第十章 复数（单元自测·提升卷）数学人教B版必修第四册

2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十章 复数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数及复数模的几何意义求解即可. 【详解】在复平面内，设对应的点为， 则表示到点的距离为， 表示动点到点的距离， 因为， 所以． 2．欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即，， 故，则，解得，则. 3．18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆， 因为，所以. 4．在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义结合旋转的性质求解即可. 【详解】由题意知，. 设，对应的复数为，则逆时针旋转后应在第一象限，所以，. 由旋转性质得旋转前后模长相等，且与垂直， 所以，解得. 所以逆时针旋转后，，对应的复数为. 5．已知复数，，若实数满足，则的最大值为（   ） A．5 B．32 C．39 D．64 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则求出，得到，根据已知条件列不等式组求解即可. 【详解】由题意可得：， 因为，可得，解得， 所以实数的最大值为32. 6．已知复数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数相等的条件，可得m的表达式，代入可得的表达式，根据同角三角函数的关系，结合二次函数的性质，即可得答案. 【详解】由，得，整理得， 则 ，开口向上，对称轴为， 由，得， 所以在上单调递减， 所以当时，的最大值为33， 当时，的最小值为，则的取值范围是. 7．已知a，b为实数，i为虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】如果，则是实数，不是纯虚数，充分性不满足， 若是纯虚数，设且， 则，所以，所以，必要性满足， 应为必要不充分条件. 8．设复数是关于的方程的两个根，在复平面内所对应的点分别为为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 【答案】B 【分析】利用韦达定理和向量垂直的条件，结合复数的运算性质逐一分析选项 【详解】由题知，方程无实数根，则两个复数根必为共轭复数，，故C错误； 又，故为实数，故A，D错误； 又，则方程的根为， 即， ， 由得，即，， 故，故B正确. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】根据复数和向量的对应关系，结合复数模的计算公式，判断选项. 【详解】取，，则，显然，不能比较大小，A错误； 在BCD中，设，，则，，， 所以，B正确； 由，得，得， 所以，C正确； ，， ， 又 ， 所以，D正确. 10．已知复数，，下列选项正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若在复平面内复数对应的点在第二象限，则的取值范围为 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】由为纯虚数，则，故A错误； 由，故B正确； 由在复平面内复数对应的点在第二象限，则，故C正确； 由 ，故D正确. 11．已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】化简得到，再根据数列的周期、复数的运算以及点到圆上一点的距离最值进行分析求解即可. 【详解】. 进一步，即数列周期为. 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为，偶数项都为. 选项A.，A错误. 选项B.，因此，B正确. 选项C. . 因为，所以总和为， 模长，C正确. 选项D.，. 表示复平面上以为圆心、半径为的圆，是圆上点到的距离， 两定点距离为 ，因此的最小值为，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知复数，对任意的实数，的最小值为，在复平面内，复数，所对应的向量分别为，，向量，的夹角为锐角，则______；若复数满足，则的最大值为______． 【答案】 2 【详解】令，， 因为，所以， ， 令，所以当时，有最小值3，即，， 因为向量，的夹角为锐角，故，即； 所以 ， 因为，所以，故的最大值为. 13．方程有四个复数根，其中模最大的复数根的实部为_____． 【答案】/ 【分析】令，代入方程，利用二项式定理将其整理成，求出，即得方程模最大的复数根，取其实部即可. 【详解】令，则由可得 利用二项式定理展开得 整理得，解得，即 于是原方程模最大的复数根为，其实部为． 故答案为：. 14．已知复数满足，且，则_____． 【答案】4 【分析】设，由可得，由可得，进而得到比例关系，结合模的平方和可得，同时由辐角关系推出，结合条件可求得，进而. 【详解】设， 则， 由可得，即，所以有， 于是，则有，即， 由可得， 即，，， 则 则有， 故答案为：4. 3、 解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）已知复数. (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求的取值范围； (3)当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以，即，解得. （2）因为复数表示的点在第二象限，所以， 即，解得，即的取值范围为. （3）当时，，则； 当时，，则， 所以. 因为向量与的夹角为钝角， 所以且向量与不反向共线， 即且，解得且， 即实数的取值范围是. 16．（15分）设定义在数集上的函数，其中是正整数，. (1)若，，， ①求函数的最大值 ②解不等式； (2)复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数.当，，时，若存在实数，及实部不为零的虚数，使得为实数，且该实数不小于，求的模的取值范围. 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，利用三角恒等变换化简即可求解； ②化简得，再因式分解解三角不等式即可； （2）由已知有，设，则，由题意，得，即可求解． 【详解】（1）① ， 当时取最大值； ② ， 由得， 即， 因式分解有，即， 又，即，则，即， 即， 所以解得． （2）由已知有， 设， 则 ， 存在实数，使得为实数且不小于， 则，因为，则， 即在复平面对应的点在以原点为圆心、1为半径的圆上（去掉与轴交点）时满足题意， 所以的模的取值范围为． 17．（15分）已知集合{（其中是虚数单位）}，定义：，. (1)计算的值； (2)记，若，且满足，求的最大值； (3)若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，. 【答案】(1)2 (2)4 (3)证明见解析 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）设出的实部与虚部，结合绝对值三角不等式放缩即可得解； （3）设，结合函数单调性与零点的存在性定理，分、与进行讨论即可证明函数必存在唯一的零点，并可得的范围，从而可结合模长定义计算得到结果. 【详解】（1）. （2）设， 由，得， 所以 ， 当，时等号成立，所以的最大值为4. （3）由条件可知， 所以，设， 当时，和是单调递增函数， 则在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点， 当时，是单调递增函数， 得，先增后减，且， 因此，即在上没有零点， 当时，是单调递增函数， 则，而， 因此，即在上没有零点， 综上，当时, 必存在唯一的零点， 当时，， 且得， 所以, 其中， 此时是单调递增函数，所以， 从而， 所以当时，. 18．（17分）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，已知为虚数单位，对于，记为的共轭复数，我们有如下运算法则：①；②；③；④． (1)设，求和； (2)证明：； (3)设集合，．已知为给定的复向量，对于任意的复向量，求的最小值；并求当取最小值时，对于任意的复向量，的值． 【答案】(1)，. (2)证明详见解析. (3). 【分析】（1）代入运算法则①②③即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算法则，即可求解； （3）设，表示出，即可得， 根据完全平方数的性质计算其最小值；设，根据定义即可求的值. 【详解】（1）由，得. 则， 综上，，. （2）由已知设， 则 ， ， 所以 . 综上，得证. （3）令，又，且， 则， ，当时取等号. 所以. 当取最小值时，， . 设， 则， 综上，的最小值为，此时的值为0. 19．（17分）实系数一元三次方程，在复数集内的根为，方程可变形为，展开可得如果一元次方程系数是复数，根与系数的这些关系仍然成立． (1)已知方程有三个根，其中一个为1，求方程的另两个根； (2)设三个顶点在复平面内对应的复数分别为，满足 ，求内切圆半径； (3)记区间的长度为，若关于的不等式：的解集为，求中所有区间的长度之和（结果用表示）． 【答案】(1)2，3． (2) (3) 【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可； （2）设，由可知计算可得，得出三角形三个点的坐标，利用等面积法计算即可求得内切圆半径； （3）设，可确定在每一段区间内单调递减，可确定直线与曲线的交点区间，可知不等式的解集为，结合韦达定理可求得所有区间长度之和. 【详解】（1） 利用根与系数的关系可得：，解得． （2）根据三次方程根与系数的关系可知，为的三个根，首先必定有一个为0， 不妨设，则为的两个根， 分解因式得，所以， 所以三角形的三个顶点为， 设三角形内切圆的圆心为，半径为， 则三角形的面积， 即． 因为， 所以． （3）设函数． 反比例函数只存在递减区间，所以只存在递减区间， 故函数在上递减， 易得为函数图象的渐近线． 所以函数的图象与直线相交于个点． 这些点的横坐标为， 它们即为方程的所有解． 故由图象得，原不等式的解集为，    故解集中有个区间，所有区间长度之和为， 联系韦达定理： 可得一个关于的一元次方程，由韦达定理，只需考虑项与项的系数， 易得最高次项的系数为，项的系为，即． 所以有． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解韦达定理的形式，将所求区间长度转化为求解一元高次方程根与系数关系的问题，从而利用韦达定理求得结果. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十章 复数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B B C D B A A B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．BCD 10．BCD 11．BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 2，． 13．/． 14．． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．【详解】（1）（3分）因为复数是纯虚数，所以，即，解得. （2）（5分）因为复数表示的点在第二象限，所以， 即，解得，即的取值范围为. （3）（5分）当时，，则； 当时，，则， 所以. 因为向量与的夹角为钝角， 所以且向量与不反向共线， 即且，解得且， 即实数的取值范围是. 16．【详解】（1）①（3分） ， 当时取最大值； ②（4分） ， 由得， 即， 因式分解有，即， 又，即，则，即， 即， 所以解得． （2）（8分）由已知有， 设， 则 ， 存在实数，使得为实数且不小于， 则，因为，则， 即在复平面对应的点在以原点为圆心、1为半径的圆上（去掉与轴交点）时满足题意， 所以的模的取值范围为． 17．【详解】（1）（3分）. （2）（4分）设， 由，得， 所以 ， 当，时等号成立，所以的最大值为4. （3）（8分）由条件可知， 所以，设， 当时，和是单调递增函数， 则在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点， 当时，是单调递增函数， 得，先增后减，且， 因此，即在上没有零点， 当时，是单调递增函数， 则，而， 因此，即在上没有零点， 综上，当时, 必存在唯一的零点， 当时，， 且得， 所以, 其中， 此时是单调递增函数，所以， 从而， 所以当时，. 18．【详解】（1）（3分）由，得. 则， 综上，，. （2）（5分）由已知设， 则 ， ， 所以 . 综上，得证. （3）（9分）令，又，且， 则， ，当时取等号. 所以. 当取最小值时，， . 设， 则， 综上，的最小值为，此时的值为0. 19．【详解】（1）（3分） 利用根与系数的关系可得：，解得． （2）（5分）根据三次方程根与系数的关系可知，为的三个根，首先必定有一个为0， 不妨设，则为的两个根， 分解因式得，所以， 所以三角形的三个顶点为， 设三角形内切圆的圆心为，半径为， 则三角形的面积， 即． 因为， 所以． （3）（9分）设函数． 反比例函数只存在递减区间，所以只存在递减区间， 故函数在上递减， 易得为函数图象的渐近线． 所以函数的图象与直线相交于个点． 这些点的横坐标为， 它们即为方程的所有解． 故由图象得，原不等式的解集为，    故解集中有个区间，所有区间长度之和为， 联系韦达定理： 可得一个关于的一元次方程，由韦达定理，只需考虑项与项的系数， 易得最高次项的系数为，项的系为，即． 所以有． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解韦达定理的形式，将所求区间长度转化为求解一元高次方程根与系数关系的问题，从而利用韦达定理求得结果. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十章 复数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 2．欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（    ） A． B． C． D． 3．18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（    ） A． B． C． D． 5．已知复数，，若实数满足，则的最大值为（   ） A．5 B．32 C．39 D．64 6．已知复数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知a，b为实数，i为虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 8．设复数是关于的方程的两个根，在复平面内所对应的点分别为为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 10．已知复数，，下列选项正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若在复平面内复数对应的点在第二象限，则的取值范围为 D．的最小值为 11．已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知复数，对任意的实数，的最小值为，在复平面内，复数，所对应的向量分别为，，向量，的夹角为锐角，则______；若复数满足，则的最大值为______． 13．方程有四个复数根，其中模最大的复数根的实部为_____． 14．已知复数满足，且，则_____． 3、 解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）已知复数. (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求的取值范围； (3)当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 16．（15分）设定义在数集上的函数，其中是正整数，. (1)若，，， ①求函数的最大值 ②解不等式； (2)复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数.当，，时，若存在实数，及实部不为零的虚数，使得为实数，且该实数不小于，求的模的取值范围. 17．（15分）已知集合{（其中是虚数单位）}，定义：，. (1)计算的值； (2)记，若，且满足，求的最大值； (3)若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，. 18．（17分）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，已知为虚数单位，对于，记为的共轭复数，我们有如下运算法则：①；②；③；④． (1)设，求和； (2)证明：； (3)设集合，．已知为给定的复向量，对于任意的复向量，求的最小值；并求当取最小值时，对于任意的复向量，的值． 19．（17分）实系数一元三次方程，在复数集内的根为，方程可变形为，展开可得如果一元次方程系数是复数，根与系数的这些关系仍然成立． (1)已知方程有三个根，其中一个为1，求方程的另两个根； (2)设三个顶点在复平面内对应的复数分别为，满足 ，求内切圆半径； (3)记区间的长度为，若关于的不等式：的解集为，求中所有区间的长度之和（结果用表示）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十章 复数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 2．欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（    ） A． B． C． D． 3．18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（    ） A． B． C． D． 5．已知复数，，若实数满足，则的最大值为（   ） A．5 B．32 C．39 D．64 6．已知复数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知a，b为实数，i为虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 8．设复数是关于的方程的两个根，在复平面内所对应的点分别为为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 10．已知复数，，下列选项正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若在复平面内复数对应的点在第二象限，则的取值范围为 D．的最小值为 11．已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知复数，对任意的实数，的最小值为，在复平面内，复数，所对应的向量分别为，，向量，的夹角为锐角，则______；若复数满足，则的最大值为______． 13．方程有四个复数根，其中模最大的复数根的实部为_____． 14．已知复数满足，且，则_____． 3、 解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）已知复数. (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求的取值范围； (3)当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 16．（15分）设定义在数集上的函数，其中是正整数，. (1)若，，， ①求函数的最大值 ②解不等式； (2)复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数.当，，时，若存在实数，及实部不为零的虚数，使得为实数，且该实数不小于，求的模的取值范围. 17．（15分）已知集合{（其中是虚数单位）}，定义：，. (1)计算的值； (2)记，若，且满足，求的最大值； (3)若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，. 18．（17分）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，已知为虚数单位，对于，记为的共轭复数，我们有如下运算法则：①；②；③；④． (1)设，求和； (2)证明：； (3)设集合，．已知为给定的复向量，对于任意的复向量，求的最小值；并求当取最小值时，对于任意的复向量，的值． 19．（17分）实系数一元三次方程，在复数集内的根为，方程可变形为，展开可得如果一元次方程系数是复数，根与系数的这些关系仍然成立． (1)已知方程有三个根，其中一个为1，求方程的另两个根； (2)设三个顶点在复平面内对应的复数分别为，满足 ，求内切圆半径； (3)记区间的长度为，若关于的不等式：的解集为，求中所有区间的长度之和（结果用表示）． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $