数是____岁． 5.如果已知一组数据的方差，那么的值为 ． 6.计算对应的四分位数： （1）某研发团队12人的年龄（单位：岁）为17，19，22，22，24，25，28，34，35，36，37，38，则其第一四分位数是____________岁． （2）某商店连续10天的服装销量（单位：件）为2，6，10，4，8，20，16，18，12，14，则其第三四分位数是____________件． 7.甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适． 8.某校学生会发起了北京冬奥知识抢答比赛，共10道选择题，每题1分，满分为10分，答对8道以上（含8题）被评为“优秀”．学生会从七、八年级各随机抽取20人，对这20人的得分进行整理和分析．相关数据统计、整理如下： 抽取八年级20位学生的得分（单位：分）： 6，6，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，9，9，10，10． 七八年级抽取的学生得分统计： 年级 七年级 八年级 平均数 8.25 8.25 中位数 8 a 众数 b 9 方差 1.85625 1.3875 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)已知七年级共15个班，每班有4人参赛，估计该校七年级学生知识抢答比赛成绩为“优秀”的人数； (3)该校决定从七、八年级中选拔一个年级参加市级冬奥知识抢答比赛，根据以上数据分析，你认为应选择哪个年级？请说明理由 9.某中学举办“校园好声音”朗诵大赛，根据初赛成绩，七年级和八年级各选出10名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的10名选手的决赛成绩如图所示．下面是七年级、八年级两组的测试成绩的统计表： 七年级 91 96 70 89 60 70 100 80 92 98 八年级 92 93 70 88 82 75 96 80 92 95 (1)求七年级数据的四分位数． (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中八年级成绩的箱线图，绘制七年级成绩的箱线图．    (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对七年级和八年级成绩的看法． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2数据的离散程度+19.3借助箱线图描述数据的分布 题型一 离差平方和 1. C. 2. B． 3. 和；． 4. 14． 5.解：组的平均数为， 组的平均数为， 两组的总平均数为． 故这两组数据的组间离差平方和为． 题型二 方差 1. A． 2. D． 3. ． 4. 9 5.（1）解：由统计表可知：甲班的数据从小到大排列为：7.5，8，8.5，8.5，10， 所以甲班的众数是8.5； 方差是：， 乙班的数据从小到大排列为：7，7.5，8，10，10， 所以乙班的中位数是8； 故答案为：①8.5；②0.7；③8； （2）解：甲班成绩好． 理由：因为甲、乙两班成绩的平均数相同，而甲班成绩的中位数高于乙班的中位数，甲班的方差小于乙班的方差， 所以甲班的成绩较好． 题型三 箱线图 1. B． 2. B． 3. 2． 4. ． 5.（1）解：由图可知，甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四分位数为128， 故答案为：128；128； （2）解：甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学； （3）解：由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高． 题型四 四分位数 1. A． 2. A． 3. 52 4. ；；． 5.（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，所以，，； （2）如答图所示： （3）根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大． 题型一 与离差平方和有关的计算与应用 1. ． 2. D． 3. C． 4.15． 5.解：将个数据由小到大排序为，，，，，，，，，． 计算不同分组的组内离差平方和，结果如下表： 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 计算结果表明，第三种情况的组内离差平方和最小． 因此把个苹果按直径大小分成两组是，． 题型二 与方差有关的计算与应用 1. C． 2. ． 3. 5． 4.丁． 5.解：（1） 故答案为：9； （2）将八年级学生成绩重新排列为：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10, 所以这组数据的中位数为 （3）八年级学生成绩的方差为 ， ∵九年级学生成绩的方差为1分， 九年级学生的成绩更稳定． 题型三 与箱线图和四分位数有关的计算与应用 1. B． 2. D． 3.解：（1）， ∵， ∴B的成绩略高； ∵，， ∴， ∴B的射击水平发挥更稳定； （2）选手的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， 则下四分位数为，即； 选手的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， 则上四分位数为， 由图2知：选手A的射击成绩波动大； （3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强．（言之有理即可）． 题型四 数据的分析综合应用 1.（1）解：将七年级竞赛成绩按照从小到大排列，第10，11个数据分别为85，86， 七年级竞赛成绩的中位数为 答：七年级竞赛成绩的中位数为85.5； （2）解：八年级的竞赛成绩更稳定， 八年级的方差为69.8，七年级的方差为96.6，， 八年级的竞赛成绩更稳定； （3）解：（名）， 答：估计本次竞赛七、八年级大约共有392名同学获得一等奖． 2.（1）解：， 将七年级抽样成绩重新排列为：86，86，89，90，92，96，96，96，99，100， 中位数为， 七年级的成绩出现次数最多是96分，共出现3次， ∴众数（分）， 故答案为：93，94，96； （2）解：∵七年级的方差是23.6，八年级的方差是21.4， ∴八年级的成绩更稳定． 故答案为：八； （3）解：由题意得：人 答：估计八年级学生参加此次检测成绩为优秀（）的有560人． 3.解：（1）小学部平均数；85出现两次，次数最多，众数为85； 初中部成绩从小到大排列为70，75，80，100，100，中位数为80 补充表格如下： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 小学部 85 85 85 初中部 85 80 100 故答案为：85，85，80 （2）∵， ∴， ∴小学代表队选手成绩较为稳定． 1. D． 2. D． 3. C． 4. 14． 5. ． 6. ；． 7.（1）解：， 即． 因为， 所以， 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． （2）解：由已知得，获奖分数线的平均数为 ， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． 8.（1）解：由扇形统计图可得：七年级得分8分的学生最多，即众数； 八年级得分人数从小到大排列，处于第10和11位的都是9，则中位数． 故答案为：9，8． （2）解：估计该校七年级学生知识抢答比赛成绩为“优秀”的人数为： （人）． 答：该校七年级学生知识抢答比赛成绩为“优秀”的人数大约有42人． （3）解：选择八年级学生，理由如下： 因为抽取的七年级学生比赛得分的平均数等于八年级学生比赛得分的平均数，八年级学生比赛得分的中位数与众数均大于七年级学生比赛得分的中位数与众数，且八年级学生比赛得分的方差小于七年级学生比赛得分的方差，说明八年级学生成绩更稳定，因此选择八年级． 9.（1）解：将七年级的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 所以，，； （2）解：由题意，画图如下：    （3）根据箱线图和四分位数可知七年级成绩的中位数和八年级相同，但七年级成绩明显比八年级的波动大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2数据的离散程度+19.3借助箱线图描述数据的分布 题型一 离差平方和 1.小明同学对数据6，6，9，1■，15进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是（   ） A．平均数 B．离差平方和 C．中位数 D．众数 【答案】C 【分析】本题考查平均数、离差平方和、中位数和众数的定义．中位数是数据排序后中间位置的数，由于被污染数字在10至19之间，总大于9，排序后第三位始终为9，故中位数与被污染数字无关．其他统计量均依赖于被污染数字． 【详解】 数据为6, 6, 9, 1■, 15，其中1■为10至19的整数， 排序后最小两个数为6和6， 且 ， 排序后第三位数始终为， 中位数为，与被污染数字无关． 平均数、离差平方和和众数均与被污染数字相关，故无关的统计量为中位数． 故选：C. 2.青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了离差平方和．先计算数据的平均值，然后求每个数据与平均值的差的平方和，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵数据：10，11，12，10，12， 则平均值， 依题意， ， 即这组数据的离差平方和为4， 故选：B． 3.（25-26八年级下·全国·周测）已知一组数据7，9，11，13，若将其分为两组，使得每组数据的离差平方和之和最小，则分组方式为 ，此时最小的离差平方和之和为 ． 【答案】 和 4 【分析】本题考查了离差平方和的计算与分组优化知识点．解题关键在于明确离差平方和的计算公式；对有序数据，优先尝试相邻数据分组，以最小化组内波动；通过枚举所有可能的非空分组，计算并比较各组的离差平方和之和，从而找到最小值． 枚举所有可能的分组方式，计算每组数据的离差平方和，并求和，比较大小，找到最小值． 【详解】数据点有个，可能的分组方式包括一组个点另一组个点，或每组个点．计算每种分组的离差平方和之和： 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 比较得，最小值为，对应分组为和． 故答案为：和；． 4.在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式为，则该样本的离差平方和是____________． 【答案】14 【分析】由方差计算公式可知，离差平方和即为公式中方括号内的部分，需先计算样本均值，再求各数据与均值之差的平方和． 【详解】解：样本数据为1，2，3，3，6，共5个数据，样本均值， 离差平方和为， 故答案为：14． 5.现有两组数据： A组：2，4，6．B组：8，10，12． 请计算这两组数据的组间离差平方和． 【答案】54 【分析】本题考查了组间离差平方和，熟练掌握组间离差平方和的计算方法是解题的关键； 先分别计算两组平均数，再计算两组的总平均数，然后计算两组数据的组间离差平方和． 【详解】解：组的平均数为， 组的平均数为， 两组的总平均数为． 故这两组数据的组间离差平方和为． 题型二 方差 1.甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如表所示： 甲 9.7 9.7 9.6 9.7 9.8 乙 9.9 9.8 10 9.4 9.3 丙 10 9.8 9.6 9.5 9.5 则三名运动员中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了方差：方差反映一组数据的大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，直接根据方差的定义作答即可． 【详解】解：甲的成绩平均数为（环）， 甲的成绩方差为； 乙的成绩平均数为（环） 乙的成绩方差为 丙的成绩平均数为（环） 丙的成绩方差为 ∴， ∴这三名运动员中5次射击训练成绩最稳定的是甲， 故选：A． 2.已知一组数据：，把这组数据中的每个数据都加上后得到一组新数据，新数据与原数据相比，统计量不会发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】本题主要考查方差、众数、中位数和平均数的定义，据此可得答案． 【详解】把中的每个数据都加后，所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加，方差不变． 故选：D． 3.有甲、乙两支舞蹈队，两队都是5人，队员身高数据（单位：如下表所示： 甲 167 168 168 168 169 乙 167 167 168 168 170 甲、乙两队身高数据的方差分别为，，则 （填“>”“<”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查了方差，解题关键是熟练掌握方差的计算公式：． 先求出平均数，再根据方差的公式计算，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 4.小明5次射击环数：．已知这组数据的方差为0，则 ． 【答案】9 【分析】由这组数据的方差为0，可得这组数据中的每个数据都相等，从而可得答案． 【详解】解：∵这组数据的方差为0， ∴这组数据中的每个数据都相等， ∴， 故答案为：9 5.某中学八年级甲、乙两班分别选名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图所示． 演讲比赛成绩条形统计图 (1)根据图中数据填写下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 ①___   ②___   乙班 ③___   (2)根据上表数据你认为哪班的成绩较好？请说明你的理由． 【答案】(1)①8.5；②0.7；③8 (2)甲班的成绩好；理由见解析 【分析】本题考查了方差、平均数、众数和中位数，理解方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立是解答关键． （1）根据众数、方差和平均数的定义及公式分别进行解答即可； （2）从平均数、中位数以及方差的意义三个方面分别进行解答即可得出答案． 【详解】（1）解：由统计表可知：甲班的数据从小到大排列为：7.5，8，8.5，8.5，10， 所以甲班的众数是8.5； 方差是：， 乙班的数据从小到大排列为：7，7.5，8，10，10， 所以乙班的中位数是8； 故答案为：①8.5；②0.7；③8； （2）解：甲班成绩好． 理由：因为甲、乙两班成绩的平均数相同，而甲班成绩的中位数高于乙班的中位数，甲班的方差小于乙班的方差， 所以甲班的成绩较好． 题型三 箱线图 1.在某场女排决赛中，队战胜队获得冠军．如图反映了两队队员拦网高度情况，下列说法错误的是（   ） A．队拦网高度的整体水平比队高 B．队拦网高度的中位数更低 C．队拦网高度的波动相对较小，队拦网高度相对分散 D．队上四分位数更高 【答案】B 【分析】本题主要考查了箱线图，解决本题的关键是根据箱线图中极小值、极大值、上四分位数、下四分位数、中位数的位置判断各项是否正确． 【详解】解：A选项：由箱线图可知，队的极小值、极大值、上四分位数、下四分位数、中位数均高于，队拦网高度的整体水平比队高，故A选项正确； B选项：由箱线图可知，队拦网高度的中位数高，故B选项错误； C选项：由箱线图可知，队的极差小，队的极差大，队拦网高度的波动相对较小，队拦网高度相对分散，故C选项正确； D选项：由箱线图可知，队的上四分位数更高，故D选项正确． 故选：B． 2.（25-26八年级上·山东济南·期中）在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7~8月每天的最高温度数据进行分析．下图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（   ） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了统计中的中位数，箱线图，四分位数，正确理解定义是解题的关键． 从箱线图中可获取数据的最大值、最小值和四分位数以及中位数，据此进行分析比较即可． 【详解】解：①由箱线图可得，在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为，正确； ②由箱线图可得，在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数为，西安每天的最高温度的中位数为，故济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数，故②正确； ③由箱线图可得西安的最高气温为，而济南存在高于的温度，故③错误； ④由箱线图可得西安每天的最高温度的中位数为，西安有超过一半的天数最高温度不低于，故④错误， 正确的有2个， 故选：B． 3.（25-26八年级上·四川雅安·期中）一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的分位数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查百分位数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分位数的定义，计算其位置，再求对应数值． 【详解】解：数据已排序：1，1，3，4，5，5，6，7，共8个数据． 25%分位数的位置计算公式为：，其中n为数据个数， 代入，得位置， 由于位置不是整数，取第2个和第3个数据的平均值， 即． 故答案为：2． 4.随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某学校课外活动小组随机采访了该小区的10位居民，将采访数据绘制成如下箱线图，则这组数据的上四分位数为 ． 【答案】 【分析】本题考查箱线图的认识和四分位数的定义，箱线图中，中间的线表示中位数，上面的线表示上四分位数，下面的线表示下四分位数，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，这组数据的上四分位数为， 故答案为：． 5.（2025八年级上·全国·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 【答案】(1)128；128 (2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学 (3)甲班平均分较高 【分析】本题考查箱线图的相关知识，涉及平均数，中位数，上四分位数，能够从箱线图中获取有用信息是解题的关键．四分位数应用于统计学的箱线图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱线图中“箱体”的下底边对应数据为下四分位数，上底边对应数据为上四分位数，中间的线对应中位数． （1）根据箱线图得到学生分数的大致分布情况，即可得出答案； （2）根据箱线图的定义解答即可； （3）根据箱线图得到学生分数在128分以上的大致情况，即可作出判断． 【详解】（1）解：由图可知，甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四分位数为128， 故答案为：128；128； （2）解：甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学； （3）解：由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高． 题型四 四分位数 1.一组数据的下四分位数表示（    ） A．数据中的数小于等于 B．数据中的数小于等于 C．数据中的数小于等于 D．数据的平均值 【答案】A 【分析】本题考查了四分位数的概念，解题关键是明确下四分位数对应的百分位数意义． 根据下四分位数的定义，分析各选项是否符合其统计意义． 【详解】解：A、数据中至少有的数小于等于​，符合下四分位数的定义，符合题意； B、数据中至少有的数小于等于中位数，这是中位数的意义，不符合题意； C、数据中至少有的数小于等于上四分位数，这是上四分位数的意义，不符合题意； D、数据的平均值是算术平均数，与下四分位数无关，不符合题意． 故选：A． 2.已知八年级班和班的人数相等，在一次“消防安全”知识测试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．班成绩的下四分位数是分 B．班同学的成绩有低于分的 C．班成绩比班成绩的中位数大 D．班成绩比班成绩集中 【答案】A 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：A．观察箱线图知：班成绩的下四分位数是分，故该选项说法正确； B．观察箱线图知：班同学的成绩没有低于分的，故该选项说法错误； C．观察箱线图知：班成绩与班成绩的中位数相同，故该选项说法错误； D．观察箱线图知∶班成绩的箱线图宽度较窄，则班成绩比班成绩集中，故该选项说法错误． 故选：A． 3.将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为_______ ． 【答案】52 【分析】本题主要考查箱线图，在箱线图中，上、下两条短横线分别表示数据的最大值和最小值，箱体的下边缘、中间横线和上边缘分别表示数据的较小四分位数、中位数和较大四分位数． 【详解】根据题意可知，上四分位数为52． 故答案为：52 4.数据组2，4，6，8，10，12的中位数是 ，下四分位数是 ，上四分位数是 ． 【答案】 7 4 10 【分析】本题考查中位数和四分位数的计算．对于有序数据集，中位数是中间位置的数；下四分位数是数据下半部分的中位数，上四分位数是数据上半部分的中位数． 根据中位数、四分位数的计算方法解答即可． 【详解】解：数据已排序：．数据个数． 中位数：由于为偶数，中位数为第个数据和第个数据的平均值，即． 下四分位数：数据下半部分包括前个数据，其中位数为． 上四分位数：数据上半部分包括后个数据，其中位数为． 故答案为：；；． 5.（25-26八年级上·全国·单元测试）甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，所以，，； （2）如答图所示： （3）根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大． 题型一 与离差平方和有关的计算与应用 1.若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了离差和方差，根据方差定义为离差平方和的平均数，给定数据个数为，直接计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵离差平方和，数据个数， ∴方差， 故选：． 2.小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（   ） A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5 【答案】D 【分析】离差平方和的计算公式为每个数据与样本平均数的差的平方之和． 从给定的列式可知，每个数据均减去后平方，因此样本平均数为；列式中共有个平方项，因此样本容量为． 本题考查了样本容量和平均数，通过离差平方和公式的结构直接得出样本容量和平均数，需明确样本容量是数据的个数，平均数则是离差平方和计算中统一减去的数值． 【详解】解：∵ 离差平方和公式为，其中为样本平均数，为样本容量． 给定列式为， ∴ 每个数据与的差，故． 列式中有个平方项，故． ∴ 这组样本的平均数为，样本容量为， 故选：D． 3.组内离差平方和的计算依据是（   ） A．数据与最大值的差的平方和 B．数据与最小值的差的平方和 C．数据与平均数的差的平方和 D．数据与中位数的差的平方和 【答案】C 【分析】根据组内离差平方和是方差计算的基础，其依据是数据点与平均数的偏差平方和即可选出正确答案； 本题考查了组内离差平方和的计算依据，熟练掌握其依据是解题的关键． 【详解】解：∵离差平方和的定义为各数据与平均数之差的平方和，用于度量数据离散度． ∴组内离差平方和的计算依据是数据与平均数的差的平方和． 故选：C． 4.已知一组数据，，…，的方差是3，则这组数据的离差平方和是 ． 【答案】 15 【分析】利用方差乘以数据个数即可求出离差平方和．本题主要考查离差平方和的计算，熟练掌握方差是离差平方和的算术平均数是解题的关键． 【详解】解：∵数据个数，方差， 则离差平方和为． 故答案为： 15． 5.在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”．多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和．现在有10个苹果的直径分别是65，75，76，69，80，70，76，81，78，80．按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这10个苹果按直径大小分成两组． 【答案】把10个苹果按直径大小分成两组是，． 【分析】先对数据排序，再尝试不同的连续分段划分方式，计算每种划分的总离差平方和，选出最小的那个划分． 【详解】解：将个数据由小到大排序为，，，，，，，，，． 计算不同分组的组内离差平方和，结果如下表： 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 计算结果表明，第三种情况的组内离差平方和最小． 因此把个苹果按直径大小分成两组是，． 题型二 与方差有关的计算与应用 1.已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（    ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40 【答案】C 【分析】本题考查了方差的计算公式，解题的关键是掌握一组数据的方程等于各个数据与平均数的差的平方的平均数．据此即可解答． 【详解】解：∵数据的方差计算公式为， ∴这组数据的平均数为4， 故选：C． 2.已知甲、乙两组各名同学进行跳绳比赛，统计结果：两组的平均数相同，但甲组同学跳绳成绩的方差为，乙组同学跳绳成绩的方差为，则（   ） A．甲组成绩比乙组成绩更稳定 B．乙组成绩比甲组成绩更稳定 C．甲组比乙组跳的多 D．甲、乙两组的成绩稳定性不能比较 【答案】A 【分析】本题考查了平均数与方差，根据平均数和方差的意义，逐一分析各选项即可判断，解题的关键是掌握平均数和方差的意义． 【详解】解：∵甲的方差小于乙的方差， ∴甲组成绩比乙组成绩更稳定，故正确，不正确； ∵两组的平均数相同，人数也相同， ∴甲组和乙组跳的一样多，故不正确； 故选：． 3.已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平均数，方差，解题的关键是熟练掌握方差公式， 先求出三个数的和，再根据方差公式代入，即可求解，进而得出结论． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， 解得：， 则的平均数为：5， 故答案为：5． 4.某城市准备选购一千株高度大约为的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）、采购小组分别从四个苗圃中任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 方差 甲苗圃 1.8 0.2 乙苗圃 1.8 0.6 丙苗圃 2.0 0.5 丁苗圃 2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购 苗圃的树苗． 【答案】丁 【分析】本题考查了方差的意义，平均数的意义，方差是反映一组数据波动大小的特征数，方差越大，数据的波动性越大；方差越小，稳定性越好，根据方差可以反映数据的波动大小，选出合适苗圃的树苗；再比较它们的平均高度，进而确定选购哪家的树苗． 【详解】解：由于标准差和方差可以反映数据的波动大小，所以甲苗圃与丁苗圃比较合适； 又因为丁苗圃树苗平均高度大于甲苗圃，所以应选丁苗圃的树苗． 故答案为：丁． 5.为弘扬中华优秀传统文化，学校从八、九年级各抽取10名学生开展优秀传统文化知识竞赛（为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分），成绩如表格所示（单位：分）．经计算，八、九年级学生的平均成绩都是8分． 学生编号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 八年级 7 8 9 8 10 6 8 a 8 7 九年级 9 7 8 10 8 7 7 7 8 9 (1)表格中a的值为 (2)求八年级学生成绩的中位数； (3)唐老师先正确计算出了九年级学生成绩的方差为1分2，请帮唐老师计算八年级学生成绩的方差，并判断八、九两个年级哪个年级学生的成绩更稳定？ 【答案】(1)9 (2)8分 (3)九年级学生的成绩更稳定 【分析】（1）根据算术平均数的定义求解即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）计算出八年级成绩的方差，再依据方差的意义判断即可； 本题主要考查方差和中位数及算术平均数，解题的关键是掌握方差和中位数及算术平均数的定义． 【详解】（1） 故答案为：9； （2）将八年级学生成绩重新排列为：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10, 所以这组数据的中位数为 （3）八年级学生成绩的方差为 ， ∵九年级学生成绩的方差为1分， 九年级学生的成绩更稳定． 题型三 与箱线图和四分位数有关的计算与应用 1.我国幅员辽阔，不同地方的气温差异较大，甲、乙两市2025年8月1~20日的最高气温箱线图如图所示，关于①、②，下列判断正确的是（    ） ①该段时间内甲市最高气温的下四分位数和中位数均与乙市的相等 ②该段时间内甲市最高气温的波动比乙市大 A．只有①对 B．只有②对 C．①、②都对 D．①、②都不对 【答案】B 【分析】本题考查箱线图分析数据，熟记箱线图中各个统计量的含义是解决问题的关键． 由甲乙两市最高气温箱线图，得到最高气温最大值、最小值、下四分位数、中位数和上四分位数，再分析两种说法即可得到答案． 【详解】解：由箱线图可知，甲市最高气温最大值是、最高气温最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为； 乙市最高气温最大值是、最高气温最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为； 该段时间内甲市最高气温的下四分位数和乙市最高气温的下四分位数是相等的、甲市最高气温的中位数与乙市最高气温的中位数不相等，故①错误； 由于甲市箱线图箱子比乙市箱线图箱子宽，表明该段时间内甲市最高气温的波动比乙市大，故②正确； 故选：B． 2.关于箱线图的说法错误的是（    ） A．箱线图可以反映数据的分布情况 B．箱线图最左侧的竖直线段表示这组数据的最小值 C．“箱子”部分包含了样本的数据 D．“箱子”左右两侧的每条水平线段包含了样本的数据 【答案】D 【分析】本题考查了箱线图的组成与数据分布占比，掌握箱线图中箱子、线段对应的样本比例是解题的关键． 根据箱线图各组成部分对应的样本占比，逐一判断每个选项的描述是否符合箱线图的定义． 【详解】解：A、箱线图能够反映数据的分布情况，该说法正确，不符合题意； B、箱线图最左侧的竖直线段对应这组数据的最小值，该说法正确，不符合题意； C、“箱子” 部分由第一四分位数（）和第三四分位数（）界定，包含了样本中间的数据，该说法正确，不符合题意； D、“箱子” 左右两侧的每条水平线段，各包含约的样本数据，并非，该说法错误，符合题意． 故选：D． 3.【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，________（填或）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① 9 9.5 10 8 8 9 ② 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填________环，②处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手的整体成绩较高，选手________（填或）的射击成绩波动大； 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9；B；B；（2）7.5；10；A；（3）选手参加青少年射击比赛，理由见解析 【分析】（1）根据平均数计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴B的成绩略高； ∵，， ∴， ∴B的射击水平发挥更稳定； （2）选手的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， 则下四分位数为，即； 选手的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， 则上四分位数为， 由图2知：选手A的射击成绩波动大； （3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强．（言之有理即可）． 题型四 数据的分析综合应用 1.（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）某校在4月12日“世界航天日．”期间举办了航天主题知识竞赛．为了了解学生的竞赛成绩，现从七年级和八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行分析（满分为100分，得分用表示）．共分为四组：．下面给出了部分信息． 七年级20名同学竞赛成绩数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 七、八年级竞赛成绩得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 86 85 96.6 八年级 86 86.5 88 69.8 八年级竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)求七年级20名同学竞赛成绩的中位数； (2)哪个年级的竞赛成绩更稳定？请说明理由； (3)本次竞赛七年级有500名同学参加，八年级有480名同学参加，成绩为的同学获得一等奖．请估计本次竞赛七、八年级共有多少名同学获得一等奖． 【答案】(1)85.5 (2)八年级的竞赛成绩更稳定；理由见解析 (3)392名 【分析】本题考查了扇形统计图，求中位数，用方差判断数据的稳定性，用样本估计总体数量等知识，掌握这些知识是关键； （1）七年级成绩按照从小到大排列，第10，11个数据的平均数即为中位数； （2）根据方差的大小即可作出判断； （3）先求得每个年级的学生总数与对应所获得一等奖所占比例的积，再求和即可求解． 【详解】（1）解：将七年级竞赛成绩按照从小到大排列，第10，11个数据分别为85，86， 七年级竞赛成绩的中位数为 答：七年级竞赛成绩的中位数为85.5； （2）解：八年级的竞赛成绩更稳定， 八年级的方差为69.8，七年级的方差为96.6，， 八年级的竞赛成绩更稳定； （3）解：（名）， 答：估计本次竞赛七、八年级大约共有392名同学获得一等奖． 2.某校七、八年级进行了数学期末检测，并从七、八年级中分别随机抽取了10名学生的检测成绩，整理如下： 七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，92； 八年级10名学生的成绩：94，90，93，88，98，91，89，100，87，100； 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 b 23.6 八年级 92 100 21.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中____________；____________；____________； (2)这次检测中，____________年级的成绩更稳定； (3)我校八年级共有800人参加了此次数学检测，估计八年级学生参加此次检测成绩为优秀（）的有多少人？ 【答案】(1)93，94，96 (2)八 (3)560人 【分析】此题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意． （1）根据平均数、众数和中位数的定义进行求解即可； （2）根据方差的意义即可得出答案； （3）用总人数乘竞赛成绩优秀（）的八年级学生所占的百分比即可． 【详解】（1）解：， 将七年级抽样成绩重新排列为：86，86，89，90，92，96，96，96，99，100， 中位数为， 七年级的成绩出现次数最多是96分，共出现3次， ∴众数（分）， 故答案为：93，94，96； （2）解：∵七年级的方差是23.6，八年级的方差是21.4， ∴八年级的成绩更稳定． 故答案为：八； （3）解：由题意得：人 答：估计八年级学生参加此次检测成绩为优秀（）的有560人． 3.为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，小学、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成小学代表队和初中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下图所示． 根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)将表格补充完整； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 小学部 85 初中部 85 100 (2)已知初中部决赛成绩的方差为，请你计算出小学部决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】(1)85，85，80 (2)，小学代表队选手成绩较为稳定 【分析】本题考查了方差，平均数，众数，中位数． （1）根据平均数，众数，中位数的定义解决问题即可． （2）根据方差的定义求出方差，方差越小成绩越稳定． 【详解】（1）小学部平均数；85出现两次，次数最多，众数为85； 初中部成绩从小到大排列为70，75，80，100，100，中位数为80 补充表格如下： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 小学部 85 85 85 初中部 85 80 100 故答案为：85，85，80 （2）∵， ∴， ∴小学代表队选手成绩较为稳定． 1.下表是某公司25位员工收入的资料： 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（    ） A．平均数和众数 B．平均数和中位数 C．平均数和方差 D．中位数和众数 【答案】D 【分析】本题考查了众数、中位数、方差、平均数，求出数据的众数和中位数以及平均数，再与25名员工的收入进行比较即可． 【详解】解：该公司员工月收入的众数为3000元，在25名员工中有13人在这些数据之上， 所以众数能够反映该公司全体员工月收入水平； 因为公司共有员工人， 所以该公司员工月收入的中位数为3400元； 由于在25名员工中在此数据及以上的有13人， 所以中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平； 该公司员工月收入的平均数为， 在25名员工中有3人在这些数据之上， 所以平均数不能反映该公司全体员工月收入水平； 方差是衡量数据的离散程度，不能反映该公司全体员工月收入水平； 故选：D． 2.已知数据的平均数是2，方差是，则数据的平均数和方差是（    ） A．2， B．4，4 C．6， D．6，4 【答案】D 【分析】本题考查了方差和平均数，灵活利用两个公式，进行准确计算是解答的关键． 【详解】 解：， ， ， ， 故选：D． 3.利用计算器求一组数据的平均数．其按键顺序如下： ，则输出的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求的是1、4、3、8的平均数是多少，用1、4、3、8的和除以4即可． 【详解】解： ∴输出结果为4． 故选：C． 4.如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图（单位：岁），则这组数据的上四分位数是____岁． 【答案】14 【分析】本题考查了箱线图的特点：箱线图中包含了最小值、最大值和四分位数信息，根据箱线图的结构解答即可． 【详解】解：由箱线图可知，15是最大值，14是上四分位数，13是中位数，11是下四分位数，10是最小值． 故答案为：14． 5.如果已知一组数据的方差，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，利用方差求未知数据的值，解题关键是理解方差的公式． 先根据方差公式得出平均数，再利用平均数求出． 【详解】解：∵一组数据的方差， ∴， 解得：， 故答案为：． 6.计算对应的四分位数： （1）某研发团队12人的年龄（单位：岁）为17，19，22，22，24，25，28，34，35，36，37，38，则其第一四分位数是____________岁． （2）某商店连续10天的服装销量（单位：件）为2，6，10，4，8，20，16，18，12，14，则其第三四分位数是____________件． 【答案】22；16 【分析】本题考查了四分位数的计算，掌握四分位数的定义及数据分段方法是解题的关键． （1）数据已按升序排列，第一四分位数是前一半数据的中位数； （2）数据需要先排序，第三四分位数是后一半数据的中位数． 【详解】解：（1）数据序列为，共个数据 前一半数据为前个：，其中位数为第和第个数据的平均值，即 故第一四分位数为岁． （2）数据序列为， 排序后为，共个数据 后一半数据为后个：，其中位数为． 故第三四分位数为件． 故答案为：；． 7.甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适． 【答案】(1)，见解析 (2)甲，见解析 【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键． （1）先求出乙的方差，然后比较即可； （2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可． 【详解】（1）解：， 即． 因为， 所以， 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． （2）解：由已知得，获奖分数线的平均数为 ， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． 8.某校学生会发起了北京冬奥知识抢答比赛，共10道选择题，每题1分，满分为10分，答对8道以上（含8题）被评为“优秀”．学生会从七、八年级各随机抽取20人，对这20人的得分进行整理和分析．相关数据统计、整理如下： 抽取八年级20位学生的得分（单位：分）： 6，6，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，9，9，10，10． 七八年级抽取的学生得分统计： 年级 七年级 八年级 平均数 8.25 8.25 中位数 8 a 众数 b 9 方差 1.85625 1.3875 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)已知七年级共15个班，每班有4人参赛，估计该校七年级学生知识抢答比赛成绩为“优秀”的人数； (3)该校决定从七、八年级中选拔一个年级参加市级冬奥知识抢答比赛，根据以上数据分析，你认为应选择哪个年级？请说明理由 【答案】(1)9，8 (2)该校七年级学生知识抢答比赛成绩为“优秀”的人数大约有42人 (3)选择八年级学生，理由见解析 【分析】本题主要考查了众数、中位数、样本估计整体、扇形统计图等知识点，从图表中获取所需信息成为解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义即可解答； （2）利用样本估计整体的方法求解即可； （3）从平均数、中位数、方差角度综合分析即可． 【详解】（1）解：由扇形统计图可得：七年级得分8分的学生最多，即众数； 八年级得分人数从小到大排列，处于第10和11位的都是9，则中位数． 故答案为：9，8． （2）解：估计该校七年级学生知识抢答比赛成绩为“优秀”的人数为： （人）． 答：该校七年级学生知识抢答比赛成绩为“优秀”的人数大约有42人． （3）解：选择八年级学生，理由如下： 因为抽取的七年级学生比赛得分的平均数等于八年级学生比赛得分的平均数，八年级学生比赛得分的中位数与众数均大于七年级学生比赛得分的中位数与众数，且八年级学生比赛得分的方差小于七年级学生比赛得分的方差，说明八年级学生成绩更稳定，因此选择八年级． 9.某中学举办“校园好声音”朗诵大赛，根据初赛成绩，七年级和八年级各选出10名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的10名选手的决赛成绩如图所示．下面是七年级、八年级两组的测试成绩的统计表： 七年级 91 96 70 89 60 70 100 80 92 98 八年级 92 93 70 88 82 75 96 80 92 95 (1)求七年级数据的四分位数． (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中八年级成绩的箱线图，绘制七年级成绩的箱线图．    (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对七年级和八年级成绩的看法． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将七年级数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据七年级的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【详解】（1）解：将七年级的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 所以，，； （2）解：由题意，画图如下：    （3）根据箱线图和四分位数可知七年级成绩的中位数和八年级相同，但七年级成绩明显比八年级的波动大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $