专项11 全等三角形的常见模型&专项12 与三角形有关的动点问题-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷专项精炼（北师大版·新教材 河南专版）

而派言侧 20mn+n2,(10m+n+n)×10m+n2=(10m+2n)×10m+ n2=100m2+20mn+n2,所以(10m+n)2=(10m+n+n)× 10m+n2,即结论成立. 3.解：(1)943（答案不唯一） (2)943变换为349，即943-349=594，差为三位数： 594变换为495，即594-495=99，差为两位数，即最终的结 果为99. (3)猜想：任意“儿童数”按照(2)的程序列式计算，最终的 结果均为99. 根据题意，得(a+6)(a+1)a变换为a(a+1)(a+6),因为 (a+6)(a+1)a=100(a+6)+10(a+1)+a=111a+610 a(a+1)(a+6)=100a+10(a+1)+(a+6)=111a+16, 所以(a+6)(a+1)a-a(a+1)(a+6)=111a+610-111a-16 =594,差为三位数： 594变换为495，即594-495=99，差为两位数，即最终的结 果为99. 专项9实际应用题 1.解：(1)距离地面的高度h所在位置的温度T8 (2)T=-6h+20-34 (3)当飞机距离地面的高度为5km时，所在位置的温度为 -10℃ 2.解：(1)离开测试点甲的时间x 离测试点甲的距离y (2)240320 (3)该款新型智能机器人离开测试点甲32min时，离测试 点甲的距离为320m (4)18或39.5 解析》该款新型智能机器人从测试点乙出发到测试点丙的 速度为(320-120)÷(24-14)=20(m/min):返回时的速度 为320÷(52-32)=16(m/min).分两种情况讨论：①到测试 点丙之前，该款新型智能机器人离测试点甲的距离为200m 时，它离开测试点甲的时间为14+(200-120)÷20=18 (min);②到测试点丙之后，该款新型智能机器人离测试点甲 的距离为200m时，它离开测试点甲的时间为32+(320 200)÷16=39.5(min). 3.解：(1)CD=BCAD=CD(或∠BDC=∠BDA) (2)选择甲：在△ABC和△DEC中，因为AC=DC,∠ACB= ∠DCE,BC=EC,所以△ABC≌△DEC(SAS),所以AB=ED, (或选择乙：因为AB⊥BD,DE⊥BD,所以∠B=∠CDE= 90°.在△ABC和△EDC中，因为∠B=∠CDE,CB=CD ∠ACB=∠ECD,所以△ABC≌△EDC(ASA),所以AB=ED. 或选择丙：因为AD=CD,所以∠A=∠C.因为BD⊥AC,所 以∠ABD=∠CBD=90°.在△ABD和△CBD中，因为∠ABD= ∠CBD,∠A=∠C,BD=BD,所以△ABD≌△CBD(AAS), 所以AB=BC.) 专项10尺规作图 1.解：(1)如图所示，射线AE即为所求 (2)DE=BE.理由如下：因为AE平分 ∠BAC,所以∠BAE=∠DAE.因为AB =AD,AE=AE,所以△BAE≌△DAE (SAS),所以DE=BE. 2.解：(1)两边相等的三角形是等腰三角 形 (2)如图所示， 因为∠B=37°，∠C=45 所以∠BAC=180°-∠B-∠C= 180°-37°-45°=98. 由作图可知，EF垂直平分AB.所 以DA=DB. 所以∠DAB=∠B=37° B 所以∠DAC=∠BAC-∠DAB=98°-37°=61 4 ▲·七年级·数学·下册 3.解：(1)如图，直线CD即为求 D (2)小明的说法正确. 理由如下：由折纸操作可知∠NPD=∠NOB=90°，所以 CD∥AB. 专项11全等三角形的常见模型 1.解：(1)①3 ②AD,DE,BE之间的数量关系为AD=BE+DE.理由：因为 AD⊥CE,BE⊥CE,所以∠ADC=∠CEB=90°.因为∠ACB= 90°，所以∠ACD+∠BCE=90°，因为∠ACD+∠CAD=90°， 所以∠CAD=∠BCE.在△CAD与△BCE中，因为∠ADC= ∠CEB=90°，∠CAD=∠BCE,AC=CB,所以△CAD≌ △BCE(AAS),所以CD=BE,AD=CE.因为CE=CD+DE, 所以AD=BE+DE. (2)17解析》如图，过点A作AE1 0 OM,过点B作BF⊥OM.由题意知 A ∠AOB=90°，OA=OB,所以∠BOF+ ∠AOE=90°.因为∠AOE+∠EA0= B 90°，所以∠EAO=∠B0F.在△AE0和 △OFB中，∠EAO=∠FOB,∠AEO= M D ∠OFB,OA=BO,所以△AEO≌△OFB(AAS),所以OE=BF, AE=OF,即AE+BF=OE+OF.因为AC=12m,BD=4m,所 以EF=12-4=8(m).因为AE+BF=18,即OE+OF= 0E+0E+EF=18,所以20E=10,所以0E=5m,所以0M =OE+ME=OE+AC=5+12=17(m),所以旗杆OM的高 度是17m. 2.解：(1)因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠CAD=∠DAE ∠CAD,所以∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中，因为 AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,所以△ABD≌△ACE (SAS). (2)BD=CE,BD⊥CE.理由如下：因为∠BAC=∠DAE= 90°，所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD= ∠CAE.在△ABD和△ACE中，因为AB=AC,∠BAD= ∠CAE,AD=AE,所以△ABD≌△ACE(SAS),所以BD=CE, ∠ADB=∠AEC.因为∠ECD+∠ADB=∠EAD+∠AEC,所以 ∠ECD=∠EAD=90°，即BD⊥CE. (3)∠A+∠BCD=180°.理由如下： 如图，延长DC至点P,使DP=DB, 连接PB.因为∠BDC=60°，所以 △BDP是等边三角形，所以BD= BP,∠DBP=60°，所以∠ABC= D ∠DBP,所以∠ABC-∠DBC= ∠PBD-∠DBC,即∠ABD=∠PBC.在△ABD和△CBP中， 因为BD=BP,∠ABD=∠CBP,AB=CB,所以△ABD≌ △CBP(SAS),所以∠BCP=∠A.因为∠BCD+∠BCP= 180°，所以∠A+∠BCD=180°. 专项12与三角形有关的动点问题 1.C2.A3.D 4.B解析》如图，作点F关于AD的对称点 M,连接BM,EM,过点B作BN⊥AC于点N, 所以EF=EM.所以BE+EF=BE+EM≥ BM,所以当BM最小时，BE+EF最小.当BM⊥ AC时，BM最小，即点M与点N重合，最小值 B 为BN的长.因为S=2AC,N=12,AB=AC=6,所以 BN=2×12÷6=4,即BE+EF的最小值是4.故选B. 河洛芸熙·期末考试必刷卷 5.15或51解析》分两种情况讨论：①当DE在AB的上方 时，如图1，因为∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45° 所以∠BAC=30°，∠E=45°.因为AB∥DE,所以∠BAE= ∠E=45°，所以∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°，所以旋转时 间1=75 0=15(s);②当DE在AB的下方时，如图2，因为 ∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°，所以∠BAC=30° ∠E=45°.因为AB∥DE,所以∠BAE+∠E=180°，所以 ∠BAE=180°-∠E=135°，所以∠CAE=∠BAE-∠BAC= 105°，所以旋转的角度为360°-∠CAE=255°，所以旋转时 间1=25=51().综上所述，在旋转过程中，第15或51 时，边AB与边DE平行 B 图1 图2 6.9 8 解析》如图，连接OP,过点O作 OH LMN交NM的延长线于点H.因为 Smx=2N·0M=3,且N=4,所以 0H=号因为点P关于直线0A对称 的点为P,点P关于直线OB对称的点为P2,所以∠AOP= ∠AOP,,∠BOP=∠BOP,,OP,=OP=OP.因为∠AOB= 45°，所以∠P,OP2=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°，所以 △0P,B的面积为20P,·0P:=20P.由垂线段最短可 知，当点P与点H重合时，0P取得最小值，最小值为OH= 2 所以△0PB面积的威小值为5×（会）-号 试卷1郑州市二七区 一、选择题 题号12345678910 答案CBC AB CDDDB 9.D解析》因为AB=AC,D是BC的中点，∠BAC=110°，所 以∠CAD=号∠BAC=55因为AD=DE,所以∠DEA= ∠CAD.所以∠ADE=180°-2∠CAD=70°.故选D. 10.B解析》由图象，可知当点P在边AB上运动a秒时， Sam=2AD~AP=分×8×a=24,所以a=6因为点P 运动8s时到点B处，所以6=10.1×6=2，①正确：因为 8-6 点P运动c秒时到达点D处，所以c=8+(8+10) 17,②错误；点P从点B运动到点C用时8÷2=4(s),③ 正确；由题意，得长方形ABCD面积为10×8=80(cm2), 所以5am=写5Em=16(cm).分两种情况：①当点 P在边AB上时，则×8Xx=16,所以x=4.②当点P在 边CD上时，号×8×PD=16,所以PD=4所以x=17- 而衣卷观 4÷2=15,即x的值为4或15，④错误.综上所述，正确结 论的个数是2个.故选B. 二、填空题 11.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 12.513.-614.0.9 15.54°解析》如图，由折叠的性质 B 得∠1+∠2=∠A=90°，∠3=∠5， D E EH=NH,∠1=∠3，∠EHG=M4 G ∠NHG.因为∠DEM=18°，AB∥ CD,所以18°+∠1+∠2+∠3+ ∠5=180°.所以18°+90°+2∠3= A B 180°.解得∠3=36°.在△EHN中，∠EHG+∠NHG+∠1+ ∠3=180°，所以2∠EHG+2∠3=2∠EHG+72°=180°.解 得∠EHG=54°. 三、解答题 16.解：(1)原式=4-4-1×1 (2分) =4-4-1 =-1. (4分) (2)原式=x2-y2+3xy+y (3分) =x2+3xy. (4分) 17.解：(1)如图，点D即为所求。 (2分) (2)如图，BE即为所求. (4分) (3)如图，点F即为所求 (6分) B (4)3 (8分) 18.解：(1)因为一共有8个小球，其中球面数字为5的小球有 2个，所以P(摸到球面数字为5)=日=十 (2分) (2)这种方法不公平 (3分) 理由如下：由题意，得小颖得到电影票的概率为】 8 小明得到电影票的概率为 8 (5分) 因为<。所以这种方法不公平 (6分) 19.解：∠ECD=15o. (1分) 理由如下：如图，过点E作EF∥AB 因为AB∥CD,所以EF∥AB∥CD. 所以∠AEF=∠BAE=45°，∠ECD=∠CEF (4分) 所以∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°-45°=15. 所以∠ECD=15°. (7分) F E □D 20.解：(1)②③ (2分) (2)因为D为BC的中点，所以DB=DC. 因为CE∥AB,所以∠BAD=∠CED. (4分) 在△ADB和△EDC中，∠BAD=∠CED,∠ADB=∠EDC, DB=DC,所以△ADB≌△EDC(AAS). 所以AB=CE=20m (8分) 21.解：(1)物体的重量弹簧的长度 (2分) (2)y=2x+8 (4分) (3)21 (5分) (4)当y=25时，2x+8=25, 5▲·七年级·数学·下册 而溶艺侧 专项11全等三角形的常见模型 可紧扣课程标准，根据最新教材编写 1.【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为 90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边相等时， 必定存在全等三角形 【解决问题】(1)①如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线 DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E,DE=5,AD=2,则BE的长为 ②如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,过点A作 AD⊥CE于点D,过点B作BE⊥CE于点E,探索AD,DE,BE之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】(2)如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12m的高台A, 利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为18m,高为4m的矮台B,则旗杆 OM的高度是 m. B D 图1 图2 图3 2.【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶 点分别对应连接起来得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形 (1)如图1，在“手拉手”图形中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD,CE.试说明： △ABD≌△ACE: 【变式探究】(2)如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，即AB=AC,AD=AE,且 ∠BAC=∠DAE=90°，点B,C,D在同一条直线上.请判断线段BD与CE的关系，并说明理由； 【拓展应用】(3)如图3，AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠BCD的数量关系，并 说明理由. 图1 图2 图3 25 河洛芸熙·期末考试必刷卷 而将苍观 专项12与三角形有关的动点问题 可紧扣课程标准，根据最新教材编写 1.如图，将线段BC沿着射线CA折叠得到CD,延长CD到点E,连接BE,点F是射线CA上的 一个动点，连接FE,FD.若BC=20,EC=28,△DEF的周长的最小值为22，则BE的长为 ( A.18 B.16 C.14 D.12 m 5/cm 6 8x/s 图1 图2 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图1，∠B=∠C=90°，AB=2CD,点P以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→D的路 线运动，到点D停止.如图2，反映的是△ABP的面积S(cm)与点P运动的时间x(s)两个变 量之间的关系，则梯形ABCD的面积为 () A.72 cm B.64 cm C.48 cm2 D.36 cm2 3.如图，直线AM⊥AN,AB平分∠MAN,过，点B作BC⊥BA交AN于点C.动点D,E同时从点A 出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D以1cm/s的速度在直线AM上 运动.已知AC=6cm,设动点D,E的运动时间为t(s).当动点D在直线AM上运动时，若 △ADB与△BEC全等，则t的值为 A.2 B.6 C.2或4 D.2或6 4.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD⊥BC,点D为垂足，E,F分别是AD,AB上的动点.若 AB=6,△ABC的面积为12，则BE+EF的最小值是 () A.2 B.4 C.6 D.8 A D B B D 第4题图 第5题图 第6题图 5.在一次课外活动中，小明将一副三角尺按如图所示的方式放置，点E在AC上，∠C=∠DAE =90°，∠B=60°，∠D=45°.小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒5°的速度顺时针 旋转一周，在旋转过程中，第 s时，边AB与边DE平行 6.如图，∠AOB=45°，点M,N分别在射线OA,OB上，MN=4,△OMN的面积为3，P是直线 MW上的动点，点P关于OA对称的点为P,,点P关于OB对称的点为P2,当点P在直线MW 上运动时，△OP,P,的面积最小值为 26