假期作业7 正态分布-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假作业

三0022 高二数学的， 假期作业7正态分布 敏而好学，不耻下问。 完成日期： 月 思维整合室 4.四个常用的概率值 1.连续型随机变量 假设X~N(4,6),可以证明：对给定的 k∈N*,P(μ一ko≤X≤μ十kσ)是一个只与k 现实中，有大量问题中的随机变量不是离散 有关的定值.特别地， 型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整 P(-≤X≤μ+o)≈0.6827， 个实轴，但取一点的概率为，我们称这 P(-2o≤X≤4+2o)≈0.9545， 类随机变量为连续型随机变量. P(μ-3o≤X≤+3o)≈0.9973. 2.正态分布 上述结果可用下图表示。 (1)正态密度函数，刻画随机误差的函数f(x)= ,x∈R,其中u∈R,o>0为参数. 对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的 严3296857%o业2o3o 95.45% x轴和曲线之间的区域为面积 ,我们 99.73% 称f(x)为正态密度函数. 《技能提升台 (2)正态密度曲线：正态密度函数的图象为 1.工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态 ,简称正态曲线 分布V(,o),在一次正常的试验中，取1000 (3)正态分布：①定义：若随机变量X的概率 个零件，不属于(u一3o,4十3o)这个尺寸范围 的零件个数可能为 ( 密度函数为f(x),则称随机变量X服从正 A.7 B.10 C.3 D.6 态分布； 2.已知随机变量X服从正态分布N(3,o),则P ②记作：X~N(4,o); (X≤3)= ( ③特例：当4=0，o=1时，称随机变量X 服从 B C. D.Z 。甲 1 3.甲、乙两类水果的质量 02元 (单位：kg)分别服从正 1.99 0xMab元 态分布N(41,o),0040.8 x/kg V(42,o),正态曲线如图所示，则下列说法 3.正态曲线的特点 错误的是 () 由X的密度函数及图象可以发现，正态曲 A.甲类水果的平均质量为0.4kg 线有以下特点： B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集 (1)曲线是单峰的，它关于直线 对称. 中于平均质量 (2)曲线在x=4处达到峰值 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均 (3)当|x无限增大时，曲线无限接近x轴 质量小 (4)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线与 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数 02=1.99 x轴之间的区域的面积为 15 飞受味乐慨羽 00M= 4.(2021·新高考Ⅱ卷，6)某物理量的测量结 9.设X~V(1,4),试求： 果服从正态分布V(10,62),下列结论中不 (1)P(-1≤X3); 正确的是 () (2)P(-1≤X≤1)： A.。越小，该物理量在一次测量中在 (3)P(3≤X5); (9.9,10.1)的概率越大 (4)P(X>5). B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概 率为0.5 C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99 与大于10.01的概率相等 D.。越小，该物理量在一次测量中落在 (9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 5.（多选)下列可以作为正态分布概率密度函数 的是（其中∈(-∞，十∞），o>0) () 1 A.f(x)= -e 20 √2元· B.f(x)= 1 - e /2π 1 C.f(x)= √2·√2π D.f(x)=1。 e( 10.第三届全民阅读大会于2024年4月23日 至25日在云南昆明举行，为保障全民阅读 6.(多选)已知随机变量X服从正态分布 权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能 N(4,o2),其正态曲线在（一∞，80）上是增 力，推动文明城市和文化强市建设某高校 函数，在(80，十∞)上为减函数，且P(72<X 为了解全校学生的阅读情况，随机调查了 ≤88)=0.6827，则 () 200名学生的每周阅读时间x(单位：小时) A.=80 并绘制如图所示的频率分布直方图： B.6=4 频率 C.P(X>64)=0.97725 0.35 组距 D.P(64<X≤72)=0.1359 7.(2022·新高考Ⅱ，13)已知随机变量X服 从正态分布N(2,o2),且P(2<X≤2.5)= 0.36,则P(X>2.5)= 8.为了解高三复习备考情况，其校组织了一次阶 888 段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从 05.56.57.58.59.510.511.512.5小时 正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分 (1)求这200名学生每周阅读时间的样本 以上（不含117.5分）的学生有80人，则此次参 平均数x和样本方差s2(同一组的数据用 加考试的学生成绩低于82.5分的概率为 该组区间中点值代表)； ;如果成绩大于135分的为特别优秀，那 (2)由直方图可以看出，目前该校学生每周 么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 的阅读时间x大致服从正态分布N(4, 人.（若X~N(u,o),则P(μ一o≤X≤ g2),其中μ近似为样本平均数x,。2近似 4十o)≈0.68，P(-2o≤X≤十2o)≈0.96) 为样本方差s2 16 三0022 高二数， ①一般正态分布N(,σ)的概率都可以转 A.配重的平均数为4kg 化为标准正态分布V(0,1)的概率进行计 B.P(23.5<X≤29.5)=0.8186 算：若X~N(4,g),令Y=X二上，则y C.o=2 6 D.1000个使用该器材的人中，配重超过 N(0,1),且P(X≤a)=PY<4利用 33.5kg的有135人 直方图得到的正态分布，求P(X≤10)； 2.小明所在的公司上午9：00上班，小明上班 ②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z 通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若 表示这20名学生中每周阅读时间超过10 小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时 小时的人数，求Z的均值 间（单位：分钟）服从正态分布N1(38,25); 参考数据：VI78≈9，若Y~N(0,1D,则 若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的 P(Y≤0.75)=0.7734. 时间（单位：分钟）服从正态分布N2(45,9): 若小明选择公交，则从家里到达公司所用的 时间（单位：分钟）服从正态分布N3(36, 16).若小明上午8：12从家里出发，则选择 上班迟到的可能性最小.（填“自 驾”“公交”或“地铁”) 参考数据：若X~N(,o),则P(μ一o≤X ≤4十o)≈68.3%，P(-2o≤X≤十2o)≈ 95.4%,P(μ-3o≤X≤μ+3)≈99.7%. 《益智欢乐谷 一老头骑三轮蹭了路 边停的一辆路虎，正愁眉 苦脸时，这时走过来一个 路人， 路人问：赔得起么？ 老头：赔不起！ 路人说：赔不起还不跑，等人家来找你啊！ 老头欲言又止，最终还是一步三回头的 新题快递 走了！ 1.坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下 这时这名路人拿出钥匙开着路虎走了！ 束.小明是一个健身爱好者，他发现健身房内 的坐式高拉训练器锻炼人群的配重X(单位： 人一生当中，最大的炫耀，不是你的财富， kg)符合正态分布V(27.5,4),下列说法正确 也不是你的精明，更不是你的手段； 的是 而是一种简单的理解和体谅！ 参考数据：P(4一o<X≤十o)=0.6827, 没有一颗善良的心！拜再多的佛也没有 P(u-2<X≤+2o)=0.9545, 用…… P(-3o<X≤4+3σ)=0.9973 17快乐假期 X 0 1 2 3 6 15 15 28 285656 其期望为E(X)=0 <+1×+2×品+3×6-器 63 新题快递 1.A[根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设 某人报足球俱乐部为事件A,报乒乓球俱乐部为事件B,则 PCA)碧=号，由于有50人报名足球保乐，60人报名乒 乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50+60一70=40 4 人，则PAB)=8-号，则P(B1A)PA2=了-0,8.] 70 P(A) 5 2.ABD对于AB,由相互独立的积事件的概率乘法公式可知 AB正确：对于C,三次传输译码为1，则可能是三次全部译 为1，或者有两次译为1，则概率为C3(1一3)2十(1一B)3,故 C错误；对于D,可以采用特值法或者作差法计算.三次传输 方案译为0的概率为Cα(1一a)2+(1-a)3,单次传输译为0 的概率为1一a,而Ca(1-a)2+(1一a)3一(1一a)=(1-a)a (1-2a)>0,所以D正确. 假期作业7 思维整合室 1.02.(1)1 ( e上方1(2)正态密度曲线 o√/2π (3)标准正态分布3.(1)x=:(2)1 (4)1 6√/2π 技能提升台 1.C[因为P(μ-3a≤≤4十3a)≈0.9973，所以不属于区间 (μ-3o,-36)内的零件个数约为1000×(1-0.9973) ≈3.] 2.D[X服从正态分布V(3,6),则正态曲线关于直线x=3 对称，所以P(X<3)=?] 3.D[由题图可知甲曲线关于直线x=0.4对称，乙曲线关于 直线x=0.8对称，h1=0.4,42=0.8,故A,C正确；，甲曲 线比乙曲线更“高瘦”，.甲类水果的质量比乙类水果的质量更 集中于平均质量，故B正确：乙曲线的峰值为1.99，即1 D2√2r =1.99,.o2≠1.99，故D错误.] 4.D[考查对正态分布概念和性质的理解，属于简单题.因为 μ=10，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)上的概率大 于落在(10,10.3)上的概率，故D不正确.] 5.ACD[对于Af()=e学，由于rE(-o,十o), √/2π6 所以一：∈（一∞，十∞），故它可以作为正态分布概率密度函 数；对于B,若o=1, 则应为f(x)=e“,若。=2，则应为f) /2π0 1 /2π·√2 ,均与所给函数不相符，故它不能作为正 态分布概率密度函数；对于C,它是当。=√2，=0时的正态 分布概率密度函数：对于D,它是当。=时的正态分布概 2 率密度函数.门 00M= 6.ACD[因为正态曲线在（一o∞，80）上是增函数，在(80，十∞)上 为减函数，所以正态曲线关于直线x=80对称，所以以=80： 因为P(72<X≤88)=0.6827结合P(4-o<X≤μ十o) ≈0.6827， 可知σ=8； 因为P(4-2a<X≤u+2a)≈0.9545， 且P(X<64)=P(X>96), 所以P(X<60≈2×1-09545)=号×0.0455 =0.02275,所以P(X>64)=0.97725: 因为P(X≤72)-号1-P(72<X≤8) =号×1-0.68270=0.15865. 所以P(64<X≤72)=P(X>64)-P(X>72) =0.97725-(1-0.15865)=0.1359.] 7.解析：由题意可知，P(X>2)=0.5,故P(X>2.5) =P(X>2)-P(2<X2.5)=0.5-0.36=0.14. 答案：0.14 8.解析：因为数学成绩X服从正态分布N(100,17.5),则P(100 -17.5X≤100+17.5)=P(82.5X117.5)≈0.68，所以此 次参加考试的学生成绩低82.5分的概率P(X<82.5) 1-p(82.5≤X≤117.52≈1-0.68=0.16. 2 又P(100-17.5×2≤X≤100+17.5×2)=P(65≤X 135)≈0.96，所以数学成绩特别优秀的概率P(X>135) 1-P(65≤X≤135)≈1-0.96=0.02. 2 2 又P(X<82.5)=P(X>117.5)=0.16,则本次考试数学成 锁特到优秀的人盘大约是。6×0.02=10， 答案：0.1610 9.解析：易知X一N(1,22),4=1,0=2. (1)P(-1≤X≤3)=P(1-2X1+2) =P(一6≤X≤u十G)≈0.6827. (2)·该正态曲线关于直线x=1对称，结合图象（图略）可知 P-1KX1)=P-1<X≤3)≈2×0,627 =0.34135. (3)P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1)， P8≤X≤)=2[P(-3KX3)-P(-1KX≤3]=[P1 -4≤X<1+4)-P1-2≤X<1+2)]=2[P(-2o≤X ≤+2o)-P(-o≤X≤r+o)]≈号×(0.9545-0.6827) =0.1359. (4):P(X>5)=P(X<-3),∴.P(X>5) =D-r-3X<]=2-P1-4KX1+0] -21-Pg-2a≤X≤r+2a]2×1-0.9545D =0.02275. 10.解：(1)根据频率分布直方图知，阅读时间在区间[5.5,6.5)， [6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5),[10.5,11.5) [11.5,12.5]内的频率分别为0.03,0.1,0.2,0.35,0.19， 0.09,0.04, 三022. x=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11 ×0.09+12×0.04=9, s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9 9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12 9)2×0.04=1.78, 所以样本平均数x和样本方差2分别为9,1.78. (2)①由题意知=9,02=1.78， 则有X~N(9,1.78), g=8=≈专 10 P(X≤10)=PY≤109)=PY≤0.75) 3 =0.7734, ②由①知P(X>10)=1-P(X10)=0.2266, 可得Z~B(20,0.2266), 所以Z的均值E(Z)=20×0.2266=4.532. 新题快递 1.BC[对于A项，由配重X(单位：kg)符合正态分布 N(27.5,4)可知，配重的平均数为27.5kg,故A项错误； 对于B项，由配重X(单位：kg)符合正态分布N(27.5,4)可 知=27.5，o=2,故P(23.5<X29.5)=P(-2a<X以 +o)=P(g-2a<X≤-2o)-2{P(g-2o<X≤+2o） P(4-o<X≤十σ)} =0.9545-号(0.9545-0.6827)=0.8186.故B项正确；对 于C项，显然正确：对于D项，因P(X>33.5)=P(X>十 3a)=2[1-P(-3a<X<+3)]=21-0.9973)= 0.00135.故1000个使用该器材的人中，配重超过33.5kg 的约有1000×0.00135=1.35≈2人，故D项错误.] 2.解析：由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分 钟，小明就不会迟到： 若选择自驾，则P(X>48)=P(X>+20)≈1-95,4% 2 若选择地铁，则P(X>48)=P(X>十o)≈1-一68.3% 2 若选择公交，则P(X>48)=P(X>u十30)≈1-99.7必 而1一68.3%>1一954%>1一90.7%，故选择公交上班迟 2 2 2 到的可能性最小 答案：公交 假期作业8 思维整合室 1.(3)一条直线 2.(2)正负[-1,1]强弱 x,-n7 3.(1)- (2)大小 -n 技能提升台 1.BD[在A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关 系：在B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数 关系，但具有相关关系；C为确定的函数关系：在D中，降雪 量与交通事故的发生率之间具有相关关系.] 二数学) 2.B[独立性检验会犯随机性错误，犯错误的概率不会超过 小概率值.门 3.A[由题图知气压随海拔高度的增加而减小，由图知沸，点 随气压的升高而升高，所以沸点与气压正相关，沸点与海拔 高度负相关，由图易得两个散，点图中的点都落在一条直线附 近，所以沸点与海拔高度、沸点与气压都线性相关，故B,C, D正确，A错误.」 4.B[由r=-0.9962可知，x与y负相关，并且具有较强的 线性相关关系.] 5.C[依据小概率值a=0.01的独立性检验，若x2>6.635, 我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，而不是在100 个吸烟的人中必有99个人患肺癌，故A不正确.99%是指 吸烟与患肺癌有关的概率，而不是吸烟的人有99%的可能 患有肺癌，故B不正确.C显然正确，D不正确.] 6.BCD[相关系数的取值范围是|r|1,故A错误；直线y= i.x十a必过样本中心点即点(x,y),故B正确；直线y=ix十 ā是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故 C正确：相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关程度越 强，越接近于0，表示相关程度越弱，故D正确.」 7.解析：因为X≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握认为 “生育意愿与城市级别有关” 答案：生育意愿与城市级别有关 8.解析：由样本数据点集{(x·y,)i=1,2,…,}求得的经验 回归方程为y=一x十2，且y=4, 所以元=一2， 故数据的样本中心，点为（一2,4）， 去掉(-1.7,2.9)，(-2.3,5.1)， 重新求得的经验回归直线的斜率估计值为一1.5， 经验回归方程设为y=-1.5x+a,代入(-2,4)，求得a=1, 所以经验回归直线a的方程为y=一1.5x十1，将x=一4代 入经验回归方程，求得y的估计值为一1.5×（一4）十1=7. 答案：7 19 9.解：1)由已知得样本平均数)=20三y=60,从而诚地区这 种野生动物数量的估计值为60×200=12000. (2)样本(x,y)(i=1,2,…,20)的相关系数 (x,-x)y-》 =1 800=22≈0.94. /(x,-)22(y-) V80X90003 (3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对 200个地块进行分层抽样. 理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖 面积有很强的正相关性.由于各地块间植物覆盖面积差异很 大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层 抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提 高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量 更准确的估计 10.解：(1)试验组样本平均数为20(7.8+9.2+11,4+12.4十 13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+ 8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36. =19.8. (2)(ⅰ)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组 数据合在一起，从小到大排列后，第20位与第21位数据的 平均数， 由原数据可得第11位数据为18.8，后续依次为19.2， 19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,…, 故第20位为23.2，第21位数据为23.6，