宁夏银川市外国语实验学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 该试卷以垃圾标识中心对称、游戏公平性等真实情境和旋转性质探究、不等式应用等任务为载体，覆盖几何与代数核心知识，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、不等式性质、直角三角形判定|结合垃圾标识（情境真实）、游戏公平性（垂直平分线应用）| |填空题|10/30|角平分线性质、旋转面积、不等式组整数解|正五边形与正三角形结合（几何直观）、等腰三角形多解（推理意识）| |解答题|9/60|解不等式组、旋转作图、方案设计、几何探究|阅读材料解不等式（数学思维）、采购问题（模型意识）、旋转性质探究（空间观念）|

宁夏银川市外国语实验学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）设x，y是实数，若x＞y，则下列式子正确的是（　　） A．x﹣3＜y﹣3 B． C．﹣2x＞﹣2y D．4﹣x＜4﹣y 3．（3分）下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．AB2﹣BC2＝AC2 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝1：1： 4．（3分）证明“三角形内角和为180度”时，若用反证法，可假设（　　） A．内角和为180度 B．内角和为α（α≠180度） C．至少一个角小于90度 D．三角形为直角三角形 5．（3分）游戏时，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，在BC的延长线上取点E，连接AE，若∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，则∠CAE为（　　） A．20° B．32° C．38° D．42° 7．（3分）若关于x，y的方程组的解满足x+4y≤3，则满足条件的m的最大值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，则BC＝（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 9．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°，以下四个结论：①△BED≌△AFD；②EF＝AD；③AC＝BE+FC；④∠AGF＝∠AED．上述结论正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC，将△ABC沿射线BC方向平移得对应△DEF，过点B作BO⊥AC，垂足为O，BO交DE于点P，若，CE＝3BE，则PD的长是（　　） A．4 B． C．3 D． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11．（3分）在正三角形纸片ABC上按如图方式画一个正五边形DEFGH，其中点F，G在边BC上，点E，H分别在边AB，AC上，则∠BEF的大小是 　 　 °． 12．（3分）已知关于x的不等式（2a﹣4）x＜2a﹣4的解集是x＞1，则a的取值范围为 　 　 ． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积为 　 　 ． 14．（3分）如图，直线l1：y＝x+1和直线l2：y＝mx+n相交于P（a，2），则不等式x+1≥mx+n解集为　 　 ． 15．（3分）等腰三角形ABC中∠A＝50°，则∠B＝　 　 ． 16．（3分）若关于x的一元一次不等式组无实数解，则n的取值范围为　 　 ． 17．（3分）将直角边为12cm的等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，那么图中阴影部分面积是　 　 cm2． 18．（3分）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，则m的取值范围为　 　 ． 19．（3分）某校高一新生中有若干名住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，问：住宿生最多有　 　 名． 20．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN+PC的最小值是　 　 ． 三、解答题（60分） 21．（5分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 22．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）请画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1； （2）若△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB2C2，写出点C2的坐标　 　 ； （3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A3（1，0），B3（3，﹣1），C3（2，﹣3），则旋转中心的坐标为　 　 ． 23．（6分）阅读：解不等式（x+3）（x﹣2）＜0． 解：因为两数相乘，异号得负， 所以①或②， 解不等式组①，得﹣3＜x＜2， 解不等式组②，得无解， 所以原不等式的解集为﹣3＜x＜2． 利用上面的信息解不等式． 24．（6分）如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于点E，ED的延长线交BC的延长线于点F，且CD＝CF．求证：△ABC是等腰三角形． 25．（6分）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”． （1）不等式x≥2　 　 x≤2的“友好不等式”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的不等式x﹣m≥0不是2x﹣1＜x+2的“友好不等式”，则m的取值范围是　 　 ； （3）已知关于x的不等式x+3＞﹣2x与x﹣1≤a互为“友好不等式”，且有两个整数解，求a的取值范围． 26．（6分）如图所示，在同一坐标系中一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，0），观察图象并回答下列问题： （1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是　 　 ，关于x的不等式kx+b＜0的解集是　 　 ． （2）若点C坐标为（1，3），关于x的不等式0≤k1x+b1＜kx+b的解集是　 　 ． （3）在（2）的条件下，求四边形OBCD的面积． 27．（8分）2026年阅读比赛活动中，某校八年级（1）班决定到晨光文具店采购一批本子和笔对活动中表现优异的学生作为奖励．已知购买3个本子，4支笔需要花费29元；购买2个本子，5支笔需要花费24元． （1）试问本子和笔的单价分别是多少钱？ （2）班级决定购进本子和笔共150件，要求购买本子的数量不低于购买笔的，且购买本子和笔所用班费不超过525元，请通过计算设计出所有可能的购买方案． 28．（8分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．如图1，将两个完全相同的三角形纸片△ABC和△DEC重合放置，其中∠C＝90°，若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转． （1）当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2， ①当∠B＝∠E＝40°时，求此时旋转角的大小； ②当∠B＝∠E＝α时，直接写出此时旋转角的大小（用含α的式子表示）； （2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小组长猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小组长的猜想是否正确，若正确，请你证明小组长的猜想，若不正确，请说明理由． 29．（9分）如图，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝1，点B在AD的延长线上，BD＝1，连接BC． （1）求BC的长； （2）动点P从点A出发，沿射线AB运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，△PDC≌△BDC； ②当t为何值时，△PBC是等腰三角形？ 宁夏银川市外国语实验学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B A A B C B C 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可． 【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2．（3分）设x，y是实数，若x＞y，则下列式子正确的是（　　） A．x﹣3＜y﹣3 B． C．﹣2x＞﹣2y D．4﹣x＜4﹣y 【答案】D 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：设x，y是实数，若x＞y， 两边同时减去3得x﹣3＞y﹣3，则A不符合题意， 两边同时除以4得，则B不符合题意， 两边同时乘以﹣2得﹣2x＜﹣2y，则C不符合题意， 两边同时乘以﹣1再同时加上4得4﹣x＜4﹣y，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 3．（3分）下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．AB2﹣BC2＝AC2 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝1：1： 【答案】C 【分析】分别根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； B、∵AB2﹣BC2＝AC2， ∴AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝×180°＝×180°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； D、∵a：b：c＝1：1：，12+12＝（）2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，勾股定理，熟知以上知识是解题的关键． 4．（3分）证明“三角形内角和为180度”时，若用反证法，可假设（　　） A．内角和为180度 B．内角和为α（α≠180度） C．至少一个角小于90度 D．三角形为直角三角形 【答案】B 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【解答】解：用反证法证明“三角形内角和为180度”时，先假设内角和为α（α≠180度）， 故选：B． 【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5．（3分）游戏时，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【解答】解：游戏时，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的三条垂直平分线的交点，此时这个点到三角形各顶点的距离相等， 故选：A． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，在BC的延长线上取点E，连接AE，若∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，则∠CAE为（　　） A．20° B．32° C．38° D．42° 【答案】A 【分析】先利用角的和差关系可得∠DAE＝52°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD＝32°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵∠BAD＝32°，∠BAE＝84°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝52°， ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD＝32°， ∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝52°﹣32°＝20°， 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键． 7．（3分）若关于x，y的方程组的解满足x+4y≤3，则满足条件的m的最大值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【答案】B 【分析】由①﹣②得：x+4y＝3m+6，得到3m+6≤3，即可求解． 【解答】解：， 由①﹣②得：x+4y＝3m+6， ∵x+4y≤3， ∴3m+6≤3，解得：m≤﹣1． ∴m的最大值为﹣1， 故选：B． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组的解和一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，则BC＝（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质求出BD，根据等腰三角形的判定求出CD，计算即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， 在Rt△BAD中，∠B＝30°，AD＝4cm， ∴BD＝2AD＝8cm，∠ADB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DAC＝∠C， ∴DC＝AD＝4cm， ∴BC＝BD+CD＝8+4＝12（cm）， 故选：C． 【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，熟记在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 9．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°，以下四个结论：①△BED≌△AFD；②EF＝AD；③AC＝BE+FC；④∠AGF＝∠AED．上述结论正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝45°，再证明△BED≌△AFD，则可对①进行判断；由三角形全等得到AF＝BE，所以AC＝AF+FC＝BE+FC，则可对②进行判断；由三角形全等得到DE＝DF，所以EF＝DE，由于只有DE⊥AB时，BD＝DE，这时才有EF＝BD＝AD，则可对③进行判断；利用三角形外角性质得到∠AGF＝∠ADF+45°，∠AED＝∠BDE+45°，则∠AGF＝∠AED，从而可对④进行判断． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵D是BC的中点， ∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝45°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠ADF+∠ADE＝90°， ∵∠BDE+∠ADE＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BED和△AFD中， ， ∴△BED≌△AFD（ASA），所以①正确； ∴AF＝BE， ∴AC＝AF+FC＝BE+FC，所以②正确； ∵△BED≌△AFD， ∴DE＝DF，∴EF＝DE，只有DE⊥AB时，BD＝DE，此时EF＝BD＝AD，所以③错误； ∵∠AGF＝∠ADF+∠DFE＝∠ADF+45°，∠AED＝∠BDE+∠B＝∠BDE+45°， 而∠BDE＝∠ADF， ∴∠AGF＝∠AED，所以④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰直角三角形的性质． 10．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC，将△ABC沿射线BC方向平移得对应△DEF，过点B作BO⊥AC，垂足为O，BO交DE于点P，若，CE＝3BE，则PD的长是（　　） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一，求出∠A＝∠ACB＝30°，；根据勾股定理求出BO＝2，则BC＝4，根据线段的和差求出BE，再根据等边三角形的判定和性质，可得BE＝BP＝1，最后根据PD＝DE﹣PE． 【解答】解：∵AB＝BC，BO⊥AC， ∴∠A＝∠ACB＝＝30°，， ∴， 设BO＝x，则BC＝2x， 在Rt△BOC中，BC2＝BO2+CO2， ∴， 解得：x＝2或x＝﹣2（舍去）， ∴BO＝2，则BC＝4， ∵CE＝3BE， ∴CE＝3，BE＝1， 由平移得：△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF＝120°，AB＝DE＝4， ∴∠DEB＝180°﹣∠DEF＝180°﹣120°＝60°， ∵∠ACB＝30°，BO⊥AC， ∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝60°， ∴∠BPE＝180°﹣∠DEB﹣∠OBC＝60°， ∴△BPE是等边三角形， ∴BE＝BP＝1， ∴PD＝DE﹣PE＝4﹣1＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，平移的性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11．（3分）在正三角形纸片ABC上按如图方式画一个正五边形DEFGH，其中点F，G在边BC上，点E，H分别在边AB，AC上，则∠BEF的大小是 　48　 °． 【答案】48． 【分析】先根据正三角形的性质求出∠B＝60°，再根据正五边形的性质求出∠EFG＝108°，进而可求出∠BFE＝72°，然后根据三角形的内角和定理可求出∠BEF的度数． 【解答】解：∵△ABC为正三角形， ∴∠B＝60°， ∵五边形DEFGH是正五边形， ∴∠EFG＝1/5×（5﹣2）×180°＝108°， ∴∠BFE＝180°﹣∠EFG＝180°﹣108°＝72°， 在△BEF中，∠BEF＝180°﹣（∠B﹣∠BFE）＝180°﹣（60°+72°）＝48°． 故答案为：48． 【点评】此题主要考查了正三角形和正五边形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正三角形和正五边形的性质是解决问题的关键． 12．（3分）已知关于x的不等式（2a﹣4）x＜2a﹣4的解集是x＞1，则a的取值范围为 a＜2　 ． 【答案】a＜2． 【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变可得答案． 【解答】解：因为关于x的不等式（2a﹣4）x＜2a﹣4的解集是x＞1， 所以2a﹣4＜0， 解得a＜2． 故答案为：a＜2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，关键是掌握不等式的性质． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积为 　2　 ． 【答案】2 【分析】根据基本作图可判断AG平分∠BAC，过G点作GH⊥AC于H，如图，再利用角平分线的性质得到GH＝GB＝1，然后根据三角形面积公式计算． 【解答】解：由作法得AG平分∠BAC， 过G点作GH⊥AC于H，如图， ∵GB⊥AB，GH⊥AC， ∴GH＝GB＝1， ∴S△ACG＝•AC•GH＝×1×4＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． 14．（3分）如图，直线l1：y＝x+1和直线l2：y＝mx+n相交于P（a，2），则不等式x+1≥mx+n解集为x≥1　 ． 【答案】x≥1． 【分析】将点P（a，2）代入关系式y＝x+1可得a，再根据直线l1与直线l2相交或直线l1在直线l2上方得出自变量取值范围即可． 【解答】解：∵直线l1：y＝x+1和直线l2：y＝mx+n相交于P（a，2）， ∴a+1＝2， 解得a＝1， 即P（1，2）． 当x≥1时，x+1≥mx+n． 故答案为：x≥1． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． 15．（3分）等腰三角形ABC中∠A＝50°，则∠B＝　65°或80°或50°　 ． 【答案】65°或80°或50° 【分析】分∠A是顶角，∠B是顶角，∠C是顶角三种情况，根据等腰三角形的性质和内角和定理求解． 【解答】解：已知等腰△ABC中，∠A＝50°， 若∠A是顶角，则∠B＝∠C， 所以∠B＝（180°﹣50°）＝65°； 若∠B是顶角，则∠A＝∠C＝50°， 所以∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°； 若∠C是顶角，则∠B＝∠A＝50°． 故∠B为65°或80°或50°， 故答案为：65°或80°或50°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 16．（3分）若关于x的一元一次不等式组无实数解，则n的取值范围为n≤　 ． 【答案】n≤． 【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组无实数解确定n的取值范围． 【解答】解：， 由①得：x＜2n， 由②得：x＞1， ∵关于x的一元一次不等式组无实数解， ∴2n≤1， 解得n≤， ∴n的取值范围为n≤， 故答案为：n≤． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 17．（3分）将直角边为12cm的等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，那么图中阴影部分面积是　　 cm2． 【答案】 【分析】由等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB'C'，根据旋转的性质得∠CAC′＝15°，∠C′＝∠C＝90°，AC′＝AC＝12，而△ABC为等腰直角三角形，得到∠CBA＝45°，则∠DAC′＝45°﹣15°＝30°，得到DC′＝AC′＝12×＝4，利用三角形的面积公式即可得到阴影部分面积． 【解答】解：设AB与B′C′交于D点， ∵等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB'C'， ∴∠CAC′＝15°，∠C′＝∠C＝90°，AC′＝AC＝12， 而△ABC为等腰直角三角形， ∴∠CAB＝45°， ∴∠DAC′＝45°﹣15°＝30°， 在Rt△ADC′中，DC′＝AC′＝12×＝4， ∴S△ADC′＝×12×4＝24（cm2）． 故答案为24． 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系． 18．（3分）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，则m的取值范围为　0≤m＜1　 ． 【答案】0≤m＜1． 【分析】解第二个不等式，再根据题意确定它的3个整数解，然后求得m的取值范围即可． 【解答】解：解第二个不等式得x≤3， ∵关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解， ∴这3个整数解必然是3，2，1， 则0≤m＜1， 故答案为：0≤m＜1． 【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 19．（3分）某校高一新生中有若干名住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，问：住宿生最多有　67　 名． 【答案】67． 【分析】假设宿舍共有x间，则住宿生人数是4x+19人，若每间住6人，则有一间不空也不满，说明住宿生若住满（x﹣1）间，还剩的人数大于或等于1人且小于6人，所以可列式1≤4x+19﹣6（x﹣1）＜6，解出x的范围讨论． 【解答】解：设有宿舍x间．住宿生人数 4x+19人． 由题意得，1≤4x+19﹣6（x﹣1）＜6， 即1≤﹣2x+25＜6， 解得：＜x≤12． 因为x是整数所以，x＝10或11或12， 当宿舍10间时，住宿生4×10+19＝59人； 当宿舍11间时，住宿生4×11+19＝63人； 当宿舍12间时，住宿生4×12+19＝67人； 故住宿生最多有67名， 故答案为：67． 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，对题目逐字分析，找出隐含（数学中的客观事实，但在题目中不存在）或题目中存在的条件．列出不等式关系，求解． 20．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN+PC的最小值是　　 ． 【答案】． 【分析】作CE⊥AB于点E，则CE的长就是PN+PC的最小值，在直角△ACE中利用三角函数求解． 【解答】解：作点N关于AD的对称点E， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴PN＝PE， ∴PN+PC＝PE+PC≥EC， 且当CE⊥AB时，PN+PC最短， 在直角△ACE中，CE＝AC•sin∠BAC＝×＝， 即PN+PC的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称和角的平分线的性质，根据角的平分线的性质理解CE的长是PN+PC的最小值是关键． 三、解答题（60分） 21．（5分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【答案】﹣1＜x≤2， ，不等式组的所有整数解为：0，1，2． 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，然后可得不等式组的解集，再根据在数轴上表示解集的方法进行解答即可． 【解答】解：解不等式组：， ， 解①得：x≤2， 解②得：x＞﹣1， 所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 【点评】本题考查解一元一次不等式组，正确进行计算是解题关键． 22．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）请画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1； （2）若△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB2C2，写出点C2的坐标　（﹣2，3）　 ； （3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A3（1，0），B3（3，﹣1），C3（2，﹣3），则旋转中心的坐标为　（0，1）　 ． 【答案】（1） （2）（﹣2，3）． （3）（0，1）． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质可得答案． （3）分别作线段AA3，BB3的垂直平分线，相交于点P，则将△ABC绕点P逆时针旋转90°后得到△A3B3C3，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由图可知，点C2的坐标为（﹣2，3）． 故答案为：（﹣2，3）． （3）分别作线段AA3，BB3的垂直平分线，相交于点P， 则将△ABC绕点P逆时针旋转90°后得到△A3B3C3， ∴旋转中心的坐标为（0，1）． 故答案为：（0，1）． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 23．（6分）阅读：解不等式（x+3）（x﹣2）＜0． 解：因为两数相乘，异号得负， 所以①或②， 解不等式组①，得﹣3＜x＜2， 解不等式组②，得无解， 所以原不等式的解集为﹣3＜x＜2． 利用上面的信息解不等式． 【答案】x＞4或x≤﹣2． 【分析】由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得①或②，然后解不等式组即可． 【解答】解：由有理数除法法则“两数相除，同号得正”，得： ①或②， 解不等式组①得x＞4， 解不等式组②得x≤﹣2， 所以原不等式≥0的解集为x＞4或x≤﹣2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解例题的思路是解题的关键． 24．（6分）如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于点E，ED的延长线交BC的延长线于点F，且CD＝CF．求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】由条件可知∠AED＝∠BED＝90°， ∴∠B+∠F＝90°，∠A+∠ADE＝90°， ∵CD＝CF， ∴∠F＝∠CDF， ∵∠ADE＝∠CDF， ∴∠ADE＝∠F， 则∠A+∠F＝90°， ∵∠B+∠F＝90°， ∴∠B＝∠A， ∴△ABC是等腰三角形． 【分析】先由垂直得∠AED＝∠BED＝90°，即∠B+∠F＝90°，∠A+∠ADE＝90°，根据CD＝CF，故∠F＝∠CDF，因为对顶角相等，得∠ADE＝∠F，再进行角的等量代换，即可作答． 【解答】解：由条件可知∠AED＝∠BED＝90°， ∴∠B+∠F＝90°，∠A+∠ADE＝90°， ∵CD＝CF， ∴∠F＝∠CDF， ∵∠ADE＝∠CDF， ∴∠ADE＝∠F， 则∠A+∠F＝90°， ∴∠B＝∠A， ∴△ABC是等腰三角形． 【点评】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，对顶角相等，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25．（6分）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”． （1）不等式x≥2　是　 x≤2的“友好不等式”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的不等式x﹣m≥0不是2x﹣1＜x+2的“友好不等式”，则m的取值范围是m≥3　 ； （3）已知关于x的不等式x+3＞﹣2x与x﹣1≤a互为“友好不等式”，且有两个整数解，求a的取值范围． 【答案】（1）是； （2）m≥3； （3）0≤a＜1． 【分析】（1）由不等式x≥2和x≤2有个公共解x＝2，判断即可； （2）分别解不等式，由题意可知，两个不等式的解集没有公共解，从而得出m的范围； （3）分别解不等式，由题意可知，两个不等式的解集有公共解，利用数轴，可知1≤a+1＜2，从而得出答案． 【解答】解：（1）由题知， 因为不等式x≥2和x≤2有个公共解x＝2， 所以不等式x≥2是x≤2的“友好不等式”； 故答案为：是； （2）由不等式2x﹣1＜x+2得，x＜3． 由不等式x﹣m≥0得，x≥m， 因为关于x的不等式x﹣m≥0不是2x﹣1＜x+2的“友好不等式”， 则这两个不等式没有公共解， 所以m≥3， 故答案为：m≥3； （3）由不等式x+3＞﹣2x得，x＞﹣1， 由不等式x﹣1≤a得，x≤a+1， 因为关于x的不等式x+3＞﹣2x与x﹣1≤a互为“友好不等式”，且有两个整数解， 所以1≤a+1＜2， 解得0≤a＜1． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的整数解及解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 26．（6分）如图所示，在同一坐标系中一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，0），观察图象并回答下列问题： （1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是x＝﹣1　 ，关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＞2　 ． （2）若点C坐标为（1，3），关于x的不等式0≤k1x+b1＜kx+b的解集是　﹣1≤x＜1　 ． （3）在（2）的条件下，求四边形OBCD的面积． 【答案】（1）x＝﹣1，x＞2； （2）﹣1≤x＜1； （3）． 【分析】（1）利用直线与x轴交点即为y＝0时，对应x的值，进而得出答案； （2）利用图象即可求解； （3）利用待定系数法求得直线AC的解析式，进而求得D的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0）， ∴关于x的方程k1x+b1＝0的解是x＝﹣1，关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2， 故答案为：x＝﹣1，x＞2； （2）由图象可知，关于x的不等式0≤k1x+b1＜kx+b的解集是﹣1≤x＜1． 故答案为：﹣1≤x＜1； （3）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（1，3）， ∴OA＝1，AB＝3， 把A（﹣1，0），C（1，3）代入y＝k1x+b1，得， 解得， ∴直线AC为y＝x+， 当x＝0时，y＝， ∴D（0，）， ∴四边形OBCD的面积＝S△ABC﹣S△AOD＝＝． 【点评】此题主要考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，三角形面积，正确利用数形结合解题是解题关键． 27．（8分）2026年阅读比赛活动中，某校八年级（1）班决定到晨光文具店采购一批本子和笔对活动中表现优异的学生作为奖励．已知购买3个本子，4支笔需要花费29元；购买2个本子，5支笔需要花费24元． （1）试问本子和笔的单价分别是多少钱？ （2）班级决定购进本子和笔共150件，要求购买本子的数量不低于购买笔的，且购买本子和笔所用班费不超过525元，请通过计算设计出所有可能的购买方案． 【答案】（1）本子单价是7元，笔的单价是2元． （2）购进本子43件，笔购进107件； 购进本子44件，笔购进106件； 购进本子45件，笔购进105件． 【分析】（1）设本子单价是x元，笔的单价是y元，由题意列出二元一次方程组，则可得出答案； （2）设购进本子a件，则笔购进（150﹣a）件，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案． 【解答】解：（1）设本子单价是x元，笔的单价是y元，由题意得， ， 解得， 答：本子单价是7元，笔的单价是2元． （2）设购进本子a件，则笔购进（150﹣a）件，由题意得， ， 解得42≤a≤45， ∵a为整数， ∴a＝43，44，45． ∴有三种购买方案：购进本子43件，笔购进107件； 购进本子44件，笔购进106件； 购进本子45件，笔购进105件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准不等关系，正确列出一元一次不等式组． 28．（8分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．如图1，将两个完全相同的三角形纸片△ABC和△DEC重合放置，其中∠C＝90°，若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转． （1）当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2， ①当∠B＝∠E＝40°时，求此时旋转角的大小； ②当∠B＝∠E＝α时，直接写出此时旋转角的大小（用含α的式子表示）； （2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小组长猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小组长的猜想是否正确，若正确，请你证明小组长的猜想，若不正确，请说明理由． 【答案】（1）①80°； ②此时旋转角的大小为2α； （2）小组长的猜想是正确的，证明见解答过程． 【分析】（1）①证明△ADC是等边三角形即可． ②如图2中，作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD＝2∠B即可解决问题． （2）小组长猜想是正确的．过B作BN⊥CD交CD延长线于N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，如图3，想办法证明△CBN≌△CEM（AAS）即可解决问题． 【解答】解：（1）①∵∠B＝40°，∠ACB＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣40°＝50°， 由旋转可知：CA＝CD， ∴△ACD是等腰三角形， ∴∠ADC＝50°， ∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴此时旋转角的大小为80°； ②此时旋转角的大小为2α．理由如下： 如图2中，作CH⊥AD于H． ∵CA＝CD，CH⊥AD， ∴∠ACH＝∠DCH， ∵∠ACH+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°， ∴∠ACH＝∠B， ∴∠ACD＝2∠ACH＝2∠B＝2α， ∴此时旋转角的大小为2α； （2）小组长的猜想是正确的． 证明：过B作BN⊥CD交CD延长线于N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，如图3， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， ∵过B作BN⊥CD交CD延长线于N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M， ∴∠BNC＝∠EMC＝90°， ∵△ACB≌△DCE， ∴BC＝EC， 在△CBN和△CEM中， ∠BNC＝∠EMC，∠1＝∠3，BC＝EC， ∴△CBN≌△CEM（AAS）， ∴BN＝EM， ∵S△BDC＝•CD•BN，S△ACE＝•AC•EM， ∵CD＝AC， ∴S△BDC＝S△ACE． 【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 29．（9分）如图，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝1，点B在AD的延长线上，BD＝1，连接BC． （1）求BC的长； （2）动点P从点A出发，沿射线AB运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，△PDC≌△BDC； ②当t为何值时，△PBC是等腰三角形？ 【答案】（1）； （2）①t＝1或3； ②t＝1或2或3﹣或3+． 【分析】（1）直接根据勾股定理即可得出BC的长； （2）①由于△PDC≌△BDC，故PD＝BD，分两种情形构建方程即可得出结论； ②分CP＝CB，PC＝PB，BC＝PB三种情形分别求解即可． 【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，CD＝1，BD＝l， ∴BC＝＝＝； （2）①∵△PDC≌△BDC， ∴PD＝BD＝1，即2﹣t＝1，解得t＝1； 或点P与B重合，此时t＝3， 综上所述，满足条件的t的值为1或3； ②当CP＝CB时，PD＝DB＝1， ∴AP＝1， ∴t＝1， 当PC＝PB时，点P与点D重合时， ∵AD＝2， ∴t＝2； 当BP＝BC时， ∵BC＝， ∴BP＝（AD+BD）﹣t＝，即（2+1）﹣t＝，解得t＝3﹣， 当点P在点B的右侧时，BP＝BC＝， ∴t＝3+ 故当t＝1或2或t＝3﹣或3+时，△PBC为等腰三角形． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $