专题9 平行四边形中的计算与证明-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师过重点（北师大版·新教材 河南专版）

▲·八年级·数学·下册 而溶艺腿 政专题 专题9 平行四边形中的计算与证明 满分：60分得分： 紧扣课程标准根据最新教材编写 编者按：紧抓期末高频考点，配合“名师划重点”使用，稳固根基！ 1.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边AC上一点，连接BD,E,F分别为BC,BD 的中点，连接AF,EF,DE.下面是两位同学的说法： 小星：根据题目条件，若添加条件AC=3AD,则可证明四边形ADEF是平行四边形 小红：根据题目条件，若添加条件∠AFD=∠EDF,则可证明四边形ADEF是平行四边形， (1)请你选择一位同学的说法，并进行证明； (2)在(1)的结论下，若CD=DE,AB=15,求EF的长， 2.(10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，E是AD边的中点，延长DC至点F,使FC=CD, 连接CE,AF,AF交边BC于点G. (1)求证：四边形AECG是平行四边形； (2)若AB=1,BC=3,对角线AC⊥AB,连接BD,交AC于点O,求对角线BD的长. 3.(10分)如图，在口ABCD中，E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F,连 接BF (1)求证：四边形ABFC是平行四边形； (2)若AF平分∠BAD,∠D=60°，AD=8,求☐ABCD的面积 ●● 31 河洛芸熙·期末考试必刷卷 而将苍腿 4.（10分)如图，在□ABCD中，连接BD (1)尺规作图：作对角线BD的垂直平分线，分别交AD,BD,BC于点M,O,N;(不要求写作 法，保留作图痕迹) (2)连接BM,DN,求证：△DOM≌△BON; (3)若DM=10,MN=12,求BD的长， 5.[深圳市](10分)如图，在☐ABCD中，G,H分别是AB,CD的中点，点E,F在对角线AC上. (1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件 ,使得四边形EGFH是平 行四边形，并说明理由； (2)连接BD交AC于点O,若BD=10,OE=OF,AE+CF=EF,求EG的长 D 6.(10分)如图，在口ABCD中，AB=5cm,BC=9cm,动点P从点A出发，以每秒2cm的速度 沿☐ABCD的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒3cm的速度沿□ABCD的 28 边顺时针匀速运动.设点P的运动时间为1秒(0<1<3) (1)当点P在BC上运动时，BP= cm;(用含t的代数式表示) (2)当t= 秒时，P,Q两点相遇； (3)是否存在t的值，使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由 32而派言侧 ··-30<0,∴.0随m的增大而减小 又：m≥15 ,且m为正整数」 ∴.当m=8时，w取得最大值，最大值为-30×8+1000= 760.此时10-m=10-8=2. 答：当购买8辆A型新能源公交车、2辆B型新能源公交车 时，年均载客总量最大，最大为760万人次. (10分) 5.解：(1)设大巴车的速度为x千米/小时，则中巴车速度为 1.25x千米/小时. 根据题意，得240_240 =0.6 (2分) x1.25x 解得x=80. (4分) 经检验，x=80是原方程的解，且符合题意 答：大巴车的速度是80千米/小时. (5分) (2)设参加本次活动的学生人数是y人，则成人人数为 200-y)人. 根据题意，得10y+30(200-y)=2200 (7分) 解得y=190. (9分) 答：参加本次活动的学生人数是190人 (10分) 6.解：(1)设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙 操控B型号收割机每小时收割(1-40%)x亩水稻. 6 根据题意，得 =0.4 (2分) (1-40%)xx 解得x=10. (4分) 经检验，x=10是所列方程的根，且符合题意..(1-40%) x=(1-40%)×10=6. 答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B 型号收割机每小时收割6亩水稻. (5分) (2)设安排甲收割y小时，则安排乙收割00-10小时 6 根据题意，得3%×10y+2%×6x100-10≤2.4%×10. 6 (7分) 解得y≤4. (9分) 答：最多安排甲收割4小时 (10分) 7.解：(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单 价为(x+0.3)万元. 根据题意，得15 、20 (2分) x+0.3 解得x=0.9. (4分) 经检验，x=0.9是原方程的解，且符合题意 .x+0.3=1.2 答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为 1.2万元. (5分) (2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25-m)个 r0.9m+1.2(25-m)≤26 50 根据题意，得 25-m≥2m. 解得40 ≤m≤3 (8分) m为整数，∴.m=14,15,16 ∴该停车场有3种购买方案 方案一：购买14个A型充电桩，11个B型充电桩. 方案二：购买15个A型充电桩，10个B型充电桩， 方案三：购买16个A型充电桩，9个B型充电桩. ,A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价，.方案三所 需购买总费用最少，最少总费用为16×09+9×1.2=25.2 (万元). (10分) 8.解：(1)设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模 型的单价是(x-200)元. 根据题意，得2000=1200 x-200 (2分) 解得x=500. (4分) 经检验，x=500是原方程的解，且符合题意 .x-200=300. 答：A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单 价是300元. (5分) (2)设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型 (40-m)台，购买A型和B型机器人模型共花费w元. 根据题意，得40-m≤3m.解得m≥10. w=500×0.8m+300×0.8(40-m)=160m+9600. (8分) ▲·八年级·数学·下册 .·160>0,.w随m的增大而增大 ∴.当m=10时，w取得最小值，最小值为11200，此时40- m=30. 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时 花费最少，最少花费是11200元. (10分) 专题9平行四边形中的计算与证明 1.解：(1)选择小星的说法 (1分) 证明：E,F分别为BC,BD的中点， .EF是△BCD的中位线..EF∥CD,CD=2EF (3分) .AC=3AD,.CD=2AD..AD=EF.·AD∥EF, .四边形ADEF是平行四边形 (5分) (或选择小红的说法， (1分) 证明：E,F分别为BC,BD的中点， .EF是△BCD的中位线..EF∥CD (3分)》 .·∠AFD=∠EDF,.DE∥AF .四边形ADEF是平行四边形 (5分)) (2)F是BD的中点，∠BAC=90°，∴.BD=2AF (6分) 由(1)知，四边形ADEF是平行四边形，CD=2AD ∴，DE=AF,AD=EF (7分) .·CD=DE,.∴.BD=2AF=2DE=2CD=4AD (8分) ,在Rt△ABD中，AD2+AB2=BD2,即AD2+152=16AD2. 解得AD=√15（负值已舍去）.EF=AD=√I5.(10分) 2.解：(1)证明：·FC=CD,.C是DF边的中点. ·E是AD边的中点，.EC是△DAF的中位线 ∴.EC∥AF. (2分) ·四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC.∴.四边形AECG是平行四边形 (4分) (2).·AC⊥AB,∴.∠BAC=90°..·AB=1,BC=3, .在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√BC-AB2=22. (7分) ·四边形ABCD是平行四边形 A0=0C=2AC=2,BD=2B0=20D 在Rt△ABO中，由勾股定理，得B0=AB+AO=√3. .BD=2B0=23. (10分) 3.解：(1)证明：·四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,CD=AB.∴.∠ABC=∠FCB. (2分) ·E是BC边的中点，.BE=CE. 在△AEB与△FEC中，，·∠ABE=∠FCE BE=CE,∠AEB=∠FEC,,△AEB≌△FEC(ASA).(4分) ..AB=CF.∴.四边形ABFC是平行四边形 (5分) (2).·AB∥CD,∠D=60°，.∴.∠BAD=120 (6分) .·AF平分∠BAD,·.∠FAD=60°...△ADF为等边三角形. (7分) AB=CF,CD=AB,.'.CF CD ∠CAD=2∠FaD=30,LACD=90P (8分) AD=8,CD=4..AC=82-4=43. S-ABcm=CD·AC=4×4√3=163. (10分) 4.解：(1)如图，MN即为所求 (2分) (2)证明：，MN垂直平分BD,.OB=OD.,四边形ABCD 为平行四边形，.AD∥BC. .∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO. (4分) 在△DOM和△BON中，.·∠MD0=∠NBO,∠DMO= ∠BNO,OD=OB,.△D0M≌△BON(AAS). (6分) 3:△DOM≌△B0N0M=0N=2MN= -×12=6. (7分) 在Rt△MOD中，∠MOD=90°，OM=6,DM=10, .由勾股定理，得0D=√DM-0M=√102-6=8. .BD=20D=16. (10分) ● 6 河洛芸熙·期末考试必刷卷 5.解：(1)AE=CF(答案不唯一) (1分) 理由如下：·四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD ∴.∠GAE=∠HCF. G,H分别是AB,CD的中点， .AG=CH. .·AE=CF ∴，△AGE≌△CHF(SAS) (3分) .∴，GE=HF,∠AEG=∠CFH. ∠GEF+∠AEG=180°，∠HFE+∠CFH=180°， ∴.∠GEF=∠HFE. ∴.GE∥HF .·GE=HF ,四边形EGFH是平行四边形 (5分) (2)如图，连接BD交AC于点O. G F B 四边形ABCD是平行四边形， .0A =OC,OB=OD. ·BD=10,.OB=OD=5. .OE=OF,OA=OC. .·.AE=CF (7分) AE +CF=EF, ∴.2AE=EF=20E ∴，AE=OE. .·G是AB的中点， .EG是△ABO的中位线 EG=20B=2.5, (10分)》 6.解：(1)(2t-5) (2分) (2)28 (4分) (3)存在t的值，使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形是平 行四边形. (5分) 分两种情况：①如图1，当APCQ为平行四边形时，由题意， 得PC=(14-2t)cm,AQ=3tcm..:四边形APCQ为平行四 14 边形，.14-2t=3t..5t=14.六1=5 (7分) ②如图2，当AQCP为平行四边形时，由题意，得AQ=(28 3t)cm,PC=(2t-14)cm.四边形AQCP为平行四边形， 六28-31=21-14.51=42.1=42 综上所述4的值为安号 (10分》 D Q B 图1 图2 试卷1郑州市中原区 、选择题 题号12345678910 答案CAD AB CB D AC 10.C解析：A,(0,2),心等腰直角三角形①的面积为2× 2×2=2.,A2(6,0),∴，等腰直角三角形②的斜边长为 6-2=4.设等腰直角三角形②的直角边长为a.由勾股定 理，得a2+a2=42.解得a=2√2.∴等腰直角三角形②的 面积为)×22×22=4=2.A(10,42),等腰直 角三角形③直角边长为10-6=4.∴.等腰直角三角形③ 的面积为2×4×4=8=22.A(10,42),等腰直角 而衣卷观 三角形④的直角边长为4√2.∴.等腰直角三角形④的面积 为)×42×4万=16=2.…依此次规律可发现，第n 个等腰直角三角形的面积为2”，∴第2025个等腰直角三 角形的面积是225.故选C. 二、填空题 11.在郑州市儿童身高低于1.3米（含1.3米）乘坐公交车免 票（合理即可） 12.③①②13.x≥014.140 15.6或2 解析》△ABC为等腰三角形，AB=BC,AC= 16,B0是AC边上的高，∴，∠BAO=∠BCO,OA=OC= 24C=8.当△P0B为等腰三角形时，分三种情况：①当 PB=PQ时，如图1.在Rt△BOC中，BO=6,由勾股定理， 得BC=√B02+OC=√62+82=10.∠BPQ=∠BA0, ∴，∠BPQ=∠BCO.,·∠APB=∠APQ+∠BPO=∠CBP+ ∠BCO,∴.∠APQ=∠CBP.在△APQ和△CBP中，∠QAP= ∠BCP,∠APQ=∠CBP,PQ=PB,.△APQ≌△CBP(AAS). ∴.AP=BC=10.∴.CP=AC-AP=16-10=6. 0 0 OP PO 图1 图2 ②当BQ=BP时，则∠BPQ=∠BQP.∠BPQ=∠BAO .∠BAO=∠BQP.根据三角形的外角性质，得∠BQP> ∠BAO..这种情况不存在. ③当QB=QP时，如图2.∴，∠PBQ=∠BPQ..·∠BPQ= ∠BAO,.∠PBQ=∠BAO..PB=PA.设OP=x,则PB= PA=8-x.在Rt△OBP中，由勾股定理，得PB2=OP2+ 0B,(8-)2=2+6.解得x=子，即0P=子P0= 0p+0c=7+8=39 4 4 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，CP的长为6或39 三、解答题 16.解：(1)原式=2x(x2-4) (2分) =2x(x+2)(x-2). (5分) (2)原式=1832+183×17×2+172 (1分) =(183+17)2 (3分) =2002 =40000. (5分) 17.解：(1)等腰直角三角形 (2分) (2)如图，△A1B,C,即为所求 (4分) (4,1) (5分) A B 0 (3)如图，△A,B,C,即为所求 (7分) 5m 2 (9分) 18.解：(1)①一分式的基本性质 (2分) ②三括号前是负号，去括号时，6x没有变号 (4分) x2-3x 2x2+6x (2)原式=[x+3)x-3)(x+3)(x-3)]